Математическое моделирование жизненных циклов сложных социально-экономических и бизнес-систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

правление в социально-экономических системах

УДК 519.21;681.518

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЖИЗНЕННЫХ ЦИКЛОВ СЛОЖНЫХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И БИЗНЕС-СИСТЕМ

МБ. Белов

В целях организации управления бизнесом предложен метод моделирования экономических характеристик больших иерархий взаимодействующих бизнес-агентов, образующих комплексную систему. Разработана совокупность математических моделей на основе концепции жизненных циклов сложных систем и теории случайных процессов. Приведен пример применения моделей для управления бизнесом компании, специализирующейся на крупных системно-интеграционных и консалтинговых проектах.

Ключевые слова: моделирование, экономические характеристики, сложная иерархическая система, жизненный цикл, управление бизнесом.

ВВЕДЕНИЕ

Организация эффективного операционного и стратегического управления сложными социально-экономическими и бизнес-системами в последние годы часто опирается на концепцию управления жизненными циклами [1] сложных систем (ЖЦС). Комплексные социально-экономические и бизнес-системы и их жизненные циклы отличаются дуализмом и определенным внутренним противоречием. С одной стороны, они представляют собой сложные системы, которые могут в свою очередь, состоять из систем [2], поэтому для их поведения характерны неопределенность, слабая предсказуемость и трудность управления. С другой стороны, ЖЦС — объекты бизнеса, что делает актуальной задачу численного описания эволюции ЖЦС, оценивания и прогнозирования их экономических характеристик (в том числе в рамках налогового и управленческого учета) для обеспечения эффективного управления.

Настоящая работа продолжает развитие интегрированного системно-экономического подхода к исследованию и управлению комплексными социально-экономическими и бизнес-системами. Одним из важнейших элементов контура управления такими системами является модель «технологии функционирования» [3] управляемого объекта, его деятельности и особенностей поведения, разра-

ботке такой экономико-математической модели и посвящена данная статья.

Как объект управления, ЖЦС характеризуется следующими аспектами.

А1. Современный бизнес крупных компаний связан с организацией кооперации и управлением тысячами относительно автономных бизнес-агентов [4]. Сосредоточить управление такой системой, состоящей из комплексных систем, в одном центре и организовать его в директивной парадигме невозможно. Системы управления должны охватывать всю иерархическую совокупность взаимосвязанных агентов и обеспечивать распределенное управление, направленное на достижение единых бизнес-целей. Необходимо моделировать элементы ЖЦС локально в области ответственности каждого руководителя и в то же время увязывать их друг с другом в иерархию так, чтобы выходные данные одних моделей использовались как входные для других. Это позволит в рамках каждой локальной модели оперировать обозримыми объемами данных и формировать единый результат.

А2. Рассматриваемая предметная область относится к бизнесу, экономике, деятельности людей, поэтому «точных» априорных характеристик поведения ЖЦС, основанных на физических законах или объективных измерениях, просто не существует. Вместо них приходится использовать или данные из нормативных и регламентирующих до-

кументов, или статистические оценки, или «субъективные» и «экспертные» оценки, причем последние во многих случаях бывают единственной пригодной для использования информацией о будущем поведении Системы. Как социальные системы, ЖЦС обладают существенной рефлексией, что делает субъективные экспертные оценки руководителей особенно значимыми. Таким образом, необходимо не только м оделировать объект управления, но и агрегировать информацию о бизнесе в виде мнений и суждений большого числа менеджеров различных уровней.

А3. Специфика ЖЦС заключается в тесной взаимосвязи трех компонентов «треугольника жизненного ц икла» [4]: информационной м одели Системы, проектной программы (совокупности действий/работ) и кооперации — «расширенного предприятия». Система как предмет жизненного цикла и ее информационная модель играют центральную роль (совокупность (Система + информационная модель) будем обозначать аббревиатурой СИМ); проектная программа задает целенаправленную структуру действий, обеспечивающих эволюцию СИМ; кооперация реализует эти действия, используя трудовые, финансовые и другие ресурсы. Эволюция СИМ является первичной, а проектные программы, проекты, действия/работы и «расширенное предприятие» — вторичным обеспечением. Однако экономические характеристики ЖЦС в большей степени определяются именно действиями/работами проектной программы, в ходе которых потребляются разнородные ресурсы и создается целевая полезность/ценность.

Предлагаемая в статье система моделей ЖЦС служит формальной основой контура управления множеством взаимосвязанных бизнесов, образующих комплексную систему. Она обеспечивает накопление и агрегирование данных из информационных систем предприятий в сочетании с экспертными оценками большого числа менеджеров, отвечающих за ведение бизнеса, и принятие управленческих решений, описывает жизненный цикл как сложную систему, учитывает информацию обо всех элементах «треугольника» — эволюции СИМ, связанных/порожденных ею действий, а также фирмах-участниках кооперации. Полученные результаты базируются на практике управления бизнесом компании, специализирующейся на крупных системно-интеграционных и консалтинговых проектах [5], и применимы для широкого круга сложных социально-экономических и бизнес-систем.

1. ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СМЕЖНЫЕ РАБОТЫ

Традиционно исследования жизненных циклов принадлежат теории систем и системно-инженер-

ной области. Начиная с рассмотренных в обзоре [6] работ, делались попытки еще на ранних стадиях разработки оценить Lifecycle Cost — затраты в течение всего жизненного цикла Системы. Позднее появились работы, например [7—9], основанные на применении нейронных сетей, машинного обучения и других современных подходов. Методики оценки стоимости промышленных программ являются предметом нормативных документов таких авторитетных организаций, как Национальное аэрокосмическое агентство США (NASA) [10] и Офис контроля государственных расходов США (GAO) [11].

