Математическое моделирование макрохарактеристик 1-периодического ЛВЛ-материала при расчете конструкций транспортных сооружений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОХАРАКТЕРИСТИК 1 -ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЛВЛ-МАТЕРИАЛА ПРИ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ

ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ

Г.Л. Горынин

Аннотация. Рассмотрен метод усреднения, позволяющий получать макрохарактеристики для ЛВЛ-материала, используемые при расчете конструкций транспортных сооружений. Макрохарактеристики вычисляются как интегралы жесткостных функций, которые находятся путем решения семейства рекуррентных задач на периодической ячейке. Получены асимптотические формулы, позволяющие по макровеличинам восстанавливать значения микро- перемещений и напряжений в каждой точке конструкции.

Ключевые слова: слоистый, периодический, макрохарактеристика, композит, ЛВЛ-материал

Введение

В последнее время расширяется ассортимент строительных материалов, используемых для производства несущих конструкций транспортных сооружений. Один из таких материалов, это ЛВЛ-материал, или, как его называют сами производители, ЛВЛ-брус. ЛВЛ-материал является многослойным периодическим материалом, состоящим из клееного шпона сосны (рис.1). Свойства этого материала в настоящее время слабо изучены. Известно, что в зависимости от ориентации шпона материал имеет анизотропные свойства, кроме того, механизм разрушения материала связан с отслоением клееных слоев. Поэтому для расчета конструкций из ЛВЛ-материала недостаточно знать величины макронапряжений, но необходимо знать, как эти напряжения распределены по отдельности в пределах шпона и связующего клея.

Рис.1. ЛВЛ-брус, периодически повторяющиеся склеенные слои деревянного шпона

Рассмотрим одномерную упругую среду, упругие характеристики которой периодически меняются вдоль пространственной оси х, так, что можно считать эту среду разбитой на периодически повторяющиеся слои (Рис.2). Внутри каждого слоя

упругие характеристики меняются непрерывно, такую среду называют 1-периодичной [1]. Пусть

и , и , и

X ' V ' 2

перемещения точек стержня в на-

правлении осей х, у, z соответственно; аар - компоненты тензора напряжения; [ /] - скачок величины f на границе перехода от одной упругой среды к другой с разными свойствами; (Еар^ - упругие постоянные, внутри каждой упругой среды они могут непрерывно меняться, а на границах сред претерпевать скачки. Пусть h - линейный размер периодичности вдоль оси х, - характерный размер тела, Е - характерное среднее значение модуля Юнга, Fa - объемные силы. Перейдем к безразмерным переменным и функциям, для простоты не меняя их обозначения:

х ^ х/Ь, V ^ v|L, 2 ^ ^Ь, иа ^ иа/h

, Е

^ Е /Е

а/3(р{у ^ ' а/Зсру / '

а ар ^ ° ар

/Е.

« Ча!Е , 1~а = Fаh/E .

{

Рис. 2. Один-периодическая среда, периодичность вдоль оси х

В дальнейшем будем считать, что отношение размера периодической ячейки упругой среды к характерному размеру тела является малым

8 = ^Ь « 1 .

Рассмотрим тело вырезанное из 1-периодичной среды, на которое действуют какие-либо нагрузки, тогда внутри тела должны выполняться уравнения равновесия:

Ч

а

V

7

X

до.

до

ау

£ +-

до

-£+ = 0,

дх ду дz

а = {х, у, z}. (1)

На границе перехода от одной упругой среды к другой должны быть непрерывны перемещения и контактные напряжения:

[оох] = 0, к ] = 0, а = {x, y, z}, (2) Считаем, что материал упругой среды является анизотропным, закон Гука для которого в каждой точке содержит 21 независимую константу Еарф¥ и имеет вид [1]:

О а/3 , а е{х, У, (3)

Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора перемещений следующими соотношениями:

(

еаР = 0.5

ди„

ди

£ +-

л

£

, а, 3 £ {х, у, z}. (4)

д3 да

Если к задаче (1)-(4) добавить краевые условия на поверхности исследуемого тела, заданные либо путем задания поверхностных сил, действующих на тело, либо путем задания кинематических ограничений на перемещение точек поверхности, то получится стандартная краевая задача пространственной теории упругости. Решение данной задачи усложняется тем, что упругие характеристики Еарф¥ в соответствии с определением один-

