Математическое моделирование термодинамических процессов для построения тренажера управления производством этилена Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3:62-52 А.Г. Колмогоров,

доцент кафедры автоматизации технологических процессов Ангарской государственной технической академии, e-mail: alexey-kol@narod.ru

Н.С. Благодарный,

к.т.н., доцент, профессор кафедры автоматизации технологических процессов Ангарской государственной технической академии, e-mail: nick@agta.irmail.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТРЕНАЖЕРА УПРАВЛЕНИЯ _ПРОИЗВОДСТВОМ ЭТИЛЕНА_

A.G. Kolmogorov, N.S. Blagodarny

MATHEMATICAL MODELING OF THE THERMODYNAMIC PROCESSES FOR BUILDING OF THE SIMULATOR OF MANAGEMENT PRODUCTION

ETHYLENE

Аннотация. Рассмотрено построение математической модели кипятильника ректификационной колонны для применения в компьютерных тренажерах.

Ключевые слова: Компьютерный тренажер, математическая модель кипятильника, производство этилена.

Abstract. The mathematical model of distillation column's reboiler for using in computer simulator is considered.

Keywords: Computer simulator, reboiler's mathematical model, production of the ethylene.

Ведение. Производству этилена в России и за рубежом в последнее время уделяется особое внимание. Об этом свидетельствует все возрастающее его потребление и вследствие этого увеличивающийся прирост производственных мощностей по его выпуску [1]. Этилен является основным сырьем при производстве ряда стратегически важных для народного хозяйства продуктов нефтепереработки: полиэтилена высокого давления, поливинилхлорида и ряда других не менее значимых продуктов промышленной индустрии. По производительности этиленовых установок можно в определённой степени судить об уровне технологического развития государства, как минимум - уровне развития химической отрасли.

ОАО «Ангарский завод полимеров» (ОАО «АЗП») является одним из ведущих российских предприятий по производству этилена, доля кото-

рого на отечественном рынке оценивается специалистами в 10%.

В настоящее время достижение производственных целей, а именно, стабильности производственного цикла, снижения затрат, обеспечения безопасности производства невозможно представить без эффективного и надежного оборудования и технологий, а также без оптимального управления процессом как в техническом, так и в психологическом аспекте.

Техническая сторона данного вопроса касается, в основном, финансовых возможностей предприятия, уровня развития современных АСУТП. Что касается психологической стороны вопроса, то речь здесь идет о том, насколько грамотно оперативный персонал распоряжается имеющимся в его руках техническим инструментарием для поддержания процесса в оптимальном режиме. Здесь уместно употребить термин «квалификация оперативного персонала» как комплексного показателя опыта, умений, психологической уверенности того или иного оператора. Именно высокая квалификация операторов во многом является ключом к успеху и безопасности любого промышленного производства. Особую значимость действия оператора приобретают в условиях особой взрыво- и пожароопасности производства, к которым относится ОАО «АЗП». На любом промышленном предприятии неизбежно возникают нештатные и аварийные ситуации, приводящие к серьезным финансовым потерям, а ино-

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

гда и к человеческим жертвам. По оценке специалистов, доля потерь нефтеперерабатывающих производств от ошибок операторов может достигать 50% [2]. Поэтому модернизация предприятия должна происходить по пути наращивания не только технологического потенциала, но и в сфере повышения квалификации оперативного персонала.

В этой связи целесообразным и, как показывает практика, достаточно эффективным направлением в области повышения квалификации оперативного персонала является компьютерный тренинг. Работы в этом направлении ведутся с начала 80-х годов XX века как отечественными, так и зарубежными специалистами. Результатом этой работы является внедрение тренажеров на сотнях производств. Некоторые отечественные предприятия, главным образом, нефтеперерабатывающие, за последние 15 лет уже оснастили компьютерными тренажерами свои учебные центры. К таким предприятиям относится и ОАО «АЗП», использующее тренажер узла выделения этилена разработки Ангарской государственной технической академии (АГТА) для обучения операторов [3]. Однако, большинство отечественных промышленных предприятий, особенно с непрерывным и непрерывно-дискретным циклом производства, пока не освоили этот современный метод подготовки кадров.

Достаточно детальное рассмотрение вопросов методологии построения тренажеров, их архитектуры, истории развития и ряда смежных проблем приводится в работе [4].

