CC BY
61
УДК 519.86
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ПОВЫШЕНИЯ УРОВНЯ ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
В. В. Мешечкин, Н. И. Богатырева
MATHEMATICAL MODELING OF THE PROBLEM CONSERNING INCREASING
OF POPULATION HEALTH LEVEL IN KEMEROVO REGION USING INTEGRAL INDICATOR
V. V. Meshechkin, N. I. Bogatyreva
Статья посвящена построению и анализу математической модели, описывающей изменение состояния здоровья населения региона и базирующейся на использовании интегрального показателя оценки уровня здоровья. Объектом исследования выступает Кемеровская область, все расчеты проводятся на основе ее статистических данных.
The article is devoted to the building and analysis of mathematical model describing the change in regional state of population health and based on the usage of integral indicator estimating health level. As the research object Kemerovo region appears, all calculations are made on the basis of its statistics.
Ключевые слова: математическое моделирование, оптимальное управление, интегральный показатель.
Keywords: mathematical modeling, optimal control, integral indicator.
Введение
В настоящее время трудные сами по себе проблемы здравоохранения тесно переплелись с социальными проблемами, проблемами загрязнения окружающей среды, эволюции климата, устойчивого существования экосистем, истощения природных ресурсов и т. д.
В их решении определенную помощь может оказать математическая наука, которая через построение и исследование различных моделей, систем, уравнений может выявить взаимосвязи между разными факторами и дать рекомендации по улучшению общественного здоровья.
Состояние здоровья населения может измеряться различными параметрами (количество пропущенных по болезни рабочих дней, уровень заболеваемости, общая рождаемость, инвалидность и т. д.). В некоторых случаях для его оценки удобно использовать единый критерий - интегральный показатель, одновременно учитывающий комплексное влияние разных факторов и обобщающий информацию о различных аспектах состояния здоровья населения.
В данной работе используется одна из таких формул расчета интегрального показателя оценки здоровья, на основе которой строится модель максимизации общего уровня здоровья в регионе в виде задачи оптимального управления.
1. Методика расчета интегрального показателя состояния общественного здоровья
Качество или эффективность многих систем различного назначения нередко характеризуют одним интегральным показателем (ИП). К таким показателям относятся характеристики надежности функционирования многих технических систем, показатели экономической эффективности и окупаемости в экономике, уровни социально-экономического развития регионов, рейтинги в образовании и спорте и др.
Часто ИП задают с помощью линейных моделей, согласно которым он определяется взвешенной алгебраической суммой нескольких существенных,
изменяющихся во времени параметров. Достоинством таких моделей является линейная зависимость приращения ИП от приращения любого учитываемого им параметра. Кроме переменных параметров или показателей системы (ПС), количественно характеризующих соответствующие ее свойства, в выражения для ИП входят весовые коэффициенты (веса) этих показателей - неизменные параметры модели. В большинстве случаев линейные алгебраические выражения, задающие класс рассматриваемых многопараметрических моделей ИП, имеют вид [4]:
ип = Хк,. • пс , (1)
г=1
где весовые коэффициенты К принимают положительные значения, если увеличение показателей системы, к которым они относятся, вызывает увеличение ИП, или отрицательные, если увеличение ПС приводит к уменьшению ИП. При этом ИП и все ПС являются безразмерными величинами, т. е. используются относительные значения ПС. Обычно к рассматриваемым моделям предъявляется требование нормированности ИП, т. е. модель должна обеспечить изменение ИП в заданном интервале [ИПмин, ИПмакс]. В целом подбор значений К, учитывающих требования нормированности ИП, обеспечения необходимой чувствительности ИП в выбранном интервале его изменения, а также степень важности различных ПС для оценки качества рассматриваемой системы, является непростой задачей, решаемой экспертным путем.
Каждое слагаемое выражения (1) определяет долю ИП (положительную или отрицательную), вносимую в него г-м показателем системы (вклад г-го ПС в ИП). Обычно при изменении любого из ПС знак его вклада не меняется. Ограничиваясь рассмотрением этого, характерного для большинства систем случая, представим выражение (1) в обобщенном виде [3]:
ИП = А - В + С =
т п
= £ к, • пс, -£ К • пс, + с,
г=1 ,=т+1 (2)
где А - сумма вкладов, принимающих только положительные значения,
В - сумма модулей вкладов, принимающих только отрицательные значения,
С - постоянная составляющая (число), которую добавляют в выражение ИП для реализации необходимого смещения интервала его возможных значений (сделать, например, эти значения только положительными).
