К РАСЧЕТУ ЗАВИСИМОСТИ МАКСИМАЛЬНОГО ПОВЫШЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПРИ РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА ОТ ГАЗОСОДЕРЖАНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

из спутников отечественной орбитальной группировки ГЛОНАСС (отличие ориентаций орбит по угловым переменным составляет единицы градусов).

В дальнейшем предполагается оптимальное количество участков активного движения К А определять в ходе решения задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. П., Панкратов И. А. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. JV2 1. С. 70-73.

2. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. П. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,

3. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Численное исследование задачи переориентации орбиты космического аппарата с использованием орбитальной системы координат // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2012. Вып. 14. С. 132-136.

4. Панченко Т. В. Генетические алгоритмы. Астрахань : Астраханский университет, 2007. 87 с.

5. Панкратов И. А., Челноков Ю. П. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации круговой орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 84-89.

УДК 519.257

Г. П. Шиндяпин, А. А. Матутин, М. С. Шахрай

К РАСЧЕТУ ЗАВИСИМОСТИ МАКСИМАЛЬНОГО

ПОВЫШЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПРИ РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА ОТ ГАЗОСОДЕРЖАНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ

Методами нелинейной теории взаимодействия ударных волн (УВ) в газожидкостных средах (ГЖС) [1] установлены границы области рефракции УВ, характеризуемые возникновением отраженной У В (в жидкости), определено максимальное повышение давления на невырожденной преломленной У В (в газе).

1. Режимы рефракции У В. При падении У В (рис. 1) относительно малой интенсивности £ = Plp-P0, (е ~ 10-2 ^ 10-1) под углом а к вертикали на свободную поверхность AF океана, разделяющую воздух и воду с газосодержаниями 7 + 7возникают различные режимы рефракции [2,3] : RW—рефракция с отраженной УВ; RR—регулярная рефракция с волной разрежения; TXR twin Neumann réf. с двойной

отраженной precursor ref. пая УВ в LSR lambda

УВ; BPR bound

(когда преломлен-т. А вертикальна) ; shok ref. (когда опережает

преломленная УВ падающую) и др.

Особый интерес представляет режим К\¥ с отраженной У В АС, когда интенсивность преломленной УВ АО а+ = Рз-Ро может

4 Р1-Р0

превышать интенсивность падающей УВ АВ в зависимости от г, а, 7. Относительное газосодержание водной среды [1] 7 = 7-= т (т// — масса пузырьков газа, ш/ — масса жидкости пузырьковой газожидкостной среды (ГЖС) при 0 < 7 < 10-4).

При использовании модели гомогенной локально равновесной ГЖС (см. [1]) (с газосодержаниями 7- для жидкости и 7 + = то для газа) были установлены основные параметры для относительно слабых УВ (р0 ^плотноеть, Со — скорость звука)

Рис. 1. Режимы рефракции

£ << 1, g = Lo(Y)g = RO(Y)PIO, P10 =

Pi - Po

Bo (Y ) '

(1)

Bo(Y ) = Po(Y )c0(Y ),Lo(y ) = РЖ

D

co

(Яо(т) находится из выражения для скорости элемента У В

= 1 + Я0(7 )Рю).

2. Условия на фронтах УВ. Для получения общих результатов (уточняющих теорию коротких волн (ТКВ) (а ~ г"1/2)) при произвольных углах падения а для режима К\¥ (когда УВ пересекаются в точке А (£а, Па)) запишем условия на фронтах в автомодельных переменных (см. [1]) £ = х/с0Ь, п = у/с0Ь, и(и,у). Условия на фронтах £ = £(п) с локальными интенсивностями Pji = РзР!1>г, = Ро^2 (г — значение

перед фронтом, ] — за фронтом), отражающие условия динамической

2

совместности (£' = ^/йц) (в моделе Эйлера) (см. [1]):

А Ро

1 2

(е - пеО - * - е'*

1+е

2

N(Р,,); £

Рз

N3 - Рз

31

N (Р31)

р.. = Р

Р 31

Ро

(е - по - (- - е-1

\°0 Со,

3

Со

щ

Со.

е^ ^ = ^ ; N (Рз») = 1 + 2а

¿1 + Р31 (12 + Р31

Со Со

Со Со

2

с!з + Р

31

Коэффициенты а, сЦ, с12, с13 зависят от газосодержания среды 7 + или 7- (см. [1]).

Условия совместности течений на свободной поверхности АР (в верхней и нижней областях) в точке а = па = 0, жа/£ = с^а) приводят [4] к установлению двух инвариантов (см. рис. 1, а, р3 = р2, ^3п = -и2п)

(1) : С+е+ = Со еА, или

c+N1/2 (Рзо) С0"^/2(Р1о)

cos ш

cos а

(II):

- С+П+

- С+еА

V - Со Па

о С-

и — С

(3)

(4)

С учетом (I) инварианта (3) второй инвариант (II) (4) примет вид (п+ =

= па = 0)

С- С- =

У^2 - У2Ч3

Уз - V2 '

(5)

(2)

и2, у2, и3, у3 и выражения а^ = tgа/с1/2, с = с-/с+, р = р-/р+, С7 = = (1 - 1 )/С, . = получим:

^ Д = tgа 1 ~ . 2 У с ь ^а V 2 вт2 а /

^ ,+Л, ет2 =

сов2 а сов2 а

(6)

Можно записать (II) инвариант в виде (Р3о = у+рс2Р1о, Р21 = (у+ - 1)Р1о, N(Р3о) = 1 + .Я-У+Рю, N(Р21) = 1 + 2Л0-Рю + Я-Р^)

(1 + с)

+ , У+ - 1 „

2 вт2 а

tg шР3о - с tg а 2 - у+ +

У+с Р

1о

2

= сов а

у+ tg ш - tg а ( 2 - у+ +

+

у+ - 1 2 вт2 а

у+с

Р1оР3о.

