Математическое моделирование макрохарактеристик процесса теплопроводности для волокнистых материалов при расчете строительных конструкций на действие тепловых нагрузок Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗДЕЛ III

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ РАСЧЕТЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ДЕЙСТВИЕ ТЕПЛОВЫХ НАГРУЗОК

Г. Л. Горынин, А. Ф. Власко

Аннотация. Рассмотрен метод усреднения, позволяющий получать макротеплопроводности для волокнистых композитов, используемых в строительных конструкциях. Макротеплопроводности вычисляются как интегралы ячейковых функций, которые находятся путем решения семейства краевых задач на периодической ячейке.

Ключевые слова: волокнистый, композит, периодический, макротеплопроводность.

Введение

Номенклатура композиционных материалов, используемых для ограждающих и несущих строительных конструкций постоянно расширяется. Особу роль среди них занимают волокнистые композиционные материалы, состоящие из прочных и сверхпрочных нитей. При расчете этих конструкций на прочность при тепловых нагрузках необходимо знать распределение температуры внутри конструкции, т.к. именно изменения температуры являются причиной дополнительных напряжений в конструкции. Решению задачи теплопроводности применительно к волокнистым композитам посвящены многие работы (см., например, монографии [1]-[3]). Однако, подходы, используемые в них, базируются на введении гипотез об особенностях процесса теплопроводности, при этом вопрос о правомерности таких гипотез, как правило, остается открытым. В данной работе используется метод асимптотического расщепления, который не использует каких-либо гипотез, но использует лишь условие, что волокна в композите располагаются периодически, и что размер периодически повторяющейся в материале ячейки на порядок меньше размеров самой конструкции [4]. Метод позволяет в явной форме получить коэффициенты теплопроводности для макрооднородной среды. Знание этих коэффициентов в дальнейшем позволяет с помощью стандартных пакетов прикладных

программ определить распределение температуры в конкретной конструкции.

Основная часть

Рассмотрим тело, материал которого образован связующим и волокнами, расположенными периодически в плоскости Оху (рис.1), на которое действуют какие-либо тепловые нагрузки, тогда внутри тела должно выполняться стационарное уравнение теплового равновесия:

где Q

dx ду объемные

+ ^ = -Q dz

(1)

источники тепла, qа -компоненты вектора теплового потока внутри среды. На границе перехода от одной упругой среды к другой должны быть непрерывны тепловой поток и температура:

к]= 0 , [Т] = 0 , а = {х,у,2}. (2)

Рис.1. Волокнистая среда

Внутри среды действует анизотропный закон теплопроводности Фурье, содержащий 6 независимых коэффициентов теплопроводности Хар [5]:

3T

q<x=- Z , ae{x,yz}. (3)

ße{x,y,z} 3ß

Пусть h - линейный размер периодической ячейки (вдоль осей x и y), L -характерный размер тела, T, и X, -

характерные значения температуры и коэффициента теплопроводности. Перейдем к безразмерным переменным и функциям, для простоты не меняя их обозначения:

x ^ x/L, y ^ y/L, z ^ z/L, T ^ T/T, ,

qa^ qa/q- , Q ^ Qh/q. , q. = X.T./h . (4)

В дальнейшем будем считать, что отношение размера периодической ячейки среды к характерному размеру тела является малым параметром и обозначается буквой е:

е = h/L << 1.

(5)

Уравнение (1) и закон теплопроводности (3) в новых переменных примут вид

^ е + ^ е + ^ е = -Q ,

3x 3y 3z

{xyz}.

(6) (7)

условие на границе перехода от одной упругой среды к другой:

Ы = 0 , [Т] = 0 , а = {х,уД (12)

закон теплопроводности:

б + ^ + я £ТЕ, ае{х,у,г};(13)

" Зе

Для решения задачи (11 )-(13) используем метод асимптотического расщепления [5]. Для этого представим асимптотические приближения температуры и компонент теплового потока, как суммы частных дифференциальных операторов, коэффициенты которых зависят только от ячейковых переменных:

t (n) = Z

k=0

q an) = Z

Z — 3^

3kT,(n)

0 еk

Z Kä (

3kT(n)

3rk

^ ek

(14)

^ 1 ЗТ

Ре{х,у2} Зр

Внутри каждой периодической ячейки вводятся свои ячейковые координаты %х , %у.

