Моделирование упругого восстановления струи, выходящей из формирующей головки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 678.023.5

О. М. СИНЮК

Хмельницький нацюнальний ушверситет

МОДЕЛЮВАННЯ ПРУЖНОГО В1ДНОВЛЕННЯ СТРУМЕНЯ, ЩО ВИХОДИТЬ

З ФОРМУЮЧО1 ГОЛОВКИ

Стаття присвячена pозpобцi математично'1 моделi утворення струменя полiмерного Mamepiany, що дозволяе до^джувати процес еластичного вiдновлення струменя пiсля виходу розплаву полiмepy з профшюючо'1 головки або сопла. Оmpимaнi зaлeжносmi коeфiцiенma еластичного вiдновлeння струменя вiд pозмipy впускного каналу, як можна використовувати при проектуванш meхнологiчного обладнання для виробництва синтетичних волокон.

Ключовi слова: полiмep, волокна, капшяр, профшююча головка, сопло, струмть, еластичне вiдновлeння.

О. Н. СЫНЮК

Хмельницкий национальный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТРУИ, ВЫХОДЯЩЕЙ ИЗ ФОРМИРУЮЩЕЙ ГОЛОВКИ

Статья посвящена разработке математической модели образования струи полимерного материала, что позволяет исследовать процесс эластичного восстановления струи на выходе расплава полимера с профилирующей головки или сопла. Полученные зависимости коэффициента эластичного восстановления струи от размера впускного канала, которые можно использовать при проектировании технологического оборудования для производства синтетических волокон.

Ключевые слова: полимер, волокна, капилляр, профилирующая головка, сопло, струя, эластичное восстановление.

O. M. SYNYUK

Khmelnitsky National University

MODELING OF ELASTIC RECOVERY STREAM COMING OUT OF THE

FORMING HEAD

We elaborated the mathematical model of the jet of polymer material that allows you to explore the process of elastic recovery after the stream of molten polymer with a profile head or nozzle. We got the resulting coefficient dependence of the elastic recovery of the stream on the size of the inlet channel that can be used in the design ofprocess equipment for the production of synthetic fibers.

Keywords: polymer, fiber, capillary, profiling head, nozzle, stream, elastic recovery.

Постановка проблеми

У практищ формування пол1мерних вироб1в, таких як синтетичш волокна, кабел1 з пол1мерною 1золяц1ею, буд1вельш профш i таке под1бне вщомий факт пружного ввдновлення пол1мерно! струменя, що виходить з формуючо! головки, коли И поперечний розмiр в кшька разiв може перевищувати дiаметр впускного отвору [1-3]. Це явище часто називають Барус-ефектом, кшьшсною характеристикою якого служить ввдношення дiаметра струменя до дiаметру впускного отвору, яке називаеться коефщентом розбухання (або високоеластичного ввдновлення).

Яшсно очевидно, що змша розмiрiв струменя шсля виходу з катляра обумовлено високоеластичними деформащями, накопиченими полiмером пiд час перебування його в формуючiй голiвцi i впускному отворi. Причому тут середовище знаходиться пiд дiею неоднорiдних напруг, тобто в рiзних перерiзах зразка накопичуеться рiзна пружна деформацiя. Тому ефект пружного ввдновлення, що спостертаеться, е iнтегральним, пов'язаним з рiзним по радiусу пружним вiдновленням матерiалу.

Розглянутий ефект спостерiгаеться для будь-яких високоеластичних пол1мерних систем, але в кожнш з них по-рiзному. Особливий iнтерес представляе залежнiсть коефiцiента високоеластичного вщновлення ввд напруги зсуву для матерiалiв, для яких вiдома повна реолопчна крива. При цьому з'являеться можливють визначати не тiльки яшсний, але й к1льк1сний характер розбухання струменя залежно ввд рiзних факторiв.