Много исследований посвящено математическому моделированию в смежных областях:

— описанию собственно Систем, моделированию их поведения и свойств (многочисленным видам системного моделирования [12]);

— управлению проектами и проектными программами (в том числе распределению ресурсов, планированию сроков, управлению рисками проектов, например, [13, 14]);

— моделированию и исследованию фирмы (см., в частности, обзорную работу [15] и библиографию к ней);

— теории управления организационными системами (прежде всего, [3]), описывающей и изучающей широкий круг проблем, связанных с планированием, контролем, управлением структурой таких систем. В терминах данной теории совокупность предприятий, обеспечивающих ЖЦС, отвечает расширению базовой модели факторами динамики, множеством агентов, многоуровневос-тью, неопределенностью, ограничениями совместной деятельности и сообщения информации.

2. ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Естественное свойство ЖЦС заключается в наличии нескольких уровней, на каждом из которых имеют место соответствующие «тройки» иерархических вложенных многоуровневых структур (СИМ; действия/работы; организационные структуры), назовем каждую из таких троек фрагментом ЖЦС (ФЖЦС), в целом ЖЦС представляется иерархией взаимосвязанных ФЖЦС (рис. 1), являющихся комплексными системами.

Каждый ФЖЦС отвечает определенному содержательному фрагменту информационной модели и/или Системы, а также соответствующим действиям/работам (проектам или проектным программам), которые выполняются «расширенным предприятием».

Жизненный цикл в целом и действия/работы каждого ФЖЦС структурируются в виде стадий и разделяющих их контрольных рубежей (КР), каждая из стадий состоит из проектов и действий/ра-

Рис. 1. Иерархия фрагментов жизненного цикла

Стадия 1 (создание)

КР,

КР,

КРГ

КР,

КР

Стадия 2 (создание)

; Стадия М

(СитсапдоиляьзМование)

N - 1 *

КР

Стадия N (использование)

Штатная эксплуатация

Штатные осмотры --

Внеплановые

ремонты

Рис. 2. Стадии ЖЦС — структура действий/работ

бот, выполняемых последовательно и/или параллельно (рис. 2). Контрольные рубежи отражают условия, налагаемые на СИМ для перехода от одной стадии к другой, например, завершение этапа проектирования, контроль характеристик, достижение определенного уровня зрелости, принятие решений, завершение интеграции и др.

При успешном прохождении КР планы действий/работ не изменяются, в противном случае производится возврат к предыдущим стадиям в рамках данного ФЖЦС и/или эскалация проблем на вышестоящий уровень (на ФЖЦС следующего уровня, см. рис. 1), и/или перепланирование, зна-

чимая доля повторов стадий ЖЦС отмечается, например, в работе [16].

Управление бизнесом — оценивание текущего состояния и принятие решений — осуществляется с определенной периодичностью, поэтому будем рассматривать модель с д искретным временем, понимая переменную I как номер очередного временного интервала.

Введем переменные состояния а-го ФЖЦСа. Перенумеруем все КР и стадии g = {0, 1, ..., О} (см. рис. 2), в качестве переменной 5(!) текущего статуса фрагмента СИМ примем номер предыдущего успешно пройденного КР. Фактическое пот-

Рис. 3. Диаграмма переходов процесса

ребление ресурсов в рамках ФЖЦСа до момента завершения интервала включая его, будем обозначать г(1), а у(1) — объем созданной целевой полезности/ценности, выражая их в денежном эквиваленте.

Изменения статуса ЖЦС с течением времени носят неопределенный характер, что выражается в неопределенных моментах завершения стадий и прохождения КР и сроках завершения каждой из работ/действий, входящих в стадии; в неопределенном исходе прохождении КР — неопределенной функции перехода ^ + 1); как следствие — в неопределенных объемах расходуемых ресурсов г (/) и создаваемой ценности у(1).

Сформулируем допущение Д1 о независимости в вероятностном смысле стадий ФЖЦС и составляющих их действий/работ. Внеплановые отклонения от регламентированных сроков и расходов ресурсов можно считать независимыми друг от друга: в случае выявления закономерных отклонений менеджмент корректирует соответствующие нормативы и планы, после чего отклонения от новых нормативов становятся снова статистически независимыми. Обязательность этого действия вытекает из заинтересованности руководителей как м ожно больше сузить неопределенность своего бизнеса. Вероятности успешного прохождения различных КР и характеристики работ/действий по той же причине являются независимыми.

С учетом допущения Д1 состояние ФЖЦСа полностью описывается кортежем ха(1) = ^); г(/); у(/); ы(/)), где ,?(/), г(7) и у(/) введены выше, а ы(1) — время, прошедшее с момента последнего прохождения КР. Поведение процесса х(/) описывается диаграммой (рис. 3). Процесс стартует из состояния 5(0) = 0. Перейдя в состояние g — 1, процесс находится в нем в течение времени т, при этом затрачивается объем ресурса у и создается ценность %. После этого процесс переходит в состояние g (успешное прохождение КР) или происходит возврат в состояние g — 1 и повторное выполнение текущей стадии g, или возврат на I стадий назад и их

повторное выполнение. В финальном состоянии О процесс остается навсегда.

Адекватным с учетом изложенного представляется применение для моделирования ЖЦС стохастических подходов, слабо чувствительных к функциям распределения вероятностей и другим деталям вероятностных моделей. В рамках допущения Д1 процесс х(/) является полумарковским [17—19].

Постановка задачи может быть сформулирована как разработка системы моделей для описания и прогнозирования состояний ха(1) взаимосвязанной совокупности а-х фрагментов ЖЦС и в целом ЖЦС (см. рис. 1) с целью оценивания момента О достижения терминального состояния О, расхода ресурсов г(О) и созданной полезности для всех ФЖЦС на основе информации обо всех элементах ЖЦС.

