МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА И ГИДРОДИНАМИКИ ПОТОКОВ РАСТВОРА В ОБРАТНООСМОТИЧЕСКИХ ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ МЕМБРАНАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.083.3

O.A. Абоносимов, В.И. Кочетов, A.C. Горбачев, А.М. Акулиничев

Математическое описание массопереноса и гидродинамики потоков раствора в обратноосмотических полупроницаемых мембранах

Тамбовский государственный технический университет; geometry@mail. nnn. tstu. ru

В статье рассмотрены проблемы при реализации мембранных процессов для их использования в очистке сточных вод химических производств. Разработана математическая модель, основанная на уравнении гидродинамики движения раствора и уравнениях конвективной диффузии в межмембранном канале.

Ключевые слова: баромембранные аппараты, массоперенос, обратноосмотическая мембрана, растворенное вещество.

The article deals with the problems in the implementation of membrane processes for their use in wastewater treatment chemical industry. A mathematical model based on the equation of motion of hydrodynamics and solution of the equation of convective diffusion in the intermembrane channel.

Keywords: baromembrannnye devices; mass transfer, reverse-osmosis membrane, a solute soluble substance.

Введение

Мембранные технологии приобретают большое значение во многих отраслях промышленности, в т. ч. химической, пищевой, фармацевтической, микробиологической. В последнее время эти методы стали применять для обессоливания и очистки воды, создания водооборота на производстве, что особенно важно для обеспечения экологической безопасности окружающей среды.

Преимущество мембранных процессов по сравнению с традиционными методами очистки сточных вод в том, что благодаря им одновременно решаются вопросы водоочистки, создания технологических производств и замкнутого водооборота, выделения ценных компонентов [1, 2].

Наиболее перспективными конструкциями мембранных аппаратов являются аппараты с плоскими и трубчатыми разделительными элементами. Аппараты с плоскими мембранными элементами выпускаются в различных модификациях: корпусные и безкорпусные, с центральными и периферийным выводами, с общим отводом и с раздельным, т. е. отдельно от каждого элемента. Устройство аппаратов с трубчатыми мембранными элементами определяется конструкцией комплектующих их мембранных элементов.

Определяющей проблемой при реализации мембранных процессов является разработка гибких конструкций мембранных аппаратов, в максимальной степени отвечающих задачам и условиям проведения процесса разделения.

Широкое применение мембранных методов сдерживается малоизученностью кинетики массопереноса, его математического описания и отсутствием аппаратов для реализации методов разделения.

С этой целью на экспериментальных баромембранных аппаратах были проведены исследования по определению основных кинетических коэффициентов массопереноса, таких, как коэффициенты задерживания, выделения и водопроницаемости, коэффициенты диффузионной и осмотической проницаемости, коэффициенты продольного перемешиваниях, которые использовались для разработки математической модели [3].

Экспериментальные исследования проводились в зависимости от концентрации растворенных веществ, градиента давления, скорости движения раствора, вида растворенного вещества и мембраны.

Основная часть

Для математического описания массопереноса в баромембранных аппаратах была разработана математическая модель, основанная на уравнении гидродинамики движения раствора и уравнения конвективной диффузии в канале.

Рис. 1. Схема разделения раствора в межмембранном канале баромембранного аппарата: М1, М2 - об-ратноосмотические мембраны; Ь - длина межмембранного канала, м; Ь - расстояние между мембранами, м; С(х, у) - поле концентраций растворенного вещества в растворе, кг/м3; и (х, у), V (х) - продольная и поперечная скорости движения раствора в межмембранном канале

В этой модели были приняты следующие допущения:

1) диффузионное сопротивление со стороны пермеата незначительно;

2) стенки межмембранного канала плоскопараллельны;

3) режим течения жидкости ламинарный Яв < 2300;

4) насос обеспечивает постоянный расход раствора.

