Математическое моделирование структуры парка воздушных судов на основе симплекс-метода Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

УДК 656.7

А.Д. Припадчев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПАРКА ВОЗДУШНЫХ СУДОВ НА ОСНОВЕ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

Авиапредприятия нуждаются в современных воздушных судах (ВС). Устаревший парк и изменение требований к лётно-техническим характеристикам являются основанием для использования методов системного анализа и исследования операций [3].

Задача заключается в том, чтобы определить потребное количество ВС, обеспечивающих выполнение объёмов пассажирских перевозок в установленные сроки, а также определить экономически выгодное ВС для каждого маршрута. Решение этой задачи даёт ответ на следующие вопросы:

какой тип ВС экономически эффективен на конкретном маршруте в процессе пассажирских перевозок (под процессом пассажирских перевозок понимается транспортировка пассажиров, выполняемая авиапредприятием на ВС за установленную плату в соответствии с условиями договора);

какое количество ВС необходимо иметь для выполнения перевозки пассажиров на конкретном маршруте.

Сущность и особенность предлагаемого метода оптимизации на основе критерия производственных расходов ВС в следующем.

Задача заключается в определении потребного парка ВС при перевозке из определённого пункта А пассажиров по п маршрутам. Целевой функцией является общая сумма расходов на все рейсы для всех маршрутов при сохранении (увеличении) показателя дохода. При выполнении системы ограничений-равенств, получаем задачу линейного программирования, которую решаем симплекс-методом [4]. Методы решения задач линейного программирования хорошо развиты и известны. Но наряду с простотой данных ме-

тодов, они имеют существенные недостатки: не гарантируют устойчивости получаемых решений (неустойчивое решение не пригодно для практического использования) и не позволяют решать задачи большой размерности.

Переменными являются п - количество маршрутов и т - тип ВС. Ограничениями выступает система ограничений-равенств для всех маршрутов.

Процесс решения задачи линейного программирования симплекс-методом носит итерационный характер, т. е. однотипные вычислительные процедуры в определённой последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Для решения задачи линейного программирования математическая модель структуры парка ВС представлена в стандартной форме линейных оптимизационных моделей. При этом:

все ограничения записываются в виде равенства с неотрицательной правой частью;

значения всех переменных модели неотрицательны;

целевая функция подлежит минимизации. В процессе построения математической модели для решения данной задачи необходимо чётко представлять:

для определения каких величин должна быть построена математическая модель;

какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделирующего процесса пассажирских перевозок;

в чём состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных необходимо выбрать те, которые соответствуют оптимальному решению задачи.

Трудность построения математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели и ограничений в виде математических функций этих переменных. В рассматриваемом случае мы имеем следующее.

Маршруты обслуживают типы ВС 1, 2, ..., т, где т - тип ВС. Известно количество авиапассажиров, которых необходимо перевести по каждому маршруту за определённый промежуток времени -за неделю, за месяц и т. д. Это количество перевозимых авиапассажиров обозначим как: Ь1 - количество перевозимых авиапассажиров по первому маршруту; Ь2 - по второму маршруту; Ьп - количество перевозимых авиапассажиров по п-му маршруту.

Количество рейсов, совершаемых на первом маршруте ВС первого типа, обозначим Х1 Количество рейсов, совершаемых на втором маршруте ВС первого типа, обозначим Х12. Соответственно, количество рейсов, совершаемых на г-м маршруте ВС j-го типа, обозначим X. где г = 1, 2, ..., п; 7 = 1, 2, ..., т.

Количество пассажиров, перевозимых за один рейс на г-м маршруте ВС7-го типа, обозначим а , где г = 1, 2, ..., п; 7 = 1, 2, ..., т.

Расходы на один рейс на г-м маршруте ВС 7-го типа обозначим с где г = 1, 2, ..., п;7 = 1, 2, ..., т.

Каждый маршрут обслуживают ВС всех типов, имеющихся на авиапредприятии 1, 2, ., т. Тогда для первого маршрута количество перевозимых пассажиров вычисляем по формуле:

ь = а X ^ + а пХп + а X .

1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,т 1,т

Для второго маршрута:

ь = а X1 + а X ^ + а X .

2 2,1 2,1 2,2 2,2 2,т 2,т

(1)

(2)

Окончательно для всех маршрутов составляем систему ограничений-равенств:

(3)

\ = а1,1 Х1,1+а1,2 Х1,2+~ а1,т Х1,т

К — а2д Х21 + а2Л Х2 2 +

К п = ап,1 Хп,1+ап,2 Х«,2 + " ^п,т ^п,т

где а 7 - известные величины, г = 1,п, г = 1,т; Ь - известные величины, г = 1,п; Х - неизвест-

' - ' - ' V

ные величины, г = 1,п, г = 1,т.

