CC BY
29
УДК 539.3
Й. Й. ЛУЧКО (ДПТ), е. Г. ЮАНИК, В. М. СЕМЕРАК (Львiвський нацiональний аграрний ушверситет)
МАТЕМАТИЧНИЙ ОПИС ПРОЦЕСУ ТЕПЛОУТВОРЕННЯ ПРИ ВЗАеМОДП КОЛЕСА ЗАЛ1ЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТНОГО ЗАСОБУ I РЕЙКИ
В квазютацюнарному наближенш побудовано розв'язок двовим1рно1 задач1 теплопроввдносп для тв-простору, який на^ваеться по граничнiй поверхнi швидкорухомою зоною тепла. При певних умовах дана задача моделюе теплоутворення ввд тертя у залiзничнiй трибосистемi «колесо-рейкам».
Ключовi слова: трибосистема «колесо-рейка», двовимiрна задача теплопроввдносп для пiвпростору, квазiстацiонарне наближення
В квазистационарном приближении построено решение двумерной задачи теплопроводности для полупространства, нагреваемое по граничной поверхности быстродвижущейся зоной нагрева. При определенных условия рассматриваемая задача моделирует теплообразование от трения в железнодорожной системе «колесо-рельс».
Ключевые слова: трибосистема «колесо-рельс», двухмерная задача теплопроводности для полупространства, квазистационарное приближение
Temperature fields of components in relative sliding motion of the wheel-rail system can be analysed on the quasistationary approach.
Keywords: wheel-rail tribosystem, 2D heat conduction problem for half-space, quasistationary approach
Постановка проблеми
Основою розрахунюв на зносостшюсть та зношування елеменпв тертя затзничних транспортних систем е розв'язання теплових задач тертя.
Теплоутворення вщ дп сил тертя внаслщок проковзування колеса по рейщ призводить до нагр1вання контактуючих тш. Оскшьки експе-риментальний зам1р температури в систем1 «колесо-рейка» е техшчно складною проблемою, то виникае необхщнють кшьюсно! оцшки ii величини на основ1 того чи шшого аналггич-ного методу.
Аналiз дослiджень i публiкацiй з даноТ проблематики
Традицшно дослщники проблеми розрахун-ку теплових процешв, що мають мюце в елеме-нтах тертя затзничних транспортних засоб1в, використовують розв'язок двовим1рно1 кваз> стацюнарно1 задач1 теплопровщносп для тв-простору по поверхш якого рухаеться локаль-но-розподшена зона нагр1ву [1, 2]. Але точний розв'язок тако1 задач1 можливий лише у випад-ку р1вном1рно-розпод1леного тиску в зош контакту. Тому актуальною е задача розвитку чи-сельно-анаттичних схем розрахунку процешв теплоутворення в зош контакту затзничне ко-
лесо-рейка. Вщповщш тдходи до виршення дано1 проблеми представлено у працях [3, 4].
Постановка завдання
Застосуемо кусково-лшшну апроксимащю [5] контактного тиску, а, отже, штенсивносп фрикцшного теплового потоку, в моделюванш взаемоди колеса i рейки, для чого розглянемо круговий цилвдр рад1уса R (колесо), що котиться з сталою швидюстю V по поверхш шв-простору (рейка) i втискуеться в нього з1 сталою силою P . При цьому в дшянщ спiвдотику колеса з рейкою вщбуваеться мшропроковзу-вання з швидюстю Vs [6]. Ковзання супрово-джуеться тепловидiленням, яке у виглядi теплових потокiв перерозподiляеться мiж взаемо-дотичними елементами (колесом i рейкою).