Очевидно, максимальное значение ИПмакс достигается в том случае, когда А = Амакс и В = 0, а минимальное - в случае А = 0 и В = Вмакс. Отсюда можно получить величину промежутка изменения ИП:
АИП = ИПмакс - ИПмин = Амакс + Вмакс . ВелИЧинЫ А и
В можно рассматривать как обобщенные параметры линейной модели ИП качества систем.
Расчет ИП производится следующим образом. Вначале выбираем значения ИПмин и ИПмакс и принимаем С + Амакс = ИПмакс и С - Вмакс = ИПмин. Промежуток [ИПмин, ИПмакс] в соответствии с рекомендацией экспертов делим на части, пропорциональные вкладам ВКг показателей ПСг. При выщаче этой рекомендации эксперты должны указать, сколько процентов от общей суммы вкладов должен составлять каждый ВКг. Затем, используя средние значения показателей системы ПСг, находим весовые коэффициенты этих показателей:
К = вк1 / лСг (3)
Последним определяем значение числа С. Поскольку интервалом изменения ИП чаще всего берется отрезок [0, 1], то среднее значение ИП равно
0.5. Тогда
С = 0.5 - А + В. (4)
Таким образом, расчет параметров модели ИП можно выполнить, пользуясь следующей методикой
[6]:
1. Определяется максимально возможное значение промежутка АИП = Амакс + Вмакс изменения ИП.
2. С участием экспертов выполняется разбиение суммы Амакс + Вмакс на вклады ВКІ параметров системы в эту сумму и согласно выражениям (2) и (4) находятся значения величин А и В модели ИП и число С. Используя средние статистические значения переменных параметров системы в целом, согласно выфажению (3) выгаисляются значения всех весовых коэффициентов модели.
Анализ причинно-следственных связей основных факторов, влияющих на показатели здоровья (ПЗ) населения, показывает, что большинство этих показателей в значительной степени зависит от качества окружающей среды в рассматриваемом регионе, от эффективности работы системы здравоохранения, образа жизни населения и социальноэкономических условий жизни [5]. К основным показателям здоровья населения, публикуемым в государственной статистике и зависящим от указанных факторов, можно отнести общую рождаемость
(ОРЖ - характеризует воспроизводство населения), среднюю продолжительность предстоящей жизни при рождении (СППЖ - расчетный показатель, аккумулирующий повозрастные показатели смертности), заболеваемость (общую заболеваемость по обращениям населения в учреждения здравоохранения
- ОЗО), первичную инвалидность (ПИНВ) и общую смертность (ОСМ).
Одна из линейных моделей ИП общественного здоровья, учитывающая эти показатели, предложена в работах Кирьянова Б. Ф. в целом для Российской Федерации [5, 7]. Она задается следующей зависимостью:
ИП = КОРЖ ■ ОРЖ +
+К СППЖ • СППЖ - К ОЗО • ОЗО -
- Косм ■ ОСМ - К^ • ПИНВ + С. (5)
Здесь К - весовые коэффициенты ПЗ, а С - число, определяемое средним значением ИП для рассматриваемой модели.
2. Расчет интегрального показателя оценки здоровья населения Кемеровской области
На основе представленной выше методики построим модель интегрального показателя здоровья населения для Кемеровской области. При этом возьмем значения используемых в (5) пяти показателей за период 1995 - 2009 гг. (табл. 1). Эти данные ежегодно публикуются в соответствующих статистических сборниках (напр., [8]).
Таблица 1
Значения показателей здоровья населения Кемеровской области за 1995 - 2009 гг.
