Влияние дисбаланса на динамику центрифуги Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.584

ВЛИЯНИЕ ДИСБАЛАНСА НА ДИНАМИКУ ЦЕНТРИФУГИ

В.М. Замятин, В.А. Дубовик

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассмотрены колебания центрифуги, подвешенной в упругом подвесе. Исследованы движения системы с 3-мя степенями сво боды. При наличии дисбаланса получены уравнения движения ротора, определена траектория, описываемая его осью.

Любая механическая система, включающая в себя вращающееся тело, в той или иной мере, совершает колебательные движения. В зависимости от податливости подвеса система может иметь различное количество степеней свободы и различное количество собственных частот. Движение механической системы, у которой ротор установлен посередине подшипниковых узлов, рассмотрено довольно широко [1, 2]. В данной статье рассматриваются колебания системы, которые обусловлены вращением консольно закрепленного ротора со смещенным центром масс.

Центрифуга, рис. 1, состоит из тяжелого, полого, без одной торцевой стенки цилиндра (корпуса) - 2 подвешенного на 4-х пружинах - 1 в горизонтальном положении. Через центр торца проходит ось еще одного тонкостенного полого цилиндра (барабана) - 3, без соприкосновения, входящего в полость первого. К боковой стенке барабана, вращающегося со скоростью О, размещается груз - 4. Уравнения движения системы составим с помощью уравнений Лагранжа 2-ого рода [3].

Рис. 1. Схема центрифуги

Введем обозначения:

k, m2, m3, m4, Ixj, Iyi, IXyi, Iyzi, Ixzi, ( ¿=2,3,4), Я, x6 - коэффициент упругости, массы, осевые и цен-

тробежные моменты инерции корпуса, барабана, груза, радиус вращения центра тяжести груза и абсцисса среза экрана.

Оси координат - неподвижные, х,у,1 -жестко связаны с корпусом. Начало осей координат находится в статическом положении равновесия центра тяжести С2 корпуса (рис. 1). Координаты центра тяжести корпуса и точек крепления пружин в системе х,у,с С2(0,0,0); С3(х3,0,0); С4(х4;-Я4со8ОГ;-Я48тОГ); Д(-хь0,Я); ^(-^,0,-Я); В3(х5,0,Я); В4(х5,0,-Я). Координаты точек крепления пружин в системе координат АХВ=А2В2=\; АгВг=АВ=12; А1(-х1,11,Я); Аг(х„12,Я); А2(-х1,11,-Я); А4(х5,12,-Я), статическое удлинение пружин: А1Ш=А2Ш; Азш=А4ш.

За обобщенные координаты примем смещение точки С2£С2,Пс2,Сс2. Углы Эйлера-Крылова, определяющие ориентацию корпуса: у - рыскания; 0 - дифферента; р - крена.

Рис. 2. Углы Эйлера-Крылова

Переход от системы координат x,y,z к системе координат осуществляется преобразованием [4]:

€ = €с 2 + х cosacos 0 + +p(sin^ sinp - cos^ cospsin 0) + +z(sin у cos (p + cos у sin (p sin 0);

П =Пс 2 + • sin 0 + y cos 0 cos pp-z cos 0sin p;

Z = Zc2 - •(sin у cos0) + +y (cos у sinp + sin у cos (p sin 0) + +z(cos у cos (p - sin у sin p sin0).

Технические науки

Проекции угловой скорости корпуса ю2 на оси x,y,z. m2x =^sm © + p; ®2 у = Wcos © cosp + © sinp;

ю2z = - W cos © sin p + © cos p.

При малых углах w,©,p преобразование координат x,y,z в координаты £,r¡, ^неподвижной системы отсчета имеет вид

2 + x -©у+ wz п=пс 2+©x+у-pz; Z =ZC 2 -Wx + РУ +

При малых углах отклонения корпуса проекции угловой скорости имеют вид

=p; ®2у = W; ®2z =©•

Кинетическая энергия корпуса Т2 до малых 2-ого порядка включительно имеет вид 1 • 2 • 2 • 2 Т2 = 2М2(^С2 + Пс 2 +Сс2) + 1 • 2 • 2 • 2 • 2 • • + 2(/*2 Р + IylW +kc 2 + © - 2Ixz 2 P©) -

-2Ixy 2 PW-2 Iz 2^©).

Если ось x - главная центральная ось инерции и моменты инерции корпуса /y2=/z2=/23., то

1 .2 .2 .2 i .2 .2.2 Т2 = 2 m2(£c 2 + Пс 2 +Сс 2 ) + 2(Ix2 Р + I2 э (W +© )) •

Кинетическая энергия барабана Т3. Оси x,, y3, z3 - жестко связаны с барабаном. Моменты инерции !уз=4=4. Ось x - главная центральная ось инерции, то 7xy3=/xz3=0.

