CC BY
72
МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ _ТВЕРДЫХ СРЕД_
УДК 539.3
Ю. Д. К а п л у н о в, Д. А. П р и к а з ч и к о в
ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ИЗГИБНОЙ КРАЕВОЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ
Работа посвящена поиску представления с более общей временной зависимостью для изгибной краевой волны Коненкова в терминах гармонических функций в случае упругой изотропной полубесконечной пластины. Распространение известного представления для поверхностной волны на случай изгибной краевой волны оказывается возможным с учетом «балочного поведения» пластины. Рассмотрен пример, иллюстрирующий существование предложенного представления волны Коненкова.
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: краевая волна Коненкова, общее представление, плоские гармонические функции.
Введение. Распространение краевых волн активно исследовалось начиная со второй половины XX в. Первой работой, предваряющей открытие изгибной краевой волны, по-видимому, явилась работа А.Ю. Ишлинского [1], посвященная аналогичной задаче в теории устойчивости пластин. В 1960 г. дисперсионное уравнение изгибной краевой волны в рамках теории пластин Кирхгофа было получено Коненковым [2]. Результаты Коненкова не получили широкого распространения в западной литературе, и волна была переоткрыта в работах [3] и [4]. История вопроса приведена в работе [5]. Изгибная краевая волна исследовалась также в случае уточненных теорий пластин [6], в случае анизотропных пластин [7], а также для областей более общей формы [8] (см. также [9] и [10]). Аналогичные изгибные моды появляются также у края цилиндрических оболочек [11, 12].
Традиционно изгибные краевые волны исследуются в рамках гармонической зависимости по времени eimt. Целью настоящей работы является получение более общего представления для волны Коненкова в терминах плоских гармонических функций. Основой для подобного представления, являющегося достаточно известным для поверхностных и интерфейсных волн [13, 14], служит анзатц f(х - vt, y). В этом смысле можно говорить об аналогии «струны» для случая поверхностных волн. В силу формального соответствия уравнений по-
добный подход может быть использован также для продольных краевых (кромочных) волн. Однако эта аналогия более не может иметь места в случае изгибной краевой волны. Тем не менее интуитивно ясна глубинная связь между поверхностными и краевыми волнами, из которой следует принципиальная возможность искомого представления. Оказывается, что в случае волны Коненкова следует рассматривать анзатц, соответствующий балочному поведению,
д4Ж д 2Ж п
эг + с ат" = •
Как будет показано в дальнейшем, в этом случае возможно получение более общего представления для волны Коненкова, соответствующего временной зависимости в терминах плоских гармонических функций. В завершение работы рассматривается пример, показывающий наличие затухающего решения для краевой волны в случае найденного представления для заданных начальных условий.
Общее представление для изгибной краевой волны. Рассмотрим полубесконечную упругую изотропную пластину < х < 0 < у < то, -к < г < к. Соответствующее приближенное двумерное уравнение изгиба пластины в рамках теории Кирхгофа имеет вид
д4Ж 0 д4Ж д4Ж 3р1 -V2 д2Ж п п,
-+ 2-+-+ —--= 0 (1)
дх4 дх 2ду2 ду4 Е к2 дг2 '
где ^'(х, у, г) — прогиб пластины; р — объемная плотность; Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно. Традиционные граничные условия на краю у = 0, связанные с отсутствием моментов и перерезывающих сил, имеют вид
д 2Ж д2Ж п
^ + ^ = (2)
—— + (2 — V) —-— = 0.
ду3 У ' дх ду
Введем безразмерные переменные
£ = х п = у т = гс2 к к к
где с2 - скорость сдвиговой волны. Уравнение (1) примет вид
д4Ж 0 д4Ж д4Ж д2Ж Л
эг + +=0, (3)
где а = 3 (1 — V).
Предположим, что искомая функция удовлетворяет условию
д4Ж д2Ж п
+с Т = а (4)
где с - параметр, связанный с безразмерной скоростью волны. Данное предположение является весьма существенным в предлагаемом подходе и основывается на следующих интуитивных соображениях: в случае поиска более общего представления для поверхностной волны [13] решения ищутся в форме /(х - у), что соответствует уравнению струны; для изгибной краевой волны аналогичной формой будет решение уравнения балочного типа, т. е. (4). Перепишем уравнение (3) в виде
' а ^д 4Ж „ д Ж д 4Ж п
+ + ^ = 0. (5)
1 - —
v сУ
д£4 дддц дп
Последнее уравнение может быть представлено в операторной форме
А1А 2Ж = 0,
где
А, =д2 (к = 1,2)
и
Я,2 +Я22 = 2, АЯ = 1 —а. (6)
с
Следовательно, уравнение (5) имеет решение в терминах плоских гармонических функций
ж = щ (,Ап,т) + Щ (,Ап,т).
