Математическое описание термодинамических процессов в объемных компрессорах со впрыском масла в рабочую полость Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.514

В. В. Акшинская, Т. Н. Мустафин, М. С. Хамидуллин,

Г. Н. Чекушкин, И. Г. Хисамеев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ОБЪЕМНЫХ КОМПРЕССОРАХ СО ВПРЫСКОМ МАСЛА В РАБОЧУЮ ПОЛОСТЬ

Ключевые слова: математическая модель, рабочий процесс, компрессор объемного принципа действия, впрыск

масла.

Разработана математическая модель термодинамических процессов в компрессорах объемного принципа действия. Даны рекомендации по математическому описанию термодинамических и теплофизических свойств впрыскиваемых масел и компримируемых сред.

Key words: math model, working process, positive displacement compressor, oil injection.

The math model is developed for thermodynamic process in positive displacement compressors. Recommendation is given for math description of thermodynamic and transport properties of injecting oil and compressing gas.

В компрессорных машинах объемного действия, рабочие процессы совершаются при переменной массе рабочего тела. Это связано с заполнением и освобождением рабочих полостей через окна в процессах всасывания и нагнетания, а также с перетечками газа между рабочими полостями чер ез зазоры. Целью данной работы является создание математической модели, описывающий процессы протекающей в рабочей полости компрессора. Их анализ является актуальной задачей на сегодняшний день [1], т.к. в последствии позволяет дать рекомендации по модернизации машин и повышению КПД, рабочие процессы которых и описываются. При построении модели будет принят следующий ряд допущений:

1. среда в рассматриваемом контрольном объёме непрерывна, однородна;

2. изменение параметров среды по всему контрольному объёму происходит мгновенно и одновременно;

3. изменением кинетической энергией и энергией, связанной с положением в контрольном объёме пренебрегается.

В основе дальнейших выводов положены: закон сохранения энергии в системе и уравнение состояния газа, записанные в дифференциальной форме. Закон сохранения энергии для контрольного объёма записывается в следующей форме [2, 3] :

dU = dQ-dL + ^ij-dmj-^ik• dmk, (1)

j k

где dQ - элементарное количество теплоты, подведенное к газу; dL = p • dV -элементарная деформационная работа, совершённая над газом в контрольном объёме, V - объем рабочей

полости, ij - энтальпия притикаемого газа, dmj -элементарная притикаемая масса газа, ik -

энтальпия утекаемого газа, dmk - элементарная притикаемая масса газа. Уравнение состояние газа записывается в виде:

P - v = Z - R - T, (2)

P - V = Z - M - R - T, (3)

где Z - коэффициент сжимаемости газа, R - газовая постоянная, Т - температура газа, М -масса газа, v - удельный объем. При данных допущениях, основываясь на правиле фаз Гиббса, можно записать уравнения взаимосвязи относительно двух независимых параметров состояния среды всех остальных параметров состояния, а также их производных, необходимых для проведения математического моделирования. В данном случае в качестве

96

независимых параметров состояния среды выбраны давление и температура (Р и Т). Из термодинамики известно [4]:

dU = dI - d(P • V) = dI - V • dP - P • dV , dI = d(M • i) = i • dm + M • di,

| п V

где dm = Еdmnk -Еdmуj- изменение массы в контрольном объёме, М = — - масса газа в k=l 1=1 1

контрольном объёме. После подстановки и преобразования уравнение (1) примет вид:

dP = — • V

V

Л

-•di+i•[ ^dmnk—Е-dQ—Е(ink • ^)+i•Е

Л

V

к=1

1=1

к=1

1=1

_1_

V

(—•di+Е ((i - ink )• сКк)-dQ

к=1

V

( VI

-• с + Е( • dmnk)-сЮ

У к=1

где Лink = i — ink - разница энтальпий притекаемого газа и газа в контрольном объёме. Принимая во внимание, что:

'51

51

51

ср =| — | и ^ = [ —| • ср+[ —| • ст = [^1:^1.