Крiм цього, при б№ш строгому пiдходi до проблеми пружного вщновлення струменя слiд враховувати перебудову профiлю швидкостей, що вiдбуваeться вiд моменту виходу з впускного отвору до досягнення сталого стану. Вiдомо [1], що не тшьки точне знання розпод^ швидкостей у вих1дному перерiзi, але й напруг, необхвдно для адекватного теоретичного передбачення процесу розбухання, тому що достовiрно встановлено, що влив розмiру впускного отвору е значним, а саме приводить до сильного перерозподшу швидкостей i концентрацп напружень.

Описанi вище проблеми, пов'язанi з моделюванням екструзи полiмеру з каналу, в сукупносп представляють завдання розрахунку течи в'язкопружно! рiдини з вшьною поверхнею в канал1 кошчно! форми.

Анатз останнiх досл1джень i публiкацiй

Необхвдно вiдзначити, що процес еластичного ввдновлення моделювався рiзними авторами, як1 використовують рiзнi чисельнi методи: кiнцевi рiзницi [4], кiнцевi [5-7] i граничш [8-9] елементи. У цих роботах були використаш як релаксацiйнi реолопчш модел1, так i iнтегральнi. В даний час вважаеться загальновизнаним, що для б№ш точного i повного опису пружних характеристик середовища найбшьш прийнятнi iнтегральнi модел1 [10], яш охоплюють весь дiапазон механiчно! реакци середовища на зовнiшнiй вплив по всш часовiй шкалi. Хоча чисельна реал1защя для отримання рiшення задачi течи таких рiдин складнiша в порiвняннi з релаксацiйним моделями.

В данш роботi для вирiшення поставленого завдання будемо використовувати шнцево-рiзницевий метод, як найбiльш алгоритмiчний i той, що не пред'являе висош вимоги до можливостей ЕОМ, i який дозволить чисельно досл1джувати течш рвдини iнтегрального типу в кошчному каналi дов№но! конф^ураци i на виходi з нього.

Викладення основного матерiалу дослiдження

Розглянемо течш в'язкопружно! рщини з iнтегральним реологiчним законом в плоскому або цилшдричному каналах з раптовим звуженням (рис. 1).

У

А В

С

Б

О'

О 1 2 3

№

№

Рис. 1. Розрахункова сггка, якою покриваеться область течп розплаву полiмеру

Задамо наступнi параметри каналу: \ = ЛО ; Н2 = ВО ; ^ = ЛЩЛО; = СБ/ВО, окремий випадок \ = Н2 ввдповвдае каналу без звуження (теч1я в труб1). Будемо вважати, що в плоскому випадку мае мiсце декартова система координат х, у, а в осесиметричному - цилiндрична система координат х, г, в. У загальному випадку введемо безрозмiрний параметр а, який дорiвнюе 0 для плоского випадку i 1 для осесиметричного.

Як реолопчне рiвняння виберемо лшшне iнтегральне рiвняння з релаксацiею у виглядi експоненти:

(х,^ |^ -[(с- (х,$-8*

<к

(1)

де т1 - контраварiантнi компоненти тензора надлишкових напруг;

= (с 1У - контраварiантнi компоненти тензора Фшгера, зворотного до тензора деформацш Кошi-Грiна С;

х - радiус-вектор точки в рухомш системi координат, пов'язано! з рiдиною; ц i X - реологiчнi константи: в'язшсть i час релаксацп.

3

2

1

х

ЭЭ

Рiвняння (1) ввдповщае рщиш Максвелла i прогнозуе для просто! зсувно! течи; постшну в'язк1сть; першу рiзницю нормальних напружень, що пропорцiйнi квадрату швидкостц i другу рiзницю, що дорiвнюe нулю.

Контраварiантнi компоненти тензора Фшгера (с 1 У i коварiантнi компоненти тензора деформацп Кошi С', в нерухомiй системi координат обчислюються за формулами:

дх' дхх

(с1 ^^# ■ ^ СУ(х) = д(Х^ Ж. ^(х)

(2)

де ё

дх' дх

вiдповiдно контраварiантнi i коварiантнi компоненти метричного тензора g в нерухомш

системi координат.