3. ИНФОРМАЦИОННАЯ ОСНОВА ЗАДАЧИ

Данные о ЖЦС отличаются разнородностью и различной степенью объективности и определенности, они могут быть отнесены к одной из следующих категорий:

а) переменные состояния элементов ФЖЦС, задаваемые в формате вектора х(/); они служат выходными/результирующими данными для одних моделей и входными для других в силу иерархии ФЖЦС;

б) детерминированные априорные структурные данные о составе и структуре ФЖЦС, СИМ, проектов и программ, действий/работ, их взаимосвязях и вхождениях;

в) неопределенные априорные структурные данные — вероятности прохождения КР и вероятности выбора альтернатив при вариантном планировании и исполнении действий/работ;

г) априорные характеристики действий/работ (длительность, расход ресурсов, создаваемая полезность), доступности и назначения ресурсов;

д) фактические данные об элементах ЖЦС.

Априорные данные (а — г) могут задаваться в

виде нормативных, статистических или экспертных оценок или функций распределения (пара-метризированных или табличных), в частном случае — детерминированными значениями. Источниками данных служат плановые, нормативные или директивные документы предприятий и жизненных циклов, а также статистические оценки на основе исторических данных и субъективные экспертные оценки менеджеров.

Оценки целевых параметров О, г(¿О), и переменных состояния х(/) (ОЦППС) и будем формировать в виде функций распределения вероятностей (ф. р. в.) или средних значений. Для представления исходных данных и результатов ОЦППС

используем форматы множественных (В > 1) или единичных (В = 1) сценариев поведения ЖЦС вида: Е = {(у су); / = 1, 2, ..., В}, где ц. — веса или

В

вероятности сценариев с г такие, что X Му = 1.

7 У = 1 7

Сценарии су будем задавать одним из д вух методов:

интервальным и средних значений.

Интервальный метод. Сценарии задаются векторами нижних й ^ и верхних Б ^ граничных значений элементов ОЦППС Е = {(цу йр Б); у = 1, 2, ..., В}. Данный формат интерпретируется как аппроксимация ф. р. в. взвешенной суммой равномерных распределений. При увеличении числа сценариев В и уменьшении расстояния между йг и Бу формат Е в пределе превращается в совместную ф. р. в. случайной величины. Соотношения пересчета ОЦППС для всей совокупности ФЖЦС интервальным методом представлены в § 5.

Метод средних. Сценарии задаются векторами средних значений ОЦППС Е = {(у шу); У= 1, 2, ..., В}. При увеличении В до числа точек в области возможных значений Е также превращается в ф. р. в. Модели, построенные методом средних, представлены в § 6.

4. СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Учитывая рассмотренные факторы и сложную структуру компонентов жизненных циклов, воспользуемся для их описания представленной на рис. 4 системой моделей.

Модели эволюции ФЖЦС описывают эволюционные изменения в течение стадий ЖЦС и скачкообразные изменения статуса СИМ при прохождении КР и обеспечивают пересчет входных ОЦППС стадий в выходные оценки по ФЖЦС. Преобразование входных оценок в выходные выполняется на основе априорной информации о структуре стадий и вероятностях прохождения контрольных рубежей.

Структурные модели описывают связи ФЖЦС и их элементов друг с другом — параллельные, последовательные, альтернативные и иерархические структуры. Входные ОЦППС одних элементов ЖЦС преобразуются в выходные ОЦППС агрегатов элементов соответственно априорной информации о структуре агрегатов — связях и вероятностях выбора отдельных альтернатив.

Модели терминальных действий/работ, которые не требуют более детального представления, формируют ОЦППС таких работ на основании априорных данных, которыми служат нормативные длительности, ресурсоемкости и полезности, а также назначения/доступность ресурсов.

Система моделей применяется в контуре управления следующим образом. В каждом ФЖЦС формируются ОЦППС с максимально возможным использованием априорной и фактической информации (позиции «б—д», см. § 3), а также ОЦППС нижестоящих ФЖЦС (позиция «а», см. § 3) из информационных систем. При недостаточности данных и/или необходимости их корректировки руководитель ФЖЦС в зоне своей бизнес-ответственности вводит субъективные оценки в форме

Рис. 4. Общая структура системы моделей ЖЦС

сценариев и получает уточненные ОЦППС, которые используются системой моделей в иерархии ФЖЦС.

Основное предназначение системы моделей с учетом аспектов А1—А3 (см. Введение) заключается в обоснованном агрегировании больших объемов разнородных данных о сотнях и тысячах автономных, но взаимосвязанных бизнес-объектов на базе математических формализмов и в существенно меньшей степени — в моделировании терминальных действий/работ.

5. МОДЕЛИ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО ИНТЕРВАЛЬНОМУ МЕТОДУ

Данные модели интерпретируют сценарии как аппроксимации ф. р. в. состояний ФЖЦС и обеспечивают их вычисление.

Модель эволюции ФЖЦС. Обозначим ф. р. в. процесса х(1): р(х(1), 1) = р(& у, х, т, 1) = Рф(1) = g, г (1) = у, v(t) = х, ы(1) = т). Эволюция полумарковского процесса х(1) (см. рис. 3) определяется полумарковским ядром [17—19], опишем его в виде двух функций:

О(М, т, у, х) — ф. р. в. времени т пребывания в состоянии g, потребления ресурсов у и формирования ценности х в течение этого времени т;

к^, Г) = Рф(; + 1) = g - 1 + ¿ко = g - 1) —

функция переходных вероятностей, отражающая вероятности исходов прохождения g-го КР.

Функция к(-) задается как априорная информация, функции О(-) являются выходными ОЦППС структурных моделей, которые описаны далее.

Уравнение для р^, у, х, т, 1) в моменты прохождения КР (смены состояний 5(1)):

О - 1

р^, г, V, 0, 1) = X к(к, g - к) X к = g -1

1 -1

х Е Ер(к, г - у, V - х, т, 1 - т)О(к, т, у, х),

т = 1 у, х

при 1 > 0, g 6 {0, 1, ..., О}.