5Т Ур ^5Р Ут [5Т УР [51 • 5Р уТ

проведя преобразование окончательно получаем:

( 5Р | ( 5i |

• V —

• СР + ср • СТ =

51

5Р

51

• СР + с0 • СТ,

и

51Л

ч51 у т

ч51 у т

•СР—СТ

V

V • с„

Ё(Чк • dmnk ) — dQ

к=1

Преобразуя и продифференцировав уравнение (3.6) получим:

51 |

Т •(Р • +1 • СР) — Р • 1 • СТ

Т •

Р •

— | • СР +

V VV5P ут

Л

Л

5Т

• СТ

Р • Т2 Р • Т2

Уравнение (3) в дифференциальной форме примет вид:

Р • dV + V • СР = m • Р • Т • СЪ + m • Р • Ъ • СТ + Ъ • Р • Т • dm;

V • СР —

( ((51 | (51 | 1

Т Р^ ( —| •СР + | — | •СТ | +1 • СР — Р • 1 • СТ

V V ^5РУт [5Т Ур V

1 Т Т

• СТ = Р • 1 • — Р • ;

V ( (( 51| (51|

р • [ — | • СР + ( — | • СТ | +1 • СР

1 V ч5Р )т V 5Т Ур у у

= Р • 1 • (Сг! — Р • с^;

СР+||т 1 (I 1 •СТ ’Г® )т•(dV—

Используя соотношения Максвелла

(51 | ( 5б ^ | ( 5в | (51 |

небольшим преобразованием:

5Т

51 • 5Р

= —| — | • | — | и проведя сокращения, получим:

V51 Ут 15Р Ут

СР —

I )т'СТ =7-VI —1'Сг);

где в - энтропия рабочего тела.

Система дифференциальных уравнений, описывающих процессы в машинах объёмного принципа действия, имеет вид:

с

СР "(І ]/Т =И1 ^

ЭР! .V-(А

IV |т (IV

•СР - СТ

V

У-е„

¿(Ліпк-Стпк)-С0

Однако система уравнений (4) не удобна для численного решения, целесообразно разделить переменные, воспользовавшись методом Крамера. Ответ имеет вид:

где

СР = й й

СТ = й й

й = det

ЭР

IV

•V -

ЭР

IV

( V (ЭР

-1

ЭР

Эv

•V -

ЭР

Эv

й 1 = det

V I Эv

•(СУ - v•Сm)

V С ^(Чк^к)-С0 | -1

VIк=1

•1^ і -і-

Эv

у^С:'Й(А'пк'Стпк)-С<3Ш,-У(ІI (-V■Сm);

й2 = det

IV Л

эр

IV

V

7 Ср (к=і

¿(и^к)-С0

V

7 Ср (к=і

£(4^^ )- С0 I-

ЭР! V-(А

IV |Т (IV

— • (СУ - v•Сm).

Тогда система дифференциальных уравнений (4) примет вид:

СІР =

У'Ср V к=1

СТ =-

£(АіПк -Стпк)-СО](§)Т -V-і'А-^

9Р 1 ( аі

V -

аv

аv

У' Ср V к_1

ар

аv

Е(Аіпк'Стпк)- СОІ-

-1

ар | (аі

V -

аv

V (СУ -V' Ст)

ар

аv

' v -

ар

аv

'1^ І -1

аv,

Дальнейшие преобразования системы (5) необходимо для удобства численного представления и программирования ввода и вывода данных. Для этих целей разделим правые и левые части обоих уравнений на Ьф, с учётом того, что Ьф = ю • Ьт.

v

Ср _ У' ср

Сф _

v

ст _ ^с;

Сф

V (ди' Стпк і СО 1

к_1 V ю Ст ) Ю'Ст) Vаv)Т р Vаv)Т

ар

СУ v

Стп|

__ І У І ш "пк І-VI ~'"У1 Сф ю 11V Ст 1 &1 Ст

ар | (аі

v

аv

аv

'! 1,-■

V (ди' Стпк V_СО_

к_1 V ю Ст ) Ю'Ст

аv

аv

Г(ар1 'v 'аі V

^), і

1 с т> Я? 1

(6)

о ^ Сф Стх>

В системе (6) ш =---------угловая скорость; --------->

Ст Ст

- мгновенный массовый расход через окно или

щель;

Со

Ст

тепловой поток, подводимый к газу.