У випадку плоско! задачi компоненти тензорiв напруг i деформацiй утворюють симетричнi матрицi розмiром 2x2. У декартовiй системi координат ргзниця м1ж коварiантними i контраварiантними

компонентами зникае: ё =; вигляд:

ёт <

а компоненти тензора деформаци Кошi зпдно (2) приймають

Схх =(хх)2 )2, Суу =&)2 )2,

Сху = хх^у + УхУ ■

Компоненти тензора Фшгера знайдемо з умови C • F = 1, тобто:

Схх Сху рхх рху 1 0

Сух СУУ рух руу 0 1

З урахуванням того, що СххС — С = det С = 1 (умова нестискаемосп) з (4) отримуемо:

хх УУ ху

рж = с

руу = с

рху = —С .

у

(3)

(4)

(5)

В осесиметричному випадку матриця компонент напружень мае розмiр 3x3 i ненульовi

компоненти тхх, т', тхг, т ; тх i тг дорiвнюють нулю внаслiдок симетри. Тут зручно користуватися фiзичними компонентами тензорiв:

С('Х) =

дхт дхк

8к,

(х)

(6)

^ ^ у1ё,,(х)• ёх(х) ' Оскiльки в цилiндричнiй системi координат компоненти метричного тензора на дiагоналi рiвнi

_г _г г г _г

одинищ, а решта нулю, то з (6) з урахуванням вх = вг = хд = гд = 0, та вв = 1 отримаемо:

с(хх)=(х:)2+(г')2,

О = &)2 + (?)\

С Щ = (г/г )2,

Ю^) = хх • % + 'х •

Компоненти тензора Фшгера, як i в плоскому випадку, знаходимо з умови:

(7)

С(хх} С(хг} 0 С(гх) С(гт) 0 0 0 С(вв)

р(хх) р(хг) 0 р(гх) р(гг) 0 0 0 Е(вв)

1 0 0

= 0 1 0

0 0 1

(8)

I, з огляду на умови нестискаемостi det С = (ее — С2ХГ) = 1

, отримаемо:

т

F(xx) = C {99)- C(rr), F(rr) = C( 99)- C(xx),

F(xr) = -C(99)- C(xr ), (9)

F 9=ф,-

Запишемо ochobhî pîbhhhhh стацiонарного Te4iï в змшних "функщя току" Ф, "вихор" 0. При цьому зробимо ïx безрозмiрними, використовуючи такий вираз:

* 11 * / * / * hi *

x = x/h , У = УIh , u = u/u0, v = VV, T =-,

M* uo

* t -1 . ф . ©h(1-a)

5 =-W, Ф =-, © =—1-.

(10)

Я uühx

де u, v - вщповщно, горизонтальна i вертикальна компоненти вектора швидкосп; щ, v - компоненти вектора швидкосп на вxoдi;

s* - безрoзмiрний час;

W = Я-u0/h - безрoзмiрне число Вайсенберга. Надалi всюди використовуються безрoзмiрнi величини, при цьому зiрoчки опускаються. Реoлoгiчне рiвняння (1) в безрoзмiрнoму виглядi запишеться таким чином:

Т |е^-Зу. (11)

^ о

В декартовiй системi координат функцш току i вихор введемо в такий споаб:

и = Ф'у, и = -Ф'х. (12)

& = Ох -иу. (13)

Тодi умова нестискаемостi задовольниться автоматично, а постановка (12) в (13) дае таке рiвняння для функци току:

ФХх + ФУу = -©. (14)

Диференцшючи перше рiвняння руху за у, а друге за х i вiднiмаючи з першого друге, отримаемо:

(тхх)Ху + (тху )Уу - (ту )Хх - (тУУ)Ху = о. (15)

Видшимо в тензор напружень Т в'язкопружню добавку Т , вiднiмаючи з Т тензор ньютошвських напружень, який для безрозмiрноl одинично1 в'язкостi збiгаеться з тензором швидкостей В :

~хх = тх - 2их, ~уу = туу - 2иу, ~ху = т^у - (иу -их). (16)

Пiдставивши (16) в (15), отримаемо з урахуванням (13) рiвняння для вихору:

©хх + ©Уу = (+ (тху)Уу - (Т^ - Туу)ху. (17)

Отже, в декартовш системi координат необхвдно вирiшувати систему двох рiвнянь (14) i (17) для двох неввдомих Ф i ©, а тi, що входять до рiвняння (17) в'язкопружш добавки ~ у - обчислюються за формулами (11) i (16).

