Рис. 2. Линии тока
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Панкратов И. А. Численная аппроксимация .пиний тока методом Галёркина // Juvenis seientia, 2016. JY2 2. P. 4-6.
2. Панкратов И. А. Изчисляване на линията на тока но време па циркулация, предизвикапа от ветрове // Парадигма. 2016. Т, 1, JY2 1. С, 115-119,
3. Кот юр Дою., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости, Л,: Судостроение, 1979, 264 с,
4. Панкратов И. А., Рымчук Д. С. Расчёт течений мелкой воды // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014. Вып. 16. С. 120-124.
5. Ruppert J. A Delannay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional Mesh Generation // Journal of Algorithms, 1995, Vol, 18, JY2 3, P. 548-585,
6. Rand A. Where and How Chew's Second Delannay Refinement Algorithm Works. URL: http://2011.cccg.ca/PDFschednle/papers/paper91.pdf (дата обращения: 20.03.2018).
УДК 534.121.1
Я. А. Парфенова, А. В. Ротарь
НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРАЕВАЯ НЗГИБНАЯ ВОЛНА
В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ
Поступила в редакцию 14-05.2018 г.
Изгибная краевая волна в свободной тонкой полубесконечной изотропной пластине впервые была исследована Ю. К. Коненковым в работе [1]. Одним из важнейших свойств волны Коненкова является ее дисперсия, то есть зависимость скорости волны от собственных частот колебаний пластины. В данной статье решается задача о распространении нестационарной краевой изгибной волны в тонкой пластине.
Рассмотрим полубесконечную изотропную пластину толщины 2h. С серединной плоскостью пластины свяжем декартову систему координат
0 < х < —то < у < Согласно теории изгиба тонких пластин Кирхгофа уравнение, описывающее прогиб W, имеет вид
2рНд^ _
~дХХ4 + дХХ^дУ2 + ~зУ4 + — 0' ^
где р - плотность материала пластины, О - изгибная жесткость.
Пусть на краю х = 0 действует перерезывающая сила. Тогда граничные условия при х = 0 примут вид
з2ш , — п
+ " Я„.2 — 0?
дх2 ду2
дх3 + (1 и) ду2дх В '
д3Ш , (л ,Л д2Ш N
+ (1 — V)
о
где N — 10Н/(£)Н(у) - обобщенная перерезывающая сила, Е - модуль Юнга материала пластины, V - коэффициент Пуассона, 10 - амплитуда нагрузки, /(£) - заданная функция времени, Н(у) - функция Хевисайда. В начальный момент времени пластина находится в состоянии покоя.
Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа по временной переменной £ и Фурье по пространственной переменной у. Параметры преобразований обозначены гш и х соответственно. Уравнение (1) в изображениях примет вид
— 2Х2-^т + (X4 — ш2А2) WТР — (3)
где А2 — ^ру-
Решение уравнения (3) запишем для изображения угла поворота вертикального сечения пластины относительно оси Оу при х — 0 (в —
— (Ух4 — ш2А2 + VX2)
О(ш2 А2 — (1 — V 2)х4 — 2(1 — V )хУх4 — ш2А2)' 1 '
Вычисление интеграла при обращении преобразования Фурье было проведено с использованием леммы Жордана и теоремы о вычетах. Отметим, что простые полюсы в решении (4) соответствуют решению для волны Коненкова [2]. Изображение решения по Лапласу имеет вид
Т . V» и — ш2А2 + vхk Ухк — ш2А2)
вТ — в—гХкУ-^-1-^, (5)
4О(1 — V) (ш2А2 — 2х1 — (1 — V)ХкУх1 — ш2А2)
где хк — шА/с^, ск — (1 — V)(3v — 1 + 2у/2^2—2^~+Т), ск - скорость волны Коненкова.
Оригинал решения для угла поворота на краех — 0 получим в виде
интеграла
в(у,£) — / вТ ехр(гш£)-ш
(6)
Интеграл (6) после несложных преобразований был вычислен в математической системе МаЙхсас! 14.0. Числовые расчеты проводились для пластины из алюминия к — 0.05 м, V — 0,33, р — 2740 кг/м3, Е — 6,9 • 1010Па, 1о — 1- Зависимость обобщенной перерезывающей силы N0 от времени задавалась функцией
/ (£) —
2 Бт Шо£ — С08 , £ е
0 2^е
0, £ е
0 2пЛГс
^о
График функции /(£) при N — 5 шо — 100 п • 103 приведен на рис. 1
Рис. 1. функция /(£) Графики зависимости угла поворота от времени приведены на рис. 2
е а
0.05 -
о -
-0.05 -
- 0.01_,_,_
5-Ю"5 МО"4 1.5-10"*
Рис. 2. График зависимости угла поворота в от времени в сечении у — 0.1
е '
0.05 0
-0.05 -0.01
3-Ю"4 4-Ю-4 t
Рис. 3. График зависимости угла поворота 0 от времени в сечении y = 1
На представленных графиках показано распространение нестационарной краевой волны, вызванной приложением нагрузки типа перерезывающей силы, вдоль свободного края пластины. Сравнение графиков показывает, что дисперсия приводит к изменению формы сигнала в зависимости от точки наблюдения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коненков Ю. К. Об изгибной волне «рэлеевского» типа // Акустический журн. 1960. Т. 6, вып. 1. С. 124-126.
2. Каплунов Ю.Д., Коссович Е.Л., Мухомюдьяров P.P., Сорокина О. В. Явные модели распространения изгибных краевых интерфейсных волн // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 56-63.
УДК [53:57:61 [ 004](082)
Е. А. Родионов, А. А. Голядкина
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИОКАРДА ЛЕВОГО ЖЕЛУДОЧКА СЕРДЦА
Поступила в редакцию 11.05.2018 г.
Последние 15 лет заболевания сердечно-сосудистой системы остаются ведущими причинами инвалидизации и смерти людей трудоспособного возраста во всем мире [1]. Разработка корректных методов лечения данных заболеваний основывается на применении биомеханического