CC BY
16
ных дорог» Казанского государственного архитектурно-строительного университета. Основное направление научных исследований: укрепленные грунты и обработанные материалы. Общее количество публикаций: 58. E-mail:
vdovin@kgasu. ru
Мавлиев Ленар Фидаесович - аспирант Казанского государственного архитектурностроительного университета. Основное направление научных исследований: укрепленные грунты и обработанные материалы. Общее количество публикаций: 15. E-mail: [email protected]
Строганов Виктор Федорович - доктор химических наук, профессор, заведующий кафедрой «Химия и инженерная экология в строительстве» Казанского государственного архитектурностроительного университета, почетный академик РААСН, академик Украинской технологической академии, заслуженный деятель науки Российской Федерации и Республики Татарстан. Основное направление научных исследований: физи-ко-химия полимеров, разработка и технология полимерных композиционных материалов. Общее количество публикаций: 450. E-mail: [email protected]
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ МАКРОХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ ТРАНСПОРТНЫХ С ООРУЖЕНИЙ
Г. Л. Горынин, А. Ф. Власко
Аннотация. Рассмотрен метод, позволяющий получать усредненные упругие характеристики периодических волокнистых композитов, используемых в строительных конструкциях, без введения каких-либо гипотез. Упругие макрохарактеристики вычисляются как интегралы функций, которые находятся путем решения семейства краевых задач на периодической ячейке.
Ключевые слова: волокнистый, композит, периодический, упругость,
макрохарактеристики.
Введение
В конструкциях транспортных сооружений при их строительстве и реконструкции все более широкое применение находят волокнистые материалы, представляющие собой композиты, состоящие из однородного материала заполненного прочными
волокнами. В данной работе рассматриваются волокнистые материалы, волокна в которых: прямолинейны и расположены параллельно друг другу. Механические свойства материала, в плоскости перпендикулярной волокнам, является 2-периодическими функциями. Плоскость, перпендикулярную волокнам,
можно представить состоящей из множества одинаковых прямоугольников - ячеек.
Численный расчет поля напряжений конструкции, произведённой из композитных материалов, тем трудозатратнее, чем меньше размер ячейки по сравнению с характерным размером конструкции, вплоть до полной невозможности решить задачу за разумное время. Это связанно с тем, что поле
напряжений в таком материале будет представлять собой быстрозменяющуюся функцию. Данная проблема решается с помощью замены в расчётах неоднородного материала однородным макроматериалом. Такой материал обладает упругими макрохарактеристиками - «средними» упругими характеристиками среды неоднородного материала, учитывающими все свойства этих сред и их взаимодействия. Вопрос получения таких макрохарактеристик в общем случае остается недостаточно изученным. Часто они получаются на основе введения некоторых гипотез о процессах упругого взаимодействия, протекающих в композитных материалах. В данной работе представлен метод вычисления
макрохарактеристик, без введения каких либо гипотез, основанный на асимптотическом расщеплении пространственной задачи теории упругости. Единственное условие -размер периода физических свойств должен быть на порядок меньше размеров самой
конструкции [1]. В статье [2] приведено определение макрохарактеристик для 1-периодической среды. В статье [3] даны расчеты для 2-периодической среды, но рассчитываются не упругие константы, а коэффициенты теплопроводности. В данной работе представлено усреднение упругих модулей для 2-периодической среды.
Основная часть
Рассмотрим тело, материал которого образован связующим и волокнами, расположенными периодически в плоскости Оху (рис.1), на которое действуют какие-либо нагрузки. Отношение размера периодической ячейки среды к характерному размеру тела является малым параметром:
h
в =—<<1, L
(1)
где h - размер ячейки, L - характерный размер тела.