Теплоприток к газу в данном компрессоре в общем случае складывается из лучевой и конвективной составляющих теплообмена, теплоты трения роторов, а также теплообмена газа с маслом, находящемся в рабочей полости. Лучевой составляющей можно пренебречь как малой по сравнению с оставшимися двумя:

^0=^+^ +М Ьт Ьт Ьт

’ТР з

(7)

М й

где МТР - мощность трения роторов, -т- - тепловой поток, подводимый к газу в результате

теплообмена последнего со стенками,

Ст

СОк

Ст

- - тепловой поток, подводимый к газу в результате

теплообмена с каплями масла. Мощность трения и теплоприток к газу от стенок определяется индивидуально для каждой машины и поэтому далее не рассматриваются. Для описание теплообмена газа с капельной жидкостью принимается следующий ряд допущений:

v

1. масло в рабочей полости находится в виде капельной монодисперсной среды равномерно распределенной по всему объему рабочей полости, с характерным размером по Заутеру;

2. капли между собой не взаимодействуют;

3. внутренняя энергия капель для любого момента времени одинакова, изменение

внутренней энергии всех капель происходит одновременно и одинаково по всему объему

рабочей полости;

4. перераспределения капель по объему рабочей полости происходит мгновенно;

5. градиент температур по объему капли пренебрежимо мал;

6. в силу малости парциальных давлений насыщенных паров масла, изменением массы капель, вызванной их испарением или конденсацией, пренебрегается.

Первое начало термодинамики для такой системы примет вид:

dU = -dQr, (8)

где dU = d(mm • im) - элементарное приращение внутренней энергии, dQr - элементарная теплота, подвеянная от газа к каплям, im - энтальпия масла, mm - масса масла всех капель масла в рабочей полости, Cm - теплоемкость масла, T m -температура масла в рабочей полости. Закон сохранения массы для такой системы можно записать в виде:

dmm=±ydmmL (9)

d9 ы 1=1 dT ’

где dm™ - мгновенный массовый расход масла через i-ую щель, принимается со знаком «+» dt

если массоприток идет в рабочую полость, и со знаком «-» если массоприток идет из рабочей полости.

Элементарная теплота, подвеянная от газа к каплям может быть определена по уравнению Ньютона-Рихмана:

= FKS •Эк (Т,-Т), (10)

где F^ - суммарная площадь капель в рабочей полости; аК - коэффициент теплоотдачи от капли к газу.

Расчёт коэффициента теплоотдачи автор ведет по критериальному уравнению [5]:

Nu,^^, (11)

m

Nu = 2 + 0,6 • ReK0'5 • Prm0'33, (12)

lv-v I- p • d

I m r'm К

где Кек = -----т—т--------число Рейнольдса, ргт - число Прандтля для масла, то -

Нт

определяющая скорость газа, то0 - определяющая скорость газа Ск - диаметр капель, р,т -динамическая вязкость масла, рт - плотность масла, ^т - коэффициент теплопроводности масла. Для подобных систем справедливо допущение [5] то « тот , и может быть определена по зависимости:

то _Ю' Гцм, (13)

где ю - угловая скорость ротора, Гцм -радиус центра масс.

Диаметр капель рассчитываются по следующей зависимости [5]:

PmJ о

V Vm J

1^-1 %

m J

тт

где ат - коэффициент поверхностного натяжения масла, ^т=—— - массовая концентрация

т

масла в смеси:

* т _

тт

тт +

Ум "

тт

(15)

где Ум - объем рабочей полости, v - удельный объем компримируемого газа.

Ссумарная площадь теплообмена всех капель с учетом ранее принятых допущений в рабочей полости можно определить исходя из следующей зависимости:

Р _6 ■ тт

К! '

Н Р (16)

НК 'Р—

Преобразую (8) и отнеся обе части уравнению к элементарному углу поворота приводного элемента, окончательно можно получить следующую зависимость:

^ Н— ^

СТт 1

Сф ш

РК1 ■ аК ■ (Т - Тт ) -Іп

СІТ

Ст ■ тт

(17)

где Н1т = Ст • НТт, im - энтальпия масла, Ст - теплоемкость масла.

Для окончательного замыкания системы (6) следует раскрыть зависимости для определения объема газа и скорости изменения объема газа по углу поворота в рабочей полости:

Рп

СУ _ СУм

Ст„

т Ср

. + т г^т

Сф Сф Рт ■ ш ■ Ст рП Сф

(18)

(19)

ЯТ

Vе7 'т Ур

СТт+ ву ■ СРт , ГДе ву_

5Р

Vе7 т Ут

Принимая во внимание что Нрт =

коэффициент сжимаемости. Для масла справедливо следующиие сототношения ^ «0 [6],

НТт □ вУ • НРт следовательно, можно допустить, что

поэтому

Нр

5Т

Vй 'т Ур

ЯТ

Vе7 'т Ур

■ СТ

(СРт Л

V СТт У

НТт. Тогда уравнение (19) окончательно примет вид: Нтт

СУ _ СУм

тт (СРт ^ СТт

£

Сф

(20)

Нф Нф Рт • ш • нт р—

Свойства масла задаются в виде апроксимационных зависимостей, как функций температуры [7,8]:

и 1120 е-Рц^(Тт-293,15)+р^1-(Тт-293,15)2

_ Мт ' с

™ -Р ■ (Т - 293,15) 20 _ Рр т ’

рт _ рт ■ ’

Ст _ Ст0 -(1 + Ро ■( Тт - 293,15)) ,

(21)

(22)

(23)

= х

(1 + МТт -293,15)), „т = „2°-(1 -Р0-( Тт - 293,15)),

(24)

(25)

где

20 Рт ;

С

20

х

20

20

- кинематическая вязкость, плотность, теплоемкость,

теплопроводность и коэффициент поверхностного натяжения масла при температуре 2°°С; Рм, Рм1 - температурные коэффиценты вязкости масла; Рр, Рс, Рх, Р„ - температурные

коэффиценты плотности, теплоемкости, теплопроводности и коэффициента поверхностного натяжения масла. Данные коэффициенты определяются для каждаго масла отдельно путем апроксимации экспериментальных данных, как показано в работах [7,8]:

Рц =

РМ1 =

1_

8°

1

( Л.1°°Л

ІП

V

Мт

- 4 - ІП

V Мт J

( (м1°° Л

[X

32°°

ІП

V V 1 80

1

80

1

80

м2° J

Рс = —-

Рх =

Р„ =

- 2 ■ ІП

(С100 л

-1

Амб° ЛЛ

г*т

чмтс у J (мб° ЛЛ

м

2°

JJ

ч20

( л 100 Хт л 20

V хт

(„100 °т ____20

— 1

- 1

(26)

(27)

(28) (29) (3°)

100

где Мт =

100 Рт ,

V т у

Г>100 л 100 100

Ст , хт , „т - кинематическая вязкость, плотность, теплоемкость,

теплопроводность и коэффициент поверхностного натяжения масла при температуре 100°С; 60

р - кинематическая вязкость масла при температуре 60°С.

Интегрирование зависимости (23) и дифференцирование зависисмости (22) по температуре позволяет раскрыть недостоющие члены в уравнениях (17) и (19):

, (31)

і = с20

т т

Тт + РС

\Л

Т2

- 293,15 ■ Т

г\ ’ т

V 2 JJ

(32)

После подстановки и преобразования окончательно зависимости (19) и (2°) примут

вид:

dV сМ,

■( - Тт )-С

Ґ-

Тт +РС

ЛЛ

-293,15-Т 2 т

JJ

dт

с20 -(1 + Рс -(Тт -293,15)тп

dmm

dф dф рт0 - е-Рр-(Тт-293,15)

-ш-dт р2т° -е-Рр(Тт-29315)

СТт

dф

(33)

(34)

Для замыкания полученной математической модели требуется определения методик расчета расходов масла и газа через окна и щели. Для этого целесообразно воспользоваться методиками, изложенными в работах [3,9].

Полученная математическая модель может быть реализована решена, если известны зависимости для газа вида: I = ^ (р; Т) , Б = ^ (р;Т) , V = ^ (р; Т), в качестве которых могут быть использованы полиномы термодинамических свойств, имперические зависимости, или какие-

1°2

т

либо другие уравнения свойств газа. Т.е. данная математическая модель не привязана к какой-либо термодинамической модели рабочего тела и как следствие неограниченна ею. Она адаптирована (имеется ряд специальных преобразований) для использования в качестве термодинамической модели систему расчёта свойств газа, разработанной сотрудниками кафедры «Энергетическое машиностроение» Технического университета Дании [10].

Литература

1. Мустафин, Т.Н. Анализ геометрии профелей героторного компрессора / Т.Н. Мустафин, Г.Н. Чекушкин, М.С. Хамидуллин, И.Г. Хисамеев// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. -№10. -С.287-292.

2. Пластин П.И. Поршневые компрессоры: том 1. Теория и расчет/ П.И. Пластин - М.: Колос, 2000.

3. Хисамеев, И.Г., Двухроторные винтовые и прямозубые компрессоры: теория, расчет и конструирование/ И.Г. Хисамеев, В.А. Максимов - Казань: Фэн. 2000.

4. Вукалович, М.П., Термодинамика. Учебное пособие для вузов. / М.П. Вукалович, И.И. Новиков -М.: Машиностроение, 1972

5. Kovacevic, A., Screw compressor Three Dimensional Computational Fluid Dynamics and Solid Fluid Interaction. / A. Kovacevic, N. Stosic, I. Smith // School of Engineering and Mathematical Sciences City University of London 2007.

6. Лойцянский, Л.Г., Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский - М.: Наука, 1973

7. Максимов, В.А., Трибология подшипников и уплотнений жидкостного трения высокоскоростных турбомашин/ В.А. Максимов, Г.С. Баткис - Казань: Фэн. 1998.

8. Быков, А.В., Холодильные компрессоры. Справочник/ А.В. Быков и др.- М.: Легкая и пищевая промышленность. 1981.

9. Визгалов, С. В. Влияние внутреннего охлаждения на эффективность рабочего процесса шестеренчатого компрессора. Дисс. ... канд. тех. наук/ С.В. Визгалов - Казань: Казанский государственный технологический университет, - 2003.

10. Skovrup, M. J., Thermodynamic and Thermophysical Properties of Refrigerants. Package in Borland Delphi for the refrigerants / M. J. Skovrup - Department Of Energy Engineering Technical University Of Denmark 2001.

© В. В. Акшинская - асс. каф. холодильной техники и технологии» КГТУ, mveronika@yandex.ru; Т. Н. Мустафин - асс. той же кафедры, mustimur@rambler.ru; М. С. Хамидуллин - канд. техн. наук, доц. той же кафедры, mcx_kstu@rambler.ru; Г. Н. Чекушкин - канд. техн. наук, проф. той же кафедры; И. Г. Хисамеев - д-р техн. наук, проф. той же кафедры.