В цил1ндричнш системi координат рiвняння для функци току Ф запишеться в такий споаб:

[Ф! + Ф: -1ФГ ] = -© . (18)

В'язкопружш компоненти тензора напружень мають вигляд:

~хх = тхх - 2их, ~гг = тгг - 2ог, ~вв = - — , ~хг = тхг - (рх+иг). (19)

г

Виконуючi тi ж операци, що й для плоского випадку, можна отримати диференщальне рiвняння для вихору:

1 ~хг 1 г • с©Хх+©: + з©г)=хг - хг )Хх+- хг )Г -—+хх - ):+- - ~ )х. (20)

г г г

Отже, для цилiндричних координат необхвдно вирiшувати систему рiвнянь (18) i (20), з яких визначаються функщя току i вихор, при цьому в'язкопружнi добавки обчислюються за формулами (11) i (19).

Рiвняння (18) i (20) можна об'еднати, ввiвши параметр а:

4т(®х х+ф;;--ф; )=-©,

^ ; ~ х; (21)

а т а

;а (©хх+©;+з • а •©;)=( ~х;);; - ( ~)хх+- х;); - а—+(~хх - ~;;)х;+- ( - )х

;; ; У ; У ; У

Вирiшувaти цю систему будемо методом шнцевих рiзниць з проведениям послiдовних релаксацп. Для цього введемо сггку, показану на рис.1, з постшним кроком к по обох координатах. Для перших i других похвдних будемо використовувати центрaльнi рiзницi з другим порядком апроксимаци. Позначивши параметр релаксацп через со (0 <ю < 2), можна записати систему (21) у вигляд^ зручному для проведення iтерaцiй:

( , Л

ф-= (1 -с\Ф\] +С

©*+' =(1 -с)©;

фк , + фк+1. + фк. , •

1+1,.^ ¡-1,; ",;+1

©к + ©к+1 + ©к

, а • к +Фк+\ • , а • к

1-- 1--

2 У< V 7; У 1,; 1 2 у! V 7; У

. г^.к ; 2 2а + ©, • к У;

(22)

У

- ~х; - ~ хУ + ~ хУ

( 1 ^ а • к

1 -

2 У

^ 3а^к^

1--

2 у;

V 7;

(

^ 3а•к^ 1 -

2 У

;

+ т.

х; <,;-1

;

1 -

а • к

2 У

а

;

У;

(23)

+ 1 ((~хх - ~- хх - ~уу)м;_1 - хх - ~;;); + хх - ~;;); ) + ~УУ ),+.,; - (*"- ~УУ Х-,,; )

4

а • к ,

2 У;

де к - номер ггерацп.

Для обчислення компонент тензора напружень за формулою (11) необхвдно знати залежшсть компонент тензора деформaцiй Кошi ввд часу £ в iнтервaлi (0; да). У свою чергу для знаходження

компонент тензора деформацш Кошi можна використовувати функцп змщення х(х,у^) (3), (7). Для !х

визначення скористаемося умовою рiвностi нулю повно! похвдно! за часом ввд конвективно! координати

«х ¿У д

Тодi функцi! змщення можна знайти з ршення системи гiперболiчних рiвнянь:

х' + и • х'+и• х' = 0, |

5 х ; I

у:+и • у:+и•у;=а|

(24)

При чисельному рiшеннi системи (24) е важливим вибрати схему, як мшмум, з другим порядком точностi по просторовим змiнним, так як обчислення компонент тензора деформацш суттево впливае на точшсть рiшення [4].

Будемо використовувати для розв'язку системи явну двошарову за часом схему Лакса-Вендрофа другого порядку точностi по просторовим змшним i часу [11].

Розглянемо перше з рiвнянь (24). Нехай А/ - крок за часом. Розклавши х(5 + А?) в ряд Тейлора

за часом, враховуючи умову стацюнарносп и' =и^ = 0, отримаемо:

х(5 + Д?) = х(5) -Д/(и • х'х+и • х'у) +1 А/[и(и • х'х + и • х'у)'х + и(и • хх+и• х'у)^]+ 0 • (Д13)'.

(25)

Використовуючи центрaльнi рiзницi для перших i других пох1дних, можна отримати для значення функцi! змiщення у вузл1 сiтки в наступний момент часу вираз:

1

+

х1 ,т = х1 ,т [>1 ,т (х'+1,™ х1-1,ш ) + °1,ш (х1 ,т+1 х1 ,т-1)] + ^ \*1,т [иП+1,т (х1+1,т х1-1,ш ) и1,ш (х1 ,т х1-1,ш ) +

х1, т ) - и1-1, т (х1 , т - хМ, т ) + и/+1, т (х/+1, т - х/+1, т-1) - °1-1, т (х1 , т - , т-1 ) + т (х1, т+1 - х1 , т ) -

, п / — и + и1 ,т (

1-1,т (х/-1,т+1 - х1-1,т )]+ ,т [иI,т+1 (х/ ,т

/ ,т--п

(26)

/-1,т и /ГГИ

ч И /- — И —И ч . п / — п —п ч

) - и1,т (х/,т - х1-1,т ) + и1,т (х/+1,т - Х1,т ) -

и;"т+1(х;"т+1 - х",т ) + 4,,, ^т " ^.М) + ^т (З^ " ^т ) " 4^1 (^

хг"т-1)]}-

Тут введено позначення х/т = х(х,, ут, иА/). Рiвняння для знаходження у аналогiчно (26). необхщно тiльки х замiнити на у .

Розрахункова схема стiйка за умови:

1

р3 =

к ) 8-шах{и ,и }

(27)

Початковi умови тут так1: х,т = х1, у0г,т = ут . Змщення на осi симетрп обчислюються з (26), де приймаеться и = 0, у = у, при будь-якому 5. На твердих стшках в силу умови прилипания приймаемо х = х, у = у. На входi в канал будемо вважати, що и = 0, а и - задане, тодг

х" = х - и и А/; у . = у. , у = ^..М - 1 .

на входi каналу:

= и

Мх,/

и А/; у№, у = умх, у = 1,2..му -1.

(28)

(29)

Змоделюемо процес еластичного вiдновления струменя, використавши шнцево^зницевий метод маркерiв i комiрок, який був детально розглянутий в роботах [12]. Будемо дослщжувати отримання синтетичного волокна з полiмерного матерiалу ПВХ. Приймемо тиск на входi у впускний канал рiвним 5 МПа, час формування струменя - 0,5 секунд. Крiм того, приймемо таш припущення: на виходi розплаву з впускного каналу збертаеться iзотермiчнiсть потоку; гравггацшш сили, що дiють на розплав, незначнi; полiмерний матерiал не стискаемий; течiя пол1меру в каналi усталена.

В процесi моделювання будемо дослвджувати вплив дiаметра впускного каналу, що виконаний без звуження, на лшшш розмiри струменя (рис. 2).

б

Рис. 2. Моделювання еластичного вщновлення струменя а - дiаметр впускного каналу 0,25 мм; б - дiаметр впускного каналу 0,12 мм

На рис. 2 показаний процес утворення струмешв в результата витискання полiмерного матерiалу через впускш канали рiзного дiаметру, з якого видно, що коефщент еластичного ввдновлення струменя ( К) збшьшуеться при зменшенi дiаметра впускного каналу (^). Так, при ^ = 0,25 мм коефщент К = 1,52, а при ^ = 0,12 мм коефiцiент К = 2,02. Крiм того, змiнюеться й довжина струменя (£ст).

/-1,т+1

а

Так, при йк = 0,25 мм довжина струменя за час 0,5 секунд становитиме 9,2 мм, а при йк = 0,12 мм -становитиме 6,5 мм.

