CC BY
17МАШИНОСТРОЕНИЕ И МЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ
Шишкин С.Ф., канд. техн. наук, доц., Гаврилюк Д.Н., асс.
Уральский государственный технический университет - УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
РАСЧЕТ ВЫСОКОНАПОРНОГО ПНЕВМОТРАНСПОРТА
Приведен новый метод расчета высоконапорного пневмотранспорта, который позволяет определять изменение осредненных локальных параметров двухфазного потока по длине трубопровода. В основу методики положены методы расчета газовых потоков с использованием газодинамических функций. Выводится дифференциальное уравнение для высоконапорного пневмотранспорта, учитывающее сжимаемость воздушного потока. Получено выражение для определения коэффициента Гастерштадта и упрощенное решение системы уравнений для стационарного участка.
Ключевые слова: пневмотранспорт, сыпучий материал, двухфазный поток, газодинамические функции, приведенная скорость, относительная скорость фаз.
Высоконапорный нагнетательный пневмотранспорт широко применяется для транспортирования сыпучих материалов в различных отраслях промышленности. Так, на заводах по производству цемента, глинозема, а также минеральных удобрений, практически все производимые сыпучие материалы, перемещаются высоконапорным пневмотранспортом с помощью пневмокамерных насосов. Особенностью высоконапорного пневмотранспорта является значительное изменение по длине трубопровода локальных параметров двухфазного потока. Так, плотность р, скорость w, а также статическое давление р воздушного потока по длине транспортного трубопровода могут меняться более чем в 5 раз. Поэтому, при расчете промышленных систем высоконапорного пневмотранспорта, необходимо учитывать сжимаемость воздушного потока, а также изменение локальных параметров двухфазного потока по длине.
Разработке методов расчета пневмотранс-портных систем посвящен ряд работ [1-4]. Представленные в данных работах классические методы расчета процессов пневмотранспорта справедливы для низконапорных пневмотранс-портных систем, в случае, когда плотность воздушного потока по длине транспортного тракта меняется незначительно. Так, потери давления по длине транспортного трубопровода обычно представляются в виде:
Методы расчета сопротивления транспортного тракта по зависимости (1) не учитывают изменение скорости и плотности воздушного потока по длине тракта. Обычно при использовании зависимости (1), предлагается брать среднюю плотность и скорость воздушного потока, что является грубым приближением и не отражает реальный характер изменения параметров двухфазного потока по длине трубопровода.
В газодинамике, для расчета сжимаемых газовых потоков применяются газодинамические функции т(^), п(^), у(^) и др. [5, 6], которые связывают локальные параметры сплошной среды (р, р, Т) с параметрами заторможенного газа (р , р , Т), через показатель адиабаты к и приведенную скорость X. Под приведенной скоростью понимается отношению локальной скорости воздушного потока w к критической скорости ак, т.е. X=w/ak. Критическая скорость зависит от температуры торможения Т, показателя адиабаты к, газовой постоянной Я и определяется выражением:
ак =
2 к
ЯТ
(2)
ДР = (1 + Кц)С ^р — Б 2
(1)
к + 1
Если известны параметры заторможенного газа (р*, Т, р*) и приведенная скорость в каком либо сечении транспортного тракта, то с помощью газодинамических функций можно определить локальные параметры потока (р, Т, р) в выбранном сечении. Так, например, статическое давление в выбранном сечении найдется через функцию п(Х) по зависимости:
-I:
Р = п(Х)р* =|1 - ^X2
к + 1
к -1
(3)
Таким образом, для того чтобы определить изменение локальных параметров воздушного потока по длине транспортного тракта, достаточно знать зависимость изменения приведенной скорости X по длине трубопровода, а также параметры заторможенного газа.
В газодинамике для описания одномерного движения сжимаемого газа по каналам (трубе) при отсутствии теплообмена с окружающей средой широко применяется уравнение Бернулли в дифференциальной форме:
(м 2 - 1)
к
а.
