Моделирование усталостных характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения и "химического" критерия длительной прочности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Ю. И. Д и м и т р и е н к о, А. Ю. Д у б р о в и н а, А. П. С о к о л о в

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАЛОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ И «ХИМИЧЕСКОГО» КРИТЕРИЯ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ

Предложен метод расчета усталостных характеристик композиционных материалов, основанный на использовании метода асимптотического осреднения периодических структур, конечно-элементном методе расчета тензоров концентрации микронапряжений в компонентах композита, модели разрушения пучка моноволокон в композите при многоосном нагружении, а также «химического» критерия длительной прочности. Представлены результаты численных расчетов усталостной прочности композитов слоисто-волокнистой структуры.

E-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Ключевые слова: композиционные материалы, сопротивление усталости, метод асимптотического осреднения, химический критерий прочности, слоисто-волокнистые композиты.

Проблема прогнозирования долговечности конструкций из композиционных материалов приобретает все большую актуальность в связи с расширением областей применения этих материалов в последние годы. Применение композитов в конструкциях современных и перспективных самолетов требует тщательного изучения поведения материалов при переменных нагрузках, а также возможности прогнозирования долговечности и остаточного ресурса конструкций из композитов. Однако, в отличие от традиционных конструкционных материалов, существующие методики расчета усталостной прочности композиционных материалов разработаны еще крайне не достаточно. Широко известные критерии длительной прочности изотропных материалов (сплавов, полимеров) [1-4], как правило, могут быть применены лишь для частных процессов нагружения.

В работах [5, 6] был предложен новый критерий длительной прочности композиционных материалов, основанный на термодинамическом подходе к моделированию прочности, при котором в качестве основной меры, «регистрирующей» накопление дисперсных повреждений в материале, было предложено использовать химический потенциал ¡л (в механике сплошных сред известный как термодинамический потенциал Боуэна [7, 8]), но записанный для вязкоупругих тел.

Физическое обоснование для выбора химического потенциала основано на идее, что разрушение микросвязей между молекулами полимеров, вызванное как механическими, так и чисто химическими процессами, может быть охарактеризовано одной и той же величиной, имеющей некоторый энергетический порог. В физической химии такая величина давно широко используется для описания различного рода предельных переходов (фазовых превращений) — это химический потенциал, скачкообразное изменение которого Ал и является характеристикой фазового превращения. Используя предложенную химико-механическую аналогию, в [5] был сформулирован критерий механического разрушения полимеров, как достижение химическим потенциалом предельного значения А¡л , а мерой близости к этому значению выбрано отношение 2{() = Ал/Ал*, называемое параметром повреждаемости. Однако для того, чтобы учесть вклад механических факторов в термодинамический химический потенциал л потребовалось записать его с учетом напряжений и деформаций в рамках модели термовязкоупругого поведения материала (в химии обычно эти «механические» слагаемые не учитывают). Кроме того, поскольку химико-механическая аналогия имеет логическое обоснование только на молекулярном уровне, а на макроскопическом уровне разрушение материала определяется еще и другими факторами (главным образом неоднородным напряженным состоянием в надмолекулярной структуре), то при переходе к интересующему макроуровню, в критерии длительной прочности было предложено ядра функционалов брать не из деформационных вязкоупругих характеристик полимеров, а непосредственно из базовых макроиспытаний на длительную прочность при некоторых фиксированных программах нагружения. Полученный в результате таких положений критерий прочности был назван «химическим» критерием длительной прочности, его апробация на различных материалах и программах нагружения (включая сложные режимы знакопеременного усталостного нагружения — достаточно «неудобные» для функциональных критериев длительной прочности) показала хорошие результаты.

Целью настоящей работы являлось применение «химического» критерия длительной прочности для моделирования усталостных характеристик композиционных материалов, в рамках предложенной ранее концепции: усталостные свойства структурных компонентов композита известны, требуется определить усталостные характеристики композиционного материала в целом. В качестве математического аппарата, позволяющего агрегировать свойства компонентов и получать на выходе искомые свойства композита, применен метод асимптотического осреднения [9-12].

Формулировка локальных задач теории упругости.