Для моментов времени внутри интервалов выполнения стадий (сохранения состояний 5(1)):

р(Е, г, V, т, 1) = (1 - Х(М, г, V, т, 1 - т))О(к, т, у, х),

где г, V, т - 1) = 6(* У' г' V - ^ т - г' V).

1 - О (к' т - 1' г, V)

Начальные и граничные условия и условие нормирования задаются соотношениями

р(?, г, V, т, 0) =

1 при g = 0, г = 0, V = 0; 0 при g ф 0 или при g = 0 и г ф 0, V ф 0;

Рис. 5. Иерарахические связи между действиями/работами и детализирующими их ФЖЦС

р^, г, V, т, 0) = 0; при 1 < 0;

X р(^ г, V, т, 1) = 1; V/ > 0.

g' г, V, т

Функция р(?, г, V, т, ^ = О; т = 0 образует совместную ф. р. в. оценки момента О — времени достижения О-го КР, затрат ресурсов г(1О) и формирования ценности v(tG), характеризующей поведение ФЖЦС, что и требовалось по постановке задачи. Эта функция является результирующей для модели ФЖЦС и используется в качестве входных данных структурных моделей и моделей ФЖЦС вышестоящих уровней иерархии.

Структурные модели представляют связи и отношения между элементами ЖЦС и обеспечивают интеграцию ФЖЦС в единую систему — ЖЦС.

Модель иерархических отношений ФЖЦС описывает случай, когда а-й ФЦЖС детализирует элемент СИМ и соответствующее юр-е действие/ работу р-го ФЖЦС вышестоящего уровня (рис. 5). Выше показано, что р (О, г, V, 0, 1) является ф. р. в.

Стадия N

Работа 1 —: - Работа 2~|— • ,Работа ¿^Работа Ь2]—

\

»Работа ^Работа М2^

Работа

Р^-{Работа Р^ ■■■ —».'Работа-Рп

^Работа Р1 —- Работа Р2 — —

Работа Р1 Работа Р2

Работа Р1 Работа Р2 Р1 Работа Р2

Работа

Работа Р

Р

абота Р

Работа Рп Работа Рп

Работа Р1 Работа Р2 Работа Рп

Рис. 6. Параллельно-последовательные структуры действий/работ

ОЦППС а-го ФЦЖСИ, который соответствует Юр-й работе, поэтому

(.*, Г, V) = Ра(°, Г, V, 0, *)•

(1)

Модель последовательности действий/работ (рис. 6) в силу допущения Д1 (см. § 2) о статистической независимости является сверткой ф. р. в. действий/работ, составляющих последовательность:

4L (0, г, V) = 4^(9, г, V)* ^¿2(е, г, V)-...- д^(6, г, V)

0L = I еLn , гЬ = I ГLn , VL = I VLn . (2)

г = 1 г = 1 г = 1

Модель альтернативно выполняемых действий/работ или цепочек (например, агрегат в виде альтернатив И, Ь, Мили Р, Л, ..., V, см. рис. 6) вычисляется как

дагрегата (0, Г, v) = I ПА(0, Г, v),

г е И, ¿, М

где лг — вероятность выполнения г-й цепочки, а дг(0, г, V) — ф. р. в. г-й цепочки.

Модель объединения параллельных последовательностей действий/работ описывает случай, когда необходимо завершение всех действий, поэтому ф. р. в. агрегата выразится как композиция ф. р. в.

(¡И[ (0, г, V) всех параллелей:

добъед (0, ^ ^ = ^ (0, ^ v)• дИ2 (0, г,

...• д« (0, г, V);

0эл = .тах < 0м, ь гэл = I

1 <1< Ь эл

гМ, - V

I = 1

¡' эл

= I V. . (3)

I = 1

Отличие композиции (3) от свертки (2) заключается в том, что случайные размеры ресурсов г и ценностей V суммируются по всем цепочкам И, а из случайных величин 0 берется максимальное значение. Композиция для пары действий/работ выражается как

Рг(тах(01, 02) < 0, г1 + г2 < г, v1 + v2 < V) =

г V

= II Рг(01 < 0, г1 < У, V1 < I) X

У = 0 г = 0

X Рг(02 < 0, г2 < г - У, V2 < V - г).

Модель терминальных действий/работ. Как отмечено в § 4, данные модели играют вспомогательную роль, потому что часто ОЦППС терминальных действий/работ дЮ(0, г, V) задаются руководителями ФЖЦС непосредственно в форме сценариев Е = й, Б^; / = 1, 2, ..., В} со значениями Цр йр Б" в виде экспертных оценок. Также для получения ОЦППС на основе нормативных трудоемкостей, затрат ресурсов и создаваемой полезности, а также доступности/назначения ресурсов могут использоваться соотношения (П3) (см. Приложение).

6. МОДЕЛИ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО МЕТОДУ СРЕДНИХ

Метод средних интерпретирует сценарии как взвешенную совокупность средних значений векторов характеристик, поэтому выражения получены в основном в виде линейных моделей.

Модель ФЖЦС. Рассмотрим задачу оценивания средних значений величин tG, ги v(tG) как задачу вычисления веса пути в графе (см. рис. 3) из нулевой вершины в терминальную G. Соответственно семантике ФЖЦС ребра графа из — 1)-х

вершин в g-е имеют веса т., являющиеся статистически независимыми многомерными случайными величинами. Веса остальных ребер соответствуют возвратам к предыдущим стадиям ФЖЦС (из g-й вершины в (й - ¿)-ю, где 0 < I < g), и равны нулю.