2 йЕ т +
1
йЕ = 0 (4)
а
Если рассматривать данное уравнение применительно к двухфазному потоку, то работа сил трения йЕт будет иметь две составляющее
йЕт1 и йЕт2 [7]:
йЕт = йЕт, + йЕт2 = с +
т т 1 т2 2 В (5)
3 ^ (1- ])2 р В w2 йх
+ — С у ————-----и
4 у ] рт г 2 В
Первое слагаемое представляет работу сил трения по длине трубы в соответствие с уравнением Дарси - Вейсбаха. Второе слагаемое есть работа сил сопротивления при обтекании твердых частиц, и зависит от относительной скорости ]=и^ (отношение скорости частиц к скорости воздушного потока), коэффициента сопротивления Сх, расходной концентрации ц, радиуса частицы г. Техническая работа йЕ, совершаемая газом идет на разгон частиц, т. е. на увеличение их кинетической энергии:
йЕ = ии
2 йи
(6)
После преобразования уравнения (4) и перехода к безразмерной длине трубопровода г=х/В, а также замены числа Маха через приведенную скорость X получим уравнение одномерного движения сплошной фазы на горизонтальном начальном участке транспортного тракта в условиях высоконапорного пневмотранспорта:
й X dz
к + 1
с
1 + иК
2
1 - X
X2 А
2 }2 и к + 1
(к + 1) ( 1 -X2 2у2и
из
X
(7)
dz
X2 к + 1 Как будет показано ниже, параметр К представляет собой коэффициент Гастерштадта и определяется выражением:
К = 3 Сх_(\-зрВ (8)
4 С 3 р т г
Как показывают расчеты и опытные данные, потери давления на начальном участке транспортного тракта незначительны, а основными потерями давления при высоконапорном пневмотранспорте являются потери по длине на стационарных участках транспортного трубопровода. На стационарном участке частицы движутся без ускорения ]=сот1, поэтому после преобразования уравнение (7) упростится:
dX йх
к
1 X
3
-С--2 (1 + и К )
к + V В 1 - X2 4 '
(9)
Несложно заметить, что при и=0, уравнение (9) переходит в известное дифференциальное уравнение движения сжимаемого газа по трубе при наличии трения [5,6]. Если провести аналогию с классическими методами расчета сопротивления транспортного тракта по уравнению (1), то очевидно, что параметр К представляет собой коэффициент Гастерштадта. В отличие от большинства зависимостей имеющихся в литературе [1, 4], полученный коэффициент Гастерштадта учитывает свойства частиц материала и параметры воздушного потока. Видимо этим объясняется большой разброс экспериментальных данных разных исследователей по значению коэффициента К от 3 до 0.2. При этом в отличие от уравнения (1), уравнение (9) применимо к сжимаемым потокам, т.е. для высоконапорного пневмотранспорта.
Введем обозначения х - приведенная длина определяемая выражением 2к
Х=— (10)
Л к +1
Используем газодинамическую функцию ф(Я) определяемую выражением [5]:
(11)
ф( X) = + 1п X2 X2
Расчет по дифференциальному уравнению (9) показывает, что изменение коэффициента К по длине трубы носит линейный характер. Это обстоятельство позволяет проинтегрировать (9) по длине транспортной трубы от начального сечения 1 до конечного 2.
ф( X!) -ф( X 2) = х(1 + Крр, и) (12)
Среднее значение коэффициента Кср определяется выражением:
К1 + К2
Кср =■
2
(13)
Из газодинамики известно, что массовый расход воздуха О в любом сечении канала мож-
к
*
2
и
+
но определить с помощью газодинамическом функции [5]:
1
д( X) (к +1 ^ £-1 X
У( X) =
п( X )
2
в( X) = шЕ
1 - — X2 к+1
РУ( X )
(14)
(15)
Постоянный коэффициент ш зависит только от газовой постоянной и коэффициента адиабаты и составляет для воздуха ш=0,0404, м_1-с-К0'5. Е -площадь поперечного сечения трубы, м2.
При расчете пневмотранспортной системы обычно известны геометрические параметры длина Ь, диаметр трубы В, а значит приведенная длина х так же известна. Кроме того, статическое давление в конечном сечении 2 равно атмосферному р2=р0, а статическое давление р1 в начале тракта известно. Если записать уравнение (15) для двух сечений 1 и 2, то получим уравнение неразрывности в виде: в(X!) = в(X2) , или Р1 У(X!) = Р0У(X2 ) (16)
Поэтому расчет сводится к решению нелинейной системы уравнений:
Xl) - Ф(X2) = х( 1 + КСр^ + ккср\и) [ Р1 У( X1) = Р0 У( X2 ) (17)
Решая систему (17) мы можем найти приведенные скорости X1, X2 в начале и конце тракта, а затем определим скорости воздушного потока w1=X1■ak, W2=X2•ak , а с помощью газодинамической функций т(Х) определим температуру воздуха:
Т1 = т(X1)Т , и Т2 = т(Ъ2)Т (18)
По зависимости (15) найдется массовый расход воздуха G при заданных условиях.
