CC BY
41
Я • 7universum.com
М UNIVERSUM:
Лг7\ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ВЫХОДНОГО НАПРЯЖЕНИЯ МАТРИЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЧАСТОТЫ
Федоров Сергей Витальевич
старший преподаватель кафедры электроснабжения промышленных предприятий Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет», филиал в г. Кумертау,
РФ, Республика Башкортостан, г. Мелеуз E-mail: [email protected]
Рогинская Любовь Эммануиловна
д-р техн. наук, профессор кафедры электромеханики Уфимского государственного авиационного технического университета,
РФ, Республика Башкортостан, г. Уфа
Бондарев Андрей Владимирович
канд. техн. наук,
заведующий кафедрой электроснабжения промышленных предприятий Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет», филиал в г. Кумертау,
РФ, Республика Башкортостан, г. Мелеуз
Федоров С.В., Рогинская Л.Э., Бондарев А.В. Математическое описание спектрального состава выходного напряжения матричного преобразователя частоты //
Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2014. № 9 (10) .
URL: http://7universum.com/en/tech/archive/item/1612
THE MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE SPECTRAL COMPOSITION OF THE OUTPUT VOLTAGE OF THE MATRIX CONVERTER FREQUENCY
Fedorov Sergey
senior teacher of the Department ofpower supply of industrial enterprises Federal state educational institution of higher professional education
" Orenburg state University" branch in Kumertau, Russia, Republic of Bashkortostan, Meleuz
Roginskaya Lyubov
doctor of technical Sciences, Professor of the Department "electrical engineering" of Ufa state aviation technical University,
Russia, Republic Of Bashkortostan, Ufa
Bondarev Andrey
candidate of technical Sciences, head of the Department ofpower supply of industrial enterprises, Federal state educational institution of higher professional education
"Orenburg state University" branch in Kumertau, Russia, Republic of Bashkortostan, Meleuz
АННОТАЦИЯ
В данной статье приводится математическое описание спектрального состава выходного напряжения матричного преобразователя частоты. Использование данной модели позволяет проводить анализ спектра выходного напряжения и получать значения коэффициента гармоник во всем диапазоне частот.
ABSTRACT
This article provides a mathematical description of the spectral composition of the output voltage of the matrix converter frequency. Using this model allows the analysis of the spectrum of the output voltage and to obtain values of harmonic distortion in the entire frequency range.
Ключевые слова: матричный преобразователь частоты; коэффициент гармоник; спектр.
Keywords: matrix frequency converter; harmonic; spectrum.
Рассмотрим общий случай и-фазного по входу и 3-фазного по выходу матричного преобразователя частоты (МПЧ), содержащего 3 группы идеальных двухпроводных ключей по и в каждой группе [2—4].
Преобразователь частоты присоединен к и-фазному источнику
переменного напряжения с частотой fвх и управляется таким образом, чтобы
получить 3-фазное выходное напряжение с желаемой частотой fь (рисунок 1) [1].
Рисунок 1. Символическое представление обобщенного преобразователя частоты с n фазами на входе и 3 фазами на выходе
В качестве источника многофазного входного напряжения можно использовать напряжение с выхода многофазного фазообразующего трансформатора [5].
Так как кривые выходного напряжения образуются из участков следующих друг за другом кривых входного напряжения, то мгновенное
выходное напряжение ивых 1, ивь1Х 2, UebDC 3 может быть описано соотношениями:
U
ВЫХ1
ивх1[4)-4)J+ивх2[4)-i(t2)J+...+и |ifri_i)-l(j)j+...+ивхп [i(t;_i)-4
+...
+ UBX11(tn )- l(l,+1 )J+ UBX2 1(tn+1)- l(tn+2)J+ . + UBXq 1(tj-1+n )- l(lj+, )J+ . + UBXn [l(t2n-1)- l(l2n )J +
UBX1 fl(tO )- l(l1 )J+ K1» )- 1(tn+1 )J+ [l(t2n )- l(l2n+1 )J+ .}+
+Uw i |_i(tJ)- l(|2 )J+ [i(tn+1)- l(|,+2 )J+[i(t2„+1)- l(| 2n+2 )J+ .}+ .