периодичной среды являются быстро меняющимися периодическими функциями пространственной координаты, поэтому при использовании численного метода для сохранения минимальной точности требуется использовать слишком большое число конечных элементов, размеры которых должны быть как минимум соизмеримы с размерами каждой из сред, составляющих собой периодические слои. В работе [1] была рассмотрена такая же задача в более общей постановке, когда среда считается три-периодической, с помощью метода асимптотического расщепления [2], воспользуемся результатами этой работы. Внутри каждого периодически повторяющегося слоя введена быстрая переменная | [3]:

х = Х{ + Zx£, ¡х £ [РЛ^ (5) где . - координаты границы ьго периодического слоя. Упругие характеристики 1-периодической среды можно считать зависящими только от этой быстрой координаты:

Еа/рщ = Еа/рщ х ) . (6)

В дальнейшем используются векторные обозначения

г =(x,y,г) = хэх + Уэу + ¿эг, I = ¡хэх. (7) Считаем, что перемещения и напряжения зависят от быстрых и от медленных переменных и справедливо следующее условие периодичности:

И ,Г )

,(&. .г)

= и

¡х =0 а

= о.

.¡х =0 а/ а, /£ {х, у, z}.

^ ,Г) ^ =Г

(¡- гI =1

(8)

Дифференциальный оператор в направлении х в новых переменных меняется:

д = д+ 1 д д = д д = д дх дх £ д%х ду ду дz дz

(9)

Вследствие изменения дифференциальных операторов (9) задача (1)-(4) претерпевает изменения:

до

до

дх

£ +-

ау

£+-

до

ду дz , а = {х, у, z};

£ +-

до

д%х

+ К = 0

(10)

Условие (2) на границе перехода от одной упругой среды к другой и закон Гука (3) остаются без изменений. Формулы для компонент тензора деформаций принимают вид:

ди/ ди ди ^

" 1 а-50„ +—- 5„

СаР = 0.5

£ +-

£ + -

д3 да д%х 3х

а, 3 £ {х, у, z}. (11)

Решение задачи (10)-( 11), (2)-(3) в следующем виде для компонент вектора перемещений и тензора напряжений ищем [1]:

( - ък(п) \

д кг0

дхкх дуку дхкг

кг =! I (иг)¡¡х)

к =0 ^кх +ку +кг =к

, а £ {х, у,х},

(аГ)=1 [ I (а)к(¡хМ-'

к=0 ^ кх + ку + кх = к дГ

(12)

Считаем, что объемные силы имею расщепленный характер зависимости от быстрой и медленных переменных:

(Г,£х )= Ча (¡х )/а (г) . (13)

Оператор осреднения по ячейке является интегралом по периодической быстрой переменной имеет естественный вид:

| _ х .

(14)

Если формулы (11 )-(12) подставить в краевую задачу (10)-( 11), (2)-(3) с условием периодичности (8) и собрать подобные при степенях дифференциальных операторов по медленным переменным и приравнять их нулю, то получим для каждого фиксированного целочисленного вектора к краевые задачи на ячейке для неизвестных 1-периодических жесткостных функций вектора перемещений:

и

d ш

= 0,

\ ах I \ ау /

¿¡х у

а£{х, у, х}; (15)

формулы связи жесткостных функций тензора напряжений и вектора перемещений:

(

Ш = 0.5 I Е.

y,^e{x, y, z}

'afî—xy

Ш-8 + +

dïx " d^ -

+(U; f эr +(K Г' , (16)

на границе перехода внутри ячейки от одной упругой среды к другой, должны выполняться условия непрерывности:

(if = о, (и:)к

= о,

a = {x, y, z}; (17)

условия периодичности жесткостных функций

(и : ) k(d =(и : ) ки

(x =0

Шю =Шю

(x =0

a, ps {x, y, z}.

(x =1

(x =1

(18)

Выражения (15)-(18) для каждого фиксированного целочисленного вектора к представляют собой краевую задачу на нахождение 1-периодических жесткостных функций вектора перемещений.

Для однозначной определенности всех констант при к задаче (15)-(18) следует добавить условие нормировки:

(и : 1

=0,

k

> 1, a s{x, y, z}.