Общую сумму расходов на все рейсы всех маршрутов вычисляем:

п т

2 = 1: ТсуХу^тт. (4)

¡=1

Если необходимо минимизировать общую сумму расходов по формуле (4) при выполнении системы ограничений-равенств (3), то получаем задачу линейного программирования, т. е. этим методом находят Х, , где г = 1,п; г = 1,т.

После определения Х , при г = 1,п, г = 1,т, зная расстояние и скорость, определяем потребный парк ВС для узла перевозок А.

Если к системе ограничений-равенств добавить систему ограничений-равенств (неравенств) по количеству рейсов ВС каждого типа, в результате получим общее количество рейсов (К) на всех маршрутах ВС первого типа:

¡=1

(5)

Общее количество рейсов на всех маршрутах ВС второго типа:

К2

1=1

(6)

Окончательно систему ограничений равенств по общему количеству рейсов на всех маршрутах для каждого типа ВС:

К] ~ЪХЦ •

(7)

Добавляя к системе ограничений (1) систему ограничений (7), можно минимизировать общую сумму расходов (4). В результате опять получаем задачу линейного программирования, которую решаем симплекс-методом. Для решения необходимо задать Ь, а., с., К, г = 1,п, г = 1,т.

У' У' 7' ' '

В связи с тем, что модель содержит только две переменные, задачу можно решить графически. Использование графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т. е. построении области (допустимых) решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. В каждой точке, принадлежащей внутренней области, все ограничения выполняются, поэтому решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, но, несмотря на это, можно найти потребное решение.

Потребное количество ВС в парке авиапредприятия определяем из условия что пассажирские перевозки осуществлены в полном объёме и в установленные сроки. Количество ВС (п ) для авиапредприятия вычисляем по формуле:

= б / А,

(8)

п

потр

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

где Q - количество перевезенных пассажиров в месяц; А - производительность ВС.

Предлагаемый подход позволяет определить потребный парк ВС как по отдельным авиапредприятиям, по федеральным округам, так и по стране в целом. Приведём пример расчёта потребной структуры парка ВС для авиапредприятия ФГУП «Оренбургские авиалинии».

С учётом введённых выше обозначений количества рейсов в месяц для рассматриваемых типов ВС на всех маршрутах и с учётом цен одного рейса для каждого типа ВС на рассматриваемых маршрутах, целевая функция суммарных расходов на все рейсы для всех маршрутов ФГУП «Оренбургские авиалинии» предлагается в виде:

z = 236,2Х1 + 335Х2 + 407,3Х3 + 101,2Х4 + + 265,3Х5 + 145Х6 + 78,8Х7 + 50Х8 + 113Х9 +

+ 175,5Х10 + 110,5Х11 + 251Х12 + 67,5Х13 + (9) + 42,5ХМ + 96,5Х„ + 50,6Х16 + 32Х17 + + 87,3ХИ + 50,6Х19 + 32Х20 + 43,6Х21.

В целевой функции (9) коэффициенты при неизвестных есть цены определённого типа воздушного судна на определённом маршруте.

Значение цен в целевой функции уменьшены в 105 раз для реализации более точных расчётов. Соответственно для определения реального значения целевой функции её расчётное значение необходимо умножить на 105.

Для целевой функции (9) система ограничений-равенств в соответствии с уравнениями (3) представлена в виде:

'2А0Х1 + 152Х2 + 340Х, = 61488

240Х4 + 152Х5 + 340Х6 =11712

240Х7 + 152Х8 + 340Х9 = 5856

■ 240Х10+152ХП+340Х12 =5856 . (10)

240Х13 + 152Х14 + 340Х15 = 2928

240Х16 +152Х17 + 340Х18 =11712

240Х19 +152^20 + 340Х21 = 8784

При системе ограничений-равенств (10) и целевой функции (9) - суммарные расходы по всем маршрутам, необходимо найти такие значения неизвестных X Х2, ..., Х21, при которых значение целевой функции (9) будет минимальным. Это задача линейного программирования, которую, как говорилось выше, решаем симплекс-методом. Минимальное значение целевой функции (в руб.) равно:

тш(г) = 76043,7 ■ 105. (11)

На основании полученных результатов расчёта можно сделать вывод:

1) на трёх маршрутах, а именно: Оренбург-Москва-Оренбург, Оренбург-Санкт-Петербург-Оренбург и Оренбург-Сочи-Оренбург, экономически эффективно использовать ВС типа Boeing 737;

2) на трёх маршрутах, а именно: Оренбург-Анапа-Оренбург, Оренбург-Душанбе-Оренбург и Оренбург-Дюссельдорф-Оренбург, экономически эффективно использовать ВС типа Ту-134. Но в связи с тем, что на ВС этого типа установлена устаревшая авионика, в города Евросоюза осуществляет полёт ВС типа Boeing 737;

3) на маршруте Оренбург-Худжанд-Оренбург экономически эффективно использовать ВС типа Ту-154.