Год ОРЖ СППЖ ОЗО ПИНВ ОСМ
1995 8.9 64.6 679.8 3.77 16.6
1996 8.5 65.9 619.2 4.46 16.1
1997 8.4 66.6 612.0 4.84 15.2
1998 8.7 64.1 597.6 5.13 14.3
1999 8.3 63.1 672.0 4.74 15.7
2000 8.9 62.8 734.6 4.91 16.5
2001 9.4 62.7 708.3 5.23 16.8
2002 9.9 62.0 781.9 5.46 17.5
2003 10.3 61.5 734.7 5.72 18.1
2004 10.5 62.2 741.7 5.95 17.7
2005 10.8 61.6 725.3 6.27 16.1
2006 11.3 63.0 816.9 7.12 17.3
2007 12.1 64.0 828.6 7.96 16.6
2008 13.0 62.4 793.8 8.54 16.3
2009 13.4 62.0 784.3 9.13 16.9
Произведем расчет параметров модели.
В соответствии с общепринятой практикой возьмем интервалом изменения значений ИП отрезок [0, 1], тогда максимально возможное значение промежутка изменения ИП равно:
АИП = Амакс + Вмакс = 1.
С учетом рекомендации экспертов по разбивке АИП на вклады ВКг отдельных показателей здоровья
[7], имеем: ВКорж = ВКпинв = ВКозо = 0.25,
ВКОСМ = ВКСППЖ = °.125.
Тогда А = ВКорж + ВКсппж = 0.375,
В = ВКпинв + ВКозо + ВКосм = 0.625,
С = 0.5 - А + В = 0.75.
Средние значения указанных пяти показателей для Кемеровской области на интервале 1995 -2009 гг. приведены в таблице 2.
Таблица 2
Средние значения показателей здоровья населения Кемеровской области за 1995 - 2009 гг.
Показатель ОРЖ СППЖ ОЗО ПИНВ ОСМ
Средние значения 9.95 63.22 709.67 5.72 16.60
По формуле (3) находим значения всех весовых коэффициентов для ПС модели ИП:
ВОРЖ = ВКОРЖ / 9.95 = 0.25 / 9.95 = 0.025126,
ВСППЖ = ВКСППЖ / 63.22 = 0.125 / 63.22 = 0.001977, ВОЗО = ВКОЗО / 709.67 = 0.25 / 709.67 = 0.000352, Впинв = ВКпинв / 5.72 = 0.25 / 5.72 = 0.043734,
ВОСМ = ВКОСМ / 16.60 = 0.125 / 16.60 = 0.007529.
В результате выражение (5) для модели ИП состояния здоровья населения Кемеровской области с
числовыми оценками всех коэффициентов принимает вид:
ИП = 0.025126 • ОРЖ + 0.001977 • СППЖ --0.000352 • ОЗО - 0.007529 • ОСМ -
- 0.043734 • ПИНВ + 0.75.
По этой модели были рассчитаны значения ИП для каждого года (табл. 3).
Таблица 3
Ежегодные значения ИП здоровья населения Кемеровской области за 1995 - 2009 гг.
Год 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
ИП 0.57 0.56 0.55 0.55 0.52 0.52 0.51 0.49
Год 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
ИП 0.50 0.48 0.49 0.43 0.41 0.42 0.41
Как видно из таблицы, интегральный показатель состояния здоровья населения Кемеровской области в 1995 - 2009 гг. имеет четко выраженную тенденцию к убыванию.
3. Построение динамической модели повышения уровня здоровья населения Кемеровской области
Найденный интегральный показатель общественного здоровья количественно оценивает состояние здоровья в Кемеровской области. Поэтому он может быть использован как критерий качества в задаче оптимального управления для повышения уровня здоровья населения.
Для построения этой задачи будем рассматривать промежуток 2001 - 2009 гг., за который имеется более полная статистическая информация о развитии области. Пронумеруем годы индексами Ь = и запишем формулу интегрального пока-
зателя для произвольного t следующим образом:
ИП1 = 0.025126 ■ уОРЖ + 0.001977 ■ уСППЖ -
- 0.000352 ■ у°ю - 0.007529 ■ у°СМ -
- 0.043734 ■ уПИНВ + 0.75,
где у°РЖ - общая рождаемость,
уСППЖ - средняя продолжительность предстоящей жизни при рождении,
уПинв - первичная инвалидность,
уО30 - заболеваемость,
у0СМ - общая смертность (за соответствующий год 0.
Переменные, от которых зависит интегральный
показатель ИП , будем рассматривать в качестве
характеристик, описывающих состояние рассматриваемой системы, т. е. ее фазовых переменных.