Виходимо з того, що: 1) д^нка проковзування е смугою ширини 2a, малою порiвняно з радiусом ковзаю чого колеса; 2) Vs = sV (1% < s < 2%) ; 3) штенсивнють фрикцiйного
теплового потоку, направленого в рейку, ви-значаеться залежнiстю
q ( х ) = XfVsp (x ), (1)
де X - коефщент розподiлу теплових потоюв; f - коефiцiент тертя; p (х) - розподш контак-
© Лучко Й. Й., 1ваник е. Г., Семерак В. М., 2010
тного тиску; х - декартова координата; на тд-став1 експериментальних даних [3] можна вва-жати А, = 0,5; 4) теплообмшом з оточуючим середовищем на вшьних поверхнях рейки зне-хтуемо; 5) ф1зико-мехашчш властивосп матер1-алу рейки не залежать вщ температури; 6) припускаемо, що взаемод1я колеса I рейки вщбува-еться в режим1 високошвидюсного фрикцшно-го нагр1ву.
Виклад основного матерiалу дослiджень
В квазютащонарному режим1 високошвид-юсного фрикцшного нагр1ву (V > 25 м/с) задача зводиться до знаходження розв'язку р1внян-ня теплопровщносп
д2 Т д2 Т
д х2 д у за граничних умов
дТ
к дТ
к д х
|х| <да, у > 0 (2)
К-
ду
[-д(х), 0 < х < 2а, у=0 [0, хе]-<х>;0[и]2а;да[,
д Т
до вигляду
д2 Т д Т
дп2 дС,
, п>0,
(4)
дТ дп
= Г-Лр* ,0 <С< 1,
п=0 [0, £е]-«>;0[и]1;да[,
дТ
Т ^ 0, — ^ 0 при ТС дп
2 1 п2 . (5)
Розв'язок гранично! задачу отриманий з ви-користанням штеградьного перетворення Фур'е по змшнш С , можна подати так:
Т(п) = "Л10(-т,п)р (т) т,
л/я 0
(6)
де О(С, п) = —^е 4С - функщя Грша задач1
'0, - да<С< 0, (4)-(5); Ь =|^,0<С< 1,
1,1 <^<да.
Пром1жок штегрування [0; Ь] у вираз1 для температури (6) покриемо р1вном1рною сггкою:
0 = т0 <т1 <...<тп-1 <тп =Ь , тг = г5т , 5т = Ь,
п
г = 0,1,2,..., п . Поставимо у вщповщшсть кожному вузлу тг наступну функщю [5]:
Т ^ 0,--> 0 при д/х2 + у2 ^<х> . (3)
д у
У сшввщношеннях (2), (3) Т (х, у) - темпе-ратурне поле; К, к - коефщ1енти тепло- \ тем-пературопровщносп вщповщно.
Оскшьки у режим! високошвидюсного на-гр1вання змшою град1ента в напрямку ковзання можна знехтувати, то гранична задача (2), (3) шляхом введення безрозм1рних змшних
С х у . . Р (х)
С = —, п = — 1 параметра р (С) = —,
2а й р0
р Л ^/Кр0 й , 12ак
р0 = 2а' л=~1—,й Ч~т зводиться
Ф0(т)=
Фп (т) =
[(т -т)/8т,те[т,;т], т^[т0; т1 ];
[(т-тп-1)/ 5т те[тп-1; тп ]
Ф(т) =
Л т^[тп-1; тп ];
(т-т-1)/ 5т т е [т-1; т ],
(т+1- т)) 5тт е [т; т1+1 ], 1 =1,2,..п -1. 5 тФ,ч; т+1 ];
Введет функци фг (т) використаемо для наближення контактного тиску р* (т) у такому поданш:
р* (т) = Ё р*гФг (т) .
(7)
1=0
У поданш (7) р* = р* (тг) . Р1вном1рна похибка апроксимацп виду (7) з використан-ням функцш класу С2 ([0; Ь]) мае порядок
О ((5т)2) [5].