Внутри тела выполняется уравнение равновесия:
дст
ах
дх
-в + -
дСТа
ду
-в + -
дст
______а:
дг
в + Fа = 0, а = {х,у,г}, (2)
где Fа - объемные силы, а стар - напряжения,
определяющиеся по закону Гука для анизотропной среды:
д(и ф )
ав аРфу
ф,фе{х,у}
в, а, Р, ф, у е {х, у, г}, (3)
где Е = [Еарфу (^х> ^у)]- тенз°р поДатливости, внутри каждой упругой среды он может непрерывно меняться, а на границах сред претерпевать скачки. В (2)-(3) переменные безразмерны:
х о х/Ц у о у/Ц г о г/Ц иа о иа/Ь, ^ о Еарфу/Е, (4)
староСТ~Р, qа о Еа = 4!^
«р Е Е Е
Рис. 1. Волокнистый материал
На границе перехода от одной упругой среды к другой должны быть непрерывны перемещения и контактные напряжения:
[ст ап ]= 0 , К ]= 0 , И^у^ (5)
где ст ап - контактные напряжения, которые по
определению вычисляются по следующей формуле
ст ап ст ахпх +ст аупу +ст агпг
(6)
Быстро осциллирующее решение задачи теории упругости для такого материала можно представить в виде суммы произведений частных производных медленно меняющегося решения (в макроматериале) и быстро меняющихся периодических ячейковых функций [1]:
(
(ua)(n) = vin)+ Z Z Z (ИЇ^-^Зг-sk > ae(x-y>z}> Рє(х,у};
(°aj
noe{vx,Vy,Vz } k =1 ^ kx +ky +kz =k
|(n )
k dkn0n) ■ ^ drk
Z Z Z fcl
noeiVx.VyVz } k=1 Vkx +ky +kz =k
drk
(7)
(8)
здесь п - номер асимптотического приближения, va - решение для макроматериала,
(иа)к - периодическая компонента решения
(ячейковые перемещения), (тПр)к - ячейковые
напряжения, к - вектор, определяемый таким образом:
к = (кх = ку = кг ) = кхУх + куУу + кгУг = |к| = к = кх + ку + кг >
дгк = 5хк* 5уку 5zkz, ка > 0, ка є Z
(9)
Для определения макрохарактеристик необходимо найти периодическую компоненту решения.
В ячейке задается локальная система координат £ £у є [0,1], координатные оси
параллельны осям глобальной системы координат. Ячейковые перемещения определяются решением девять краевых задач, для 9, X є {х, у, z} :
+-
= 0, a = {x,y,z}; (10)
закон упругости на ячейке -
(TVe )эл = E +
( ap) _ Eap0X ^
+
Z E
з(Це Г
5(UVe )Ці (11)
Е =0
условие нормировки решения -
'V1
(13)
(и ae )ум=о,
где
(14)
- интеграл от какой-то величины по
ячейковым переменным, взятый по всей ячейке, усреднение этой величины по ячейке:
і і
_> = Я _«у.
(15)
Решением девяти краевых задач (10)-(13) являются восемнадцать ячейковых перемещений (иа9)Ух(£х,£у) , однако не все они независимы, для них выполняются неравенства:
№ г=(иах )э9 ,«9Р )эх =
э (16) = (Тав )Э9 , а, Р, Х 9є{х,У,4-То есть, необходимо решить не девять, а шесть краевых задач (10)-(13).
Из решений краевых задач (10)-(13) вычисляются макрохарактеристики материала по формуле:
^ijkl
: (Eijkl) _
Z E 5(Utky‘ + Z E d(UvVk)
+ ' Z E^<P + Z Eijz^
їіФф яе
Ф,фє{х,у} °Ъср
фє{х_у}
_________+ V e _____________
аРфф aPz? др ’
ф,фе{х,у} ^Ьф фе{х,у} УЬф
условия непрерывности ячейковых функций внутри ячейки на границе различных сред -
[(04= 0, [(U:в г]= 0; (12)
условие периодичности ячейковых функций -
те )* (р х, р у) р=0=те ^ (рх, р у)
рх рх
«X)* (Рх,ру)|р =0 = «X)*(рх,ру)р ,,Х^{х,у};
У,кД е {х,у,г}.
(17)
Расчеты и их анализ
Цель: продемонстрировать влияние формы поперечного сечения волокна на значения макрохарактеристик.
Входные данные. Композитный материал - бетон, армированный прямолинейными параллельными волокнами из стали. Модуль Юнга стали, в безразмерных величинах - 10, модуль Юнга для бетона - 1. Коэффициент Пуассона стали - 0.28, коэффициент Пуассона для бетона - 0.2. Формы поперечного сечения волокон четырёх видов: квадратное, круглое, крестообразное, в виде кольца (волокно представляет собой трубку) (рис.2.).