BX 2
+ UBXq tl(lj-1 )- l(lj )J+ [l(lJ-1+« )- l(lj+, )J+ [l(lJ-1+2« )- l(lJ+2, )J+ .}+ .
+ UBXn M^-! )- l(l, )J+ [l(f 2n-1 )- l(4 )J+ [l(t3n-1 )- l(4 )J+ .}
Для UBЫX 2
U
ВЫХ 2
UBX1 [l('o2 )-4 )J+ UBX2 [l(t12 )- 1(t22 )J+ ••• + URX, [42-1)- 4 )J+ + URx„ [4% )-4 )J+ .
+ UBX1 14)- 1(in+1 )J+ UBX2 1(|и+1)- 1(l2+2)J+ ■■■ + UBX„ 14-1., )-4.,)J+ . + UBXn tfe-1)- 1(lIn)J
1+ ... =
+ U
- UBX1 {l(l<? )- 1(|1 )J+ [l(l„2 )- 1(l,+1 )J+ [l(l2n )- 1(12n+1 )J+ .}+
1(l12 )- 1(l22 )J+ [l(l2+1)- 1(12+2 )J+ [l(tLl)- 1(l22n+2 )J+ .}+ .
+ U
BXq
.l(l j-1)- l(lj )J+ [l(lJ-1+« )- l(lj+, )J+ [l(lJ-1+2« )- l(lJ+2, )J+ .}+ .
+ U +
1(l,2-1)- 1(l,2 )J+ 122,-1)- 1(l22, )J+ tfe-1)- lfe )J+ .}
Для UBbX 3
U
ВЫХ 3
UBX 1 [l(l3)-4)J+ Ubx2I4)-1(123)J+ ■■■ + UBX, 1(lJ-1)- 1(lj)J+ . + UBXn ll(l„3-1)-4)J+ .
+ UBX-1 [4)-4l)J+ UBX21(l3+l)-l(l3+2)J+ ■■■ + UBX, [l(lj-l+,)-4,)J+ . + UBXn [l(l2,-1)-4n)J +
- Ux 114)- 4 )J+ [4)- 4l )J+ 14,)-1(' L1 )J+.}+
+ U+
+ U
BXq
+U
fl(l1 )- l(l2 )J+ 1(ln+1 )- l(ln+2 )J+ 1(l2n+1 )- l(l2n+2 )J+ .}+ . 1(lj-1 )- l(lj )J+ [l(lj l+n )- l(lJ+n )J+ [l(lj-1+2n )- l(lj+2n )J+ .}+ .
i(|,-i )- i(i, )J+ 1(i 2,-1)- 43„ )J+ [i(iLi )- 43„ )J+ .}
Здесь 1(tq ) — единичная ступенчатая функция:
0 при t < tq q ) '1 при t > tq
^ но
(1)
Уравнения для ubbx i, ubbx 2, ивых3 могут быть переписаны в виде:
Овш 1 = Ubx 1 Z life )- l(t,Ll )]+ Ubx2 Z [lfe.1 )- 1 (tjij+ 2 )]+ ■ • ■
7=0
7=0
+ UBXq Z 1 (tin+q-1 )- 1 (rn+q )]+ • " + UBXn Z 1 (ti+n-1 )- 1 (ti+n )]
Для
U
ВЫХ 2
U ВЫХ 2 = UBX1 Zfrfe )- 1(t L )]+ UBX 2 Z[l(t ,L )- Уn+2 )]+ •
7=0
7=0
+ UBXq £ 11 (tin+q-1 )- 1 (t7n+ q )] + • + UBXn Z ^П+п- )- ^n+n )]
7=0
7=0
7=0
7=0
Для UbBx 3
UbBX3 = Ubx 1 Zfrfe )- 1(t73„+1 )]+ Ubx 2 Z К'7П+1 )- 1('7П+2 )] + •
+ Ux, Z[!(t7^+q-1)- 1(tLq )]+ • + Ux, Z [l(<„-1 )- 1fe+, )]
7=0
BXn L^V 7n+n-
=0
7=0
7=0
Коэффициенты при входных напряжениях представляют собой суммы прямоугольных импульсов единичной амплитуды. Назовем их переключающими функциями и определим в дальнейшем следующим образом:
V') = £llfe)- )]
/=0
л,г(')=st(',^i)-i(c2)]
/=0
h, (') = Zfr(Cq-1)->(Cq )]
/=0
i>r, (')=zKc,-i)-fen)]
.=0
Таким образом,
UВЬХр = hp1 (t')UВХ1 + hp2 (t)UBX2 + • • • + hpq(t)UBXq + • • • + hpn (t)UВХп (2)
Переключающая функция hpq(t) (p=1, 2, 3; #=1,2,...,n) математически описывает действие силового ключа, подающего входное фазное напряжение
UsXq на выход р. Когда hpq=1, это означает, что входное напряжение UsXq
h U
подается на вывод р; когда pq =0, напряжения BXq на этом выводе нет.