Враховуючи подання (7) вираз (6) для температурного розподшу, як результат фрикцш-ного тепловидшення, матиме вигляд
Т(С, пЬ-АпЕрО (С, п) н(С), (8)
г=0
00 (С, п) = т101(0 )(С, п)- О« (С, п),
п
G ((, n) = n)-Tin) +
+ T+iG^ ((, n) - g£1 ((, n), i = 1,2,..., и -1; Gn ((, n) = ^ ((, n) - Tn-iGi0)(^, n),
-2V (-т.-
- ^Vn
erf
f Л
n
-erf
n
2 V (-т.-1
G?>((,n) = 3((-т.)3/2e 1-
- 3 ((-T-1)
3/2 e 4((-xi-1;
f 2 6
G0)((, n),
H (() - функщя Гевiсайда [7]; erf (•) - функщя
помилок Гаусса.
Для повного виршення питання щодо зна-ходження поля температур, яке розвивасться внаслщок взаемодп елементiв залiзнично! пари, необхщно знати iнтенсивнiсть фрикцiйного теплового потоку (1), яка a priori невщома. Вико-ристаемо з щею метою розв'язок плоско! контактно! для пiвпростору, по поверхш якого рiвномiрно ковзае параболiчний штамп [8]. Тод^ за умови повного проникнення тепла в нерухоме тшо, матимемо залежносп
*, s sin па а , чр
p (т) =-—та(1 -т) , 0<т<1:
пар
Р = 1 -а , 0 <а,р<1,
(9)
1
причому а= — arctg п
1
B =
1 - 2v
A =
f\B - A|
1-Ц
„ =oi(1 + v) ;
= K '
а( - коефiцiент лiнiйного розширення; ц - модуль зсуву; v - коефiцiент Пуассона.
Тодi пiвширину дiлянки контакту можна ви-
значити на основi залежностi a =
PR (1 -v)
2лцаР
Параметр А, який входить у вираз (9) для контактного тиску, характеризуе вплив фрик-цшного на^вання на розподiл контактного тиску. Як частковi випадки для рiзних значень А, / , отримуються розв'язки вiдповiдних задач: якщо А = 0, то це вщповщае плоскiй задачi теори пружностi для пiвпростору, на граничнш поверхнi якого дiють дотичнi напруження, пов'язанi з нормальними згiдно закону Амон-тона; у випадку / = 0 або А = В приходимо до елiптичного розподшу контактного тиску дво-вимiрного аналога класично! задачi Герца [6].
Числовий розрахунок на основi алгоритму, визначеного залежностями (8)-(9), здшснював-ся виходячи з критерда, що кiлькiсть доданюв п у формулi (9) вибираеться з умови досягнен-ня вщносно! похибки обчислень, що не пере-вищуе 1 %.
Числовi дослщження виконано для пари те-ртя «колесо-рейка» за таких параметрiв, наве-дених в роботi [9]: Я = 0,5 м; Р = 10 МРа/м; V = 75 м/с; ц = 80,8 ОРа; v = 0,3; К = 41
Вт/мК; к = 9,1 -10 -6 м2/с; а( = 10-5 К1.
На рис. 1 показано вплив коефщента про-ковзування 5 на розподш поверхнево! темпе-ратури ^вень температури на поверхнi рейки). Розрахунки за формулою (9) при фксованому значенш коефiцiента тертя / = 0,3 дали таю
результати: А = 0,666; а = 5,3 мм; р0 = 0,95 ОРа; а = 0,464; р = 0,536. Встановлено, що максимальна температура Ттах досягаеться всередиш дiлянки контакту в точщ з координатою хтах = 7,69 мм i рiвна 70 °С; 221 °С; 313 °С для 5 = 0,1%; 5 = 1%; 5 = 2% идпо-вщно.
Рис. 1. Розподш максимально! температури вздовж напрямку руху для р1зних значень коефщента про-ковзування
1
n
e
n
n
В табл. 1 мютяться результати чисельного розрахунку температури для трьох рiзних хара-ктерних значень коефiцieнта тертя (I - f = 0,1; II - f = 0,3; III - f = 0,6).