х = х; 6, у = у^%уб, %х,%у е[0,1],(8)

где х1, у1 - координаты вершины 1-го периодического квадрата. Коэффициенты теплопроводности 2-периодической среды являются функциями только ячейковых координат % :

%у ^ ар£{х,уг}. (9)

С учетом равенств (8) оператор частного дифференцирования принимает вид:

З З 1 З ( )

— = — +--, а е {х,у}. (10)

За За 6 З%а

Задача (1)-(3) с учетом выражения (10) принимает вид

Зqx Зqy Зqz Зqx Зqy

—2^6 + —^ + —— е + —— + —L = -Q ; Т (11)

Зх Зу Зе 3% х 3% у

где использованы следующие обозначения

Згк = Зхкх Зуку ЗЕкЕ , к = (кх, кг ) = кх эх + ку Эу + Эе ,

|к| = к = кх + ку + кЕ,

г = (х,у,^ = хэх + уэу + тзг,

% = (% х, % у х Эх + % уЭ у .

Считаем, что объемные силы имею расщепленный вид относительно переменных макросреды и ячейковых переменных:

Q(r, %) = к(%^о (г), (15)

причем равнодействующая сомножителя, зависящего от быстрых переменных, на ячейке равняется единице:

Цк() xd5 y = 1 .

(16)

В дальнейшем интеграл от какой-то величины по ячейковым переменным, взятый по всей ячейке, будем называть усреднением этой величины по ячейке и обозначать:

xd^y .

(17)

Из равенств (15)-(16) следует, что функция Q0 имеет физический смысл, это среднее

значение теплового источника на ячейке, т.е. это тепловой источник макросреды:

Qo (г) = ^(г, %)) . (18)

Представим тепловой источник макросреды как сумму степеней дифференциальных операторов от температуры макросреды:

0 0

0 0

Qo () = X

кх + ку + к, = к

- ЯкТ(п) ^

лк ^^ б к

Ягк

а

е{х,у,} , (19)

где лк - некоторые константы с векторным верхним индексом, которые будут определены позднее.

Подставим формулы (14), (15) и (19) в равенства (11 )-(13) и приравняем коэффициенты при одинаковых дифференциальных операторах, получим систему уравнений в частных производных на неизвестные ячейковые функции:

уравнение теплового равновесия ячейки:

^+^Е!+к ^ + к к-эу + к ^ = -к(0)лк; (20)

Я^ х Я^ у х у 2 ™

закон теплопроводности

периодической ячейки:

к а()=- х *.а/—+р^и „р Е-;-, ае{ху2}

Р«{х,у)

внутри

(21)

я^

условия сопряжения тепловых потоков и температур внутри ячейки

[кп]= 0, рк]= 0 ;

(22)

лк = -(к к-эх +к у-эу +к

(24)

При к=0 решение задачи (20)- (24) имеет очевидное решение:

Р0 = 1, ка = 0 , а = {ху.г}. (25) Тогда из (24) следует равенство:

лк = 0 , к = 1.

(26)

Равенство (19) с учетом равенства (26)имеет вид:

X

к=2

лк

Я кт(п) ^

10 -8к

Яг

= Qo (г),

(27)

данное равенство представляет собой уравнение на п-е приближение температуры макросреды Т0(п). Оно является уравнением в частных производных порядка п, теория таких уравнений рассмотрена в (6), в частности, из нее следует, что асимптотический смысл имеют не все решения этого уравнения, а только часть из них, регулярно зависящая от малого параметра в , а это означает, что данное уравнение имеет действительный порядок равный двум.

Формулы (14) с учетом равенств (25) принимают вид

( -1—\Я кТ(п) ^

Т

(п) = Т(п)

1 п

+х

к=1

q ап ) = х

к=1

(

X

кх+ку+к,=к

ка(

нЯ кТ,

кт(п)

Я?к

(28)

из условия периодичности ячейковых функций

Р к <°1 = 0 =Р к 0(),а = 1 , ка(()5а = 0 ^^ ,

ае{х,у,,}. (23)

Равенства (20)- (23) для каждого

фиксированного целочисленного вектора к представляют собой краевую эллиптическую задачу на нахождение периодических

ячейковых функций Рк. Необходимое условие разрешимости этой задачи имеет вид:

эти равенства являются формулами для вычисления температуры и компонент теплового потока в периодической среде на основе решений уравнения (27) и краевых задач (20)-(24).

Величина Т0(п) имеет физический смысл, она является средним значением распределения температуры на ячейке, т.е. эта величина является температура однородной макросреды:

т (п) = 10 _

(т (п)(г Й);

(29)

Наибольший интерес в любой асимптотической теории представляют самые первые приближения, в данном случае это п=2. Усредним вектор теплового потока (28) при п=2 и рассмотрим его первое приближение, в дальнейшем верхние индексы, указывающие на номер асимптотического приближения, опускаем:

qа= X (кЩ-^в , а = {ху,}. (30)

Можно показать, что этот вектор удовлетворяет следующему уравнению теплового баланса:

яqx в , яq

—— в +—Lв +—в = .