При выводе данной модели сделаны следующие упрощения и допущения: газ и частицы имеют одинаковую температуру, теплообмена с окру-р, кг/м3 Р, атм К
0
N <
\з
жающей средой не происходит; частицы имеют одинаковый размер, взаимодействием частиц между собой можно пренебречь; объемная концентрация материала небольшая, уменьшением поперечного сечения трубопровода за счет частиц можно пренебречь; течение газа адиабатическое с трением, полное теплосодержание газа не меняется, т.е. температура торможения газа постоянна.
Решать нелинейную систему (17) довольно просто и удобно можно решить с использованием пакета МаШСАБ. Приведем тестовое решение данной задачи при следующих данных. Длина трубопровода Ь=541,85 м, внутренний диаметр трубопровода В=0,145 м, температура заторможенного газа Т*=293 К, плотность частиц р4=2650 кг/м3, радиус частиц г=40-10" м, отношение статических давлений в начале и в конце транспортного трубопровода р/ро=5, расходная концентрация материала ц=25 кг/кг.
Решение системы (17) в среде МаЛСАБ дало следующий результат:
X1,=0,01932 и X2=0,09647, массовый расход воздуха G=0,602 кг/с.
Изменение локальных параметров двухфазного потока по длине транспортного тракта можно найти так же из решения системы (17). В этом случае задаются, массовый расход газа и параметры газа в начальном сечении 1. Приведенная длина %(х) приведенная скорость Цх) соответствуют текущему значению длины х. На рис.1. приведено решение системы (17), показывающее изменение локальных параметров двухфазного потока по длине транспортного тракта. Текущая истинная концентрация материала ци(х) определялась по зависимости: цО цО
Ц и (х) =
и(х)Е jFX(х)ак
(19)
0
100
200 300 400 500 х, м
Ци,
кг/м3
150 100 50 0
\ А
N
Ч
0 100 200 100 400 500 х, м
Рисунок 1 - Изменение плотности воздухар(х)-1, статического давленияР(х)-2, коэффициента Гастерштадта К(х)-3, истинной концентрации материала цИ(х)-4 по длине х на стационарном участке транспортного тракта
4
2
Таким образом, предложенный метод расчета позволяет рассчитать параметры двухфазного потока с учетом сжимаемости газа, т.е. изменением его плотности по длине транспортного тракта и может быть использован для расчета высоконапорных пневмотранспортных систем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вдовенко О. П. Пневматический транспорт на предприятиях химической промышленности / О.П. Вдовенко. М.: Машиностроение, - 1986. - 136 с.
2. Клячко Л.С. Пневмотранспорт сыпучих материалов / Л.С. Клячко, Э.Х. Одельский, Б.М. Хрусталев // Мн.: Наука и техника, - 1983. -216 с.
3. Малевич И.П. Транспортировка и складирование порошкообразных строительных материалов /
И.П. Малевич, В.С. Серяков, А.В. Мишин М.: Стро-издат, - 1984. - 184 с.
4. Разумов И.М. Пневмо - и гидротранспорт в химической промышленности. / И.М. Разумов // М.: Химия, - 1979. - 248 с.
5. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. / Г.Н. Абрамович // М.: Наука, -1991, - 600 с.
6. Дейч М.Е. Техническая газодинамика. / М.Е. Дейч // М., «Энергия», 1974. 592 с.
7. Шишкин С.Ф., Гаврилюк Д.Н. Расчет процесса пневмотранспорта дисперсного материала с помощью газодинамических функций / С.Ф. Шишкин, Д.Н. Гаврилюк // Механика и процессы управления: труды XXXIV Уральского семинара. 2004 г., Екатеринбург / РАН, Урал. отд-ние проблем машиностроения, механики и процессов управления.
Условные обозначения X - приведенная скорость воздушного потока, X=w/ak; w - скорость воздушного потока, м/с; ак - критическая скорость, м/с; z - безразмерная длина, z=x/D; х - текущая координата сечения, м; к - показатель адиабаты;
С- коэффициент трения при движении газа в трубопроводе, д=/(Яе); ¡1 - расходная концентрация материала, кг/кг; 3 - относительная скорость движения фаз, }=иЫ; Су -коэффициент сопротивления частиц, Сх=/(Яес); р-плотность воздушного потока, р=/(Х), кг/м3; Рт-плотность частиц, кг/м3; г - радиус частиц, м;
В - внутренний диаметр трубопровода, м; 5- толщина пограничного слоя, м; Яе,
ЯеС -критерий Рейнольдса рассчитанный соответственно для трубопровода и частиц; П -коэффициент динамической вязкости газа, Па-с; р - статическое давление воздушного потока, Па;
Ыйх - число частиц, находящихся в элементе транспортного трубопровода длиной йх; п - коэффициент восстановления скорости частиц при ударе об стенку трубопровода; К - коэффициент Гастерштадта.