Таблиця 1
Результати чисельного розрахунку температури для s = 1 %
Параметри I II III
f 0,1 0,3 0,6
а 0,488 0,464 0,428
в 0,511 0,536 0,572
a (мм) 5,25 5,27 5,31
d (мм) 0,35 0,35 0,35
*max (мм) 7,77 7,69 7,53
Tmax (°С) 74 221 438
Зокрема, для / = 0,1 (розподш тиску, бли-зький до елштичного) максимальна температура Ттах = 74 °С досягасться на вiдстанi х = = 7,77 мм вщ точки входу колеса в контакт з рейкою; для / = 0,3 (типове значення коефщ> ента тертя) температурний максимум складае Ттах = 221 °С i мае мiсце в точцi х = 7,69 мм; для / = 0,6 (сильне тертя, характерне для важ-ко навантажених умов експлуатацп) маемо Ттах = 438 °С в точщ х = 7,53 мм.
Можна також вiдзначити, що температурне поле, яке виникае в рейщ в ходi проходження рухомого складу, характеризуеться високими градiентами не лише у поздовжньому (в напря-мi руху), але i в поперечному напрям^ Високi температурнi градiенти мають мiсце в тонкiй приповерхневш смузi поблизу зони контакту колеса з рейкою. Вже на глибиш 1 мм температура практично зникае.
Варто звернути увагу, що параметр ё мае фiзичний смисл глибини теплового проникнен-ня, яка е важливою величиною при постановщ нестащонарно! задачi. В розглядуваному випа-дку ё = 0,35 , тобто температура в рейщ е до-статньо значною в межах у = 3ё в околi дшян-ки нагрiвання.
Висновки
З використанням апроксимацiйних власти-востей кусково-лшшних функцiй розроблено методику побудови розв'язку квазютащонарно!
теплово! задачi тертя, яка моделюе роботу три-бопари «рейка-колесо» в експлуатацшних умо-вах. Вивчено вплив коефщенпв тертя i проков-зування на максимальний рiвень температури, що наводиться в рейщ тсля проходження залi-зничного составу. Встановлено, що макси-мальнi температури не перевищують рiвня 350...400 °С, що значно менше за температуру початку мартенситних перетворень, яка для типових матерiалiв, з яких виготовлюються рейки, складае 600 °С.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Ling, F. F. Surface displacement of a convective elastic half-space under arbitrary distributed fast-moving heat source [Text] / F. F. Ling, V. C. Mow // Trans. ASME. J. Basic. Eng. - 1965. - V. 97. -P. 729-734.
2. Ling, F. F. Temperature distribution in semi-infinite solid under a fast-moving arbitrary heat source [Text] / F. F. Ling, C. C. Yang // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1971. - V. 14, No. 1. - P. 199-206.
3. Knothe, K. Direct covariance analysis for the calculation of creep-pages and creep-forces for various bodies on straight track with random irregularities [Text] / K. Knothe, S. Stichel // Vehicle System Dynamics. - 1993. - V. 22. -P. 237-251.
4. Knothe, K. Direct covariance analysis for the calculation of creep-pages and creep-forces for various bodies on straight track with random irregularities [Text] / K. Knothe, S. Liebelt // Wear. - 1995. - V. 189, No. 1-2. - P. 91-99.
5. Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сето-чные методы [Текст] / Г. И. Марчук, В. И. Аго-шков. - М.: Наука, 1981. - 416 с.
6. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия [Текст] / К. Джонсон. - М.: Мир, 1989. -509 с.
7. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1975. - 831 с.
8. Hill, D. A. The state of stress induced by cylindrical sliding contact with frictional heating [Text] / D. A. Hill, D. Noveell, A. Sackfield // Int. J. Mech. Sci. - 1990. - V. 32. - P. 767-778.
9. Расчет, испытание и подбор фрикционных пар [Текст] / А. В. Чичинадзе [и др.]. - М.: Наука, 1979. - 267 с.
Надшшла до редколегп 12.05.2010.
Прийнята до друку 27.05.2010.
