НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРАЕВАЯ ИЗГИБНАЯ ВОЛНА В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 2. Линии тока

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Панкратов И. А. Численная аппроксимация .пиний тока методом Галёркина // Juvenis seientia, 2016. JY2 2. P. 4-6.

2. Панкратов И. А. Изчисляване на линията на тока но време па циркулация, предизвикапа от ветрове // Парадигма. 2016. Т, 1, JY2 1. С, 115-119,

3. Кот юр Дою., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости, Л,: Судостроение, 1979, 264 с,

4. Панкратов И. А., Рымчук Д. С. Расчёт течений мелкой воды // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014. Вып. 16. С. 120-124.

5. Ruppert J. A Delannay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional Mesh Generation // Journal of Algorithms, 1995, Vol, 18, JY2 3, P. 548-585,

6. Rand A. Where and How Chew's Second Delannay Refinement Algorithm Works. URL: http://2011.cccg.ca/PDFschednle/papers/paper91.pdf (дата обращения: 20.03.2018).

УДК 534.121.1

Я. А. Парфенова, А. В. Ротарь

НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРАЕВАЯ НЗГИБНАЯ ВОЛНА

В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ

Поступила в редакцию 14-05.2018 г.

Изгибная краевая волна в свободной тонкой полубесконечной изотропной пластине впервые была исследована Ю. К. Коненковым в работе [1]. Одним из важнейших свойств волны Коненкова является ее дисперсия, то есть зависимость скорости волны от собственных частот колебаний пластины. В данной статье решается задача о распространении нестационарной краевой изгибной волны в тонкой пластине.

Рассмотрим полубесконечную изотропную пластину толщины 2h. С серединной плоскостью пластины свяжем декартову систему координат

0 < х < —то < у < Согласно теории изгиба тонких пластин Кирхгофа уравнение, описывающее прогиб W, имеет вид

2рНд^ _

~дХХ4 + дХХ^дУ2 + ~зУ4 + — 0' ^

где р - плотность материала пластины, О - изгибная жесткость.

Пусть на краю х = 0 действует перерезывающая сила. Тогда граничные условия при х = 0 примут вид

з2ш , — п

+ " Я„.2 — 0?

дх2 ду2

дх3 + (1 и) ду2дх В '

д3Ш , (л ,Л д2Ш N

+ (1 — V)

о

где N — 10Н/(£)Н(у) - обобщенная перерезывающая сила, Е - модуль Юнга материала пластины, V - коэффициент Пуассона, 10 - амплитуда нагрузки, /(£) - заданная функция времени, Н(у) - функция Хевисайда. В начальный момент времени пластина находится в состоянии покоя.

Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа по временной переменной £ и Фурье по пространственной переменной у. Параметры преобразований обозначены гш и х соответственно. Уравнение (1) в изображениях примет вид

— 2Х2-^т + (X4 — ш2А2) WТР — (3)

где А2 — ^ру-

Решение уравнения (3) запишем для изображения угла поворота вертикального сечения пластины относительно оси Оу при х — 0 (в —

— (Ух4 — ш2А2 + VX2)

О(ш2 А2 — (1 — V 2)х4 — 2(1 — V )хУх4 — ш2А2)' 1 '

Вычисление интеграла при обращении преобразования Фурье было проведено с использованием леммы Жордана и теоремы о вычетах. Отметим, что простые полюсы в решении (4) соответствуют решению для волны Коненкова [2]. Изображение решения по Лапласу имеет вид

Т . V» и — ш2А2 + vхk Ухк — ш2А2)

вТ — в—гХкУ-^-1-^, (5)

4О(1 — V) (ш2А2 — 2х1 — (1 — V)ХкУх1 — ш2А2)

где хк — шА/с^, ск — (1 — V)(3v — 1 + 2у/2^2—2^~+Т), ск - скорость волны Коненкова.

Оригинал решения для угла поворота на краех — 0 получим в виде

интеграла

в(у,£) — / вТ ехр(гш£)-ш

(6)

Интеграл (6) после несложных преобразований был вычислен в математической системе МаЙхсас! 14.0. Числовые расчеты проводились для пластины из алюминия к — 0.05 м, V — 0,33, р — 2740 кг/м3, Е — 6,9 • 1010Па, 1о — 1- Зависимость обобщенной перерезывающей силы N0 от времени задавалась функцией

/ (£) —

2 Бт Шо£ — С08 , £ е

0 2^е

0, £ е

0 2пЛГс

^о

График функции /(£) при N — 5 шо — 100 п • 103 приведен на рис. 1

Рис. 1. функция /(£) Графики зависимости угла поворота от времени приведены на рис. 2

е а

0.05 -

о -

-0.05 -

- 0.01_,_,_

5-Ю"5 МО"4 1.5-10"*

Рис. 2. График зависимости угла поворота в от времени в сечении у — 0.1

е '

0.05 0

-0.05 -0.01

3-Ю"4 4-Ю-4 t

Рис. 3. График зависимости угла поворота 0 от времени в сечении y = 1

На представленных графиках показано распространение нестационарной краевой волны, вызванной приложением нагрузки типа перерезывающей силы, вдоль свободного края пластины. Сравнение графиков показывает, что дисперсия приводит к изменению формы сигнала в зависимости от точки наблюдения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коненков Ю. К. Об изгибной волне «рэлеевского» типа // Акустический журн. 1960. Т. 6, вып. 1. С. 124-126.

2. Каплунов Ю.Д., Коссович Е.Л., Мухомюдьяров P.P., Сорокина О. В. Явные модели распространения изгибных краевых интерфейсных волн // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 56-63.

УДК [53:57:61 [ 004](082)

Е. А. Родионов, А. А. Голядкина

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИОКАРДА ЛЕВОГО ЖЕЛУДОЧКА СЕРДЦА

Поступила в редакцию 11.05.2018 г.

Последние 15 лет заболевания сердечно-сосудистой системы остаются ведущими причинами инвалидизации и смерти людей трудоспособного возраста во всем мире [1]. Разработка корректных методов лечения данных заболеваний основывается на применении биомеханического