Выходные напряжения от ивых1 до ивых 3 можно представить через входные напряжения и соответствующие переключающие функции. Таким образом, преобразователь частоты, имеющий n фаз на входе и 3 фазы на выходе, может быть охарактеризован системой трех уравнений:
UВЫХ1 = h11(t)UВХ1 + h12(')UВХ2 + • + h1q (t)UBXq + • + h1n (t)UВХп
< UВЫХ 2 = h21(t t)UВХ1 + h22(t t)UВХ 2 + ••• + h2q (t ^)UB^q + • + h2n (t ')UВХп UВЬХ 3 = h31(t')UВХ1 + h32(t')UВХ2 + • + h3q (t')UBXq + • + h3n (t)UВХп
Эта система уравнений может быть записана более кратко в следующей матричной форме:
U ВХ1 (t)
U ВЫХ1 (t) hu(t) h12 (t) • • hiq (t) • • hin (t)
UВЫХ 2 (t) = h21(t) h22(t) • h2q (t) • • h2 n (t)
UВЫХ 3 (t) h31(t) h32(t) • • h3q (t) • • h3n (t)
U ВХ 2 (t)
UBXq (t)
UBXn (t)
или
UBbX = H(t)UBX .
Матрица H является переключающей матрицей размерностью 3*и. Входные напряжения являются симметричными синусоидальными функциями времени:
U ВХ1 (t) ^п(®ВХt)
II UВХ 2 (t) UВХ max sin(®BX t - 2ж / n)
UВХп (t) sin(®BXt - (n -Х)2ж / n)
где: Ubx max — амплитуда, одинаковая для всех входных напряжений.
Спектральный метод анализа выходного напряжения МПЧ состоит
в замене сложной функции времени UBbD[p (t) (р = 1, 2, 3) суммой простых гармонических колебаний, образующих частотный спектр этой функции. Этот метод основан на использовании рядов и интеграла Фурье.
Данный метод заключается в том, что характеризующая электромагнитный процесс периодическая функция может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье:
f(t) = у + ^(ak cos(k^t) + Ък sin(k^t))
k=1
so
(3),
где
a -
2n
T ■ к -1,2...;
an
< a
к
b
к
2
T
2
T
2
T
T/2
J f ( )dt;
T/2
T/2
J f (t )cos(kat )dt;
-T /2 T/2
J f (t) sin(kat )dt.
-T / 2
Поскольку в нашем случае мы аппроксимируем синусоидальный сигнал,
а функция f (t) - E° sn(at) является нечетной, то а° - ак - 0 и выражение (3) примет вид:
ад
f (t) = Z bksin(kat)
к-1
где
Ьк - J J f (t )sin(kat )dt
0
Найдем математические зависимости для определения спектра гармоник
выходного напряжения ивЫр (t) (p=1, 2, 3). Для этого в выражение bk вместо
f (t) подставим полученную ранее зависимость для UBbD[p (t) (2).
Получаем
Я = 7 J h11(t )UВХ1 (t) s in(ka ВЫХ t )dt + 7 J h12(t )UВХ 2 (t) s in(ka ВЫХ t )dt + ■■■
T
T
T
0
0
2
н--
T
T
jК (t)UBXq (t)sin(k« ВЫХ
0
2
t )dt +... + — T
T
j hln (t)UBXn (t) Ып(к®ВЫХt)dt
0
Аналогичным образом найдем выражения bk для
U
ВЫ 2
и
для ивы 3:
3
b
к
T+2я/3
b 2 =
T
2я/3 T+2п!Ъ
T+ 2я/3
} .