Пусть Пй — вес пути из g-й вершины в терминальную О-ю, все Пй являются случайными велит

чинами той же размерности, что и т = (9, г, V) , тогда:

Пg = ^ + Е k(g, ¡)П + !, 0 < g < О, пе = 0. (4)

' = -й

Отсюда следует, что веса Пй являются линейными комбинациями получим выражения для них.

т

Обозначим вектор П = (П0, Пр ..., ПО - х) , тогда выражение (4) позволяет записать для него матричное уравнение: П = Z + КП, где Z = (тд, т1,

К =

, тО - 1) ,

к(0, 0) к(0, 1) 0 к( 1,-1) к( 1, 0) к(1, 1) 0 к( й -g) к(й .) к ( й 0) к( й 1)

к (О - 1, 1 - О)

0

к(О - 2, 1) к (О - 1, 0)

. (5)

Уравнение (5) допускает решение вида

П = (I - К)-^. (6)

Тогда вес пути П0 из 0-й вершины в терминаль-

ную О определяется как

П0 = Е «0, ^ й = 1

(7)

где п. . — элемент 1-й строки у-го столбца матрицы

I, у

(I - К)-1.

Существование решения (6) и возможность получения соотношения (7) достаточно просто доказывается методом математической индукции через возможность исключения из системы (4) всех неизвестных П., кроме П0, последовательно выражая П.. через П0 и т.

Соотношение (7) определяет средние характеристики ФЖЦС ч ерез средние значения стадий

шфжцс = е п0, Ш й = 1

(8)

Пусть задано ¥ - 1 значимых сценариев, каждый из которых представляет собой последовательность стадий. Как правило, в качестве таких

сценариев выбирается последовательность, включающая в себя однократное прохождение каждой из стадий, и также несколько последовательностей с одним-двумя повторами отдельных стадий. Вероятности каждого из значимых сценариев равны произведениям соответствующих к(-):

Му = П

(9)

I = 1

где принимают значения всех стадий, входящих в сценарий-последовательность, ^ = + х - й, Ь^— число стадий в последовательности. Средние значения сценариев:

Ь/

Ш = Е .

I = 1

(10)

Вероятность дополняющего сценария

¥ - 1

= 1 - Е Му. (11)

/ = 1

Среднее значение дополняющего сценария

шг = ^ШФЖЦС - Е М/Ш/] . (12)

Структурные модели интеграции элементов

ЖЦС. Модель иерархических связей в терминах средних полностью аналогична (1) Ешр = Еа.

При использовании единственных сценариев остальные модели определяются следующими соотношениями:

Модель цепочки последовательно выполняемых действий/работ получается прямым суммированием средних значений аналогично выражению

(2): шЛ = Е ш, где шЛ — средние значения элементов цепочки, приведенные к виду единственного сценария.

Модель альтернативных действий/работ (средние значения ш{ и вероятности п{ для I = 1, 2, ..., 1а) получаются как взвешенная сумма средних значе-

1а

ний: ша = Е п Ш .

. = 1

Модель объединения нескольких Л-х цепочек в й-ю стадию ФЖЦС получается выбором максимального значения из ш[ 0Л[ ] и прямым суммированием ш[гЛ ] и ш[V

ш[9й] = тах {ш[0„ ]}, ш[г1 = Е ш[гж,],

1 < I < Ь

I = 1

ш

К] = Е ш[ vN ].

I = 1

Ь

Если некоторые элементы цепочек представлены несколькими сценариями и различия сценариев значимо влияют на результат стадии в целом, многосценарное представление цепочки может быть сформировано аналогично соотношениям (8)—(12).

Модель терминальных действий/работ. Для терминальных действий/работ ОЦППС также задаются руководителями ФЖЦС непосредственно в форме сценариев Е = {(у ту); / = 1, 2, ..., В} со значениями Цу и ту в виде экспертных оценок. Соотношения (П4) — см. Приложение — также пригодны для получения ОЦППС на основе нормативных трудоемкостей, затрат ресурсов и создаваемой полезности, а также доступности/назначения ресурсов могут использоваться.

7. ПРИМЕР ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛИ

Рассмотрим практическое использование разработанной модели на конкретных примерах управления компанией ИБС [4, 5], для управления которой была разработана система моделей ЖЦС, построенных по методу средних.

Бизнес Компании связан с оказанием профессиональных услуг и структурирован в виде проектов по типам сервисов, объединяемых в линии бизнеса, а в другом разрезе — по индустриям клиентов и клиентам. Вся деятельность Компании представляется в виде проектов как удобной для управления формы действий. Были определены следующие виды проектов:

• коммерческий — проект, осуществляемый как исполнение обязательств по договору с заказчиком;

• пресейл-проект — организованная сбытовая деятельность, направленная на заключение коммерческого договора с заказчиком;

• маркетинговый — организованная деятельность, направленная на развитие коммерческих отношений с заказчиком или продвижение сервисов или продуктов Компании;

• инвестиционный — проект, направленный на разработку новых сервисов, продуктов или иных технологических заделов, используемых в будущих коммерческих проектах.

Для управления бизнесом внутри Компании выделяются центры ответственности (ЦО) разных видов и длительности существования, которые рассматриваются как предприятия — комплексные системы. Основные виды ЦО и их ЖЦС, учитываемые как объекты управления Компанией, перечислены в таблице.

Центры ответственности всех типов проходят следующие стадии жизненных циклов:

— предварительная, цель которой — определить бизнес-перспективы ЦО;

— подготовка и формирование бизнеса, цель — создать инфраструктуру ЦО;

— коммерческая, цель — реализовать бизнес-возможности и получить финансовый результат;

— закрытие, цель — накопить и сохранить опыт и знания.

Отметим, что ЦО отвечают определению предприятия [20], соответствуют ФЖЦС и структурируются на ФЖЦС нижестоящих уровней (например, отраслевые подсистемы в составе создаваемой системы и соответствующие подпроекты отраслевых рабочих групп внутри рабочей группы проекта в целом), пример приведен на рис. 7.

Основные виды центров ответственности и их ЖЦС

Обозначение Содержание

ЖЦС-ПКП Последовательность связанных пресейл-проектов и соответствующих коммерческих проектов (ПКП)

ЖЦС-С Сервис определенного вида. Представляет собой совокупность инвестиционных проектов и множество ПКП1, ..., ПКПИ = (Инвестиционные проекты + ПКП1, ..., ПКПИ)

ЖЦС-ЛБ Линия бизнеса (группы технологически близких сервисов): (Инвестиционные проекты + ПКП1, ..., ПКПИ)

ЖЦС-КК Группы проектов, относящихся к отдельным крупным клиентам (КК): (Маркетинговые проекты + ПКП1, ..., ПКПИ)

ЖЦС-И Группы проектов, относящихся к определенным индустриям клиентов: (Маркетинговые проекты + ПКП1, ..., ПКПИ)

Линия Бизнеса

Сервис 1

Сервис 2

Сервис N

Программные Регд,мекты Стищы I I I Прир.ммные ,

"родгкт" Программные „ °родгкт"

продукты Регламенты Стенды

I—1—1 I ■■

Рабочая группа

,_и_

КР 1

КР 2

КР 3 *

Коммерческая стадия

Рис. 7. Пример ФЖЦС, соответствующего линии бизнеса

123456789 Время, мес

1 234 5 6789 Время, мес

Рис. 8. Пример графиков изменения расхождения прогноза и Рис. 9. Пример графиков изменения расхождения прогноза и факта, линия бизнеса 1 факта, линия бизнеса 2

Компания одновременно реализует несколько сотен коммерческих проектов (например, в апреле 2014 г. их было 750, а в сентябре 2015 г. — 790), соответственно постоянного управления требуют несколько тысяч ЦО, каждый ЦО-ФЖЦС управляется руководителем, который несет ответственность за результаты бизнеса соответствующего ЦО.

Компания как бизнес-система обладает естественной инерционностью, поэтому основным принципом управления Компанией является «прогноз против плана», заключающийся в том, что решения принимаются на основе сопоставления прогноза бизнес-результатов с планом, что позволяет осуществлять действительно проактивное управление. Осуществляется прогнозирование и оценивание экономических и временных характеристик ФЖЦС: затраты и доходы, время завершения стадий. Для реализации этого подхода точность прогноза весьма критична.

На основе накопленных более ч ем за 10 лет исторических данных был выполнен апостериорный анализ точности прогнозов. Сопоставлены прогнозы экономических характеристик ЦО с фактическими данными в зависимости от горизонта прогнозирования — финансового результата за год для двух линий бизнеса на коммерческой стадии ЖЦ. Примеры зависимостей расхождения прогнозных значений и фактических приведены на рис. 8 и 9.

Графики представляют изменение расхождения прогноза и факта в зависимости от номера месяца, когда сделан прогноз (по горизонтали). В начале первого месяца года интервал прогнозирования составляет 12 мес и уменьшается д о одного м есяца к началу 12-го месяца года, соответственно убывает погрешность прогноза. На каждом из графиков изображено изменение расхождений для трех различных л ет (штриховые и пунктирные линии), ус-

редненный график (сплошная л иния) и л инейный тренд (тонкая сплошная линия).

Финансовый результат рассчитывался как разность между полученной реализацией и затратами а = Е( ^ — гфжцс ) для всех ФЖЦС, относя-

щихся к данной л инии бизнеса. Для приведения к единому масштабу расхождения были нормированы как (тах/К — афакг1})-1 * К — ^акг1, где афакт — фактическое значение финансового результата по итогам года, аt — прогнозное значение, сформированное на t-м месяце года.

Результаты сравнения подтвердили принятые в ходе разработки модели предположения и продемонстрировали эффективность применения м одели как инструмента управления Компанией.

В частности, для всех ЦО расхождение уменьшается с уменьшением горизонта прогнозирования и прогнозы не имеют систематических ошибок. Из уравнений линий тренда на графиках видно, что л инейная м од ель уменьшения расхождений является адекватной (высокие значения

достоверности аппроксимации Л2). Далее, линия тренда пересекает ось времени в точках от 12,4 до 13 мес, т. е. среднее значение расхождения становится нулевым около точки 13, что соответствует концу 12-го месяца и интервалу прогноза, равному нулю.

С одной стороны, это ожидаемый вывод: с уменьшением горизонта прогнозирования неопределенность естественным образом уменьшается. С другой стороны, данный результат сам по себе подтверждает отсутствие систематических ошибок в м одели. Включение руководителей ЦО в информационный контур делает прогноз и управление ЦО в целом рефлексивным. Уменьшение погрешностей и отсутствие систематических ошибок показывает устойчивость модели к рефлексии в контуре (руководитель — управляемый ЦО).

Относительные —1

погрешности

прогноза

(афакт)

а

факт!

| не превышают 10... 12 % на трехмесячном горизонте и 40...50 % на полугодовом, что можно считать достаточно хорошим результатом. Вместе с тем, анализируемой системе свойственна достаточно существенная неопределенность, являющаяся естественной особенностью бизнеса и вызванная наличием отдельных сделок с высокой неопределенностью.

На рис. 10 приведены примеры прогнозов финансовых результатов нескольких проектов в зависимости от времени (по месяцам), прогнозы нормированы, аналогично графикам, представленным на рис. 8 и 9. Наличие волатильных проектов (см. рис. 10) хорошо согласуется с линейным

Рис. 10. Пример изменения прогнозов финансовых результатов нескольких проектов

уменьшением расхождений прогноза и факта: в течение каждого месяца завершается примерно одинаковое число проектов, по завершенным проектам прогнозные значения заменяются на фактические, и неопределенность пропорционально уменьшается.

Система управления, основанная на предложенной модели, включает руководителей ЦО и других сотрудников Компании в контур обработки информации и требует от них определенных трудозатрат, совокупные издержки Компании на поддержание и эксплуатацию системы управления составляют не более 5 % от затрат на персонал, что представляется весьма адекватной величиной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В условиях современной «экономики знаний» и возрастания роли информации вообще предложенные подходы и методы представления жизненного цикла могут быть распространены на другие виды бизнеса. Операционную деятельность практически любых предприятий (договоры, сделки, проекты, бизнес-активности и пр.) справедливо описывать иерархиями совокупностей (информационная модель + структура действий/работ + структура организаций). Поэтому предложенный в работе формализм и соответствующие стохастические модели являются универсальным средством описания и анализа операционной части бизнеса и экономики в целом. В дальнейшем целесообразно проанализировать различные отрасли экономики и бизнеса — страховой и финансовый сектор, профессиональные услуги, розничную торговлю, коммунальный сектор, правительственные и некоммерческие организации, выделить их специфические особенности и при необходимости создать набор операционных моделей для различных индустрий и направлений бизнеса.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Модели терминальных действий/работ. Рассмотрим процесс выполнения ю-х терминальных действий/работ для получения ОЦППС в форматах qw(0, r, v) для интервального метода и вектора средних значений mw для метода средних соответственно. Индекс ю, отражающий номер работы, будем опускать, когда это не приводит к неоднозначному пониманию. В рамках Приложения среди всех видов ресурсов будем отдельно учитывать трудоемкость, как наиболее сильно влияющую на сроки

выполнения работ. Введем обозначения: j — нормативная (плановая) трудоемкость; j(t) — фактическая трудоемкость, выполненная к моменту t; r *(t) = r(t) — j(t) — фактическая ресурсоемкость (за вычетом трудоемкости), затраченная к моменту t; v(t) — объем ценности аналогично.

Динамика действия/работы в общем виде описывается системой соотношений

j(t) = j(t - 1) + a(j(t - 1), H(t), t - t) r*(t) = r*(t - 1) + b(j(t - 1), r*(t - 1), H(t), t - to); v(t) = v(t - 1) + c(j(t - 1), r*(t - 1), v(t - 1), H(t), t - to); j(to) = 0; r*(to) = ro;

v(to) = o. (П1)

Работа выполняется с момента ее начала to до достижения нормативной (плановой) трудоемкости, т. е. пока

j(t) < j. Функции производительности a(-), b(-) и c(-) зависят от текущих значений j, r* и v, от текущей продолжительности работы от момента ее начала t - to, и от параметра H(t) — текущей доступности/назначения, необходимых для выполнения работы ресурсов (специалистов требуемой квалификации, оборудования, материалов, комплектующих и др.). В общем случае для старта работы необходимы начальные затраты ресурсов ro. С учетом соображений о неопределенности

нормативная трудоемкость jj и начальные затраты ro

описываются известной ф. р. в. pJr( j, ro), задаваемой в параметрическом виде или как выборочная гистограмма. Функции производительности a(-), b(-) и c(-) известны или из регламентирующих документов (например, технологических карт) для типовых работ, или задаются экспертно для редко выполняемых работ.

Доступность H(t) для различных работ моделируется функциями различных видов, например:

— параметр H(t) бинарен и принимает значения {1; o}, отражающие случаи «ресурсы доступны в требуемом объеме, работа может выполняться» или «ресурсы недоступны, работа не выполняется»;

— параметр #(1) принимает значения процента доступности ресурсов и работа выполняется с пропорциональной производительностью.

В рамках данной статьи вопрос управления не рассматривается, будем считать, что известно расписание доступности ресурсов или характеристики случайного процесса Н(1).

Соотношения (6) в общем виде сложны для аналитического или даже ч исленного решения, однако в большинстве практически важных случаев д опускают существенные упрощения и позволяют получить выражения, пригодные для инженерных расчетов, рассмотрим их. Интервальная модель терминальных действий/работ.

Ф. р. в. ру.г( у, г0) обычно допускает аппроксимацию

Руг(у, г) = Ру(у. - ./центр )Рг(г - гцентр) как следствие допущения Д1, где р/(-) и рг(-) — простые параметризуемые ф. р. в., например, линейные или р-распределения.

Функции производительности часто могут быть (кусочно) линеаризованы:

а. - 1), Я(0, 1 - 10) = аок(0; ЬЦЦ - 1), г*(1 - 1), #(0, 1 - ^ =

= {Ь0 + Ь.(1 - 1) + тН*);

с. - 1), г*(1 - 1), v(t - 1), Я(0, 1 - ^ = = С + . - 1) + сгг*(1 - 1) + ?(0}к(0,

где а0, Ь0, Ь, с0, су и сг — известные константы, а ^(1) и ^(1) — марковские процессы с нулевыми математичес-

2 2

кими ожиданиями и дисперсиями ст^ и , отражающие

неопределенность затрат ресурсов и создаваемой ценности соответственно. Параметры ф. р. в. ру(-) и рг('),

22

константы а0,, Ь0, Ь ,, с0, с и сг, дисперсии ст^ и имеют вполне определенную бизнес- семантику и могут быть получены из регламентов работ, технологических карт или заданы экспертно. Тогда продолжительность работы, затраты ресурсов и созданная ценность определятся как

9 = У /а0 + 8#;

/ //а0 / г* = г0 + Ь0 + Ьл + Е ^(0; г = г* + у;

i = 1

, j/ao

v = co + cij + crr* + E Z(i), i = 1

(П2)

где 8# определяется поведением к(1) в течение длительности работы и в разных случаях может быть известной детерминированной или случайной величиной. Обозна-