Подставляя полученные решения в граничные условия (2), и используя условия Коши - Римана
дЩ . дЖ* дЩ 1 дж* —А
дп ' д£ д£ А дп
где верхний индекс «звездочка» обозначает гармоническое сопряжение, получим краевые граничные условия при п = 0 в терминах гармонических функций Ж1 и Ж2 в виде
(V — А2 ))Щ + ( — Я2 = 0,
А(—2+Я (А2—2+V))^=0.
Из записанных граничных условий следует дисперсионное соотношение
- А,2)(( - 2 + у)-А2 (у - А )( - 2 + у) = 0, которое с учетом (6) принимает вид
1 -
а
+ 2 (1 -v) 1 - а-v2 = 0,
откуда
c = ■
3v -1 + 2^2v2 - 2v +1
(7)
что совпадает с результатами Коненкова [2]:
ск = ^щ2,
где ск - скорость волны Коненкова, ю, = - масштабированная
С2
частота.
Таким образом, по аналогии с поверхностной волной [13] можно говорить о представлении изгибной краевой волны в терминах одной гармонической функции и сопряженной с ней функции, с точностью до параметра масштабирования, например,
ж = ж (,Ап,т)-ж (, Ап,т),
V - А2
где и Я22 определяются из (6), а с - из (7).
Модельная задача. Покажем теперь принципиальную возможность представления собственных мод изгибной краевой волны с помощью плоских гармонических функций, удовлетворяющих условию затухания от края и балочному уравнению (4) при некоторых начальных условиях.
Рассмотрим следующую задачу для Жк (, Акп, т), к = 1,2:
d W + Л2 дW
дц2
BW
д?
к _
= 0,
■ + c
_2W
(8)
к _
= 0
с начальными условиями
к т=0
дт
дт2
(9)
т=0
3
Применяя интегральное преобразование Фурье по переменной £ с параметром я к эллиптическому уравнению (8) и учитывая условия затухания краевой волны, возможно отделить переменную п как
К (,п,т) = А (,т)е"Ак№ (10)
Полученное выражение (10) предполагает наличие подобного разделения переменных в начальных условиях (9):
АРтк (,п) = Атк("Ак№ (1 < т,к < 2).
Следовательно, задачи Коши для неизвестных функций/к(я, г) имеют вид
д2 А /
-А + — А=0
л 2 ^ -Ук
дт с
/к | т=0 = А1к (я),
-а
дт
(s),
т=0
откуда
WF (s\,r)
^Ak(s)sin
Т s 2 ^
+ A1k (S)C0S
Т s! 4
,-h\s\v
Представляя функции Атк(я) в виде суммы четных и нечетных частей, получим
АТЧ я) = 2 (Атк (я) + Атк (—я) ), А^ )(я) = 1 (Атк (*) — Атк (—*) )
(1 < т,к < 2).
Применяя обратное преобразование Фурье, имеем
Жк (,П,т) =
=П ± \ *!
-;'(s )sin
Т s ■4
+ AT'(s)cos
T s2 Л
+ i Im |
4 AT)( s)sin s
^ t s^
VC'
+ 4°kdd)(s )
cos
^ t s^
4C'
eK"sds + (11)
eiZksds!
где Ck = £+ i\\.
Зададим, например, функции Amk(t,,n) начальных условий в виде
АКп
А1к (й,\У
п
( + Кп2)
Атк(й,п) - 0.
В этом случае при п = т = 0 получим
W
k ц=т=0
дт
П=т=0
Тогда из (11) решение может быть записано как
1 2
Wk (й,п,т) = -Е A I cos
п k =1 0
Гс
cos
)e~^sds.
Легко видеть, что полученная интегральная форма решения является затухающей от края. Действительно,
cos
Sc'
cos
№)
ds
„-я.
^sds ■■
1
Таким образом, проиллюстрирована возможность существования затухающих мод волны Коненкова в случае общей временной зависимости в терминах плоских гармонических функций.