Ях

Яу

Я,

(31)

В уравнении (31) справа стоит тепловой источник макросреды, вектор qa зависит только от переменных макросреды, поэтому можно считать, что вектор qa - это вектор теплового потока в однородной макросреде, а уравнение (30) - это закон теплопроводности в макросреде, это уравнение может быть переписано в следующем виде:

к

в

q = Е Г ЗТо

qа = - Е Г

<ре{вду}

аф Зф

6 ,

(32)

где Гаф - коэффициенты теплопроводности

макросреды, они рассчитываются на основе решений данных ячейковых краевых задач:

{х,у,Е}. (33)

аф <

Для расчета коэффициентов теплопроводности макросреды необходимо решить следующие три краевые задачи на ячейке: уравнение -

зк !ф Зк уф

3%х 3%у

= 0 , ф = {х,у^}; (34)

Формула (39) означает, что в направлении вдоль волокна коэффициент теплопроводности макросреды равен среднему значению коэффициентов на периодической ячейке, иначе такое правило вычисления макрохарактеристики называют правилом простой смеси. Формула (39) может быть переписана в другом виде:

Г +Г г^С (40)

Г Ср =■

^В + ^С

где ГВ , Гс - теплопроводности волокна и связующего; 8В, 8с - площадь волокна и связующего в ячейке. Другим распространенным правилом вычисления макрохарактеристики является правило обратной смеси [2]

закон теплопроводности на ячейке -

рф.у| I 3%р I

(35)

к

- Е Гер

Ре{х,у}

3¥ '

- + 5ф

-Г , ае{х,у,} .(38)

Г ее =(Г „) .

(39)

Г Ос =

Г ВГ С ^В + ^С ) ГС^В + ГВ^С

(41)

условие непрерывности на границах раздела матрицы и включений -

[кПф] = 0 , [тЭф] = 0 , ф = {х,у,Е}; (36)

условие периодичности ячейковых функций -

^^ =^5ф(()%а=1 , ка'(()%а=0 ^^ Я)-'" ^^ ^

Ячейковая функция кЕф(() находится прямым вычислением на основе решения краевых задач (34)-(37):

В частном и наиболее распространенном случае, когда и связующее и волокна являются ортотропными средами, причем одна из осей ортотропии направлена вдоль волокна, тогда краевая задача (34)-(37) при ф = е имеет тождественно нулевое решение и выражение для коэффициента

теплопроводности макросреды ГЕЕ (33) с учетом равенства (38) принимает вид вычислительной формулы:

Это правило будет использовано для сравнения при анализе полученных результатов.

Расчеты и их анализ

Для определения теплопроводности макросреды решается краевая задача (34)-(37) с помощью метода конечных элементов. Расчеты производятся для ячейки, заполненной двумя материалами с разными значениями коэффициента теплопроводности: материалом связующего и материалом волокна. Теплопроводность связующего равна 100, а теплопроводность включения равна 1 в безразмерных единицах, этим цифрам примерно соответствуют железо и керамика. Для исследования влияния формы поперечного сечения волокна на значение макрохарактеристики в расчетах использовались волокна разной поперечной формы: круг, квадрат, крестовина, трубчатое рис. 2. Значения макротеплопроводности в направлении осей ОХ и ОУ, лежащих в плоскости перпендикулярной волокну, совпадают и определяются посредством численного счета, макротеплопроводность в направлении оси О2 определяется по формуле простой смеси (40).

Рис. 2. Формы поперечных сечений арматурных волокон: а) квадрат, б) трубчатое сечение, в) крестовина, г) круг

На рис. 3. представлен график зависимости макротеплопроводности от отношения площади включения к площади ячейки. Под цифрой 3 - график для квадратного сечения, 5 - для крестовины, 4 - трубчатое сечение, 1 -правило смеси (40), 2 - правило обратной смеси (41). Кривые для всех включений лежат в промежутке между кривыми 1 и 2.

оЬ З.Э 6.4 ОЬ fr.fr 0 7 ОЙ ОТнйигниг ПЛйцЛДи А н .1кч г и н 1 т -йбч,я-н ппочяда

АХШ Дс

1+-

Д /(Хв +Д) + (1-с)/2 где Б - площадь всей ячейки;

А Г1-АА ']'5т2(ж/2) {^ А

1+двА

с= ^ , (42)

£

Д^(1-с)+(1 + с)ДВ/Д

1 + с + (1-с)Д / Хв 1-с+ (1+ с)Д / Хв

.(43)

Дальнейшее увеличение площади включения приводит к существенному росту разницы, для формулы Ванина вплоть до 30% и для формулы Хашина-Штрикмана - 100%.

Рис. 3. Сравнение теплопроводностей макросреды для включений различной формы:

2) квадрат, 3) трубчатое, 4) крестовина. И простейших формул: 1) правило смеси, 2) правило обратной смеси

Отклонения численных расчетов от расчетов по правилу смеси весьма существенны, в случае квадрата - до 40%, в случае трубчатого сечения - до 60%. При одинаковой площади волокна, разница между макротеплопровод-ностями для трубчатого и квадратного волокон весьма существенна. Макротеплопроводность зависит от площади нелинейно, например в случае трубчатого сечения, при относительной площади равной 0.3 дальнейшее её увеличение не приводит к изменению макротеплопроводности.