о о
X
у
Рис. 2. Периодические ячейки с различными формами поперечных сечений арматурных волокон: а) квадрат, б) трубчатое сечение, в) крестовина, г) круг
Результат. Краевые задачи (2)-(5) на ячейке решались методом конечных элементов. Результаты интегрирования функций по ячейке представлены в виде графиков (рис.3)-(рис.8), на них отображена зависимость коэффициентов упругости от коэффициента армирования 9. Коэффициент армирования -отношения площади сечения волокна к общей площади ячейки. На графиках изображены: модуль Юнга вдоль оси Ох - Ех (рис.3.) (вдоль оси Оу он будет таким же в силу сим-
метрии структуры ячейки), коэффициент Пуассона V2х =-вх/ 8х (8х - деформация вдоль Ох) (рис.4), Vхх (рис.5), Vху (рис.6), модуль сдвига поперёк направления армирования д хх (рис.7) и модуль сдвига в плоскости Оху
- дху (рис.8). Модуль Юнга вдоль Ох, практически совпадает с среднеарифметическим свойств сред, и не показан. Коэффициенты в безразмерных величинах.
Рис. 3. Модуль ЮнгаЕх . Формы сечения:
1) квадрат, 2) трубка, 3) крестовина, 4) круг. Аналитические формулы 5) среднее гармоническое, 6) среднее
Коэффициент армирования 0 Рис. 4. Коэффициент Пуассона Vхх. Формы сечения: 1) квадрат, 2) трубка, 3) круг
Коэффициент армирования 0
Рис. 5. Коэффициент Пуассона Vхх . Формы сечения: 1) квадрат, 2) трубка,
3)крестовина, 4)круг
Коэффициент армирования 0
Рис. 6. Коэффициент Пуассона Vху .
Формы сечения: 1) квадрат, 2) трубка, 3) крестовина, 4) круг
©Л ог 03 04 ОБ »« от 01 о» 1
Коэффициент армирования 0 Рис. 7. Модуль сдвига д хх. Формы сечения: 1) квадрат, 2) трубка, 3) крестовина, 4) круг
О 01 02 03 0« 0« Ов 07 О* 0« I
Коэффициент армирования 0 Рис. 8. Модуль сдвига д ху. Формы сечения: 1) квадрат, 2) трубка, 3) крестовина, 4) круг
о 01 о; аз 04 о< оо от оа оа 1
Коэффициент армирования 0 Рис. 9. Относительное отклонение модуля продольного сдвига разных форм сечений от квадратной формы. Формы сечения: 1) круг, 2) крестовина, 3)трубка
Как видно из графиков упругие макроконстанты существенно отличаются для сечений разной формы при одинаковом коэффициенте армирования. На (рис.9.) продемонстрировано относительное отклонение модуля продольного сдвига разных форм сечений от квадратной формы, при коэффициенте армирования, равном 0.5, отклонение достигает пятидесяти процентов.
В статье [4] В. А. Федорова представлены аналитические верхние и нижние оценки для продольного сдвига. Сравнение рассчитанных модулей продольного сдвига д хх с этими оценками показало, что вычисленные макрохарактеристики укладываются в них (рис.10.)-(Рис.11.).
N
X
ZL
X
ей
а
о
1—
I
1
=з
S
^8-
LI
о ПИ
0*
о 01 вз оз о« од 04 07 оа оа і
Коэффициент армирования 0 Рис. 10. Сравнение модуля продольного сдвига д Х2 для квадратного сечения 1) с оценками
Федорова: 2) верхняя ~ХКК) >
3) нижняя р®
0« --1----'--1----'----*--*-----------'->--
о 01 02 01 04 о& ов 0.7 оа оа а
Коэффициент армирования 0 Рис. 11. Сравнение модуля продольного сдвига д хх для крестообразного сечения
1) с оценками Федорова: 2) верхняя ~ХКК),
3) нижняя дХХ)
Заключение
Отличие усреднённых характеристик волокнистого материала, в случае различных форм сечений, при одинаковых значениях коэффициента армирования, может достигать 50%. Следовательно, использование методов расчета усреднённых характеристик, не учитывающих эту форму или основанных на обобщённых моделях, сильно ограниченно. Использование в производстве конкретной формы сечения волокна композита соотносительно с функцией конструкции, произведенной из него, может позволит усилить положительные качества конструкции, например прочность, ослабить отрицательные, например вес, и снизить себестоимость производства за счет использования меньшего объема материала волокна.
Библиографический список
1. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. Метод асимптотического расщепления для упругой 3-периодической среды // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика [Электронный ресурс] / Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко, Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г., Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2011, № гос. регистрации -0321101160.
2. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. Математическое моделирование упругих макрохарактеристик для 1-периодических сред // Известия алтайского государственного университета. - 2012. -№1/2(73) . - С. 36-41.
3. Горынин Г. Л., Власко А. Ф. Математическое моделирование макрохарактеристик процесса теплопроводности для волокнистых материалов при расчете строительных конструкций на действие тепловых нагрузок // Вестник СибАДИ. - 2012. -№3(25) . - С. 69-74.
4. Федоров В. А. Структурные модели продольного сдвига однонаправленных композитов симметричного строения // Механика композитных материалов. - 2012. - Т. 48, №3 . - С. 381-400.
MATHEMATICAL SIMULATION OF ELASTIC MACROCHARACTERISTICS FOR FIBROUS MATERIALS AT CALCULATION OF TRANSPORT FACILITIES CONSTRUCTION
G. L. Gorynin, A. F. Vlasko
The averaging method, allowing to receive averaged elastic characteristic for periodic fibrous materials used in building designs, without introducing any hypothesis. Elastic macrocharacteristic is calculated as integral functions which are by the decision of assemblage of boundary-value problems on a periodic cell.
Горынин Гпеб Леонидович - доктор физикоматематических наук, доцент по кафедре «Строительные технологии и конструкции», заведующий кафедрой «Строительные технологии и конструкции». Сургутский государственный университет. Основное направление научных исследований - механика композитных конструкций. Общее количество публикаций: свыше 80. электронная почта - [email protected].
Власко Андрей Федорович - аспирант кафедры «Строительные технологии и конструкции» Сургутский государственный университет. Основное направление научных исследований - механика композитных конструкций. Общее количество публикаций: 3. электронная почта -
vlasko. а. f@yandex. ги.
УДК 691.620.18
ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЯ БЕТОНА ПРИ МЕХАНОАКТИВАЦИИ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
А. Ф. Косач, М. А. Ращупкина, Н. А. Гутарева, А. В. Обадьянов
Аннотация. В статье, представлен процесс структурообразования с учётом связи межфазных взаимодействий и внутренних сил с распределением по крупности частиц, входящих в структуру бетона, особенно так называемой микрогетерогенной составляющей с крупностью частиц в диапазоне 10 + 0,1 мкм.
Ключевые слова: структурообразование, механоактивация.
Введение
Современные достижения в области механики дисперсных систем, в виде внутренних сил дисперсной или дисперсно-зернистой системы, создали дополнительные возможности управления начальной структурой бетонов.
Измельчение твёрдых материалов - осуществляют механическим разрушением крупных фрагментов ударным и/или сдавливающим действием в аппаратах различных конструкций, назначения, мощности и производительности [1,4,5]. Чем меньше зёрна новообразований и размеры пор между ними, тем выше прочность бетона даже при одном и том же водоцементном отношении.
Портландцемент в современном строительстве является основным высококачественным вяжущим веществом для бетона, отвечающим физико-техническим требованиям.
Повышение тонкости помола цемента и специальные мероприятия, обеспечивающие диспергацию частиц и пор, способствуют получению высококачественной тонкозернистой структуры.
Основная часть
Современные достижения в области механики дисперсных систем создали дополнительные возможности управления начальной структурой бетонов. Ключевым моментом этой стороны управления является избыточная поверхностная энергия, участвующая в структурообразовании фаз, которая проявля-
ется в виде внутренних сил дисперсной или дисперсно-зернистой системы.
Закономерности структурообразования и пороговые структурные переходы в основном соответствуют современным представлениям физико-химической механики дисперсных систем. В то же время для отдельных моментов не удалось дать достаточно полного обоснования, что создаёт некоторую неоднозначность в управлении процессом. В частности, недостаточно разработанным в научном и практическом плане выглядит вопрос о связи межфазных взаимодействий и внутренних сил с распределением по крупности частиц, входящих в структуру бетона, особенно так называемой микрогетерогенной составляющей с крупностью частиц в диапазоне 10 + 0,1 мкм. В связи с этим предприняты попытки более глубокого рассмотрения процессов структуро-образования с учётом именно этого фактора.
Кроме максимальной упаковки зёрен песка, важную роль при получении тонкозернистых бетонов играет удельная поверхность заполнителя, влияющая на водопотребность бетонной смеси, и площадь сцепления зёрен заполнителя с цементной матрицей. Удельная поверхность дисперсной фазы, содержащей одинаковые частицы, вычисляется по формуле:
