МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,

2. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Численное исследование задачи переориентации орбиты космического аппарата с использованием орбитальной системы координат // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2012. Вып. 14. С. 132-136.

3. Челноков Ю. П., Панкратов И. А. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. 1. С. 70-73.

4. Панченко Т. В. Генетические алгоритмы. Астрахань : Астраханский университет, 2007. 87 с.

5. Панкратов И. А., Челноков Ю. П. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации круговой орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 84-89.

УДК 519.6,532

И. А. Панкратов, А. В. Шаров

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Поступила в редакцию 25.05.2018 г.

1. Постановка задачи

Рассматривается течение мелкой воды в закрытом водоеме при наличии ветра. Такой процесс описывается следующей системой дифференциальных уравнений в частных производных [3]:

дЯг + д (рН)

дх,: дЬ

д«1 д («1\

дЬ + + дх1 V Н)

д«2 д («1«2

дЬ + + дхД Н

д ^ = £№ - Мг) + ^ + бь

дх2\Н ) дх1 дх2

+ д (А д (Ы Ы ) + дЛГ12 + в

. + дХд н) = дХ2№ - Ы") + 1Х + Б'2'

Здесь «г - компоненты потока количества жидкости; р - плотность жидкости; Н = Н + п, Н - расстояние от координатной плоскости Ох1х2 до дна, а п _ возвышение свободной поверхности; Ыц, Бг - сложные выражения.

Для данного двумерного случая требуется найти численное решение указанной системы дифференциальных уравнений с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Программа должна работать с любой произвольно заданной областью. В качестве примеров таких областей были взяты как искусственно вырытые пруды, так и реальные озера. Заметим, что ранее в работе [4] был применён метод взвешенных невязок к решению одномерных нестационарных уравнений мелкой воды.

2. Метод конечных элементов

В рассматриваемой системе можно пренебречь силой Кориолиса и конвективными членами. Затем необходимо представить функции q1(x1,x2,t),q2(x1,x2,t),H(x1,x2,t) в виде линейных комбинаций базисных функций (линейные на треугольнике базисные функции одни и те же для всех трёх переменных):

M м

qi(xi,x2,t) = ^ ат(t)Nm(x,y), q2(xi,X2,t) = ^ ат+к(t)Nm(x,y);

m=1 m=1

M

H (xi,x2,t) = а2 •m+k (t)Nm(x,y).

m=1

После этого нужно подставить полученные разложения в исходную систему уравнений. Затем каждое из уравнений необходимо умножить на весовую функцию Wi(x1,x2) = N(x1,x2) (метод Галёркина) и проинтегрировать его по треугольнику. Также каждое из уравнений необходимо разрешить относительно производной, чтобы получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

л da

лш + B •a +•• = f

Важно заметить, что каждое из трех исходных уравнений в частных производных дало по M обыкновенных дифференциальных уравнений, и в конечном итоге задача сводится к решению задачи Коши для системы из 3 • M обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Пример численного решения задачи

Для численного решения задачи была написана программа на языке Python. Заметим, что реализация МКЭ в данной работе является многопоточной. В первую очередь это удалось сделать благодаря самому МКЭ, который позволяет обсчитывать элементы в сетке независимо друг от друга. Для решения этой задачи был написан пул потоков, который позволяет в один и тот же момент времени обсчитывать от 128 до 256 элементов. Цифры могут меняться, так как параметр является

конфигурируемым и максимальное значение одновременно обсчитываемых конечных элементов зависит только от компьютера, на котором производятся вычисления.

Так как при использовании потоков Python не может задействовать все ядра процессора для выполнения нескольких потоков одновременно, то вместо них в реализации задачи были использованы процессы из библиотеки multiprocessing.

Помимо этого все модули приложения вместе с внешними зависимостями были упакованы в Docker контейнер, который позволяет очень просто переносить приложение на любую систему, которая поддерживает данную технологию.

Такая упаковка позволила производить вычисления не на личном стационарном компьютере, а на удаленном сервере, который имеет намного большие вычислительные мощности и позволяет быстрее получить результат.

Заметим также, что вычислительная область была разбита на конечные элементы (треугольники) с помощью алгоритмов Рапперта (J. Ruppert) и Чу (L. Paul Chew) [5, 6].

В качестве реального водоема, у которого нет островов, было выбрано озеро Эльтон солёное бессточное самосадочное озеро на севере Прикаспийской низменности. Данное озеро имеет площадь равную 152 кв. км и наибольшую глубину до 1.5 м. В среднем глубина данного озера составляет 0.05 — 0.07 м, а это значит, что для данного озера будут справедливыми уравнения мелкой воды. На рис.1 показана сетка, использованная при решении задачи. На рис. 2 показаны линии тока.

Рис.1. Триангуляция озера Эльтон

Рис. 2. Линии тока

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Панкратов И. А. Численная аппроксимация .пиний тока методом Галёркина // Juvenis seientia, 2016. JY2 2. P. 4-6.

2. Панкратов И. А. Изчисляване на линията на тока но време па циркулация, предизвикапа от ветрове // Парадигма. 2016. Т. 1, JY2 1. С. 115-119.

3. Кот юр Дою., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.

4. Панкратов И. А., Рымчук Д. С. Расчёт течений мелкой воды // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014. Вып. 16. С. 120-124.

5. Ruppert J. A Delannay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional Mesh Generation //' Journal of Algorithms. 1995. Vol. 18, JY2 3. P. 548-585.

6. Rand A. Where and How Chew's Second Delannay Refinement Algorithm Works. URL: http://2011.cccg.ca/PDFschednle/papers/paper91.pdf (дата обращения: 20.03.2018).

УДК 534.121.1

Я. А. Парфенова, А. В. Ротарь

НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРАЕВАЯ ИЗГИБНАЯ ВОЛНА

В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ

Поступила в редакцию 14-05.2018 г.

Изгибная краевая волна в свободной тонкой полубесконечной изотропной пластине впервые была исследована Ю. К. Коненковым в работе [1]. Одним из важнейших свойств волны Коненкова является ее дисперсия, то есть зависимость скорости волны от собственных частот колебаний пластины. В данной статье решается задача о распространении нестационарной краевой изгибной волны в тонкой пластине.

Рассмотрим полубесконечную изотропную пластину толщины 2h. С серединной плоскостью пластины свяжем декартову систему координат