Несмотря на, казалось бы, существенную изученность данной области, о чем свидетельствуют многочисленные публикации, по-прежнему существует ряд проблем, с которыми сталкиваются специалисты при технической реализации тренажеров. К ним относятся, в частности, методика оценки адекватности математической модели процесса, методика автоматизированной оценки действий оператора, сбор данных для построения тренажера, методологические аспекты обучения и ряд других [5]. Но, несомненно, основной задачей разработчиков была и остается задача построения адекватной математической модели процесса, являющейся основной «ценностью» тренажера. В данной работе рассматривается возможный подход при моделировании термодинамических процессов, являющихся основой производства этилена на ОАО «АЗП», с точки зрения применения разработанных моделей в компьютерном тренажере для обучения технологического персонала.

Особенности математической модели

При разработке математической модели необходимо, в первую очередь, определить цель ее создания. Поскольку модель строится для применения ее в компьютерном тренажере, предназначенном для обучения операторов, сформулируем требования, предъявляемые к ней.

1. Модель должна быть динамической, т.к. тренажер должен воспроизводить поведение объекта в реальном времени. В модели должно быть предусмотрено масштабирование времени для ускорения или замедления получения численного решения.

2. Расчетные параметры модели должны охватывать все наблюдаемые на объекте переменные. При этом модель не должна быть избыточной, т.к. это может внеси определенные сложности при получении численного решения задачи.

3. В модели должны присутствовать все материальные потоки и инструменты для их изменения, доступные оператору на реальном объекте, в т.ч. ручные задвижки, регулирующие клапаны.

4. Математическая модель должна воспроизводить поведение объекта во всем диапазоне изменения переменных, как входных, так и выходных. Это требование вытекает из условия использования модели не только в близком к номинальному режиму, но и в граничных режимах (при пуске, остановке объекта).

5. Алгоритм численного решения модели должен давать устойчивое решение во всем диапазоне изменения входных воздействий.

6. Модель должна обеспечивать воспроизведение нештатных и аварийных ситуаций. Это может потребовать введения дополнительных переменных, не включаемых в классические расчетные схемы. Использование в тренажерах сложных инжиниринговых, т.е. высокоточных физико-химических моделей, применяемых для проектирования аппаратов, вычисления оптимальных режимов и т.п. в настоящий момент затруднительно. Это связано как с техническими возможностями тренажеров (например, недостатком вычислительного ресурса для точного расчета модели в ускоренном масштабе времени), так и уровнем развития самих инжиниринговых моделей (хорошо проработанные для разнообразных переходных процессов, эти модели не всегда отвечают требованиям полноты и связности для конкретных технологических объектов).

Современные технологии. Механика и машиностроение

Необходимо также учитывать, что при решении сложной математической модели численными методами в реальном времени (и, тем более, в ускоренном масштабе времени), помимо решения системы дифференциальных уравнений, приходится решать системы нелинейных уравнений и неравенств. При этом требование реального времени может сильно ограничить точность получаемого решения. Использование поисковых численных алгоритмов (например, метода Ньютона) не дает гарантии получения решения при заданной точности расчета. Если время расчета окажется больше, чем величина цикла таймера, установленного для полного расчета модели, режим реального времени будет нарушен. Увеличение же цикла работы таймера неизбежно ведет к потере реалистичности поведения модели объекта, изменения переменных в этом случае будут носить ярко выраженный дискретный характер. При этом также теряется устойчивость и точность получаемого решения.

Использование для описания объекта системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных также нежелательно, т.к. существует проблема сходимости и устойчивости вычислительных схем.

Исходя из приведенных соображений, при построении модели объекта следует придерживаться основных физических законов, не забывая при этом о желательности упрощения численного решения задачи.

Объект исследования. Современное производство этилена, в том числе и на ОАО «АЗП», включает в себя несколько технологических стадий. В данной работе рассматривается одна из основных стадий - стадия газоразделения, предназначенная для выделения этилена из этан-этиленовой фракции (ЭЭФ) в ректификационной колонне. Данный процесс представляет собой классическую схему ректификации, где этилен представляет собой низкокипящий компонент, а этан - высококипящий.

Рассмотрим моделирование процесса нагрева кубовой жидкости колонны в выносном кипятильнике Т-1, представляющем собой вертикальный кожухотрубный одноходовой противоточный теплообменник, принципиальная схема которого изображена на рис. 1.

