CC BY
33
УДК 621.313 Е. Н. Гаврилов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХМАССОВОЙ ВИБРАЦИОННОЙ ТРАНСПОРТИРУЮЩЕЙ МАШИНЫ
Ключевые слова: математическая модель вибрационной системы, метод электромеханических аналогий.
В статье рассматривается задача расчета и нагрузки асинхронных дебалансных вибродвигателей в комплексе «вибротранспортирующая машина - нагрузка - двигатель».
Keywords: а mathematical model of the vibration system, the method of electromechanical analogies.
The article deals with the problem of calculating and asynchronous load unbalance in the complex vibro "vibratory conveying machine - load - the engine".
Область использования вибрационных машин в различных отраслях народного хозяйства достаточно многогранна и имеет тенденцию к дальнейшему расширению. В качестве основных областей применения можно выделить отделочно-зачистную и отделочно-упрочняющую обработку, мойку и сушку, транспортирование, интенсификацию гальванических и химических процессов, усталостные испытания материалов, виброуплотнение,
вибропогружение и др. В ряде случаев процессы вибрационной обработки и транспортирования совмещаются, что увеличивает производительность установки.
В процессы разгона и выбега вибрационных машин возникают резонансные колебания, амплитуда которых может во много раз превосходить номинальную амплитуду колебаний рабочего органа. Необходимое предварительное определение амплитуд резонансных колебаний при проектировании вибромашин связано со значительными трудностями, связанными с необходимостью учета всех связей между вибрационной машиной, возбудителем колебаний и обрабатываемым объектом.
В рабочем режиме в асинхронных двигателях вибрационных транспортирующих машин (ВТМ) возникают механические, вязкостные, гистерезисные и другие виды потерь связанных с преодолением системой постоянных, вязкостных и других сопротивлений, возникающих при колебании платформы относительно возбуждаемой среды. В настоящее время задача получения аналитических выражений описывающих изменения момента нагрузки на валу асинхронного дебалансного вибродвигателя (АДВД) и вибрационного момента ВТМ является актуальной.
Изучение влияния различных параметров на процессы пуска, торможения и установившегося режима вибрационных машин в современных условиях целесообразно проводить с помощью математических моделей.
В представленной статье приводится математическое описание вибрационной
транспортирующей системы с дебалансными вибровозбудителями позволяющее моделировать работу рассматриваемых систем, как в динамических, так и в установившихся режимах работы.
Рассмотрим нагрузку вибродвигателя на примере двухмассовой динамической вибрационной
системы, представленной на рис. 1.
Уравнения движения для представленной двухмассовой динамической вибрационной системы имеют вид:
|(т, +т1)х1 +Ьх1х1 + кх1х1 +кх2(х1 -х2) = т)К®2с05(х+р)81п(й1)(1)
[(т, +т,)У1 +Ьу1У1 + ку,У1 +ку2(У1 - У2) = т^а^Ф+р^п®*)+Ы;
т2*2 " kx2(X1 " Х2) = 0;
т2 У 2 - ky2 (У1 - У2) = 0;
,dro .. ЛЛ 1 „ ■ / « ч
J— = Мэм -Мвибр —zmoRg sin(rat) -Ммех; dt 2
(2) (3)
Рис. 1 - Двухмассовая вибрационная система
Уравнение (1) описывает движение платформы 1, уравнение (2) - движение платформы 2, а уравнение (3) - равновесие моментов на валу АДВД.
В представленных уравнениях имеется: а - угол наклона платформ к горизонту; в - угол направления вынуждающей силы; Ж] - масса платформы 1 с установленными на нем АДВД; т2 - масса платформы 2; Ж] (а) - масса объекта, колеблющаяся в фазе с платформой; т0 - масса дебаланса; Я -эксцентриситет дебаланса; g - ускорение свободного падения; у} и х} - смещение платформы 1 по осям У и Х (вибросмещение); у2 и х2 - смещение платформы 2 по осям У и Х (вибросмещение); у 1 = и х 1 = -
скорость платформы 1 по осям У и Х; у = ^2 и
dt
dx2 _ "dt"
скорость платформы 2 по осям Y и
2
Х; у = ^2у1 и х = d2x1 - ускорение платформы 1 по осям
У1 dt 1 dt
У и Х; у = d2У2 и х = d2x2 - ускорение платформы 2 по У2 dt 2 dt осям У и Х; Ьу1(т) и Ьх1(т) - коэффициенты сопротивления системы по осям У и Х вызванные упругими элементами; ку1(т) и кх1(а>) - жесткости упругих связей по осям У и Х; 3 - приведенный момент инерции АДВД; МЭМ - электромагнитный момент на валу АДВД; ММЕХ - момент сопротивления на валу АДВД, обусловленный механическими потерями; МВИБР - вибрационный момент на валу АДВД; т - частота вращения вала АДВД; т0Рю2соз(а + р)з1пИ) - проекция центробежной силы дебалансов на ось Х; т0Рю2з1п(а + р)з1пМ) - проекция центробежной силы дебалансов на ось У; т0Рдз1п(ю!) -моменты сопротивления на валу АДВД, вызванный весом дебаланса.
При изучении статических режимов работы вибровозбудителя предполагаем, что частота вращения вала ю неизменна и поэтому возможно аналитически решить уравнение (1-3), то есть получить выражения, описывающее статические вынужденные колебания платформы. Так целесообразно применить метод
электромеханических аналогий, являющийся наиболее наглядным для рассмотрения подобных систем.
На основании метода электромеханических аналогий первого рода найдена электрическая схема являющаяся аналогом механической системы (рис.2).
1 2 3
Рис. 2 - Электрическая схема замещения
Частью 1 показан источник энергии с внутренним сопротивлением, частью 2 показаны параметры платформы 1, а частью 3 - параметры платформы 2. Для проекции на ось Х можно построить аналогичную схему.
Полученную электрическую схему можно решить, используя законы и правила электротехники.
По электрической схеме замещения выражаем полное комплексное сопротивление механической системы:
, кх1 .юкх2т2
4 = Ьх1 + №т1 + + —х22 22 ;
.1® кх2 - г<»2т2
, К , ку1 ]юку2т2
Ку = Ьу1 + .ют1 + .ют'., + + —-—;
]ю к у2 - г<а2т2
(4)
Кх = Ьх1 + (ют1 +ют1 +
юкх2т2 кх^2.
--х1)2;
кх2 -ю2т2 ю
|7 , И , , , ®ку2т2 ку
КУ| % Ьу1 +(ют1 + ют1+--—2---—)2
к у2 - ю 2т2 ю
Фх = аг^д
Фу = аг^д
ют1 +ют1 + юкх2т2/(кх2 -ю2т2) - кх1/ю;
Ьх1
ют1 +ют1 + юку2т2/(ку2 -ю2т2)-ку1/о
(6)
Ь
у1
После некоторых преобразований имеем следующие выражения:
Кх
4Их12®2 +[®х12-ю2(1 + ю2х2 2тт2т, )]2;(7)
юх22 -ю2т1+т1 (7)
Ку| = """
т1+т1 4и 2ю2+[ю 2 ю2(1+ ®У2 т2 )]2
4Иу12ю2 + [юу12 - ю2 (1 +
)]2;
2/Л юх2 ю2(1 + х2
Фх = агс!д-
юх22 -ю2 т1 + т,
иу2 ~ю 1 1
т2 - ю 2
г) -юх1
ю2(1 + -
2Их1ю
юу2 т2 , ю ""2-. > -юУ1
(8)
ФУ = агйд-
юу2~ -ю т1 + т1
и = ЬХ1 ;
Мх1 =-;-;
2(т1 + т1)
. Ьу1 ;
иу1 = ^—;-Т;
2(т1 + т1)
(затухания);
2иу1 ю
коэффициенты демпфирования
к
х1
собственная частота колебаний
ку1
т1 + т1
платформы 1 ВТМ;
юх2 =
юу2 =
л/кх2/т2;
а/М
- частота собственных колебаний
т2;
платформы 2 ВТМ.