Математическая запись модели массопереноса в обратноосмотических аппаратах:

^ + дУ = 0; (1)

дх ду

ТТди ..ди ди. (2)

и— + V-= V—^; (2)

дх ду ду

иС+гС(3)

дх ду ду где V - кинематическая вязкость раствора. Начальные и граничные условия

С(0, у) = СИСх; (4)

и(х; Ь/2) = 0; и(х; 0) = 0; (5)

К1 С(х, Ь /2)У (х, Ь /2) = Б д°(хЬ /2) ; К2 С (х,0) V(х,0) = Б ^^, (6)

1 ду ду

где Б - коэффициент диффузии вещества в растворе; К1(х), К2(х) - коэффициенты

задерживания для обратноосмотических мембран, которые определяют по формуле

К (х ) = 1 --С^> (7)

У ; С (х, Ь /2)

где С(х, Ь /2) - концентрация растворенного вещества у поверхности мембран со стороны канала; для рассматриваемого обратноосмотического аппарата задача симметрична, т. е. К1( х) = К2( х), вследствие того, что мембраны одинаковы.

Выражение для продольной скорости раствора, получаемое из уравнения движения жидкости в межмембранном канале, имеет следующий вид [4]:

и(х,Ь/2)=-2Т(I>/2)2 - у'(8)

Скорость фильтрации, полученная из уравнения проницаемости, имеет следующий вид

(L - х))+

V = КАРн —w / v-л ' (9)

sh(41Я1)

где 1 = _

3mk

DP.

a = -

(Ь/2)3 ДРН

Выражение для перепада давления по длине канала имеет следующий вид:

■Х = Sp^p)(L " x))- ach(xM.

(10)

Используя уравнения (8)-(10) в уравнении конвективной диффузии (3), получаем конечную задачу в следующем виде:

,2 )5С 2

граничные условия:

где

fi(x)((b/2)2 -у2)СС + /2(х)СС = г

C(x,b/2)/2(х) = m dC(x,b/2);

cy

■С (x,0) = 0;

Cy ' Co (0, y ) = Co,

fl(x) = (L - x)]- ach(x^jl| ]

f2(x) = K[ch(^jA|(L - x))+ ach(x^jA|)];

г =

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

(18)

DP.

SAP = Dsh (l^/1 ) cX " KAPH '

Полученная система уравнений (11)-(14) решается методом конечных разностей с нахождением поля концентраций С(х, у). Для решения была составлена программа счета (на языке Delphi), реализованная на персональном компьютере. Зная поле концентраций С(х, у), можно рассчитать локальные эффективные коэффициенты массоотдачи вдоль по длине канала по уравнению

,SC (x, b /2)

■У . (19)

D-

b =

С (х, Ь /2)- С (х)

где С (х) - средняя по сечению концентрация раствора в межмембранном канале

С(х) = 77~ Г С(х, .у)и(у)у,

ьи ■1

где и - средняя скорость потока жидкости в межмембранном канале

U = -b

1 j U (X У )dy .

(20)

(21)

Проверка адекватности разработанной математической модели осуществлялась путем сравнения экспериментальных и расчетных данных. Сравнение производилось по концентрационным зависимостям ретентата от концентрации исходного раствора при различных скоростях потока раствора в межмембранном канале. При этом использовались экспериментальные данные, полученные при разделении модельных растворов сточных вод, содержащих К2Сг207,№С12,СиБ04, на промышленной обратноосмотической установке. Сравнение расчетных и экспериментальных данных не превышает 15 %, что свидетельствует о приемлемой

адекватности разработанной математической модели реальным процессам массопереноса в ба-ромембранных аппаратах.

Выводы

1. Проведены исслед ования по определению основных кинетических коэффициентов массопереноса в зависимости от концентрации растворенных веществ, градиента давления, скорости движения раствора, вида растворенного вещества и мембраны.

2. Формализована математическая модель массопереноса в обратноосмотических аппаратах, с учетом принятых допущений, начальных и граничных условий.

3. Математическая модель проверена на адекватность.

Литература

1. Дытнерский Ю.И. Баромембранные процессы. Теория и расчет. - М.: Химия, 1986. -272 с.

2. Дытнерский Ю. И., Кочаров Р. Г. Некоторые проблемы теории и практики использования баромембранных процессов // ЖВХО им. Д.И. Менделеева. - 1987. - Т. 23, № 6. - С. 669673.

3. Абоносимов О.А., КоробовВ.Б., Лазарев С.И. Обратноосмотическая очистка некоторых видов гальваностоков // Труды ТГТУ: сборник научных статей молодых ученых и студентов. -Тамбов: ТГТУ, 1997. Вып. 1. - С. 8-12.

4. Лойцянский Н.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987. - 840 с.

Поступила в редакцию 29 сентября 2011 г.