CC BY
99
УДК-616.314-089.23 Д.Ф. Остроголов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА АРМИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МОДЕЛИ
ПОЛНОГО СЪЁМНОГО ПРОТЕЗА
Высшее государственное учебное заведение Украины «Украинская медицинская стоматологическая академия»
Актуальность: по данным А.Н. Ряховского, Н.А. Грязевой [13], количество поломок съёмных зубных протезов остаётся высоким и достигает 15% в первый год пользования. Оптимальные сроки службы протезов (4-6 лет) выдерживают только 18-28% из них [2,9,10,11,12,13,15,16], по данным В.Н. Копейкина - 10-40% [6].
Переломы протезов требуют повторного их изготовления и, следовательно, затраты материалов, рабочего времени и сокращения охвата ортопедической помощью населения на 10 - 12% [3,4,7,8].
Цель: повышение качества съёмных протезов путём увеличения их прочностных характеристик.
Задача: математическое обоснование технологии армирования базисов съёмных протезов и определение напряжений в пространственной конструкции протеза.
Методика исследования: в качестве метода расчётов использован метод «арок—центральной консоли». В нём учитывается то, что базис протеза представляет не чистый купол, а срезанный с одной стороны, имеющий, кроме того, более сложную геометрическую форму.
Результаты. Полный съёмный протез верхней челюсти в основе своей
конструкции имеет купол. Купол - это тело, полученное вращением арки вокруг своей оси. Соответственно, на купол действуют силы, подобные тем, которые действуют на арку. Арка стремится распрямиться и перейти в прямую, в результате чего происходит её разрушение.
Решить эту задачу можно, увеличив толщину купола или усилив края купола, как делали это в архитектуре с давних времён. Наглядный пример этому - Пантеон всех богов в Риме (ок.118-125 гг. н.э.), где купол усилили бетонными кольцами по периметру, или собор Петра и Павла в Риме, купол которого усилили железной цепью, обмотанной по периметру купола.
Природа так же решила эту задачу на верхней челюсти, где более массивный зубной отросток (processus alveolaris) поддерживает тонкий нёбный отросток (processus palatinus).
Для повышения прочности полного съёмного протеза выпускается металлическая сетка фирмы "Renfert" (Germany), которая размещается на нёбной части протеза, т. е. усиливает свод купола. Мы предлагаем дугообразную арматуру, которая располагается в центре альвеолярной части базиса, т. е. усиливая и укрепляя периметр купола, не утолщая сам купол и препятствуя образованию трещин в нем (рис. 1).
Рис. 1. Расположение арматуры в базисе протеза
Чтобы подтвердить это, мы провели расчёты в соответствии с
математической пространственной моделью полного съёмного протеза. При этом было рассмотрено три варианта протеза: с базисом, армированным металлической сеткой, и с базисом, армированным дугообразной арматурой, а также с неармированным базисом. Расчёт всех трёх вариантов протеза проводился методом «арок—центральной консоли». Именно этот метод позволяет учесть пространственный характер деформаций и напряжённого состояния протеза в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Известно, что подавляющее большинство переломов полных съёмных протезов на верхнюю челюсть приходится на центральные переломы, идущие по сагиттальной линии протеза между фронтальными искусственными зубами до заднего края базиса [14]. Именно такой характер разрушений свидетельствует о работе протеза как пространственной конструкции и о недостаточной прочности традиционной пластмассы протеза. Весь протез рассматривается как совокупность центральной упругой консоли, совпадающей по направлению с сагиттальной осью, и ряда арок, служащих упругим винклеровским основанием для консоли.
На рис. 2 показана схема нагружения протеза и его центральной консоли.
Рис. 2. Расчётная схема центральной консоли (при решении уравнений методом «арок — центральной консоли») В ходе расчёта устанавливается распределение между нагрузкой,
воспринимаемом упругим арочным основанием, и основным консольным элементом протеза. После установления такого распределения арочные и консольный элементы могут рассчитываться независимо.
При этом определяются напряжения отдельно в арках и в консоли, и оценивается возможность появления трещин того или иного направления или полного разрушения протеза.
При проведении расчётов задавались все необходимые параметры протеза и характеристики материала.
