Математическое моделирование шарнирно-сочлененного тягача в случае «Крен-рыскание» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.869

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ШАРНИРНО-СОЧЛЕНЕННОГО ТЯГАЧА В СЛУЧАЕ «КРЕН-РЫСКАНИЕ»

М.Ф. Кулешова, доцент, к.т.н., К.Н. Королева, А.И. Москаленко,

студенты, ХНАДУ

Аннотация. С использованием уравнений Лагранжа второго рода разработана математическая модель в виде системы нелинейных, с переменными коэффициентами дифференциальных уравнений шарнирно-сочлененного тягача при его движении в случае «крен-рыскание».

Ключевые слова: шарнирно-сочлененный тягач, крен, рыскание, матрица преобразования координат, кинетическая энергия, мгновенная угловая скорость, обобщенные силы, уравнения Лагранжа второго рода.

Введение

Как известно [1], базой любой технологической шарнирно-сочлененной машины (ШСМ) является тягач (ШСТ). При аналитическом исследовании ШСТ его представляют в виде двух полурам, соединенных вертикальным и горизонтальным шарнирами.

Анализ публикаций

Аналитическому использованию шарнирно-сочлененных машин посвящены работы [1, 2, 3], в которых заложены основы их математического моделирования. На их базе получены дифференциальные уравнения ШСМ (фронтальный погрузчик, бульдозер), относящиеся, однако, к случаям только или рыскания, или дифферента, или крена. Назовем рыскание, дифферент и крен простейшими движениями ШСМ.

Дальнейшие аналитические исследования ШСМ состоят в рассмотрении наложения их простейших движений, имеющих место как в транспортном, так и в рабочем режимах эксплуатации ШСМ.

Содержанием данной статьи является разработка математической модели шарнирно-сочлененного тягача при его движении, соответствующем случаю «крен-рыскание».

Выбор систем координат

Введем две системы координат Охи Ох2у2^г2, с общим началом в точке О, каждая из которых связана с одной из полурам. Точка О - это точка пересечения осей вертикального и горизонтального шарниров, соединяющих полурамы. Оси Ох1 и Ох2 совпадают с продольными осями соответственно каждой из полурам и являются осями крена; оси Оу1 и Оу2 - вертикальные оси, они являются осями рыскания; оси Оz1 и Оz2 - горизонтальные оси, перпендикулярные к продольной плоскости и являющиеся осями дифферента. Система координат О^'п'^'' - некоторая условно-неподвижная система координат, жестко связанная с полотном дороги. Система координат О^пС - с началом в точке О, поступательно перемещающаяся, оси которой параллельны соответствующим осям неподвижной системы координат О1^'п'^'.

В начальный момент времени совпадают оси:

Ох1, Ох2и О£, ; Оу1, Оу2 и Оп ; Оz1, Оz2и О^..

Матрицы преобразования координат

Введем обозначения:

рыскание обозначим углом у; крен - углом ф; дифферент - углом 0.

Переход от одной системы координат к другой осуществляется матрицей преобразования координат

[ x, y, z]T = A [ X У, h У, V У]T • (1) и c2 (- a2’ ^2’ °) - соответственно координаты

центра масс первой и второй полурам.

Из рис. 1, где представлена схема поворотов «крен-рыскание», матрица преобразования (1) имеет вид

Рис. 1. Последовательность поворотов: крен (ф), рыскание (у)

A =

й cosy 0

к

к sin j sin y cos y

Л - cos j sin y sin j

щ

ъ

sin y

- sin j cos y Ъ • (2) cos j cos y ы

Вычисление кинетической энергии

Без учета массы колес кинетическая энергия ШСТ состоит из кинетической энергии полу-рам

т = Т + т . (3)

Используя методику вычисления кинетической энергии ШСМ, изложенную в [2, 3, 4], запишем кинетическую энергию первой полурамы

T = 1 m^T mVo [w Г ]+ То ,

2

(4)

где У0 - скорость точки О, принятой за полюс; и - вектор мгновенной угловой скоро-

сти полурамы;

T -

-¿П —

кинетическая энергия в

относительном движении полурамы относительно полюса О.