В качестве управляющих параметров возьмем инвестиции в основной капитал Кемеровской области по различным видам экономической деятельности:
х1 - инвестиции в образование, х2 - инвестиции в здравоохранение, х3 - инвестиции в предоставление социальных, коммунальных и персональных услуг, х4 - инвестиции в промышленность,
х5 - инвестиции в сельское хозяйство.
При этом будем считать, что инвестиции вносятся сразу в начале каждого года. Для указания номера
года введем соответствующий индекс времени £
хи , г = ^...,5 .
Фактические значения управляющих переменных на рассматриваемом промежутке времени приведены в таблице 4. В последнем столбце таблицы указаны суммарные величины инвестиций во все рассматриваемые виды экономической деятельности региона (Хь).
Таблица 4
Инвестиции в основной капитал по различным видам экономической деятельности
Кемеровской области (млн руб.)
Год Х* Х2, Х3( Х4* %
2001 260 530 460 12212 453 13915
2002 298 780 530 10800 580 12988
2003 320 870 698 10485 637 13010
2004 448 966 703 9961 722 12800
2005 720 1783 939 13056 1112 17610
2006 1394 1955 1332 9626 2084 16391
2007 1683 1817 1460 11237 2615 18812
2008 2914 3317 1734 9438 2572 19975
2009 2047 2750 1437 7487 1341 15062
Для формулировки закона движения задачи запишем уравнения зависимости показателей здоровья
у0РЖ, уСППЖ , уПИНВ, у030 , уОСМ от инвестиций хи , г = 1,...,5 .
Чтобы учесть динамический аспект, включим в правые части этих уравнений значения показателей здоровья предыщущего периода времени.
В качестве формы зависимости будем использовать нелинейную функцию типа Кобба-Дугласа, которая в общем случае имеет вид:
А, А 2 1
у — ах-,1 х22 ...хп
, а > 0,
А, + А + ... + Ап — 1, А ^ 0 , і — 1,...,п .
где у - зависимая переменная,
хі - независимые переменные.
Оценка коэффициентов производится методом наименьших квадратов (МНК) [1]. В результате получаем следующие уравнения динамики:
у- — а -х
1і х“ 2 і “ 3 і “ 4 і “ 5
1і ■ь2і ■‘'Зі ■ь4і Л5і
Ы-1)
где ] принимает одно из значений ОЗО, ПИНВ, ОСМ, ОРЖ, СППЖ.
Величины оценок параметров этих уравнений, найденные с помощью МНК, представлены в таблице 5 (значения индексов] для простоты опущены).
Таблица 5
Оценки параметров уравнений движения
Показатель а а1 а2 а3 а4 а5 Р
ОСМ 0.967 0.002 0 0.004 0 0 0.994
ПИНВ 0.009 0 0.226 0.143 0.381 0 0.250
СППЖ 0.959 0.003 0 0 0.007 0.001 0.989
ОЗО 0.465 0 0.067 0.119 0.165 0.018 0.631
ОРЖ 0.402 0 0 0.073 0.091 0.001 0.835
В силу рекуррентного характера полученных со- где Ц - заданный исходный уровень соответствую-отношений, к ним необходимо добавить начальные щего показателя здоровья.
условия вида: у0 = Ь-,
В рассматриваемой задаче в качестве уровней Lj выбираются фактические значения ПЗ начального (2000-го) года (табл. 1).
Сумма инвестиций, выделяемых в различные виды экономической деятельности региона в каждый год t, должна быть ограничена сверху значением Xt
(берется из таблицы 4). Отсюда получаем условие следующего вида:
Xlt + X2t + X3t + X4t + X5t £ Xt •
Кроме того, будем считать, что в связи с необходимостью осуществления всех форм экономической активности, инвестиции в каждый из видов деятельности региона не должны быть меньше некоторого минимального установленного значения:
xit > Хг min •
Минимальные значения х.
которые могут
принимать инвестиции на каждом шаге, определяются экспертным путем, исходя из установок социально-экономического развития региона.
На роль критерия качества возьмем требование максимизации уровня здоровья населения области, оцениваемого через интегральный показатель, к концу планового периода:
ИПТ ^ max при T = 9 .