В трубное пространство кипятильника поступает кубовая жидкость колонны К-1, представляющая, в основном, смесь этана и этилена с преобладающим количеством этана. Подвод тепла в кипятильник осуществляется путем подачи в его

межтрубное пространство газообразного пропилена. Газообразный попилен, отдавая тепло кубовой жидкости через стенки металлических трубок, конденсируется и отводится из нижней части кипятильника через регулирующий клапан г1.

Рис. 1. Принципиальная схема кипятильника

Особенностью протекания процессов в данном кипятильнике является то, что поступающий теплоноситель - пропилен может содержать небольшое количество примесей, представляющих собой инертные газы, в основном, азот. Азот не конденсируется и накапливается в верхней части кипятильника, образуя газовую подушку, препятствующую конденсации пропилена и осложняющую процесс теплопередачи. Для устранения негативного влияния данного явления, в верхней части кипятильника предусмотрена линия сдувки инертов в дренажную линию с установленной на ней ручной задвижкой ¿1. Задачей оператора является своевременное определение момента накопления инертов в кипятильнике и периодическая их сдувка. Гидравлическая система кипятильника оборудована также дренажной линией в нижней части кипятильника с ручной задвижкой ¿2 для удаления остатков жидких углеводородов в период плановой или аварийной остановки.

К числу переменных, доступных оператору для наблюдения на объекте, относятся уровень пропилена-конденсата Ь в межтрубном пространстве, а также расход пропилена-теплоносителя ¥п на входе в кипятильник.

Математическая модель кипятильника

Приведем систему допущений, принимаемую в модели:

1. Теплоноситель представляет собой бинарную смесь пропилена и азота с известным содержанием каждого компонента на входе;

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Кш = К и • [г1] -л Р +

м^

Б

- Рош; (2)

^ = к,й • [ 21] • л/(Р+Р) • (Р - Рй); 3)

2

Г = К • [22] Р +

Б

- Р„

(4)

м/с2.

мое

В выражениях (2), (4) присутствует слагае-

мь • §

Б

, представляющее собой величину

гидростатического давления жидкого пропилена высотой Ь в межтрубном пространстве кипятильника. Уровень пропилена Ь является контролируемой переменной объекта и может быть вычислен по выражению:

ь = М_,

Б •Рь

где рь - плотность жидкого пропилена, кг/м3.

Давление паровой фазы Р будем находить из уравнения состояния идеальных газов:

(5)

р = Мр • Я • Т

2. Пар и жидкость находятся в равновесии друг с другом при температуре кипения.

3. Температура во всех точках межтрубного пространства кипятильника одинакова.

4. Плотности и теплоемкости жидких и газообразных сред не зависят от температуры.

С учетом принятых допущений перейдем к составлению математического описания кипятильника.

Запишем уравнения входных и выходных материальных потоков кипятильника (см. рис. 1):

Г = К1пу • (Р -Р) ; (1)

где МР - масса пара в межтрубном пространстве, кг; Я - реальная газовая постоянная для пропилена, Дж/(мольК); Т - температура в межтрубном пространстве кипятильника, К; УР - объем паровой фазы, м3.

Объем паровой фазы в межтрубном пространстве УР связан с массой жидкой фазы Ыь соотношением:

V. = V - мь

Рь

(6)

где V0 - общий объём межтрубного пространства

3

кипятильника, м .

Общий материальный баланс по паровой и жидкой фазам запишется в виде:

йМР йг йм,

= г - г - г ■

= гт гк г$й ;

йг

Ь — Т7 — Т7 —17 = гк г ош гй ,

(7)

(8)

где Гпп, ГоШ, Гй, Гй - массовые расходы входного, выходного потока теплоносителя, сдувок и дренажа соответственно, кг/с; Рпп, Роиг, Р^, Рй - известные давления в смежных узлах, Па; К пп, Кои1, Кхй, Кй - коэффициенты проходного сечения соответствующих трубопроводов; [г1],[21], [хТ\ - положения регулирующего клапана и ручных задвижек, установленных на соответствующих потоках и изменяющихся в диапазоне [0^1]; Р - давление паровой фазы в межтрубном пространстве, Па; Мь - масса жидкого пропилена в межтрубном пространстве кипятильника, кг; Б - площадь поперечного сечения межтрубного пространства, м2; § - ускорение свободного падения,

где Г - поток сконденсировавшегося пропилена, кг/с.

Для нахождения температуры Т в межтрубном пространстве кипятильника необходимо записать уравнение парожидкостного равновесия. Согласно принятому допущению о равновесии паро-жидкостной смеси для любого компонента / связь между содержанием его в паре у 1 и содержанием в жидкости х, подчиняется закону Рауля:

Р

у = Х-Р'

(9)

где Р = £ (Т) - функциональная зависимость упругости паров от температуры кипения для чистого /-того компонента.

Последнюю зависимость можно представить уравнением Антуана:

Р = ехр( А -

В.

Т + с,

),

(10)

где А, Д, С - известные коэффициенты Антуана для /-того компонента, являющиеся справочными данными.

Для упрощения модели и получения решения в устойчивом виде линеаризуем уравнение (10), приведя его для пропилена и азота к виду:

(11) (12)

РР = АР • Т + ВР ; Ры = Аы • Т + Вы,

где РР , Ры - упругости паров пропилена и азота,

5$« 5$«

Па; АР , ВР , Аы, Вы - постоянные коэффициен-

V»

Современные технологии. Механика и машиностроение

ты, вычисленные при линеаризации уравнения Антуана.

Воспользуемся стехиометрическими соотношениями по жидкой и газовой фазе:

N N

£ хг = 1; ^ я = 1. (13)

1=1 1=1

Запишем уравнение парожидкостного равновесия для смеси пропилена и азота с учетом уравнений (11) и (12):

Р • Ур , Р • (1 - УР )

Ар • Т + В*Р

+

AN • Т+в*N

=1,

(14)

где ур - содержание пропилена в паровой фазе, мол. дол; (1- у ) - содержание азота в паровой фазе.

Уравнение (14) представляет собой нелинейное уравнение относительно неизвестной переменной Т и требует для решения применения поискового численного метода, что нежелательно с учетом высказанных ранее суждений. Данное уравнение преобразуется в квадратное уравнение вида:

а • Т2 + Ь • Т + с = 0, (15)

где коэффициенты а, Ь, с могут быть найдены из соотношений:

— Л* л*

а = АР • AN ;

Ь = Вр • А* + В* • Ар + Р • Ур (Ар - А*) - Р • Ар;

с = Вр • В* + р • ур(Вр - В*) -р • В*.

Уравнение (15) решается аналитически с выбором корня, лежащего в области допустимых значений Т .

Для нахождения неизвестной величины ур, входящей в уравнение (15), составим уравнение материального баланса по пропилену:

й (Мр • Ур )

йг

= рп • у'р - Рк • хр - Р.й • Ур, (16)

где у Р

йг

М

р^ш = р'п • (уПр - ур)+рк • (ур - хр). (17)

Концентрация пропилена в жидкой фазе хр

находится из уравнения парожидкостного равновесия (9):

р

хр = УрА~рВг <18)

Расход конденсата Р может быть рассчитан из уравнения теплового баланса межтрубного пространства кипятильника. При этом необходимо учитывать принятое допущение о равенстве температур по всему объему межтрубного пространства:

й[(сь • Мр + ср • Мр ) • Т]

йг

= сс

• Р_ • Т_ -

- с, • Роиг • Т-ф + Рк Л-ср • Рй • Т - (19)

- сь • Рй • Т-ф,

где сь, ср - теплоёмкости жидкой и паровой фаз соответственно, Дж/(кгК); Т п - известная температура входного потока теплоносителя, К; Л -скрытая теплота конденсации парового потока, Дж/кг; ф - тепловой поток, отводимый из межтрубного пространства кипятильника для парообразования этана, находящегося в трубном пространстве, Дж/с; фх - поток тепловых потерь, Дж/с.

Величина теплового потока ф рассчитывается по формуле:

ф = кг • • (Т - Тк ) • (1 -

Мг

Ро • ^ • Рь

),

известное содержание пропилена во

входном потоке теплоносителя, мол.дол.; хр - содержание пропилена в жидкой фазе, мол.дол.

Продифференцировав левую часть уравнения (16) по частям и подставив в него вместо йМР

правую часть уравнения (7), получим сле-

где кг - коэффициент теплопередачи через стенки труб; 5 - площадь теплопередачи, м2; Тк - известная температура потока в трубном пространстве, вычисляемая из теплового баланса колонны К-1, К; Р0 - высота труб в кипятильнике, м.

Для вычисления потока конденсата Рк преобразуем дифференциальное уравнение (19) в алгебраическое, используя почленное дифференцирование левой части, с учетом уравнений (5), (7), (8), (11) и (12). В результате преобразований получим:

Е

Рк =

5

(20)

дующее дифференциальное уравнение для определения ур:

где

Е = (— + О

О , р • (Роиг + Рй ) - р • (Р1П - Р.й)

ОрьУр ОМр

) х

х (срМр + срМр ) + ср • Р'П • (Т - Т т ) + ф + ф1

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

£ =

(еьМь + ерМр )р (ОьМь + сРМР )Р

О-Рь-Ур

о • МР

(сМь + СрМр)• Рр -(Ур -Хр)•(Р-Ур -ХрРм) О-ур -Мр-(Рм-Ур - Рр •Ур + Рр) + Я+ Т • (ср - сь).

Здесь

О =

МрЛ ХрАР • р)2 -РрР • (ур -1) • А* У„

Б =

Р* -(Рыур - РрУр + Рр ) РрР,„ •( ур - Ур )-(Р-Ур - ХрР* )

этилена - кипятильника кубовой жидкости колонны. Задача решена с точки зрения применения данной модели в динамическом тренажере для обучения оперативного персонала. Особенностью модели является специфика получения ее численного решения без использования поисковых численных методов, что является актуальным при использовании ее в тренажерных системах реального времени.

Ур • МР -(РМУР -РРУР + Рр )

Уравнение (20) является алгебраическим, разрешенным относительно искомой переменной ^ в явном виде.

Таким образом, математическое описание кипятильника Т-1 состоит из 9 нелинейных алгебраических уравнений (1-6, 15, 18, 20), выраженных в явном виде относительно искомых переменных и 3 дифференциальных уравнений (7, 8, 17).

Полученная математическая модель может быть решена без использования поисковых методов, система дифференциальных уравнений решается любым одношаговым численным методом, например, методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Результаты моделирования. Исследование полученной математической модели проведем путем ступенчатого уменьшения во входном потоке

Е1П содержания пропилена у'Р с 98 до 97% (момент времени Результаты моделирования показаны на рис. 2 и 3. В промежутке времени от ¿1 до ¿2 наблюдается экспоненциальное снижение концентрации пропилена в паровой фазе Ур с 72 до

58% (рис. 2), что свидетельствует о накоплении инертов в кипятильнике. Как следствие, происходит снижение уровня жидкого пропилена Ь и теплового потока ф , передаваемого трубному пространству кипятильника (рис. 3), что говорит об ухудшении процесса теплопередачи. Данная ситуация относится к нештатной, требующей от оператора проведения мероприятий, связанных с восстановлением нормального режима. Правильным действием в этом случае является открытие ручной задвижки ¿1 на линии сдувки инертов из межтрубного пространства кипятильника (момент времени ¿2). Как видно из графиков, все параметры при этом возвращаются в режимное состояние.

Заключение. В работе рассмотрена задача построения математической модели одного из технологических объектов процесса получения

уР,мол. дол 1,0-

К,, кг/ч

0,8' 0,70,6' 0,50,4'

0

!

\ ™! ---

;

:

/>>• >---

' Г ¡Л

: : \

-110 -100

-80 -60 -40 -20 0

15

20 25

30 мин

Рис. 2. Графики изменения концентрации пропилена во входном потоке ( у'Р ), в паровой фазе

кипятильника ( у ) и расхода сдувок (Г^) Ь,% ф, кДж/с

100-т

80-

4020' 0'

■ 1 ■ 1 ______;______

Л :/ — --!-- ^« 1 1 -А ____

1 Г* 1 * 1 1 1 1 1 I I 1 1 1 1 1 1 ---

» 1 1 к ' % 1 ] _ л» _ _ 1 < < 1 < <

ч 1 1 1

0 А 5 *2 Ю

15

20 25

260 240 220 200 ■180 160

30 мин

Рис. 3. Графики изменения уровня пропилена в межтрубном пространстве (Ь) и теплового потока ( ф ) в колонну

Полученные результаты были реализованы в тренажерном комплексе «Этилен» и внедрены на ОАО «АЗП». Подробное описание тренажера приводится в работе [6].