'22(
j h21(t )UBX 1 (t) Ып(к®ВЫК t + 2^/3)dt + — j h22 (t )UBX 2 (t) Sin(k® ВЫХt + 2я / 3)dt + ...
2я/3
~ T +2n /3
+ — j h2q (t )UBXq (t) Ып(к®ВЫХt + 2Я /3)dt + ... + — j h2n (t )UBXn (t) Sin(k® ВЫХ t + 2Я / 3)dt
T 2n/3 T
2я/3
2
T+4я/3
T+4я/3
2 1 +4'1 / 3 ^
bk = “ j h31(t)UBX1(t)sin(k®BЫXt + 4n/3)dt + — j h32(t)UBX 2(t)sin(kaBЫX t + 4Я / 3)dt + ■"
T
4я/3 T + 4я /3
T
4я/3
T+4я/3
2 T +4'1, / 3 ^
+ - j h3q (t)UBXq (t) sin(k®BЫX t + 4Я /3)dt + . + - j h3n (t)UBXn (t) sin(k®BЫXt + 4Я / 3)dt
T
4Я/3
T
4я/3
h
Поскольку функция pq равна 1 на определенных отрезках времени (1)
(в остальных случаях она равна 0), то выражения для bk, переписать следующим образом:
bl bk bk
можно
bl = 2
2
+ —
T
ml-1 tin+1
j UBX1 (t) sin(k®RhXt)dt
i=0 t1
1 i t1
mq —1 lin + q
+ . .
/. J UBXq (t) ^п(к®ВЫЖ ^')dt
i=0 t1
Lin + q—1
+.
2
н--
T
тП —1 ^in + n
^ j UBXn (t) s ^^^ВЫШt')dt
i=0 t1
lin+n—1
Аналогичным образом найдем выражения bk для Uвыx 2 и bk для Ub
b = I
2 z-2 m-1 —1 гП+1
m^2 —1 +n
II UBX x(t )sm(kaBblx t + 2k/3)dt +... + I \uBXn (t )sm(kaBblx t + 2k/3)dt
bl
2
T
i=0 Л Lin
ml -1lin+1
i=0 2
lin + n—1
3 i t3
mn —1 lin + n
II Usx j (t) sm(kaBblx t + 4k / 3)dt +... + I |u№ (t )sin(k®Sbff t + 4k/ 3)dt
i=0 t3
lin
i=0 t3
lin+n—1
m" u
Здесь q (p = 1, 2, 3) — количество участков входного напряжения BXq, повторяющихся в выходном напряжении UBbbXq за период. Сами функции uвых 1, Ub2 , ивых3 примут вид:
ад
UВЫХ 1(t) = I bk sin(k® ВЫХ t)
k=1
ад
UВЫХ 2 (t) = I bk Sn(k®BbIX t — 2k / 3)
k=1
ад
UВЫХ 3 (t) = I bk s vn(k® ВЫХ t — 4k / 3)
k =1
Значения bk — это амплитуды гармоник, входящих в состав выходного
напряжения UBbbXq. Основной гармоникой является b.