^ Ца0 ^ Ца0

чим \ = Е ^(0 и ^ = Е С('). Тогда д (0, г, V) может

i = 1

i = 1

быть аналитически получена как композиция pj/), pr('),

Рб(")> Р| (") и р„(") — ф. р. в. соответствующих величин }, г0, 8Я, \ и с;:

дш(0, г, V) = I р/г^РвФ — ]/а0) х х Р^(г — / — ¿0 — / — х) Р,. (V — С0С// — сг(г — /)). (П3)

Выражения (7)—(9) достаточны для получения приближенных оценок характеристик действий/работ. При выполнении более точных расчетов необходимо учитывать такие эффекты, как использование одних и тех же ресурсов (проектных команд, специалистов, оборудований) в разных ФЖЦС разных действий/работ, что требует расчета ф. р. в. на основании уравнений (П1) для всей совокупности терминальных работ всех фрагментов ЖЦС. В силу размерности ни аналитическое, ни численное вычисление в таких случаях невозможно, поэтому целесообразно воспользоваться имитационным моделированием методом Монте-Карло.

Модель терминальных действий/работ по методу средних. Соотношения (П2) допускают матричное представление:

z = As + B,

где s = ( j, r S £, , ç )

A =

l/a0 0 10 0 1 + bj 10 10

Cj + Crbj Cr 0 0 1

В = (0, ¿0, С0 + сД).

Все элементы векторов средних значений е, матрицы А и вектора В неотрицательны. Эти величины имеют вполне определенную бизнес-семантику и могут быть получены из регламентов работ, технологических карт или заданы экспертно.

Тогда вектор средних значений тю характеристик ю-й работы определится как:

т = Ат + В, М = АМ + В.

ю ю ' ю ю

Соответственно, сценарии терминального действия/работы:

Еш = {(f Amf + B); f = 1, 2, ..., F}.

(П4)

ЛИТЕРАТУРА

1. ProduCt LifeCyCle Management (PLM) Definition — URL: https://www.cimdata.com/en/resources/about-plm (дата обращения: 22.05.2015).

2. SEBoK Glossary. System of Systems (SoS) (glossary). — URL: http://sebokwiki.org/wiki/System_of_Systems_(SoS)_(glossary) (дата обращения: 23.06.2015).

3. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. 3-е изд. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. — 604 с.

4. Белов М.В. Системно-инженерные и экономические аспекты управления жизненным циклом // Управление большими системами. — 2015. — Вып. 56. — С. 6—65.

5. Belov M. IBS Group, Eastern European IT Services: Capability-Based Development for Business Transformation. In: Case Studies in System of Systems, Enterprises, and Complex Systems Engineering / A. Gorod, B. White, V. Ireland, J. Gandhi, and B. Sauser (eds.). — N.-Y.: CRC Press, Taylor & Francis, 2014. — 808 p.

6. Gupta Y. and Chow W.S. Twenty-five years of life cycle costing theory and application: a survey // The Intern. Journal of Quality and Reliability Management. — 1985. — Vol. 2. — P. 51—76.

7. Loyer J.L., Henriques E. A MBSE probabilistic framework for preliminary lifecycle costing of mechanical products. INCOSE International Symposium, Las Vegas, NV. June 30—July 3,

2014. — Vol. 24, iss. 1. — P. 182—195.

8. Wang G., Roedler G.J., Pena M., Valerdi R. A Generalized Systems Engineering Reuse Framework and Its Cost Estimating Relationship // INCOSE International Symposium Las Vegas, NV. June 30—July 3, 2014. — Vol. 24, iss. 1. — P. 274—297.

9. Liu H., Gopalkrishnan V., Ng W.K., Song B, and Li X. An intelligent system for estimating full product Life Cycle Cost at the early design stage // Intern. Journal of Product Lifecycle Management. — 2008. — N 2 (2—3). — P. 96—113.

10. NASA Cost Estimating Handbook. Version 4.0. NASA Headquarters — Cost Analysis Division. — Washington, DC (US): National Aeronautics and Space Administration, February

2015.

11. GAO Cost Estimating and Assessment Guide. Best Practices for Developing and Managing Capital Program Costs. GA0-09-3SP. United States Government Accountability Office. — Washington, D.C., March 2009.

12. Estefan J. INCOSE Survey of MBSE Methodologies. INCOSE-TD-2007-003-02 May 2008 INCOSE 2150 N. 107th Street, Suite 205 Seattle, WA 98133-9009. http://www.omgsysml.org/ MBSE_Methodology_Survey_RevB.pdf (дата обращения: 10.12.2015).

13. Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические сетевые модели планирования и управления разработками: Монография. — Воронеж: Научная книга, 2010. — 284 с.

14. Матвеев А.А., Новиков Д.А., Цветков А.В. Модели и методы управления портфелями проектов. — М.: ИПУ РАН, 2005.

15. Клейнер Г.Б. Эволюция и модернизация теории предприятия // Экономическая трансформация и экономическая теория. 5-й Междунар. симпозиум по эволюционной экономике. — М., 2004.

16. Braha, D., Yaneer, B.-Y. The statistical mechanics of complex product development: Empirical and analytical results // Management Science. — 2007. — Vol. 53, N 7. — P. 1127—1145.

17. Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надежности // Тр. VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. — Вильнюс, 1962. — С. 309—323.

18. Королюк В.С., Броди С.М., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их применения. Итоги науки и техники // Сер.: Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет. — 1974. — Т. 11. — С. 47—97.

19. Харламов Б.П. Непрерывные полумарковские процессы. — М.: Наука, 2001. — 418 c.

20. SEBoK Glossary. Enterprise (glossary) [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://sebokwiki.org/wiki/Enterprise_(glossary) (дата обращения: 23.06.2015).

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.М. Вишневским.

Белов Михаил Валентинович — канд. техн. наук,

зам. ген. директора, Компания ИБС, г. Москва,

Н mbelov59@mail.ru.