Метод асимптотического осреднения позволяет сформулировать

локальные задачи теории упругости Ь на ячейке периодичности [9, 10]

рч

а _ /у

°ij(pq)/j ~

СТ^ = Саыг11т,;X g (V^ иХ,);

ij (pq)

^ijkl kl (pq )> i

1 (

i (pq)/ j + Uj (pq )/i)'X

i (pq)

uN •

(pq)'

ua = uN •

Ui ( pq ) ^i ( pq )'

(pq) - CT pq) Ц = 0; x gX

(1)

Здесь оа(рч) — псевдонапряжения [9, 10]; £а. — псевдодеформации; и®(рч) — псевдоперемещения в компоненте композита (а = 1 ... N, индекс N соответствует матрице композита) в рамках 1/8 ячейки периодичности (ЯП) К; 2 — поверхность контакта ком-

1 Ъав

понентов, координатные плоскости — 2 = = 0}, а 2 = (Ь = ар/2}, э = 1, 2, 3 торцевые поверхности ячейки периодичности; Ь — локальные координаты в ЯП; // = д/д!,.; Ха; ла — константы Ламе и Сак1 — модули упругости компонентов. К задаче (1) присоединяются условия на торцевых поверхностях и на координатных плоскостях, которые различны для разных р и ч:

Условия на торцевых поверхностях 2':

U

i (pq)

U а

k ( pq)/i

a -

—p f Л U!a

2 £pq°p;uj(pq)/i

0;

U

i'( pq )

u

k (pq)

= 0; ap -

7Fp = 0; em

Х; i * j * k * i; p 0;

q;

(2)

qöpp ;U

j (pq)/ j

Х;i * j * k * i;p * q.

а

f

Условия на плоскостях симметрии имеют аналогичный вид, но с нулевой правой частью. Здесь £ — макродеформации композита, которые заданы для ЯП.

Для численного решения локальных задач (1),(2) применялся метод конечного элемента [11].

Эффективные определяющие соотношения композита. После решения серии задач Ь для всех значений (рч) и нахождения псевдоперемещений и^ ^ и псевдонапряжений в компонентах композиционного материала, используя интегрирование псевдонапряжений по областям, занятым компонентами композиционного материала,

можно вычислить средние напряжения в композиционном материале о. (макронапряжения):

о = 2 о о = (оа ) = 1м [ оа ё¥ (3)

] р,д (](рч? (](рд) 4 (](рдУ «=1 У(а) (](рд) ' 4 '

которые связаны с макродеформациями е с помощью эффективны«

рд

определяющих соотношений упругости

¿ч С1]р1ек1, (4)

где С]].рд — компоненты тензора эффективны« модулей упругости композиционного материала, которые вычисляются по формулам

С = СС{0)(р \- а,](рч) ^ (5)

^ЮТ -у-урдЬ ^урчКЫ)- - , V )

В рч

где по р и ч суммирования нет.

Тензоры концентрации напряжений в компонентах композита.

Тензор концентраций напряжений Вак1( £т), связывающий напряжения в компонентах композиционного материала оа(£ ) = 2 оа, . (микро-

^ г р,д 1](рд) 4 г

напряжения) и макронапряжения о.,

оа (£ ) = £«(£ )ои

определяем с помощью следующих соотношений [10]:

) = 2 С(°>(£)П ,, (6)

1]к1^^т' р,д чрд^-^т' рдк1' V '

где Прдет = С^ — тензор упругих податливостей, тензор С^Ч^Е,) определяется формулой (6).

«Химический» критерий длительной прочности. Моделирование усталостной прочности композита основано на поиске допусти-мык предельный значений микронапряжений о^^) в компонентах композита. Согласно химическому критерию длительной прочности разрушение компонента композита в некоторой точке £т* в момент времени ¿*(£т) происходит, если в этот момент достигает значения 1 параметр повреждаемости 2 ^Р):

^*(С)) = 1. (7)

Параметр повреждаемости состоит из двух частей: обратимык и необратимых повреждений [5]

а) = ^Д) + ^ ('Д (8)

Параметр обратимык повреждений 2^г для изотропнык сред имеет вид

Z , (t) = A +a2 + A a2 + A a2u + K 0 f a" + - Г20 f ^

oof у f oo + oo + oo — oo — oo OOM OO 0J ( oo0 J (

n 2 — * \2

(t — T)Y

XT)dz

(t — т)

ß

J

(9)

где Aa+, Aa-, Aa, Kao, Гао, y, ß — набор констант модели; a« = °a — среднее напряжение; aau — интенсивность напряжений; о- являются комбинацией оаи и о«:

Oau+ = —— (|оаu - ± aau - *a±± = —— о ± о«); (l0)

Z — константа модели; a«± — знакопостоянные инварианты. Константы A , Aa-, A« можно выразить через пределы статической прочности компонентов композита на растяжение a«T, сжатие aaC и

сдвиг °aS:

A = _J___1_ = 1__1 = 1

Aa+= 2 a 2 ; Aa—= 2 * 2 ; Aa = ~ 2 . (11)

a aT 3a aS a aC 3a aS 3a aS

Для необратимой части повреждений z«d (t) имеет место следующее выражение:

t t т

Z ad (t) = Daf a0u + (т) dT — DaC0\a au + (т) f eXP(—ф(т — X ))aau + ( X ) dxdт, (12)

0 0 0

где Da, с, ф — константы.

«Химический» критерий усталостной прочности при циклическом нагружении. При простом (пропорциональном) моногармоническом нагружении макронапряжения о, и микронапряжения о. изменяются во времени t по закону

= + > = ^ + > О3)

Л

где О., ио« — амплитуда колебаний макро- и микронапряжений; к — параметр асимметрии цикла; с $ 0 — частота нагружения. Рассмотрим многоцикловое нагружение, когда число циклов N = tc велико, а колебания являются знакопостоянными: |k| $ 1. Тогда инварианты оau± и о« также изменяются по закону (13) с амплитудами оаи± и о«.

Для «не очень» больших значений времени t* вкладом необратимых повреждений (12) функционале (8) можно пренебречь. Тогда, если циклическое нагружение происходит только в области сжатия или только растяжения (k $ 1), критерий (7)-(9) можно преобразовать к следующему виду [6]:

где обозначены функции от параметра асимметрии цикла нагружения

Nla( к) = ^ f( k), 1 - у

Г

fi( к) = и функции времени

к2 + 0.5

(I к | +1)2

N2а (к) = f (к),

f (к) =

(15)

I к | +1

aS

= (1 / (T2S + 3NJk)C ~ 3N2a(k)t2-2ßY. (16)

Критерий (14) позволяет найти время до разрушения компонента композита при фиксированных амплитудах микронапряжений ат. е. (14) фактически является критерием усталостной прочности.

Критерий усталостной прочности для нитей в композите. Одним из наиболее широко применяемых компонентов в современных композитах являются высокопрочные армирующие нити, которые ориентируют по специальным направлениям, например, собирают в многослойный пакет, слои которого образуют заданные углы с некоторым выделенным направлением (рис. 1). Это так называемые слоисто-волокнистые композиты (СВК). Нити состоят из большого числа моноволокон, пропитанных матрицей. Моноволокна имеют различную длину и их упруго-прочностные свойства, как правило, обладают масштабным эффектом [12]. Поэтому для описания упруго-прочностных свойств нитей применяют специальные модели, учитывающие особенности их разрушения при различных видах напряженного состояния. Примем далее модель, предложенную в [12], согласно которой каждая нить с номером а в собственной системе координат

Рис. 1. Слоисто-волокнистый композит

2

О^а связанной с ее геометрической формой, является трансверсаль-но-изотропной, и ее усталостные свойства описываются двумя параметрами повреждаемости г^) и Параметр г1а(0 учитывает только свойства в направлении укладки моноволокон, а второй — только в поперечных направлениях и при продольных сдвигах:

а-1

\GaT

3 &asj

Y2 +

12 а+ ^

\а

'2 К^аС

а+ ^ 1 а

1/2

(У„т (У

V

12

(17)

1

у2 +_I_(у2 + 3Y2 + 12Y2

12а- ^ i2a2 ^ Ъа 4а)'

aS

(18)

Усталостное разрушение нити по типу 1 или 2 наступает, когда достигается соответствующее предельное условие

Z1a(0 = 1; z2a(Q = 1.

(19)

В (17) и (18) обозначены инварианты тензоров амплитуд напряже-У У

ний записанные в собственной системе координант Од^, связанной с ориентацией нити:

Y1a± = 1 (Кзз\ ± (a33 ) Y2a± = 1 (|(a11 + ( a2l\ ± ((a11 + (a22))

(20)

Y23а = ((a11 - °a22)2 + 4(

а12'

Y4a (a13 + (а23.

Направление 3 здесь полагается соответствующим криволинейной оси нити, а направления 1 и 2 — ортогональны к нему. Переход к единой для всех компонентов системе координат О^т осуществляется с помощью тензорных преобразований

u _^ /о А

aij ¿¿aik^ajl akl'

(21)

где Qajl — матрицы поворота.

Пределы о1ат и &1ас усталостной прочности нити при растяжении и сжатии в направлении укладки моноволокон вычисляются по формулам [12]:

(22)

fs-V2, Bm2 > Bm4 L"1/2, Bm2 < Bm4

(23)

где И0, Тр ¿/, (/ — Вейбулловские параметры разброса прочности моноволокон в нити [12]; р^ — коэффициент армирования нити (доля моноволокон в нити); а тТС8—пределы усталостной прочности матрицы на растяжение, сжатие и сдвиг; 0/Т — среднестатистический по пучку моноволокон предел усталостной прочности моноволокон на растяжение, которые имеют выражение, аналогичное (16):

а т* = (1ат* + зад^ - ЩтШ-в-1;

^2тТ,С = (^тТС + ^т^ " ^к)'^Г1; (24)

о2Т = (1/ауТ + Nlf (куП - Ы2/(£К2-2в/)-1,

где атТС8 — пределы статической прочности матрицы на растяжение, сжатие и сдвиг; а^Т — средний предел статической прочности моноволокон в нити.

В формулах (22) обозначены коэффициенты концентрации напряжений в той части матрицы, которая находится в составе нити (окружает моноволокна):

БтХ = (1 -8Л8Г + ^52^в1П22Ф„ Бт1 = " ' Р '

f} f о f т f' m 2 ^

' f 2 f Em f VfEf

1 + 22ф f

v m J

1 + v,_, Et s-^2

Bm4 = tgф f, ВтЪ = (1 - öf)öf Sf /зШ22Ф/, Sf = 2

Ь

п

j

(25)

Здесь Ф/ — угол разориентации моноволокон в нити; Ет, Е^ — модули упругости матрицы и моноволокон; — коэффициент Пуассона моноволокон.

Разрушение нити при продольном сжатии возникает вследствие потери устойчивости моноволокон. Потеря устойчивости объясняется наличием угла разориентации моноволокон Ф/. В результате потери устойчивости моноволокно изгибается и в матрице возникают напряжения, ведущие к ее разрушению или к отслаиванию моноволокна.

Пределы усталостной прочности нити при поперечном растяжении, сжатии и сдвиге, а также при продольном сдвиге нити выражаются по формулам

Критерий усталостной прочности композита. Полагаем, что ЯП композита состоит из системы N - 1 нитей (а = 1 ... N - 1), каждая из которых ориентирована по своему направлению, задаваемому соб-

ственной криволинейной системой координат O^- Вся система нитей окружена матрицей, которой соответствует индекс а = N. Тогда усталостное разрушение композита описывается системой критериев усталостной прочности (17), (18) для каждой нити а = 1 ... N - 1 и критерия (14) при а = N — для матрицы:

max{z1a(t*), z2a(t*), zN (t*)} = 1, а = 1 ... N - 1, (27)

где zN (t*) — параметр повреждаемости матрицы, согласно (14),

zN(t*) = A £2 + A а2 + A2 (t*)a2 . (28)

Nv * m+ m+ m- m- 2my * mu v 7

Подставляя в (27) выражение (5) для компонент микронапряжений, получим искомый критерий усталостной прочности, выражена

ный через макронапряжения - ...

Критерий (27) для каждого момента времени t* гиперповерхность

а

в 6-мерном пространстве макронапряжений о.

t*, k) = 1. (29)

Для того, чтобы пользоваться этой поверхностью при проведении расчетов конструкций из композитов на усталость, часто удобно иметь

способ представления поверхности не в виде алгоритма решения урав-

а

нения (27), а в виде множества точек р}, р = 1, 2, ... на поверхности

усталостной прочности в 6-мерном пространстве макронапряжений. а

Точки ö.{ р} е на поверхности усталостной прочности композитов находим с помощью следующего алгоритма. В 6-мерном пространстве макронапряжений из нулевой точки осуществляем пропорциональное (простое) нагружение по лучу

°/р} = °0я/р}т{р}, р = 1, 2, ... , (30)

где n {р} — направляющие косинусы луча нагружения (n {р}п {р} = 1); а

°0 — размерная константа напряжений; т — переменный параметр

0 а

движения по лучу; о{рР — координатный столбец напряжений, обра-

а

зованный из компонент тензора -... Подставляя выражение (30) в (29), и учитывая, что все критерии усталостной прочности (27), (28) матрицы и нитей являются однородными функциями 2-го порядка, получаем для параметра т следующее значение:

Подставляя найденное выражение для т{р} в (30), находим коорди-а

наты точки р}, р = 1, 2, ... в пространстве напряжений. 42

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2011

Результаты численного моделирования. В качестве примера разработанного метода был рассмотрен слоисто-волокнистый композит, с тремя типами армирующих нитей (а = 1.. .3, N = 4), уложенных в плоскости, ортогональной к оси Все нити были прямолинейными, но отличались углом фа поворота оси 0^1: нити а = 1 были ориентированы под углом ф1 = 0° оси 0£3, нити а = 2— под углом ф2 = 90 °, а угол ф3 нити а = 3 варьировался в диапазоне от 0 до 90°. Такие композиты широко применяют на практике и образуются выкладкой или спирально кольцевой намоткой.

Характеристики моноволокон в нитях соответствовали органическим волокнам, а характеристики матрицы — эпоксидной матрицы со следующими значениями констант:

Е = 200 ГПа, ат = 2,2 ГПа, ^ = 0,25, ю, = 0,33, ^ = 0,07, г/ = 0,25

Н() = 3, Ф/ = 1°,

Е = 3 ГПа, V = 0,35, а т = 35 МПа, а С = 43 МПа, а „ = 27 МПа,

т ' т ' ' тт ' тС ' тл '

= 0,153, Г>0\2-2в = 0,008, у = 0,798, в = 0,9, а0 = 10 МПа, ^ = 5108 с,

К^а^-Ъ = 8,2510-5, //20а02Г02-2в/ = 0,510-5, у = 0,721, 0/ = 0,823.

ГПа

----------

......Е Г ---------\---------------

Ф,град

Рис. 2. Графики зависимости эффективных модулей упругости композита СВК от угла армирования ф

Частота нагружения была выбрана равной 17 Гц. На рис. 2 показаны графики зависимости эффективных модулей упругости композита СВК Е1, Е2, Е3 от угла армирования ф3 = ф. На рис. 3 аналогичные зависимости для модулей сдвига G12, G13, G23, а на рис. 4 - для коэффициентов Пуассона У12, у13, у23. Эффективные упругие модули рассчитаны по формулам (5). Результаты конечно-элементного решения локальных задач (2) в ЯП обсуждались в работах [9, 10].

ГПа

■0

: : „ : ___ ^ ;

1 .....i

* х х / X 1 1

/______________________________________________________\

у/ \ 1 1

ш уГ > 1 V

т ю -ZI!*?................... V

15 30 45 60 75 90

Ф,град

Рис. 3. Зависимости модулей сдвига эпоксидного органопластика СВК от угла армирования ф

Рис. 4. Зависимости коэффициентов Пуассона композита СВК от угла армирования ф

МПа

___

!

—----- :

........................... ........................... aS23 ...........................!...........................|

~ "'..... I '--1

и 15 30 45 60 75 90

Ф,град

Рис. 5. Графики зависимости пределов статической прочности композита СВК при растяжении и сдвиге от угла армирования ф

МПа

i

? 15 30 45 60 75 90

Ф,град

Рис. 6. Графики зависимости пределов статической прочности эпоксидного органопластика СВК при сжатии от угла армирования ф

Графики зависимости пределов статической прочности при г = 0 композита СВК <гТ2, оТ3, а823, оС2, оС3 от угла армирования ф показаны на рис. 5 и 6. Пределы прочности соответствуют фиксированным точкам, являющимися пересечениями осей координат с поверхностью

прочности (29) при г = 0: й(<.р}Д0) = 1: ат2 = а2р}, остальные <р} = 0; <т3 = <3{3р}, остальные <р} = 0; <г823 = <2?}, остальные <{р} = 0; <с2 = -«22^, остальные <{р} = 0; <с 33 = -<3{3Р}, остальные <р} = 0. МПа

40 30 20 10 О

3 4 5 6 7 г, с

Рис. 7. Сечения поверхности статической прочности эпоксидного органопластика СВК плоскостью , (Г„) при различных углах ф

А, ат

Л, Ус

Рис. 8. Графики усталостной прочности эпоксидной матрицы при растяжении, сжатии и сдвиге

Рис. 9. Графики усталостной прочности <г TCS (t) и а 1ТГ (t) органических нитей при

T,C

поперечном растяжении, сжатии и сдвиге

На рис. 7 показаны сечения поверхности статической прочности композита (условно-мгновенное нагружение при / = 0) плоскостью

(а22,а33) при различных углах ф3 = ф. Сечения поверхности образованы совокупностью отрезков, которые соответствуют разным типам разрушения композита. Отрезки, близкие к вертикальным, соответствуют разрушению слоя с углами армирования ф, = 0 отрезки, близкие к го-

Рис. 10. Графики усталостной прочности о TCS (t) и olTC (t) органических нитей при продольном растяжении и сжатии

Рис. 11. Сечения поверхности усталостной прочности эпоксидного органопластика СВК плоскостью (о,2, Оз) при различных значениях времени t циклического нагру-жения

Рис. 12. Сечения поверхности усталостной прочности эпоксидного органопластика СВК плоскостью (о22, оз3) при различных значениях времени t циклического нагру-жения

ризонтальным - слою с углом армирования ф1 = 90 Разрушение слоя с углами ф происходит в зонах стыка отрезков разных семейств. Таким образом, разрушение композита носит сложный комбинированный характер и зависит от значений углов армирования.

На рис. 8 показаны графики усталостной прочности <ттТС s(t) матрицы, рассчитанные по формулам (24) для значений (32). Усталость рассматривалась на базе 103...107с. На рис. 9 и 10 показаны графики усталостной прочности ar с s(t) и alT( (() нитей, рассчитанные по формулам (22), (23) и (26) для тех же моментов времени.

На рис. 11 и 12 показаны сечения поверхности усталостной прочности композита СВК плоскостями (ст22,ст33) и (ст22,ст23) для значения угла ф = 45 °. Поверхности соответствуют четырем различным значениям времени t = 104, 105, 106 и 107 с. Характер усталостного разрушения композита в целом не изменяется во времени, поверхности усталостной прочности самоподобно смещаются внутрь к началу координат, вследствие уменьшения значений усталостной прочности матрицы и армирующих нитей. Самоподобие поверхностей обусловлено тем, что СВК композит рассматриваемой структуры с углами армирования 0, 45, 90 ° разрушается только из-за разрушения матрицы в разных слоях, разрыва моноволокон в композите данного типа не происходит, как при статическом, так и при усталостном нагружении. Экспериментальные данные в целом подтверждают данные выводы.

Выводы. Разработана математическая модель усталостного разрушения композиционных материалов, в которой тензоры концентрации микронапряжений рассчитываются на основе конечно-элементного решения локальных задач на ячейках периодичности. Модель учитывает различные механизмы микроразрушения композита: в следствие разрушения матрицы при растяжении, сжатии и сдвиге, а также при комбинированном нагружении, и вследствие разрушения армирующих нитей по 2-м типам - из-за поперечного расслоения и из-за обрыва нитей при продольном растяжении или сжатии. Представлены результаты численного моделирования усталостных характеристик слоисто-волокнистых композитов, которые показали, что поверхности усталостной прочности зависят от структуры армирования композитов, и образованы из частей нескольких поверхностей, соответствующих разным типам разрушения композита.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М а л м е й с т е р А. К. Сопротивление композитных и полимерных материалов. Рига: Изд-во «Зинатне», 1980.

2. И л ь ю ш и н А. А., П о б е д р я Б. Е. Основы математической теории термо-вязкоупругости. М.: Наука. 1970.

3. Г о л ь д е н б л а т И. А., К о п н о в В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение. 1968.

4. П е т р о в В. А., Б а ш к а р е в А. Я., В е т т е г р е н ь Е. И. Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов. СПб.: Политехника. 1993.

5. Д и м и т р и е н к о Ю. И., Д и м и т р и е н к о И. П. Прогнозирование долговечности полимерных элементов конструкций с помощью «химического» критерия длительной прочности // Вопросы оборон. техники. № 1/2. 2002. С. 15-21.

6. Д и м и т р и е н к о Ю. И., Д и м и т р и е н к о И. П. Расчет сопротивления усталости композитов на основе «химического» критерия длительной прочности // Вопросы оборон. техники. № 1/2. 2002. С. 21-25.

7. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физмат-лит. 2009. 624 с.

8. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды // Механика сплошной среды. Т. 2. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2011. 560 с.

9. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К а ш к а р о в А. И. Расчет эффективных характеристик композитов с периодической структурой методом конечных элементов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2002. № 2. С. 95-108.

10. Д и м и т р и е н к о Ю. И., С о к о л о в А. П. Об упругих свойствах композиционных материалов // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. №4. С. 96-110.

11. Д и м и т р и е н к о Ю. И., С о к о л о в А. П. Метод конечного элемента для решения локальных задач механики композиционных материалов: учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 66 с.

12. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. - М.: Машиностроение, 1997. 356 с.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.