Для проведения расчётов строится расчётная сетка. При этом базис
I = п
разбивается вдоль консоли п сечениями, так что н = ^ к, где И - шаг
I=о
сетки - расстояние между сечениями. Н - высота консоли. В расчётах используется сетка с равноотстоящими узлами.
Предполагается, что узловые точки консоли и арок деформируются совместно, и арки в своей совокупности представляют упругое основание для консоли.
В основу расчётного метода положено дифференциальное уравнение изгиба консоли протеза, опирающегося на гипотетическое упругое основание, состоящее из арок:
а2
ё ■ х 2
Е/ (х )
ё 2д(х) а ■ х2
+ Кр (х )м(х )= ф(х ) (1),
где Е1(х)-жёсткость сечений центральной консоли; ш(х)-прогиб в ключевом сечении базиса; Е- модуль упругости материала; /-момент инерции сечения консоли;
кр(х)=1/¥р(х)- коэффициент постели арочного основания на нормальные нагрузки (здесь Ер(х)-радиальный прогиб в ключе арки на расстоянии, х от её начала под действием радиальной равномерно распределённой нагрузки единичной интенсивности);
Ф(х)-внешняя радиальная нагрузка.
Вычисления по предлагаемой модели проводится согласно алгоритму, предложенному М. М. Гришиным [1].
Исходное уравнение заменяется его конечно-разностным аналогом:
А2 [ ът а2®г
А-х,2 I 1 А■ х2
Е11 т-т I + Чр( = Ъ (2).
При решении уравнения (2) задаются следующие краевые условия. На верхнем крае — на верхнем крае базиса — для консоли должны выполняться условия:
М = Е1 = 0
d ■ х
0 = d■ М = d Е1 d 2( = о
d х d х d х 2
(3),
где М - изгибающие моменты, а 0 - поперечные силы в сечении консоли.
В верхней зоне базиса толщина консоли изменяется мало и первой производной от I можно пренебречь. Тогда условиям (3) в конечных разностях соответствуют следующие уравнения:
-АЧ] = 0; (1 - 2(0 + (-1 = 0;
А-х )0
^^ 1 = 0; (2 - 2(1 + (- 1 -(_2 = 0
У
(4).
-А-х )0
Из этих уравнений находятся значения законтурных перемещений и ео-2
(0_1 = 2( _ (\;
(- 2 = 4(0 + 4(1 + ( (5).
Эти соотношения позволяют исключить т.1 и ю.2 из системы алгебраических конечно-разностных уравнений.
Граничные условия на защемлённом конце консоли в случае ее жёсткой заделки имеют в разностной форме такой вид:
(п = 0; 1
(п-1 -(п +1 = 0 (6).
В случае упругой заделки консоли в её основании используются следующие формулы:
а(И) = п-Моп +х 0оП;
№)и = Моп + п- 0 о/ (7),
где Моп и 0оп — момент и поперечная сила в опорном сечении консоли. Уравнение (2) записываем для всех внутренних узлов расчётной сетки. Таким образом, составляется система линейных алгебраических уравнений, которая приводится к каноническому виду и составляется её матрица, которая имеет пятидиагональную структуру (табл. 1).
Таблица 1
Общий вид матрицы системы
и о Юо Ю1 Ю2 Юз Ю4 Ю5 Ю6 Ю7 Свободные члены
0 1о+11+ + Ко У Е -(21о+ +211) 11+1о Яок4 Е
1 -211 411+ +12+ + ^ ^ Е -(211+ +212) 12 яУ Е
2 11 -(211+ +212) 11+412+ +1з+ + 4,2У 4 Е -(212+ +21з) 1з яУ Е
3 12 (212+21 з) 12+413+ +14+ +13 ь4 Е -(21з+ +214) 14 я3ь4 Е
4 1з -(21з+ +214) 1з+414+ +15+ +^ к4 Е -(214+ +215) 15 я4и4 Е
5 14 -(214+ +215) 14+415+ +1б+ + Ъ к4 Е -(215+ +21б) 16 я5к4 Е
6 15 -(215+ +21б) 15+416+ +17+ +^ к4 Е -(21б+ +217) ЯУ 4 Е
7 1б -(216+ +217) 16+417 + +218+ + ^ к 4 Е Я7к 4 Е
Напряжения в расчётных сечениях арок определяются с использованием основных зависимостей сопротивления материалов.
Могут быть учтены также особенности работы протеза при наличии армирующих элементов различных типов и параметров.
Учёт наличия дугообразной арматуры целесообразно проводить в рамках принятой нами математической модели путем искусственного продолжения консольного и арочных элементов протеза в глубину пластмассового массива. При таком их удлинении учитываются податливость реальных границ этих элементов и ненулевая жёсткость пластмассового массива вместе с дуговой арматурой.
При сравнении вариантов протеза с дугообразной арматурой и без неё жёсткость пластмассового масива опирания принимается различной. В первом случае она принимается средневзвешенной между жёсткостью арматуры и некоторого работающего слоя пластмассы, во втором случае -только жёскостью пластмассы. Жёсткость консольных и арочных
элементов принимается равной жёскости пластмассы при отсутствии армируюшей сетки по центру протеза и средневзвешенному значению в противоположном случае. Таким образом, предлагаемый метод позволяет вести расчёт зубного протеза как пространственной конструкции с учётом обоих типов армируюших элементов, проводить сравнение их эффективности и обосновать предельные нагрузки, соответствуюшие физическому эксперименту.
При наличии сеточной арматуры несколько возрастает жёсткость нёбной части протеза, а также её прочность. При её расчёте также необходимо выполнять учёт податливости основания.
При использовании в качестве арматуры металлической сетки относительная доля внешней нагрузки, воспринимаемой арками, несколько уменьшается, а прочность консольного и арочных элементов возрастает по сравнению с неармированным базисом.
При использовании дугообразной арматуры вследствие увеличения жёсткости основания уменьшаются напряжения как в арочных, так и в консольном элементах в зоне опирания, при этом несколько уменьшается доля арочной компоненты нагрузки и уменьшается опасность появления центрального перелома. Преимущество этого типа арматуры подтверждается не только более низкими контактными напряжениями, а и характером разрушения, фиксируемым на практике.
На рис. 3 приведены графические зависимости, позволяющие оценить распределение внешней нагрузки между арками и консолью для трёх рассмотренных вариантов. Из этих графиков видно, что наибольшая доля арочного компонента приходится на протез без арматуры, а среднее положение характерно для протеза, армированного металлической сеткой. Анализ напряжений арочных и консольного элементов, выполненных на основании расчёта, показал, что наиболее рациональным является вариант, армированный дугообразной арматурой.
а)
б)
-в
Рис. 3. а) - пример распределения нагрузки на арки и центральную консоль для неармированного базиса; б) - пример распределения нагрузки на арки и центральную консоль для базиса, армированного металлической сеткой; в) - пример распределения нагрузки на арки и центральную консоль для базиса, армированного дугообразной арматурой
Выводы
1. Разработанный и апробированный метод расчёта напряжённых состояний протеза позволяет оценить распределение нагрузок между пространственными элементами протеза (консоль и арки), а также их величину в расчётных сечениях этих элементов.
2. Из анализа распределения нагрузок внутри протеза следует, что наибольшая доля арочной нагрузки характерна для неармированного базиса. Максимальные значения внутренних напряжений существенно
снижаются при использовании обоих вариантов армирования протеза. Особенно существенно - у варианта с дугообразной арматурой. Этот вариант следует считать наиболее рациональным с точки зрения его напряжённого состояния.
Литература
1. Гришин М.М. Бетонные плотины (на скальных основаниях) / Гришин М.М., Розанов Н.П., Белый Л.Д. - М.: Стройиздат, 1975. - 352 с.
2. Дойников А.И. Повышение прочности полного съёмного протеза на верхнюю челюсть и увеличение срока его службы: [метод. реком.] / Дойников А.И., Жарков А.И. - М., 1983. - C.1 - 9.
3. Жарков А.И. Исследование напряженно - деформированного состояния полного съёмного протеза на верхнюю челюсть и пути увеличения его прочности: автореф. дис. на соискание науч. степени канд. мед. наук: спец. 140021 / Жарков А.И. - М.,1983. -14 с.
4. Жулёв Е.Н. Частичные съёмные протезы / Жулёв Е.Н. -Нижний Новгород, 2000. - 428 с.
5. Инсарова Н. И. Основные понятия теории упругости и сопротивления материалов в стоматологии / Инсарова Н. И., Иванов А. А., Гольцев М. В. - Минск: БГМУ, 2005. - 43 с.
6. Копейкин В.Н. Руководство по ортопедической стоматологии/ Копейкин В.Н. - М.: Медицина,1998. - 496 с.
7. Лабунец В. А. Продолжительность, характер затрат врачебного труда на ряд ненормированных видов ортопедической помощи и методика расчёта её величины / Лабунец В.А. // Украшський стоматолопчний альманах. - 2006 .- №1,т. 1. - С.49 - 52.
8. Лабунец В. А. Продолжительность элементов врачебной работы на клинических этапах оказания основных видов
ортопедической помощи / Лабунец В.А., Диева Т.В. // Вюник стоматологи,- 2003. - №3. - С.39-45.
9. Лебеденко И.Ю. Руководство по ортопедической стоматологии. Протезирование при полном отсутствии зубов/ Лебеденко И.Ю., Каливраджиян Э.С., Ибрагимова Г.И. - М., 2005. -400 с.
10. Неспрядько В.П. Лабораторное исследование пористости базисных пластмасс и её влияние на прочность базиса / Неспрядько В.П., Крайний А.В., Егоров Б.А. // Современная стоматология.-2000. - №3. - С.65-67.
11. Неспрядько В.П. Вивчення мщшсних характеристик базисних пластмас / Неспрядько В.П., Волинец В.М., Крайнш А.В. //Актуальш проблеми ортопедично! стоматологи та ортодонтп : Всеукрашська наук. - практ.конф. 17-18 трав. 2000 р.: матерiали доп.- Полтава,2000. - С. 77 - 78.
12. Армирование съёмных пластиночных протезов литыми металлическими сетками / Постолаки И.И., Сушицкий О.Л., Богян К.В. [и др.]. - Кишинев: Здравоохранение, 1985. - №4. - С.17-19.
13. Ряховский А.Н. Метод укрепления базисов съёмных пластиночных протезов сеткой из армидных нитей и клиническая оценка его эффективности / Ряховский А.Н., Грязева Н.А. // Институт стоматологии.- 2002. - №2. - С.28-29.
14. Сохорев В.В. Частота переломов базисов и их локализация в съемных пластиночных протезах / Сохорев В.В. // Здравоохранение Белоруссии.- 2000. - №6. - С.56-58.
15. Сутугина Т.Ф. Применение каучуксодержащих акриловых модификаторов для повышения прочности базисного материала / Сутугина Т.Ф., Воскресенская И.Б., Сыдыгалиев К. // Стоматология.-1982. - №5. - С.58-60.
16. Федоров Ю.А. Армирование протезов из пластмассы АКР-7 // Федоров Ю.А., Штеренталь Е.С. // Проблемы ортопедической стоматологии. - 1966.- Вып.1. - С. 67-71.
Стаття надшшла 9.04. 2009 р.
Резюме
У статт наведен данi математичних розрахункiв напружень у пластмасових базисах повних зшмних протезiв, армованих сiтчастою або дугоподiбною арматурою, i неармованих конструкцiй.
У ролi розрахунково! схеми використана методика „арка-центральна консоль" для виробiв складно! геометрично!' форми. Вона дозволяе вщтворити зусилля, як1 виникають у просторовш моделi щелепи.
За результатами математичного аналiзу встановлено, що найбiльше аркове напруження наявне саме в неармованому базиш. Суттеве зниження зусиль спостер^аеться в протезах, що армоваш дугоподiбною арматурою.
Ключовi слова: повний зшмний протез, армування, математичне моделювання.
Summary
The results of mathematical calculations of the tensions in plastic bases of total removable dentures reinforced with cellular or arch armature and unreinforced constructions are represented in the given article. The method "arch-central console" for the items of compound geometric shape was used as the basic analytical diagram. It allows rendering the efforts, arising in 3D jaw model. As a result of mathematical analysis the highest arch tension has been fixed at the unreinforced basis. Essential effort reduction has been revealed at the dentures reinforced with arch armature.
Key words: total removable denture, reinforcement, mathematical modeling.