Решая схему замещения, имеем выражения, описывающие колебания виброскорости:
тоРш3сов(а+р) е)(ю!-фх);
(т1 + т,^|4Их12ю2 + [юх12 - ю2(1 + ю2х2 2 т2 , )]2
(9)
у = -
т0Рю3 Б1П(а + р) (т1 + т,^|4Иу12ю2 + [Шу12 -ю2(1+ ю2у2 2 т2 , )]2
_ е .(ю*-фу)
то^3 соБ(а + р)
(10)
= Б|п(ю! - Фх);
т0Кю Б|п(а+р)
= Б|п(ю - фу).
юу22-ю2т1 + т,
Выражения для мгновенных значений вибросмещения по осям х и у получаются путем интегрирования выражения (10):
т + т
ю
22
2
ю„.| =
т1 + т1
ю.и =
(гщ + пЫ«^2»2 + К12 -ю2(1+ 2 т2 , )]2
т, + т
Мх2 - ю "'1
т0Я® соэ(а + р)
. (11)
(т1 + т[) 14йх1 а)2 +
= со8(ю - (рх);
2 т ю т2
®х1 (! +-Г^-'—)
ах2 - ю т1 + т;
У =
т0Я®2 8т(а + р)
(т1 + т[) (4ку1 а1 +
=со8(® - Фу);
2 2„ ®у2 т2
®У1 (! +-Г-г-—)
Х<у2 _ Ш "«1
Принимая во внимание тригонометрическое тождество:
2
соб^ - агСд-sin(юt - агСд-
__т2 ) ю
2-2-) - ах1
юх22 - ю2 т1 + т1
2/Л юх2
ю2(1 + х2
2
2Их1® 2Их1®
-) =
Для дальнейших расчетов в (17) подставляем переменную (р вместо (рх и учитывая
соотношение:
-Фх = V2; |Ф2 -Фу = V2;
^Рх = Ртахх -(1);
I Ру = Ртах
Используя тригонометрическое
преобразование, получаем выражение для мгновенной
(18) (19)
мощности:
т2 ) ю
2 2 -- --. ) -Юх1
ю2(1 + -
юх2 - ю т1 + т1 2
(12)
ю2(1 + -
"у2 т2 ) ю 2-2 „ . „. ) -®У1
- агСд-sin(юt - агСд-
оУ2 - ю т1 + т1
Р
Рх =-^Ч5т(ф1) + sin(2юt-Ф1)]; Р
Ру ^-^2L[sin(ф2} + sin(2юt-Ф2)].
(20)
2Ь|у1<я 2Иу1®
=
ю2(1 +
у2
- юу
и обозначив:
Ф1 = агСд-
(
Ф2 = агСд-
2 2 ' ^У1
®у2 - ю т1 + т1
2Их1®
2/л шх2
®2(1+—2х2- 2
юх2 -ю т1 + т1 2Иу1®
-) -®х
(13)
ю2(1 +
у2
2 2 ' ~У1
юу22 -ю2 т1 + т1
получим выражения, описывающее колебания платформы с нагрузкой, в виде:
= т0Рш2 cos(a +р)
^т^-Ф1);
(т1 + тЧ,|4ИХ12ю2 + [юХ12 - ю2(1+ ю2х2 2 т .)]2
(14)
юХ2 - ю т1 + т1
У1 =-
т0Рю2 sin(a + р)
- sin(юt-Ф2);
(т1 + т1\|4Иу12ю2 + [юу12 - ю2(1+ ю2у2 2 т2 )]2 юу2 -ю2 т1 + т1
Мгновенная мощность Р, отдаваемая источником энергии, представляет собой синусоидальную функцию, изменяющуюся с двойной частотой вынужденных колебаний системы, около
Р
среднего значения р = та*х 8^п(ф1) и р
р = тлху 8^п(ф ) . Поскольку 8ш(ф) < 1, амплитуда
колебаний мощности Ртахх и Ртаху превышает ее
2 2
постоянную составляющую. Мгновенная мощность является знакопеременной функцией, то есть дважды за период колебаний системы энергия изменяет свое направление.
Установлено, что при периодических колебаниях не требуется, чтобы в вынуждающем механизме выделялась мощность на преодоление сил упругости и инерции. Значит, мощность источника используется исключительно для преодоления диссипативных сил. Тогда для выбора мощности АДВД вибрационных транспортирующих машин необходимо ориентироваться только на активную
Параметр Ф представляет значение угла, на мощность Р .
который возмущающая сила по фазе опережает вибросмещение.
Мгновенное значение мощности,
передаваемой источником колебаний можно можно представить следующим образом:
т.2Р2ю5 cos2(a + Р)
определить по выражению:
Р = д/ Рх2 + Ру2 = -\ (Рхх )2 + (РуУ )2
тогда имеем:
{Рх = Ртахх Sin(юt)С0S(юt -Фх);
1Ру = Ртах
у sin(юt)cos(юt-Фу);
(15)
(16)
Средняя мощность, передаваемая источником энергии, называется активной мощностью Р и ее
^Ы; (21)
эП^).
2(т1 + т; \|4Их12ю2 + К12 - ю2(1 + ю2х2 2 т2 )]2 юх22 - ю2 т1 + т1
2(т1 + т;) |4ИУ12ю2 + [юУ12 - ю2(1 + ю2у2 2 т2 )]2 юу22 - ю2 т1 + т1
Р и Р
где и
м тах х тах у
амплитудное значение мгновенной мощности, определяемое выражениями:
Р =_
а реактивная мощность Рредкт определяется как
т02Р2ю5 cos2(a + р) . .
0 „ С0S(P1)
m02R2ю5cos2(a + р}
(т1 + т;\|4Их12ш2 + [Шх12 -ш2(1+ ю2х2 _-,
юх22 -ю2 т1 + т1
т02К2ю5 sin2(a + р}
юх2 т2
(17)
т + т1)|'
2ю2 + [ю 2 _ ю2(1 + юх2 т2 )]2 юх22 - ю2 т1 + т1
2(т1 + т1) 14Их1 ю2 + [юх1 - ю2(1 +
(22)
=■С0S(р2).
.2ю2 + [ю .2 - ю2(1 + юУ2__т^)]2
2(т1 + т1) |4Иу1 ю2 + [юу1 - ю2(1 +
юу2 - ю2 т1 + т1
Тогда значение полной мощности источника энергии £:
с = /( /Р2 + Р2 )2 + ( /Р2 + Р2 )2 = Р (23)
V V актх реактх / акту греакту / гтах * у '
(т1 + т;)
2„2 .г,, 2 , ШУ2 т2 м2
4Иу1 ю2 + [юу1 -ю2(1 +
2 2 ' юу22 -ю2 т1 + т1
х
2
2
2
т„Р2ю5 sin2(a + р)
Р.
Р
тах у
При проектировании вибрационных транспортирующих машин необходимостью является определение вибрационного момента сопротивления, приложенного к валу АДВД. В случае системы с двумя степенями свободы вибрационный момент ¡-го АДВД имеет две составляющие:
1. мВИБР|У = рх1- У - составляющая, обусловленная смещением системы по оси У и проекции центробежной силы ¡-го АДВД на ось X, где Ех.
определяется по выражению: 2
Fxi = m0iR— cos(a + P)s i n(oj t). (24)
2.