Работа выполнена авторами в рамках хоздоговора между АГТА и ОАО «АЗП».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Обзор рынка этилена в СНГ и прогноз его развития в условиях финансового кризиса [Текст] / Информационный отчет - М. : исследовательская группа «Инфомайн» -Март, 2009. - 125 с.

Современные технологии. Механика и машиностроение

2. Embrey D. Refinery Operators: Competency, Procedures and Best Operating Practice [Text] / Proc. of the 1996 European Oil Refining Conference. - Antwerp (Belgium), June - 1996.

- 230 c.

3. Колмогоров А.Г. Опыт создания компьютерных тренажерных систем для обучения операторов установки ЭП-300 [Текст] / А.Г. Колмогоров, Н.С. Благодарный,

B.Ю. Кобозев // Вестник Анг. гос. техн. акад.,

- Ангарск : Изд-во АГТА, 2008. - Т.2, № 1. -

C. 33-38.

4. Дозорцев В.М. Компьютерные тренажеры для обучения операторов технологических

процессов [Текст] / В.М.Дозорцев. - М. : СИНТЕГ, 2009. - 372 с.

5. Дозорцев В.М. Компьютерный тренинг операторов технологических процессов: десять «мифов»... и еще пять [Текст] / В.М.Дозорцев // Датчики и системы. - 2009. -№6. - С. 73-80.

6. Колмогоров А.Г. Компьютерный тренинг технологического персонала на ОАО «Ангарский завод полимеров» [Текст] / А.Г. Колмогоров, Н.С. Благодарный, М.В.Кривов // Материалы VIII Всероссийской науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ. - 2009. - С. 125-129.

УДК 519.142.1+512.643.8 О.В. Кузьмин,

д.ф-м.н., профессор, зав. кафедрой «Теории вероятностей и дискретной математики», ИГУ (г. Иркутск), тел.: 8 (3952) 242226, e-mail: quz@irk.ru

Л.Г. Евсевлеева

к.х.н., доцент, зав. кафедрой «Высшейматематики», АГТА (г. Ангарск),

тел.: 8 (3955) 512950, e-mail: cpk@myangarsk.ru

О ГЛУБИНЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ (0,1)-МАТРИЦ

O. V. Kuzmin, L. G. Evsevleeva

ABOUT DEPTH OF SYMMETRICAL (0,1)-MATRICES

Аннотация. В предложенной статье показано, что глубина симметрической (0,1)-матрицы не изменится, если из нее удалить 0-нулевые подматрицы.

Ключевые слова: (0,1)-матрицы, глубина.

Abstract. This article shows that the depth of symmetrical matrix (0,1) is not changed after the deletion of the 0-null submatrices.

Keywords: (0, 1)-matrices,

Введение. В настоящей работе рассматриваются симметрические (0,1)-матрицы, т.е. симметрические матрицы, составленные из нулей и единиц.

Пусть М - (0,1)-матрица размера N х N без нулевых строк и столбцов. Если а - натуральное число, то назовем а-глубиной (а-шириной) матрицы М минимальное число ее строк (столбцов) с тем свойством, что в образованной ими подматрице сумма элементов в каждом столбце (каждой строке) не меньше а. Обозначим а-глубину матрицы М через еМ (а). Число еМ (1) будем называть просто глубиной матрицы М и обозначать через ем. Очевидно, что а-ширина матрицы М совпадает с а-глубиной транспонированной матрицы М Т

и фактически безразлично, изучается а-ширина или а-глубина (0,1)-матриц. При этом не будем вводить для а-ширины и ширины специальных обозначений, используя при необходимости запись е Т (а) и е Т соответственно.

Задачу о ширине матрицы поставили в 1961 году Д. Фалкерсон и Г. Райзер [1]. Понятия ширины и глубины матрицы связаны с некоторыми хорошо известными задачами дискретной математики [2]. В частности, глубина (0,1)-матрицы связана с некоторыми основными константами теории графов, что будет обсуждаться в следующих работах.

В настоящее время о глубине произвольной (0,1)-матрицы известно достаточно много [3]. Однако исследуются преимущественно (0,1)-матрицы с одинаковыми суммами элементов в каждой строке, равными т, и с одинаковыми суммами элементов в каждом столбце, равными п. Еще больше уделяется внимания классу и(п, N квадратных матриц порядка N с одинаковыми суммами элементов как по строкам, так и по столбцам, равными п. К матрицам такого класса принадлежат матрицы инцидентности.