(19)

(b : )

по-

Формулы для вычисления констант а

лучаются из условия разрешимости уравнений (15) и выполнения условий периодичности (18):

(вг )к =((т о Г* +( +( г)

ау

а = {х, у, х}. (20)

Таким образом получается система рекурсивных одномерных краевых задач (15)-(20) на нахождение трех 1-периодических жесткостных функций

(и : 1

Краевые задачи на периодической ячейке

при к = 0. Решение краевой задачи (18)-(23) же-сткостном номере к = 0 состоит из трех независимых решений:

(иаг )

\

= зр, (о)0 = 0, г 0(Г) = (Г),

а, 3,р £ {х, у, х}; (21)

Из равенства (20)-(21) следует, что следующие константы равны нулю

(вг )к = 0 , \к\ = 1, а = {х, у, х}. (22) Жесткостные функции тензора напряжений

(( со) для всех жесткостных векторов к определяются явным образом из (15) и (18):

Ш Ю = (с г )-(то ) (¡), а £ {х, у, х},

(23)

где

к ,

(с : ) -

константы интегрирования, а

T: )к ((x)

функции, вычисляемые по формуле

T: ) g)=f

0

к)к-+(* Ф +

л

+

V

Чо

в : )

, a s {x,y,z}. Если функции (r ^x)

dÇ

(24)

найденные из равенств (23), подставить в формулы (16) и производные

функций (иг ) оставить слева, а все остальное

перенести вправо, то получим систему из трех линейных дифференциальных уравнений на функции

(иг ) для каждого векторного индекса к при заданном жесткостном номере к:

' (и °У

I Е (2 - 8

/ . ax—iy \ -

d (и :Г_8 +

К d g х vx dgx = 2 (aj -iE aX„ (2 - 8„ ^(и : y- э

и

а £ {х, у, х}. (25)

Из выражения (24) при к=1 и равенств (21) следует тождественное равенство нулю следующих функций

t f g)

= 0, а,р£{х, у, х}, к = 1. (26)

Из равенств (23) и (26) следует, что следующие жесткостные функции равны неизменным константам:

Ш Ю =(С г/, а,р£{х, у, х},

|к| = 1. (27)

Окончательная структура решения задачи (10)-( 11), (2)-(3) для 1-периодической среды имеет вид суммы трех независимых решений (12), полученных на основе равенств (21):

к

(иа )(И)= ) +

п ( / \Г д кХ>(п)

+1 I I к- а,) -:

—е{х,V,г} к=1 ^к, + ку + кг =к О-

(-ар )(п) = I Л [ I (<р )к (а,)

—е{х,V,г] к =1 ук, + ^ + кг =к

, а,р е {х,V,г}.

—— 8 к

малого параметра 8 , введем для них обозначения такие же как и для компонент тензора напряжений, но содержащие сверху знак титлы:

д :у (п)

Л

дг>

— 8к

7 ар I

—,ще {х, V, г}

дщ

-8 .

(32)

(28)

Из формул (28) следует, что функции V—п)(-)

имеют физический смысл, они являются усредненными перемещениями по периодической ячейке,

у(п)(—' ) = ((и- )

(п)

в дальнейшем эти функции будут называться макроперемещениями. Три неизвестные функции

макроперемещений У(п)(—)

удовлетворяют сис-

теме трех уравнении в частных производных:

II I &)

м >

.к дЧ 8к

д—

„тк

+ /а (—)= 0

Введенные величины являются первым асимптотическим приближением к средним напряжениям 1-периодической среды. Из выполнения уравнения (31) следует, эти величины —ар , подобно

компонентам действительного тензора напряжений, удовлетворяют уравнению равновесия (1) для сплошной макросреды, на которую действуют объемные макросилы. Величины —ар в дальнейшем

будем именовать как макронапряжения, а условную однородную упругую среду, в которой они возникают, как упругую макросреду. Для макросреды в соответствии с формулами (4) может быть введены тензор деформаций и тензор вращений, вычисляемые по ее макроперемещениям:

дО

еар = 0.5

■ + ■

р

Ч"-^./^)"- ^ '"V 1 '"г у

, ае{х, V, г}. (29)

К системе (29) следует добавить краевые условия на поверхности тела, заданные в виде поверхностных макросил или макроперемещений, тогда получится краевая задача, тождественная пространственной задаче теории упругости для однородного тела [2].

Для всех асимптотических методов наиболее важное значение имеют самые первые асимптотические приближения. Минимальное значение номера приближения, при котором система уравнений (29) имеет смысл, равняется двум (п = 2).