МВИБР« = Fyi ■ X - составляющая, обусловленная
смещением системы по оси X и проекции центробежной силы ¡-го АДВД на ось У, где
определяется по выражению:
2
Ру1 = то| Р| ю| б I п(а + р)Б 1п(ю| (25)
Полное выражение вибрационного момента, приложенного к валу /-го АДВД, определится выражением:
Мвибр1 = Рх| • У + Ру| • х . (26)
Представленная система имеет две степени свободы, поэтому вибрационный момент, приложенный к валу АДВД, имеет две составляющие по осям X и У:
МВИБР= т^0Рю2((соэа+Р)Б | п(о!)у +э| па+Р)Б | пюОД .(27)
С учетом тригонометрических выражений получаем выражение для вибрационного момента, приложенного к валу АДВД:
[МвИБРх = МвиБР max x [cos^ ) - COS(2ot - ф2>]| 1^МвиБРу = МвиБРmaxy^OS^) -COS(2rot — фт)];
(28)
где М ВИБР тах - амплитудное значение вибрационного момента:
МВИБРтахх =
; (29)
2(тт + mi) Uhy.]2-2 + [-у]2 - -2(i +
2 2 шу22 — ш2 + mi
Из (29) можно определить две составляющие вибрационного момента АДВД:
Мвибр = мпост + Мпер , (30)
mo R2-4 cos(a + p)sin(a + p)
-cos^);
(31)
4(im + mil 4hxi2-2 + [шx12 -ш2(1+-
m0 R2-4 cos(a+p)sin(a + p)
mi + mi)^4l
= cos(2—t - фз);
шX2 - ш + mi
m)2R2ш4 sin(a+ p) cosa+ P)
4(m+ mi),
= cosM;
4Ьу,2ш2 +[ffiyi2--2(i+—^ 2
(32)
шу2 -— m+m
"ПЕРу -
mo2R2-4 sin(a+P) cos(a+ P)
4(m+m, )
icosg—t-ф,);
4hyi2—2 + [—yi2 --2(i+—^ 2
-— m+m
МВИБР = д/МВиБРх + МВиБРу
(33)
Анализируя представленные выражения, можно утверждать, что вибрационный момент имеет постоянную и переменную составляющие. Переменная составляющая представляет
косинусоидальную функцию, совершающую колебания с двойной частотой источника. Вибрационный момент АДВД четыре раза за период меняет направление, являясь либо тормозящим, либо движущим. При этом главной нагрузкой для АДВД является постоянная составляющая вибрационного момента.
Вывод: исследование динамических режимов вибрационной транспортирующей машины необходимо проводить с использованием дифференциальных уравнений. Уравнения, полученные с помощью метода электромеханических аналогий целесообразно применять для расчета мощности и характера нагрузки на АДВД в статических режимах работы машины.
Литература
1. Быховский И.И. Основы теории вибрационной техники / И.И. Быховский. - М.: Машиностроение, 1968. - 362 с.
2. Сорокин А.Г., Горбачевский Н.И., Мифтахова Л.Х. Методы моделирования электромагнитных и тепловых полей системы индукционного нагрева для технологических комплексов производства пластмассы.
- Вестник Казан. технол. ун-та, 2014, т.17, №.1 - С.111-114.
3. Козловский В.Н., Горбачевский Н.И., Сорокин А.Г., Кислинский В. Б., Мифтахова Л. Х. Аналитический комплекс прогнозирования надежности электромобилей и автомобилей с комбинированной силовой установкой.
- Вестник Казан. технол. ун-та, 2014, т.17, №.3 - С.227-230.
© Е. Н. Гаврилов - доцент кафедры ЭТЭОП НХТИ КНИТУ, aep-nk@mail.ru.
© E. N. Gavrilov - associate professor, Departament of Electrical Engineering, NCHTI KNRTU, aep-nk@mail.ru.
М
-x,2 - — mi + m
М
ЛЬ 412
x2
М
2(mi + mi) |4hxi2-2 + [-xi2 --2(i +-^
mo R2-4 sin(a + p)cos(a + p)
М
ВИБРmаxy
(0
m
22