Объединяя все приведенные выше соотношения, окончательно получаем следующую математическую модель:
уОсМ = 0.967x10i002x20ix30i004x40ix50i (y°™ Г94, (6)
усппж = 0959^3 f989, (7)
У.ОЗО = 0 465x 0 x0.067 x 0.119x 0.165 x0.018(y030 )0.631 (8)
yt = 0A65X1tX2t X3t X4t X5t (yt-1 ) , (8)
уОгРЖ = 0.402X0 x4tx4í073 x4í091x4í001(yОРíЖ )0.835, (9)
ушнв = 0.009x0 x^X0.14^38^ (y™ )0.25, (10) y°°CM = 16.5, УС0ППЖ = 62.8,
О30 = 690.2, уОРЖ = 8.9,
Уо
упши = 491,
ж.
3t 1 x4t
i = 1,...,5, t = 1,...,T,
X-, > X- - ,
it — i min
(11)
(12)
(13)
системы. Неравенства (12) - (13) представляют собой ограничения на управляющие параметры задачи. Выражение (14) является критерием качества модели, и, исходя из его вида, можно говорить о задаче оптимизации конечного состояния (задаче оптимального управления в форме Майера) [2].
Таким образом, совокупность выражений (6) -(14) представляет собой модель оптимального управления для повышения уровня общественного здоровья в Кемеровской области.
4. Решение задачи повышения уровня здоровья населения Кемеровской области
Для решения задачи (6) - (14) будем использовать метод динамического программирования, опирающийся на принцип оптимальности Беллмана [9].
Предварительно определим минимальные значения инвестиций в условии (13) следующим образом:
X1mrn = 260, X2mrn = 530, X3mm = 460,
X4mrn = 6800, X5mrn = 453.
При этом выборе учитывалась информация о минимумах соответствующих величин за рассматриваемый промежуток времени и значения подбирались так, чтобы
5
Z X min ^ “in Xt.
(15)
Применение метода динамического программирования к задаче (6) - (14) приводит к построению уравнения Беллмана с краевыми условиями следующего вида:
V(у Т, T) = ИПТ = 0.025126 • у0тРЖ +
+ 0.001977 • устППЖ -0.000352 • у0З0 -
(16)
ИПТ = 0.025126 ■ уОрж + 0.001977 ■ уСППЖ -
- 0.000352 ■ у030 - 0.007529 ■ у0СМ - (14)
-0.043734 ■ уПИНВ + 0.75 ^ max.
Эта задача является задачей оптимального управления с дискретным временем и терминальным критерием качества. Фазовыми переменными в ней являются показатели здоровья, а управляющими переменными - инвестиции в основной капитал по различным видам экономической деятельности Кемеровской области.
Соотношения (6) - (10) являются уравнениями движения. Условия (11) задают начальное состояние
-0.007529 • у0СМ - 0.043734 • уПИНВ + 0.75,
V(у,, t) = тах (V(/(у, ^+1), t +1)),
Х,.+1 еи,+,
, = 0,...,Т - 1, (17)
где / (у,, хг+1) - вектор-функция фазовых скоростей, определяемых правыми частями уравнений движения (6) - (10).
Допустимое множество и, в (17) для каждого , задается системой неравенств:
Х1, + Х2, + Х3, + Х4, + Х5, ^ ,
Х,, ^ Х,тт , г = 1,...,5.
Решение задачи (6) - (14) с помощью соотношений (16), (17) дает оптимальное (в смысле критерия (14)) управление и оптимальную траекторию развития региона, а также определяет максимальное конечное значение интегрального показателя здоровья населения Кемеровской области. Полученные результаты приведены в таблице 6.