Принимаем, что центр масс полурамы расположен в ее продольной плоскости: с1 (ах; Н1; о)

Введем обобщенные координаты

Я1 = X0, #2 = 1 0, Ч3 = V0 - координаты по-лю-

са О; #4 = У 1 , #5 = ф 1 , #6 = У 2 , #7 = ф 2 -

углы, соответственно, рыскания и крена полурам. Тогда квадрат скорости точки О

(5)

Проекции вектора скорости У0 на оси, жестко связанные с первой полурамой, с учетом (2) запишутся

^ Х о С^ V 1 + 10sln Ф 1^п V1 - ? 0cos Ф 1Sln V 1,

^ = 11 0cos V 1 0cos Ф 1, (6)

^ х оап V1-1 о ^ ф 1cos V1 + V' ос^ ф 1с^ V1-

Проекции вектора мгновенной угловой скорости на эти же оси равны

i;w z1 = j 1sin y 1. (7)

Центробежные моменты инерции

I = I = 0

y1z1 x1z1

(8)

С учетом (5) - (8) кинетическая энергия первой полурамы по (4) имеет вид

т1=2 m1x 2+2 mi2+2 m1v о- m1h1^p 1h оsin j 1+

+ m1h1j) ^ о cos j 1 + mflj 1h о sin y 1 cos j 1 +

+ m1a1ip 1( о sin j 1 sin y 1 - m1a1y Ц о sin y 1 +

+ m1a1y 1h о sin j 1 cos y 1 - m1a1y 1( о cos j 1 cos y 1 +

1t'2 2 1 т • 2 1 t- • 2 • 2

+ 2 Ix1 j 1cos у 1 + 2 Iy1 у 1 + 2 Iz1 j 1sin у 1-

- Ix1y1 j 1y 1cos У 1. (9)

Аналогично составляется кинетическая энергия второй полурамы. Но прежде чем формировать по (2) кинетическую энергию ШСТ в целом, желательно выполнить проверку «правильности» полученных выражений кинетической энергии первой и второй полу-рам. Из анализа (9) видно, что кинетическая

энергия полурамы представляет квадратичную форму обобщенных скоростей, т.е.

1 S S

T = 2 ее а,]д,д], (10)

21=i ]=i

здесь s = 5 - число степеней свободы первой полурамы; коэффициенты aij зависят от обобщенных координат и не зависят явно от времени. Поэтому квадратичная форма кинетической энергии (9) всегда определенно положительна, и, значит, по теореме Сильвестра [4] все главные диагональные миноры матрицы (11) квадратичной формы (9) должны быть больше нуля. Это и является критерием «правильности» составленного выражения (9) кинетической энергии первой полурамы.

Получение дифференциальных уравнений движения ШСТ в случае «крен - рыскание» является предпосылкой дальнейшего аналитического исследования ШСМ.

Литература

1. Малиновский Г.Ю., Гайцгори М.М. Дина-

мика самоходных машин с шарнирной рамой. - М.: Машиностроение, 1974. -175 с.

2. Кириченко И.Г., Кулешова М.Ф., Щер

бак О.В. К вопросу составления кинетической энергии колесного шарнирно-сочлененного трактора // Вестник ХГПИ. Новые решения современных технологий. - 1999. - Вып. 66. - С.99 - 101.

4. Кириченко И.Г. Модульная концепция

m1 0 0 - m1a1 sin y 1 0

0 m1 0 m1a1 sin j 1 cos y 1 - m1h1 sin j 1 + + m1a1 sin y 1 cos j 1

0 0 m1 - m1 a1 cos j 1 cos y 1 m1h1 cos j 1 + + m1a1 sin j 1 sin y 1

- m1a1 sin y 1 m1a1 sin j 1 cos y 1 - m1 a1 cos j 1 cos y 1 I1 1 T - 4 cos y 1

0 - m1h1 sin j 1 + + m1a1 sin y 1 cos j 1 m1h1 cos j 1 + + m1a1 sin j 1 sin y 1 1 , - 41Х1У1 cos y 1 Ix1 cos" у 1 + + IZ1 sin2 y 1

(11)

Вычисление обобщенных сил

Будем предполагать, что в процессе движения ШСТ не происходит отрыва колес от полотна дороги, т.е. связи - удерживающие. Для вычисления обобщенных сил воспользуемся формулами изменения сил тяги Т , сил сопротивления ^ и боковых сил Р на колесах, приведенными в [5]. Учитывая, что колеса не являются твердыми телами, а связи - удерживающие, будем полагать, что векторы этих сил претерпевают повороты в соответствии с рис. 1. При принятых допущениях в первом приближении можно вычислить обобщенные силы обычными методами, изложенными в аналитической механике [4].

Применяя уравнения Лагранжа второго рода, получим систему из семи дифференциальных уравнений второго порядка, нелинейных, с переменными коэффициентами.

проектирования технологических машин для строительного производства. -Харьков: ХНАДУ, 2002. - 119 с.

5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р.

Курс теоретической механики, т.2. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. -464 с.

6. Назаров Л.В. Динамические нагрузки на

трактор Т-150К, агрегатируемый с бульдозерным оборудованием // Тракторы и сельхозмашины. -1978. - №3. - С. 17 - 19.

Рецензент: В.П. Волков, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.

Заключение