CC BY
9
6, Колесникова А. С., Мазепа M. М. Управление прочностными свойствами углеродных композитов // Совр, проблемы МСС : сб. науч. тр. Саратов, 2016, С, 21-24,
7, Kolesnikova A. S., Mazepa M. M. Management the strength properties of carbon composites // Progress in Biomedical Optics and Imaging, Proceed, of SPIE 9 : Reporters, Markers, Dyes, Nanoparticles, and Molecular Probes for Biomedical Applications IX, 2017, Vol. 100790. P. 100790E.
8, Колесникова А. С., Мазепа M. M. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона двумерно протяженного колонного графена // ФТТ. 2018. Т. 60, вып. 9. С. 1781-1784.
9, Колесникова А. С., Сафонов Р. А., Мазепа М.М. Прогнозирование модуля упругости и коэффициента Пуассона углеродного нанокомпозита // Нано- и биомедицинские технологии. Управление качеством. Проблемы и перспективы : сб. науч. тр. Саратов, 2016. С. 41-47.
УДК 519.6,629.78
И. А. Панкратов
ЭВОЛЮЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С РАЗРЫВНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
Поступила в редакцию 25.05.2018 г.
1. Постановка задачи
Предположим, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости его орбиты. Рассмотрим следующую задачу: пусть необходимо перевести круговую орбиту КА, движение центра масс которого описывается безразмерными уравнениями [3]:
= Л ◦ = Nubii + is, = 1,
dt dt
из заданного начального состояния
t = to = 0, f(0) = fo, Л(0) = Л(0) = Л0 ◦ (cos f + is sin f) (1) в конечное состояние, принадлежащее многообразию
t = t* =?, <(t*) = <*, vect
( * /-N*
cos < + i3 sin <
= 0, (2)
с помощью кусочно-постоянного управления
u(t) = (-1)k • Ust, если t2k ^ t ^ t2k+i (k = 0,1,..., INT(0.5 • (M - 1));
u(t) = 0, если t2k-i < t < t2k (k = 1,..., INT(0.5 • M)).
При этом количество участков активного движения KA M полагается заданным. Известно, что при минимизации затрат характеристической скорости оптимальное управление, находимое с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина, имеет именно такой вид.
Здесь Л - нормированный кватернион ориентации орбитальной системы координат (СК) в инерциальной СК X; о - символ кватернион-ного умножения, N - характерный безразмерный параметр задачи; uU -проекция вектора ускорения и на направление вектора момента скорости центра масс KA; i1, i2, i3 - векторные мнимые единицы Гамильтона; ^ - истинная аномалия; Л - кватернион ориентации орбиты КА; ust £ {-1, 1} - значение управления на первом участке активного движения KA; Дк = tk — tk-i - искомые величины (длительности участков активного движения KA); INT - целая часть числа.
2. Алгоритм решения задачи
Опишем основные этапы эволюционного алгоритма решения поставленной задачи, следуя книге [4].
Вначале нужно случайным образом сгенерировать популяцию из Nmax пробных решений (особей). Особь - это набор из M вещественных чисел. При этом вместо вещественного числа Дк в памяти хранится целое число (ген).
На втором шаге алгоритма для каждой особи находится по известной
t=
= t* = tM с начальными условиями (1) (управление задаётся выбранной хромосомой). В качестве значения функции приспособленности (целевой функции) берётся модуль левой части соотношения (2). Если на этом шаге для некоторой особи значение целевой функции меньше наперёд заданного малого числа то выполнение алгоритма закапчивается, а управление, соответствующее данной особи, - это решение задачи.
На третьем шаге алгоритма отбрасывается половина особей, имею-
Nmax
число). Затем методом промежуточной рекомбинации [4] производится скрещивание особи с наименьшим значением целевой функции со всеми остальными, в том числе и с самой собой.
На четвёртом шаге алгоритма вычисляется среднее значение целевой функции для популяции, полученной на третьем шаге. Если оно больше, чем среднее значение целевой функции, вычисленное на втором шаге, то производится мутация особей в популяции. Для этого гены всех особей записываются в двоичном виде (на каждый ген отводится ровно L бит)
и с вероятностью рти £ (0; 1] производится инвертирование случайным образом выбранного бита каждого гена. Затем осуществляется возврат ко второму шагу алгоритма.
Отметим, что описанный алгоритм нужно применять неоднократно для разных начальных популяций. При этом будет получено несколько решений, из которых выбирается то, которое соответствует переориентации орбиты с меньшими затратами характеристической скорости.
На рисунке приведены результаты решения задачи оптимальной переориентации круговой орбиты К А для случая, когда кватернион конечной ориентации орбиты КА соответствует ориентации орбиты одного из спутников отечественной орбитальной группировки ГЛОНАСС (отличие ориентаций орбит по угловым переменным составляет десятки градусов).
\Х1 к2Г\
Х0
0 5 10 15 20 г
а
чЛ0
12 ^ ^............................
0 5 10 15 20 г
б
и 1 |_..................................................._..........................................................I
0.5-...............................................................................................................................................................................................-
-0.5-...............................................................................................................................................................................................-
-11.....................~...............................—...............................-............................-....................................-
0 5 10 15 20 г
в г
Круговая орбита, ГЛОНАСС : а - компоненты кватерниона ориентации орбитальной СК; б - компоненты кватерниона ориентации орбиты КА; в - отклонение ориентации орбиты от требуемой; г - оптимальное управление
Параметры генетического алгоритма полагались равными: Ь = 40,
Жтах = 10000, рти = 0.9.
В дальнейшем предполагается оптимальное количество участков активного движения К А определять в ходе решения задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,
2. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Численное исследование задачи переориентации орбиты космического аппарата с использованием орбитальной системы координат // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2012. Вып. 14. С. 132-136.
3. Челноков Ю. П., Панкратов И. А. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. 1. С. 70-73.
4. Панченко Т. В. Генетические алгоритмы. Астрахань : Астраханский университет, 2007. 87 с.
5. Панкратов И. А., Челноков Ю. П. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации круговой орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 84-89.
УДК 519.6,532
И. А. Панкратов, А. В. Шаров
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Поступила в редакцию 25.05.2018 г.
1. Постановка задачи
Рассматривается течение мелкой воды в закрытом водоеме при наличии ветра. Такой процесс описывается следующей системой дифференциальных уравнений в частных производных [3]:
дЯг + д (рН)
дхг дЬ
д«1 + + д («2Л
дЬ дх1 V Н)
д«2 + + д («1«2
дЬ дхД Н
д ^ = £№ - Ыр) + ^ + вь
дх2\Н ) дх1 дх2
+ ^«21 д (Ы Ы ) + дЛГ12 + в . + дХд н) = дХ2№ - Ы") + "аХТ + В'2'
Здесь «г - компоненты потока количества жидкости; р - плотность жидкости; Н = Н + п, Н - расстояние от координатной плоскости 0х1х2 до дна, а п _ возвышение свободной поверхности; Ыц, Ыр, Вг - сложные выражения.