Таблица 6
Результаты вычислений для задачи повышения уровня здоровья населения
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Управляющие переменные
Х, - 260 280 346 380 398 520 635 799 830
Х2, - 660 623 624 616 3182 2648.6 3762 3995 2559
Х3, - 2783 2577 2516 2440 3384 3018.2 3062 3995 2012
ХА, - 7428 6909 6921 6804 7123 6926 7589 7191 6947
Х5, - 2783 2597 2602 2560 3522 3278.2 3762 3995 2712
Фазовые переменные
у°,3° 690.2 573.3 496.8 452.7 423.7 477.9 499.5 536 576.3 532.9
у,ПИНВ 4.91 5.39 5.24 5.19 5.1 7.86 8.17 9.27 9.87 8.11
уОСМ 16.5 16.37 16.25 16.13 16 15.9 15.84 15.76 15.7 15.6
уСППЖ 62.8 62.77 62.73 62.72 62.73 62.78 62.86 63 63.23 63.39
уОРЖ 8.9 10 11 11.9 12.7 13.7 14.5 15.3 16.3 16.2
Значения интегрального показателя
ИП, - 0.57 0.63 0.68 0.7 0.59 0.59 0.55 0.53 0.62
Таблица 6 показывает, каким образом должны быть распределены инвестиции в различные виды экономической деятельности области, чтобы улучшить состояние общественного здоровья.
На рис. 1 представлен график фактических значений интегрального показателя и график значений ИП, полученных в результате решения задачи максимизации.
Из рисунка видно, что значения интегрального показателя, полученные в результате решения задачи повышения уровня общественного здоровья, больше фактических значений не только в конечный момент времени, но и на протяжении всего рассматриваемого промежутка.
тИП (факт) ШИП (расчет)
Рис. 1. График фактических и расчетных значений ИП
5. Моделирование изменения уровня здоровья населения при различных вариантах развития Кемеровской области Построив динамическую модель максимизации интегрального показателя здоровья населения Кемеровской области и разработав метод ее решения, можно изучить, как будет вести себя ИП в тех случаях, когда условия в регионе каким-либо образом будут меняться.
Например, можно проанализировать, какие последствия для здоровья населения вызовет увеличение или уменьшение общего финансирования области или изменение нормативов долей инвестиций в различные виды деятельности, определяемых их нижними уровнями х, т1п.
Вариант А. Пусть суммарные ежегодные инвестиции в основной капитал Кемеровской области увеличатся на 10 % от величин, принятых в условии задачи (6) - (14). Заметим, что при этом (как и во
всех рассматриваемых далее случаях) условие (15) должно быть выполнено.
Проведенные с помощью метода динамического программирования расчеты показали рост терминального значения ИП от 0.62 до 0.65. Найденные для рассматриваемого варианта оптимальные фазо-
вые переменные и управляющие параметры, а также получившиеся значения интегрального показателя здоровья населения Кемеровской области представлены в таблице 7.
Таблица 7
Результаты вычислений для варианта А
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Управляющие переменные
Х1, - 260 280 346 380 774 520 827 878 830
Х2, - 3061 1857 1862 1816 2874 2606 3138 3394 2113
Х3, - 3888 3475 3276 3267 5874 7606 5138 6394 3676
Х4, - 7034 6816 6964 6800 6973 6892 7449 7910 6934
Х5, - 2061 1857 1862 1816 2874 3406 4138 3394 3013
Фазовые переменные
у°3° 690.2 634.6 585.6 554.8 532.8 581.5 630.3 651.4 690.5 634.5
у,ПИНВ 4.91 7.1 7.5 7.6 7.5 9 9.6 9.9 10.7 8.6
уОСМ 16.5 16.4 16.3 16.2 16.1 16 16 15.9 15.9 15.8
уСППЖ 62.8 62.73 62.66 62.64 62.62 62.78 62.86 63.1 63.32 63.49
уОРЖ 8.9 10.3 11.5 12.6 13.5 15 16.7 17.9 19.3 19.6
Значения интегрального показателя
ИП, - 0.47 0.51 0.54 0.58 0.53 0.53 0.54 0.53 0.65
Вариант Б. Пусть суммарные ежегодные инвестиции в основной капитал Кемеровской области пропорционально уменьшатся на 5 %. Найденные с помощью метода динамического программирования оптимальные значения фазовых и управляющих переменных, а также значения ИП здоровья населения Кемеровской области демонстрируют снижение интегрального показателя общественного здоровья в момент Т со значения 0.62 до 0.60 (табл. 8).
Вариант В. Пусть в 2 раза (по сравнению с задачей (6) - (14)) увеличится нижний уровень хітіп затрат в образование. Тогда, как показывают проведенные расчеты, значение ИП в момент Т вырастет до величины 0.64 (табл. 9).