На рис. 4. сравниваются численные расчеты с имеющимися аналитическими формулами расчета макрохарактеристик, формулами Хашина-Штрикмана и Ванина для круглых волокон:

При относительной площади меньше 0.4 отклонение не превосходит 10 процентов, и фактически может использоваться для подсчета характеристик любая из этих формул.

еи 01 а а ь* и й ь о г он 4.» 1

ОГН^И*НИТ- ПЛйцлци плЛ^чанн* к.

Рис. 4. Сравнение численного решения и

аналитических формул: 1) квадрат, 2) формула Хашина-Штрикмана, 3) формула Ванина, 4) круг

Заключение

При небольшой разнице между теплопро-водностями включения и связующего, или при достаточно малом размере включения, значения макротеплопроводности в поперечном направлении могут быть рассчитаны при помощи правила простой смеси. Если же размеры включения велики или разность теплопроводностей велика, то в этих случаях правило смеси дает ошибки превышающие 100%.

Библиографический список

1. Кристенсен, Р. Введение в механику композитов: Пер. с англ. А. И. Бейля и Н.П. Жмудя / Под. ред Ю. М. Тарнопольского. — М.: Мир, 1982. — 334 с.

2. Ванин Г. А. Микромеханика композитных материалов / Г. А. Ванин. — Киев.: Наук. думка, 1985. — 304 с.

3. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред / Т. Д. Шермергор. — М.: Наука, 1977. — 400 с.

4. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. Метод асимптотического расщепления для упругой 3-периодической среды // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика [Электронный ресурс] / Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г., Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2011, № гос. регистрации -0321101160.

5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

6. Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления. - Новосибирск: Наука, 2004. - 408 с.

с

MATHEMATICAL SIMULATION OF MACROCHARACTERISTICS OF PROCESS OF HEAT CONDUCTIVITY FOR FIBROUS MATERIALS AT CALCULATION OF BUILDING DESIGNS ON ACTION OF THERMAL LOADINGS

G. L. Gorynin, A. F. Vlasko

The averaging method is considered, allowing to receive macroheat conductivity for the fibrous composites used in building designs. Macro-heat conductivity is calculated as integral cell functions which are by the decision of assemblage of boundary-value problems on a periodic cell.

Горынин Глеб Леонидович - доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Строительные технологии и конструкции» Сургутский государственный университет. Основное направление научных исследований -механика композитных конструкций. Общее количество публикаций - свыше 80. электронная почта - [email protected].

Власко Андрей Федорович-должность - аспирант кафедры «Строительные технологии и конструкции» Сургутский государственный университет. Основное направление научных исследований - механика композитных конструкций общее количество публикаций - 2. Электронная почта [email protected]

УДК 658.5

ПРОЕКТ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЦЕНАРНЫХ

СТРАТЕГИЙ ПРОЕКТНЫХ КОМАНД

О. М. Куликова

Аннотация. Статья посвящена вопросам разработки программного комплекса для построения сценарных стратегий и сценарных стратегических планов для проектных команд. Работа выполнена в рамках проекта Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

Ключевые слова: стратегическое управление, проектная структура управления, автоматизация принятия управленческих решений, нейронные сети, нечеткий логический вывод.

Введение

Сегодня одним из актуальных направлений является переход от традиционных организационных структур к органическим. Поскольку именно такие организационные структуры помогают компаниям победить в жесткой конкурентной борьбе в современных рыночных условиях, характеризующихся высокой неопределенностью. Разработка эффективных стратегий для проектных команд - это очень сложный и трудоемкий процесс. Поэтому возникает необходимость совершенствования технологии разработки стратегий проектных команд, и создания программного комплекса, реализующего данную технологию.

Технология разработки сценарных стратегий проектных команд. Выбор стратегии осуществляется исходя из состояния внешней и внутренней среды организации, и если внешняя среда находится в постоянном

движении и условия деятельности меняются, то руководителю приходится принимать управленческие решения в условиях высокой неопределенности. Анализ литературных источников [2,5] и опыта современных компаний показывает, что наиболее эффективным инструментом предсказания изменений внешней среды является сочетание методов сценарного прогнозирования и нечеткого логического вывода. Исходя из этого, можно сделать следующий вывод, что разработка эффективной стратегии должна строиться именно с применением данных методов. На основании вышеуказанных методов в рамках проекта Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (мероприятие 1.4 -III очередь)", контракт №14.740.11.0994 от 06.05.2011 автором статьи разработана технология построения сценарных стратегий