Заключение. Получено общее представление для волны Коненкова в терминах гармонических функций, являющееся расширением известного класса представлений для поверхностных и интерфейсных волн [13, 14]. По аналогии могут быть рассмотрены случаи краевых изгибных волн в рамках уточненных теорий пластин, а также интерфейсных изгибных волн [15]. В качестве дальнейшего развития подхода видится построение асимптотической модели для волны Коненкова, аналогичной известным моделям для волн Рэлея и Блюштейна - Гуляева [16], ориентированным на выделение вклада соответствующего полюса в общую динамическую картину.
Исследования Приказчикова Д.А. выполнены при поддержке гранта Президента РФ МК-4234.2010.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. И ш л и н с к и й А. Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости прямоугольгых пластин // Доклады Академии наук СССР. - 1954. - Т. 95. № 3. -С. 477-479.
2. К о н е н к о в Ю. К. Об изгибной волне релеевского типа // Акустический журнал. - 1960. - Т. 6. №1. - С. 124-126.
3. T h u r s t o n R. N., M c K e n n a J. Flexural acoustic waves along the edge of a plate // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. - 1974. - Vol. 21. - P. 296-297.
4. S i n h a B. K. Some remarks on propagation characteristics of ridge guide for acoustic wave at low frequencies // Journal of the Acoustical Society of America. - 1974. -Vol. 56. - P. 16-18.
5. N o r r i s A. N., K r y l o v V. V., A b r a h a m s I. D. Flexural edge waves and comments on "A new bending wave solution for the classical plate equation" // Journal of the Acoustical Society of America. - 2000. - Vol. 107. - Iss. 3. - P. 1781-1784.
6. Z a k h a r o v D. D. Analysis of the acoustical edge flexural mode in a plate using refined asymptotics // Journal of the Acoustical Society of America. - 2000. - Vol. 116.
- Iss. 2. - P. 872-878.
7. N o r r i s A. N. Flexural edge waves // Journal of Sound and Vibration. - 1994. -Vol. 174. - P. 571-573.
8. Ч e p e д н и ч e н к о К. В. Асимптотическое разложение погранслойного типа для изгибных волн, бегущих вдоль свободной границы упругой пластины Кирх-гофа-Лява // Записки научного семинара ПОМИ. - 2006. - Т. 332. - С. 286-298.
9. L a w r i e J. B., K a p l u n o v J. D. Edge waves and resonance on elastic structures: an overview // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2011. - doi:10.1177/ 1081286511412281.
10. В и л ь д е М. В., К а п л у н о в Ю. Д., К о с с о в и ч Л. Ю. Краевые и интерфейсные резонансные явления в упругих телах. - 2010. - М.: Физматлит.
11. K a p l u n o v J. D., K o s s o v i c h L. Y u., W i l d e M. V. Free localized vibrations of a semi-infinite cylindrical shell // Journal of the Acoustical Society of America. -2000. - Vol. 107. - Iss. 3. - P. 1383 - 1393.
12. K a p l u n o v J. D., W i l d e M. V Edge and interfacial vibrations in elastic shells of revolution // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. - 2000. - Vol. 51.
- P. 530 - 549.
13. C h a d w i c k P. Surface and interfacial waves of arbitrary form in isotropic elastic media // Journal of Elasticity. - 1976. - Vol. 6. - P. 73-80.
14. K i s e l e v A. P., P a r k e r D. F. Omni-directional Rayleigh, Stoneley and Scholte waves with general time dependence // Proceedings of the Royal Society London, Ser. A. - 2010. - Vol. 466. - P. 2241-2258.
15. З и л ь б е р г л е й т А. С., С у с л о в а И. Б. Контактные волны изгиба в тонких пластинах // Акустический журнал. - 1993. - Т. 29. - С. 186-191.
16. K a p l u n o v J., Z a k h a r o v A., P r i k a z c h i k o v D.A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves // IMA Journal of Applied Mathematics. - 2006.
- Vol. 71. - P. 768-782.
Статья поступила в редакцию 27.10.2011.
Каплунов Юлий Давидович родился в 1961 г., д-р физ.-мат. наук, профессор, Лауреат Гос. премии РФ, профессор кафедры математики Брюнельского университета, Великобритания. Автор более 100 научных публикаций в области механики сплошных сред.
Приказчиков Данила Александрович родился в 1978 г., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 25 опубликованных научных работ в области динамической теории упругости.