Таблица 8
Результаты вычислений для варианта Б
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Управляющие переменные
Х1, - 260 275 330 365 564 620 790 759 630
Х2, - 2543 2467 2271 2227 4041 3114 4574 4795 2291
Х3, - 1672 1637 1638 1630 2702 2920 3044 3595 2176
Х4, - 6898 6805 6948 6905 7074 7162 6888 7031 6848
Х5, - 1843 1152 1171 1032 2345 1754 2574 2795 2361
Фазовые переменные
у°3° 690.2 579.1 510.5 470.6 444.8 483.4 503.7 533.3 568.5 526.7
уПИНВ 4.91 6.6 7 7 6.9 8.7 8.8 9.5 10.1 8
уОСМ 16.5 16.3 16.2 16 15.9 15.8 15.7 15.6 15.6 15.5
уСППЖ 62.8 62.71 62.61 62.55 62.49 62.59 62.68 62.83 62.98 63
уОЖ 8.9 9.7 10.3 10.9 11.4 12.3 13.2 14.1 15 16.2
Значения интегрального показателя
ИП, - 0.5 0.52 0.55 0.58 0.52 0.53 0.51 0.49 0.60
Таблица 9
Результаты вычислений для варианта В
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Управляющие переменные
Х1, - 520 600 615 635 764 720 790 799 830
Х2, - 1783 7797 2802 2360 2522 3278 2762 2995 2012
Х3, - 2764 2767 1768 2060 5195 3070 5762 5995 3310
Х4, - 7064 6805 6817 6800 6850 7243 7004 7191 6896
Х5, - 1783 1017 1007 1045 2278 2078 2492 2995 2012
Фазовые переменные
у°,3° 690.2 602.3 544.2 498.6 475.1 524.7 538 581.2 621.1 579.4
у,ПИНВ 4.91 6.61 7 7.4 7.38 7.57 8.94 9.39 9.83 8.22
у°СМ 16.5 16.4 16.3 16.2 16.1 16 15.9 15.9 15.8 15.8
уСППЖ 62.8 62.86 62.89 62.92 62.96 63.1 63.23 63.37 63.55 63.68
у°РЖ 8.9 10 11.1 11.6 12.2 13.6 14.5 15.9 17.3 17.7
Значения интегрального показателя
ИП, - 0.50 0.53 0.55 0.57 0.54 0.54 0.53 0.54 0.64
Таблица 10
Результаты вычислений для варианта Г
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Управляющие переменные
Х1, - 260 310 285 364 410 440 520 799 718
Х2, - 1660 1767 1768 1060 2032 2648 2502 2995 2359
Х3, - 3383 2597 2602 3220 5520 4278 5962 5995 3012
Х4, - 6828 6896 6910 6895 7123 6926 7064 7191 6959
Х5, - 1783 1416 1444 1260 2522 2098 2762 2995 2012
Фазовые переменные
у°3° 690.2 610.6 548.6 513.2 486.4 533.1 533.3 591.9 628.3 584.2
уПИНВ 4.91 6.61 6.98 7.1 6.53 8.1 8.66 9.2 9.8 8.4
у°СМ 16.5 16.39 16.27 16.16 16 15.98 15.91 15.87 15.84 15.76
уСППЖ 62.8 62.71 62.64 62.57 62.52 62.56 62.59 62.68 62.85 62.97
у°РЖ 8.9 10.2 11.1 12 13 14.5 15.6 16.9 18.2 18.4
Значения интегрального показателя
ИП, - 0.5 0.53 0.56 0.62 0.58 0.57 0.57 0.56 0.64
Вариант Г. Пусть на 20 % увеличится минимальный уровень расходов на здравоохранение. В этом случае результаты расчетов по методу динамического программирования показывают рост терминального значения интегрального показателя здоровья населения от 0.62 до 0.64 (табл. 10).
Вариант Д. Пусть на 20 % уменьшится минимально возможное значение инвестиций в промышленность. Тогда вычисления по методу динамического программирования, результаты которых приведены в таблице 11, свидетельствуют об увеличении интегрального показателя здоровья населения в момент Т со значения 0.62 до 0.63.