(7)

Выражение (7) представляет (II) инвариант при произвольныхш (ш > 0). Исключая ш из (3), (7), имеем выражение для расчета в зависимости от а, Рю, 7 [5].

3. Границы режима 11Л¥.

Граница ш = 0 Из (7) пр и ш = 0 получим

q + - 2 - q+-

d 2 sin2 a d

-2(1 +

e) — cos2 аP30 множителя

= 0. Граница ш = 0 реализуется за счет первого

. 2 q+(q+— V2 tg2 а q+ /0ч

sin2 а =——-— e или aV =-= —7-г-. (8

2(q+ — 2) - 2( ^) — q+e U

Формула (8) уточняет результаты теории коротких волн (ТКВ, используемой при а ~ ё1/2).

• Левая граница области RW. Для фропта АС при £1 = tg в, разрешая

первое уравнение (2) относительно ^' и приравнивая пулю подкоренное выражение, получим

2 = _N 2(Pio)_

C0s а N(P2i)(N(P10 — P10)) + 2N(Pio)Pio. 1 J

Оценивая порядки величин в (9) (при c— ~ c+, 7 ~ 10—6, P10 ~ 10—4, P21 = (q+ — 1)P10), получим (с погрешностью порядка 10—3) уравнение

2 N 2(Pi0) 1+ - V 2 q+ fm,

cos а = ч = --— ^иа = --. (10

N2(P2i) 1 + - + q+- 1 + - К J

Формула (10) уточняет результат ТКВ 2 = q+).

4. Область существования режима RW. На рис. 2 проставлены результаты расчета границ режима RW [5] согласно (10) с режимом TNR

(8) q+ = 1.0

при фиксированных значениях e (при e = 0.041). Уравнения (3), (4)

ш

q+ [4]

-2 N (P30)

С Р 2 P30

P10 sin а P21 sin в

N1/2 (P10) (Pi/P—)1/2N1/2(P2i)

1 N (P30) 2 = 1 — а.(11)

2

При рефракции К\¥ с невырожденной преломленной УВ АБ (при > 1) [3], при с- « с+ (7 « ~ 10-6) значениях (рс)2 ~ 106 левая часть (11) может быть отброшена и для поля газосодержаний 7 = соивЬ имеем в общем случае уравнение (равенство правой части нулю)

2с7 + а2 - д+/1 + 1 = 0. (12)

На Рис. 2 на область режима RW нанесено поле газосодержаний (поле кривых y = const) согласно (12) при фиксированных значениях интенсивности е. Как показывают результаты расчетов [5] при различных значениях ин-

е

максимальные значения параметра q+, характеризующего интенсивность преломленной УВ AD и являющимся максимальным для всей области RW, достигается в точке пересечения границ с областями TNR и BPR. 5. Расчет максимального повышения давления при рефракции RW.

Исключая а из (8), (10) имеем в точке пересечения границ RW зависимость

Рис. 2. Область рефракции RW при е = 0.041

е =

q+ - 3

q+2 - 1

(13)

(при q+ = 3, е = 0; q + = 4, е = 0.066)

Зависимость (12) устанавливает с вязь q+ от y и п о (10) от а1

av 2 =

q+(q+2 - 1)

q+2 + q-

4

(14)

На Рис. 3 изображены зависимости максимального возрастания давления от ^ ^ ^^^^ падения ^т 7 в точке пересечения границ области рефракции RW с областями TNR и BPR (см. рис. 2).

Максимальная интенсивность q+ преломленной УВ AD монотонно растет с возрастанием £ от q+ = = 3 при £ = 0; угол наклона а, характеризующий положение точки с max q+ на линии ш = 0, также возрастет с ростом интенсивности

Приведенные результаты показывают, что при режиме рефракции RW (с отраженной УВ АС) максимальное повышение давления (интенсивность преломленной УВ) может существенно превышать интенсивность падающей УВ.

При переходе к режимам BPR, LSR, TNR, когда преломленная УВ падает вертикально (к свободной поверхности) и уходит вперед (опережая падающую), ее интенсивность падает.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шипдяпип Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1997. 104 с.

2. Henderson L. F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of shock wave at an air—water interface //' Fluid Dynamic Research. 1990. JY2 5. P. 337-350.

3. Шипдяпип. Г. П., Матутип А. А. Возникновение невырожденной ударной волны в воздухе при рефракции ударной волны в океане // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 136-141.

4. Шипдяпип. Г. П., Матутип. А. А. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкостных средах // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 146-150.

5. Шипдяпип Г. П., Матутип A.A., Баранова Ю.Д. Влияние газосодержапия водной среды па границы режимов рефракции ударных воли па поверхности океана// Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 141-146.

4.5

4.0

3,5

3.0

£= 0 058/

/

а* /г = 0.037 £ = o.i

7

/ £= 0. pis / £ = 0 ,041 ■

/ Jt £ = 0. 322

Ч^Е = = 0,0 (1

а

£ = 0,085

г = 0,085 30

20 58

10

о г

0.95 ■10"6

1.00 ■10"6

1.05 ■10"6

Рис. 3. Зависимость q+; а0 от Y в точке пересечения границ области RW