Показатель, определяющий степень негармоничности выходного
напряжения UBbbXq, — коэффициент гармоник K г
K
Гр
V
Ib")
b"
i =2
2
В случае если анализу подвергается трехфазно-трехфазный матричный преобразователь частоты, где входное напряжение — UlBXq (q = 1,2,3), тогда выражения для b, b, b можно переписать следующим образом:
b = |
mx-\hi+\
X J UВХ1(t) s ‘m(k&bВЫХ t)dt
i=0 ti
t3i
+
2
+--
Г
2
+--
T
m2 —l t3i+2
X J UВХ 2(t )sin(Mbxt )dt
i=0 A
‘з
3i+1
m3 —l <3i+3
+
X J ^X 3(t )*Чк®вьж < )dt
i=0 Д
3i+2
(4)
Аналогичным образом найдем выражения b для U ВЫХ 2 и °k для
bk UTTff UВЫХ2 T/T UTTff UВЫХ3 •
к =
к =
2 if2
mi — 1‘п +i
2 1 t2 m3 —1 V
X J Um-1 (<) sin(kfflMzrt + 2k / 3)df + X J Uш2 (t) sin(kfflMa.t + 2k / 3)df + X J ^3 (t) sin(kfflMa.t + 2k / 3)dt
i=0 Л i=0 ,2 i=0 ,2
ln ln +q-1 ln +n-1
ml —1tin+i m\—1 tn+q m^ —1 <п+n
XJ Uвxl(t)sin(kfflвыxt + 4k/3)dt +X J UВХ2(^т(к®Вьхt + 4k/3)dt + X JUвxз(t)sin(k®выxt + 4K/3)dt
i=0 13 ,
Поскольку значение частоты выходного напряжения изменяется дискретно, т. е.:
Ш-, —1 ‘п +q
2
— 1
®ВЬХ
3 ' ®ВХ
N
где N — число синхронизирующих функций f1, укладывающихся в одном периоде M(t) (N=4,5,6,...), то число повторений фазы Uвх 1 - Щ, фазы Uвx2 -m2, фазы U ВХ 3 - щ за период будут зависеть от этого значения или, в конечном счете, от N. Например, для N=4 выходное напряжение Ub 1 за период будет состоять из последовательности входных: UВХ1, UВХ2, UВХ3, UВХ1. Для N=5 выходное напряжение Ub 1 за период будет состоять из последовательности входных: UВХ 1, Uвx2, Uвхз, UВХ, 1, Uвx2. Для N=6 выходное напряжение Uвьx 1
за период будет состоять из последовательности входных: Ubxi, ивх2,
TJ JJ TJ mi^ ~m^
U вхi, U вх 2, U вхз. в результате можно вывести закономерности для mm, mi — это целая часть числа (Ж-1)/3+1; т2 — это целая часть числа (Ж-2)/3+1; m — это целая часть числа (Ж-3)/3+1.
T
ВХ 3
т
i
з:
Запишем выражения для
Ubxi U
ВХ 2
T
UВХi = Um SinKx t + 0 ) .
UВХ2 = Um siп(РвХt + 02 ) ; (5)
UВХ3 = Um Sin(^BXt + 03 ) .
Подставим выражения (5) в функцию (4) получаем:
■ U
МЛ;,
Sin ((РвХ kmBbX У + 0i) sin ((Pbx + k®BbX У + 0)
+ ■
+
U
_m
T
U
T
i=0 V &BX kmBHX ®BX + k®BHX у t3
s in ((Рвх kmBHX )t <N + sin ((РвХ + kmBHX )t + 02 У1
ч ®BX k®BbX ®BX + k®BbK у
sin (('Рвх kwBHX ) + 1 sin((РвХ + k®BbK ) + 03 )
V ®BX k®BbK ®BX + k®BbX /
+
+
l3i+i
z3i+3
t
3i+i
k
t
3i+2
m
t
3i+2
Список литературы:
1. Джюджи Л., Пели Б. Силовые полупроводниковые преобразователи частоты: Теория, характеристики, применение. Пер. с англ. М.:
Энергоатомиздат, 1983. — 400 с., ил.
2. Жемеров Г.Г. Тиристорные преобразователи частоты с непосредственной связью. М., «Энергия», 1977.
3. Карташов Р.П. Тиристорные преобразователи частоты с искусственной коммутацией / Р.П. Карташов, А.К. Кулиш, Э.М. Чехет. К., Изд-во Техника, 1979. — 152 с.
4. Чехет Э.М. Непосредственные преобразователи частоты для электропривода /Э.М. Чехет, В.П. Мордач, В.Н. Соболев. Киев: Думка, 1988. — 224 с.
5. Ялалова З.И., Рогинская Л.Э. Улучшение электромагнитной совместимости полупроводниковых преобразователей с сетью и нагрузкой // Электро. — 2013. — № 2. — С. 16—20.