Выражения для перемещений и напряжений (28) в этом частном случае имеют вид (верхний индекс в скобочках, указывающий на номер асимптотического приближения, здесь опускаем):

др да

8,

(

а

ар

= 0.5

дк

у

др да

8

(33)

У

Тогда равенство (32) может быть переписано в следующем виде:

— ар = ар—ще—щ + I Н

—,ще{х, V, г} —,ще{х, V, г

ар—ща —щ

а, р, — ,щ е{х, V, г}, (34)

где Еар—щ и Нар—щ - упругие модули макросреды, которые вычисляются по формулам

Е

ар—щ

(-)+ II( I (иа— )к (ах)

д

:{х,V,г] к=1 укх + ^ + кг = к

д—к

— 8к

Н

ар щ

)")-((а )'—)} (35)

а е и.

{х, V, г};

г

-ар =

Л

III Ш(ах)~—8к . (30)

—е{х,v,г} к=1 укх +kV +кг =к д— у

Соответственно система уравнений (29) примет вид:

^ - "д2 V >

I

—е{х, V, г}

I (в—)

у кх +kv +к г =2

д-

,77 к

— 82

+ /а (— )= 0

У

, а е {х, V, г}. (31)

Усредненная среда. Усредним по ячейке компоненты тензора напряжений (30) и рассмотрим величины, содержащие только первые степени

Таким образом, макронапряжения —ар являются компонентами тензора напряжений в однородной среде, точки которой деформируется также как средние перемещения исходной 1-периодической среды, и упругие константы, которой вычисляются из операции усреднения жестко-стных функций 1-периодической среды. Причем в

общем случае макронапряжения — ар зависят не

только от компонент тензора деформации , но

и от компонент тензора вращений б)—щ макросреды. Следовательно, свойства макросреды в общем случае отличаются от свойств однородной анизо-

тропной упругой среды, подчиняющейся классическому закону Гука (3).

Из правого равенства (35) следует, что макросреда подчиняется классическому закону Гука (3) тогда и только тогда, когда выполняются равенства

т% Т)=(Ь)

при

а, р,—,щ е{х, V, г}. (36)

Таким образом, создана асимптотическая теория упругих анизотропных 1-периодических сред без введения каких-либо гипотез о характере напряженного состояния периодической ячейки или о характере ее деформационного состояния. Упругие характеристики однородной макросреды вычисляются как интегралы жесткостных функций на периодической ячейке исходной среды. Получен критерий выполнимости для периодических сред макро классического закона Гука (отсутствие влияния вращений макросреды на напряженное состояние). Получены формулы, позволяющие вычислить перемещения и напряжения исходной среды по ее макроперемещениям и жесткостным функциям ячейки.

Пример: 1-периодическая среда с одной плоскостью симметрии анизотропных свойств. В этом случае часть упругих констант равна нулю и закон Гука (3) имеет вид:

—ар =Еарххехх + I Ер»^»}' ,

Ц,уе{у,г}

—хр = 2 Iехрхцехц , »е^, г}

а, ре^, г} и а- р = х. (37)

Формулы для жесткостных функций тензора напряжений принимают следующий вид:

^(и:/ О

(т») =Е

\ хх/ д:

а

0.5 I Ехх—щ(2 - 5—щ((и»)к-Эщ +(и»)к-Э— )

—<ще{v, г} ^ '

ТТр) =Еа

ч к Г

а

+

(их Г

+

+ 0.5 I Ер—щ(2-¿ДЦ»)^ +(и»)k-э-

—ще^г} ^

'ч (и» У + '

Тхр ) I Ехрхщ

ще^, г}

+ (и х +(и»)

а ре{V, г}.

к-эх

щ) у (38)

Из формул (38) следует, что часть жесткостных функций тождественно равна нулю:

( ^ = ( )Эх = ( )Эг = ( )Эх = 0,

V хх ) \ хх / \ хх / \ хх / '

Тр) Эщ =Тх) эг =Тх) * = 0,

Тар } =Ь Т = 0, р, — еУ, г},

щ е {х, V, г}, (39)

другая часть постоянна на ячейке:

к) * = () ''

\ -1 1 \ /Е х

. Е \Е

\ хххх / \ хот ,

(с

1 \-7Е

ххщщ

Е

Е

()Эг = ()Эх = () 'V = () Эх = -IЕ ,

V VX ] \ ух ] \ гх / \ гх / д хvхz >

( ) эр = ( ) Эх =1Е

Урх/ V рх ! хрхр

д = ЕЕ Е - (е )

хгхг \ х^хг /

'Е

' ар—щ

ар—щ

Д = Е Е -(Е )

хгхг \ х^хг /

(40)