Це пояснюеться тим, що пружна деформащя, яка накопичилася у розплавi тд його час руху у впускному каналi профiлюючоl головки, ввдновлюеться тсля зняття зовшшньо! сили, тобто при виходi з каналу макромолекули переходять у зрiвноважений стан i дiаметр струменя збiльшуеться при зменшенi його довжини. Але цей процес ввдбуваеться тiльки при вiльному виходi струменя. Крiм того, слiд враховувати, що накопичена пружна деформацiя вiдновлюеться не повнютю, оск1льки частина нормальних напружень тхх врiвноважуеться гiдростатичним тиском, що створюеться в середиш струменя на виходi пiсля його еластичного вщновлення.

Таким чином, варшючи конструкцiйними та технолопчними параметрами (дiаметром отворiв фш'ер, витратою пол1мерного розплаву) можна визначати дiаметр волокон, при якому мщшсть на розрив та вiдносне подовження при розривi волокон дозволять отримати неткане полотно.

Оскiльки орiентацiя макромолекул шлькюно пов'язана з напруженнями зсуву [13, 14], то коефщент еластичного ввдновлення залежить ввд швидкостi зсуву, температури i довжини впускного каналу. Вплив довжини каналу на коефщент еластичного ввдновлення досл1джувався в данш роботi (рис. 3).

Рис. 3. Моделювання струменя при рпних довжинах впускного каналу а - довжина каналу 22 мм; б - довжина каналу 15 мм; в - довжина каналу 5 мм

Як видно з рис. 3, довжина впускного каналу суттево впливае на форму i розмiри струменя. Так, зi зб№шенням довжини каналу Ь коефщент еластичного ввдновлення струменя Ке знижуеться, що пояснюеться вхвдними втратами тиску. Оск1льки на входi у впускний канал мають мюце величезнi напруження зсуву г , то при течи полiмерного матерiалу в коротких каналах вони до виходу не встигають знизитися i розчин полiмерного матерiалу витiкае iз великим ступенем орiентацil, а коефщент еластичного вiдновлення струменя бiльший, шж в довгих каналах. При зб№шеш довжини впускного каналу напруження поступово знижуеться i на деяк1й вщсташ в1д входу в канал переходячи в усталений режим плину стае мшмальним, тому висока ступiнь орiентацil на входi в канал поступово на виходi зменшуеться, що вщображаеться на формi i розмiрах струменя.

Проаналiзувавши змшу лшшних po3MÍpÍB струменя (довжини та дiаметру) тсля еластичного вщновлення для впускних каналiв дiаметром ввд 12 мкм до 25 мкм та довжиною вiд 4 мм до 24 мм, були отримаш залежностi змiни коефiцieнта еластичного вщновлення струменя вiд дiаметру i довжини впускного каналу (рис. 4).

Рис. 4. Залежшсть змши коефвдснта еластичного вщновлення струменя вiд геометричних розм1р1в

впускного каналу

а - залежнкть Ke вiд дiаметра каналу dK; б - залежнкть Ke в1д довжини каналу L

Як видно з рис. 4 змша лшшних розмiрiв впускного каналу суттево впливае на коефiцieнт еластичного ввдновлення струменя, а отже на дiаметр та довжину майбутнього волокна.

Аналiзуючи подiбним чином, можна передбачати змшу коефщента пружного ввдновлення струменя 3i змiнною конструкцiйних параметрiв перероблюючого обладнання та технологiчних параметрiв процесу екструзи. Варшючи конструкцiйними параметрами фiль'ери, наприклад, лiнiйними розмiрами впускного каналу, можна отримувати заданi розмiри синтетичних волокон, що е надзвичайно важливим при виробнищга виробiв легко! промисловостi, а саме одягу, коврового покриття, нетканого текстилю i волоконного армуючого наповнювача. Так, досл1дження, що проведенi в роботах [14], показали, що найбшьш оптимальними механiчними властивостями володшть композицшш матерiали, що армованi пол1мерними волокнами довжиною 5...6 мм, а дiаметром - 10...15 мкм. Таким чином, визначення конструкцiйних та технологiчних параметрiв, що забезпечать отримання волокон, оптимального розмiру, е прiоритетною задачею при проектуванш обладнання для виготовлення цих волокон iз термопластiв.

Висновки

1. Розроблено математичну модель утворення струменя пол1мерного матерiалу, на основi яко! за допомогою кiнцево-рiзницевого методу маркерiв i комiрок змодельований процес еластичного вiдновлення струменя пiсля виходу розплаву полiмеру з профiлюючо! головки або сопла.

2. За результатами дослвджень змши лшшних розмiрiв струменя (довжини та дiаметру) в результата еластичного ввдновлення пiсля виходу полiмерного матерiалу з впускних канал1в рiзно! геометрично! форми були отриманi залежносп змiни коефiцiента еластичного вiдновлення струменя вщ дiаметру i довжини впускного каналу, яш можна використовувати при проектуванш технолопчного обладнання для виробництва синтетичних волокон.

Список використаноТ лггератури

1. Виноградов Г. В. Реология полимеров / Г. В. Виноградов, А. Я. Малкин. - М. : Химия, 1977. -

440 с.

2. Тадмор З. Теоретические основы переработки полимеров. / З. Тадмор, К. Гогос. -М. : Химия,

1984. - 632 с.

3. Торнер Р.В. Основные процессы переработки полимеров / Р. В. Торнер. - М. : Химия, 1972. -

454 с.

4. Crochet M. J. Numerical simulation of non-Newtonian flow / M. J. Crochet, A. R. Davies, K. Walters. -

New York : Elsevier, 1984. - 352 p.

5. Baracos G. Numerical simulation of extrusion through orifice dies and prediction of Bagley correction for an IUPAC-LDPE melt / G. Baracos, E. Mitsoulis // Journal of rheology, 1995. - Vol. 39, № 1. -P. 193-209.

6. Bernstain B., Malkus D. S. Finite elements for stationary fluid flows with memory / B. Bernstain, D. S. Malkus // Int. J. for Num. Meth. in Fluids, 1985. - Vol. 5. - № 1. - P. 43-70.

7. Luo X.-L., Mitsoulis E. A numerical steady of the effect on elongation viscosity on vortex grouth in contraction flows of polyethylene melts / X.-L. Luo, E. Mitsoulis // J. of Rheology, 1990. - Vol. 34. -№ 3. - P. 309-342.

8. Bush M. B. Boundary element simulation of polymer extrusion processes / M. B. Bush // Eng. Anal., 1987. - Vol. 4. - № 1. - P. 7-14.

9. Bush M. B., Tanner R.I., Phan-Thien N. A boundary element investigation of extrudate swell / M. B. Bush, R. I. Tanner, N. Phan-Thien // J. Non-Newt. Fluid Mech., 1985. - Vol. 18. - № 2. - P. 143162.

10. Синюк О.М. Виршення 3aAa4i про плин рщини з в'язшстю, що е функщею координат / О. М. Синюк, М. £. Скиба, Б. М. Злотенко // Вюник Техиолопчного ушверситету Подшля. -2000. - № 5. - С. 46 - 48.

11. Поттер Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. - M. : Мир, 1976. - 392 с.

12. Скиба М.£., Бурмютенков О.П., Злотенко Б.М., Синюк О.М. Числовi методи математичного моделювання в створенш техиолопчно! оснастки для лиття виробiв з полiмерних мaтерiaлiв / М. £. Скиба, О. П. Бурмктенков, Б. М. Злотенко, О. М. Синюк - Хмельницький: ПП Ковальський В.В., 2002. - 148 с.

13. Лапшин В. В. Основы переработки термопластов литьем подавлением / В. В. Лапшин. - М. : Химия, 1974. - 270 с.

14. Бортников В. Г. Основы технологии переработки пластических масс: Учебное пособие для вузов / В. Г. Бортников - Л.: Химия, 1983. - 304 с.