Потребное количество ВС в парке авиапредприятия определяем из условия что пассажирские перевозки осуществлены в полном объёме и в установленные сроки. Количество ВС для авиапредприятия ФГУП «Оренбургские авиалинии» на маршруте Оренбург-Москва-Оренбург вычисляем по формуле (8). Аналогичный расчёт повторяем для каждого типа ВС на маршруте, что позволяет сформировать потребный парк ВС, составляющий его структуру. После определения оптимального ВС на маршруте необходимо определить их количество. Полученные результаты по оптимальному ВС на маршруте и их количество для авиапредприятия ФГУП «Оренбургские авиалинии» представлено в таблице.

Всё вышеизложенное позволяет выделить следующие отличительные особенности рассмотренного подхода, реализация которого предоставляет новые возможности при решении задач по управлению парком ВС авиапредприятий.

1) Информация, получаемая с помощью симплекс-метода, не ограничивается только значениями переменных. Это означает, что метод даёт экономическую интерпретацию полученного решения.

2) В результате решения уравнения (4) с системой ограничений (3) и (7) при помощи программного средства [1, 2] выбираем наилучший тип ВС из имеющегося парка ВС авиапредприятия на конкретном маршруте.

3) Парк ВС должен состоять из типов с часовым расходом топлива от 2,2 до 3,0 т/ч при средней вместимости 140 пассажиров.

Оптимизация структуры парка ВС для авиапредприятия ФГУП «Оренбургские авиалинии»

Маршрут Тип ВС Оптимальное количество ВС

Б737 Ту-134 Ту-154

Оренбург-Москва-Оренбург + - - 2,4

Оренбург-Санкт-Петербург-Оренбург + - - 0,7

Оренбург-Сочи-Оренбург + - - 0,5

Оренбург-Анапа-Оренбург - + - 0,7

Оренбург-Дюссельдорф-Оренбург - + - 0,3

Оренбург-Душанбе-Оренбург - + - 1,6

Оренбург-Худжанд-Оренбург - - + 0,5

Итого 3,6(4) 2,6(3) 0,5 (1) 6,7 (8)

4) Математическое моделирование структуры парка ВС можно осуществить с помощью программного средства для ЭВМ как по отдельным авиапредприятиям, так и по федеральным округам.

Работа выполнена при поддержке госконтракта № П295 от 24.07.2009 федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Припадчев А.Д., Султанов Н.З., Чеховский А.В.

Программа для оптимизации парка воздушных судов. Свид. о гос. рег программы для ЭВМ № 2010611242. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 12. 02. 2010 / М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2010. 1 с.

2. Припадчев А.Д., Султанов Н.З. Оптимизация парка воздушных судов авиапредприятий: Научно-метод.

рекоменд. Оренбург: ОГУ, 2010. 65 с.

3. Федеральная целевая программа «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002-2012 годы и на период до 2015 года» / СПС «Консультант +».

4. Хэмди А. Таха. Введение в исследование операций / Таха А. Хэмди. М.; СПб.; Киев: Изд. дом «Ви-льямс», 2001. 256 с.

УДК 519.217

Б.В. Корнейчук, Т.Г. Максимова

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

МАРКОВСКОГО ТИПА

Статья посвящена проблемам моделирования стохастических социальных процессов марковского типа. Актуальность темы обусловлена рядом обстоятельств. Во-первых, современные работы по моделированию стохастических социальных процессов до сих пор слабо учитывают динамичную сущность рыночной экономики, в которой фактор случайности играет существенно более важную роль по сравнению с директивной экономикой. Во-вторых, разные авторы стохастических моделей однотипных социальных процес-

сов обычно используют различный математический аппарат, что препятствует формированию единого методологического подхода к исследованию соответствующего класса схожих явлений. В-третьих, существующие стохастические модели социальных процессов обычно оперируют некоторыми абстрактными переменными, которые не могут быть рассчитаны с необходимой степенью надёжности, что снижает практическую ценность создаваемых моделей. В-четвёртых, в условиях динамичных изменений социально-