третья часть зависит от переменной ячейки:

(т"щ )эщ = Е«рх / 1 \ / Еххщщ V + I Е

Тар = Е____ \Е____/ \ Е К1Е'

а/Зщщ

ЕЕ ^

архх ххщщ

ЕЦ

а, р,¥ е {V, г},

Та Т=(аГ =ЕМ 7 Е^)+|Ер -

Е Е

арххх ххvz

(41)

Для макросреды выполняется закон Гука (37), причем формулы для макроупругих констант имеют вид:

Е ~-(ЕЧ '

Е = Е

ххар ар хх

1 \ /Е

ххар

\Е х 1

Е

Е = — Е

хахр д хах р ~> Е _ / Еа@хх\1 1 \ / Ехх—л \ + / е Еа/рххЕхх—Л

Е / \Е / \Е .

Е

а

, р, —, Я е {V, г}.

(42)

Е

+

Из формул (42) можно сделать выводы, что макроупругие константы в целом зависят не только от упругих констант периодической среды с теми же самыми индексами, но и от упругих констант с другими индексами. Указанные зависимости существенно отличаются от формул, получаемых на основе гипотез о характере напряженного состояния периодических ячеек [4].

Библиографический список

1. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления для упругой 3-периодической среды // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика [Электронный ресурс] / Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко, Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г., Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2011, № гос. регистрации -0321101160.

2. Горынин Г.Л., Немировский Ю.В. Деформирование слоистых анизотропных стержней в пространственной постановке. 1: Продольно-поперечный изгиб и условие кромочной совместимости // Механика композитных материалов. -2009. - Т. 45, № 3. - С. 379-410.

3. Бахвалов Н.С., Опанасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

4. Ванин Г.А. Метод усреднения в теории упругости композиционных материалов // Прикл. механика. - 1984. - Т. 20, № 12. - С. 39-45.

MATHEMATICAL MODELLING OF MACROCHARACTERISTICS 1-PERIODIC LVL-MATERIAL AT CALCULATION OF DESIGNS TRANSPORT CONSTRUCTIONS

G.L. Gorynin

The averaging method is considered, allowing to receive macrocharacteristics for a LVL-material, used at calculation of designs of transport constructions. Macrocharacteristics are calculated as integrals rigid-ness functions which are by the decision of family of recurrent problems on a periodic cell. Are received the asymptotic formulas allowing on macrosizes to restore value mikro - movings and pressure to each point of a design.

Горынин Гпеб Леонидович - доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Строительные технологии и конструкции» Сургутского государственного университета, основное направление научных исследований - механика слоистых композитных конструкций. Общее количество публикаций - свыше 80. E-mail: [email protected]

УДК 624.21

ВЛИЯНИЕ НЕПОДВИЖНЫХ ОПОРНЫХ ЧАСТЕЙ НА НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОЛЁТНЫХ СТРОЕНИЙ ПРИ ИХ НЕССИМЕТРИЧНОМ ЗАГРУЖЕНИИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ

П. П. Ефимов

Аннотация. В работе показано, как при вертикальном воздействии нагрузки в неподвижных опорных частях появляются дополнительные горизонтальные реакции, влияющие на напряжённо-деформированное состояние пролётных строений мостов. Анализу были подвергнуты сталежелезобетонные и металлические решётчатые пролётные строения.

Ключевые слова: сталежелезобетон; изгибная жёсткость; опорные части; решётчатые фермы.

Введение

При обработке данных статических испытаний мостов нередко приходилось сталкиваться с неравномерным распределением напряжений по ширине нижних поясов сталежелезобетонных пролётных строений. Это свидетельствовало о том, что помимо изгибающего момента, действующего в вертикальной плоскости, а также крутящего момента в конструкции появляются дополнительные силовые факторы. Кроме того, при динамических испытаниях одного из мостов через реку Иртыш в городе Омске было выявлено, что при воздействии на пролётное строение верти-

кальной подвижной нагрузки в конструкции, помимо вертикальных колебаний, возникали поперечные. Совпадение частот этих вынужденных колебаний (при существенно отличных собственных) свидетельствовало о том, что в силу возникновения дополнительных силовых факторов, между этими колебаниями существует определённая взаимосвязь. Выявлению этих дополнительных силовых факторов и посвящена эта статья.

Утверждение

Дополнительными силовыми факторами, влияющих на статическую и динамическую работу пролётных строений являются горизонтальные