Таблица 11
Результаты вычислений для варианта Д
, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Управляющие переменные
Х1, - 260 305 485 614 704 655 752 897 818
Х2, - 2517 1610 1613 1588 3522 3278 3762 4195 3012
Х3, - 3783 2597 2602 3560 4522 4278 5762 6095 2454
Х4, - 5571 5877 5707 5478 6339 5900 5772 5593 5764
Х5, - 1783 2597 2602 1560 2522 2278 2762 3195 2012
Фазовые переменные
у°3° 690.2 615.3 539.4 494.2 477.2 523.5 541.2 577.9 609.2 550.9
у ПИНВ 4.91 6.83 6.49 6.33 6.46 8.5 8.7 9.3 9.6 8
у°СМ 16.5 16.39 16.27 16.17 16.1 16 15.98 15.94 15.91 15.82
уСППЖ 62.8 62.62 62.52 62.49 62.47 62.56 62.59 62.65 62.75 62.81
у°РЖ 8.9 10 10.9 11.6 12.5 13.7 14.6 15.7 16.7 16.6
Значения интегрального показателя
ИП, - 0.49 0.52 0.59 0.62 0.54 0.55 0.54 0.54 0.63
Таким образом, дополнительно проведенные расчеты показывают, что попытки варьировать параметры модели (6) - (14) порождают адекватные отклики. Так, увеличение в условии задачи суммарных ежегодных инвестиций на 10 % от исходного уровня вызвало рост терминального значения ИП до значения 0.65, а их снижение на 5 % уменьшило интегральный показатель здоровья населения в момент Т до 0.60. Также оказалось, что значение ИП в момент Т будет возрастать при увеличении минимальной границы расходов на образование или на здравоохранение, а также будет расти при снижении минимума инвестиций в промышленность.
Заключение
Проведенные исследования продемонстрировали возможность использования интегрального показателя как обобщающей характеристики при построении математических моделей регионального развития в виде задачи оптимального управления, где интегральный показатель выступает в роли критерия качества. В частности, в построенной модели максимизации уровня здоровья населения области он дает комплексную оценку разных аспектов состояния здоровья населения, а управлениями берутся инвестиции в различные сферы экономической активности.
Предложенный подход к применению интегрального показателя может быть использован не только для решения проблем здравоохранения, как это было сделано в данной статье, но и в других сферах деятельности при наличии соответствующих методик расчета и статистического материала.
Литература
1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян.
- М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Данилов, Н. Н. Основы математической теории оптимальных процессов / Н. Н. Данилов,
B. В. Мешечкин. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004.
3. Кирьянов, Б. Ф. К проблеме определения весовых коэффициентов параметров линейнык моделей интегральных показателей качества систем / Б. Ф. Кирьянов // Вестник НовГУ. - 2007. - № 44. -
C. 33 - 37.
4. Кирьянов, Б. Ф. К теории построения интегральных показателей качества систем на основе линейных математических моделей / Б. Ф. Кирьянов, Д. В. Кирьянов // Современные наукоемкие технологии. - 2008. - № 4. - С. 73 - 74.
5. Кирьянов, Б. Ф. Математические модели интегрального показателя здоровья населения / Б. Ф. Кирьянов // Фундаментальные исследования. -2008. - № 9. - С. 99 - 100.
6. Кирьянов, Б. Ф. Методика определения значений параметров моделей интегрального показателя общественного здоровья / Б. Ф. Кирьянов // Охрана здоровья населения - национальный приоритет государственной политики (Сборник научных трудов ННЦ Северо-Западного Отделения РАМН, т. 5).
- М.: Медицина, 2006. - С. 125 - 130.
7. Кирьянов, Б. Ф. Усовершенствованные многопараметрические модели интегрального показателя общественного здоровья населения / Б. Ф. Кирьянов, В. А. Медик // Охрана здоровья населения - национальный приоритет государственной политики: сборник научных трудов ННЦ Северо-Западного Отделения РАМН, т. 5. - М.: Медицина, 2006. -
С. 67 - 73.
8. Кузбасс, 2010: стат. сб. // Кемеровостат. - 9. Пропой, А. И. Элементы теории оптималь-
Кемерово, 2010. ных дискретных процессов / А. И. Пропой. - М.:
Наука, 1973.