Угловые скорости вращения барабана имеют вид: ®3=63е+ 65Г; 63e=®2; 63,=Q, где ®3е, ®3г - переносная и относительная угловые скорости [3].

Проекции угловой скорости 63 на оси на ось x,; y3; z3.

ю з x3 = ю 2 x + Q = P+Q; ю3у3 = ю 2уcosQt + ю 2z sinQt = w cosQt + © sinQ t;

ю3z3 = ю2z cosQt-ю2y sinQt = © cosQt-w sinQt.

Предполагая, что все оси являются главными центральными осями инерции, кинетическую энергию барабана можно представить в виде 1 .2 • . . .

T3 = 2 2 + (Пс 2 + © x3)2 + (£с 2x3)2] +

[Ix3p+Q)2 + Iзэ (w +© )];

где:

£сз Сс 2 + хз; пс 3 пс 2 +©хз; Сс з Сс 2 W x3.

Определим кинетическую энергию груза Т4. Оси связаны с грузом, параллельны осям х3,_у3,^3 и являются главными центральными осями инерции.

ю4x4 = p+ Q; ю4у4 = w cosQt + © sinQt;

ю4 z4 =© cosQt -w sinQt. 4 = 2 + x4 + ©R4 cos Qt - wR4 sin Qt; Пс4 =Пс2 + ©x4 - R4 cos Qt + pR4 sin Qt; Zс4 = ZC2 - Wx4 - pR4 cos Qt - R4 sin Qt.

1 . 2 . 2 . 2 J • . 2 . 2

T4 = 2®4Йс4 + П с 4 + ^4) + -^(Ix4(P+Q)2 + I*,(W +© )•

Для квадратного сечения груза моменты инерции /43=/4y4=/4z4. Общая кинетическая энергия системы т=т2+Т3+т4.

Т = 2т2(£с2 +Пс2 + Сс2) + 2(Ix Р + +© ))+

J . 2 • . . .

+ Ттз[£с2 + (Пс2 + © x3)2 + (£с 2-W x,)2] +

+-[^(p+Q)2 +1зэ(w +© )] +

+ 2^4(^04 + Пс4 + Сс4) + ^С^)2 + /4з(^ +® )]■

Общая потенциальная энергия системы, состоящая из потенциальной энергии поля силы тяжести Пщ и потенциальной энергии пружин П„р, с точностью до малых 2-ого порядка имеет вид:

П = ПтЕ + Ппр = 2к[Х]ст -ПС 2 + X,© + %]2 +

1 2

+ 2 к [ ^т -Пс 2 + Х1©- +

+ 2к[А3,т -Пс 2 - Х5© + %]2 +

+ 2^[¿4-Пс2 - Х5©- RP]2 - 2k+ 2 2 1=1

+(т2 + тз + т4) gnс 2 + (тъ x3 + т4 x4) g © +

т4gRpp sin Qt - т4gR4 cos Qt.

Отсюда получаем выражения для обобщенных сил:

Qna = -4кг1с2 + 2k©(X1 - x5);

Q© = 2k(X1 - X5 )Пс2 - 2k(X12 + X52)©;

Qp = -4кR2p-m4gR4 sinQt.

Произведя вычисления необходимые для уравнения Лагранжа 2-ого рода, получаем уравнения движения центрифуги:

(т2 + т3 + т4)пс 2 + (m3x3 + m4x4)©+

с 2 Г л3 • 2 . 2

I у3ю(2 у 3 + ^ 3(32z 3 = -^3э (Ю32у 3 + 3 ) = Ьэ^ + © ).

+m4R4Q 2cosQt + т4 pR4 sinQt +

+2т4 pR4QcosQt - m4pR4Q2sinQt = = 2к (x1 - x5)© - 4knC2;

(1)

(m3 x3 + m 4 x4)nc 2 + (m Х32 + m4 x2 +I3 + 13з + /4э) ©+

+m4[R4 Q 2cosQt - <R4sinQt +

+2<R4 QcosQt - (pRfl 2sinQt] = = 2k(xl - x5)nc2 - 2k(x\ + x52)©;

m4 R4 (nc 2 + © x4 )sinQt +

+<(m4 R2 + Ix +1x3 + Ix 4 ) - m<R 2Q2 ) = = -4kR 2<p - m4gR4sinQt.

Кривая, описываемая концом оси барабана в системе координат характеризуется уравнениями:

(2) П=ПС 2 + &хв';

С = 0;

Функции Па,® - находятся из дифференциальных уравнений движения (1-3).

(3) Из уравнений видно, что для консольно закрепленного ротора с дисбалансом ось вращения описывает прямую линию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусаров А.А. и др. Автоматическая балансировка роторов машин. - М.: Наука, 1979. - 306 с.

2. Нестеренко В.П. Автоматическая балансировка роторов приборов и машин со многими степенями свободы. - Томск, ТГУ, 1985. - 84 с.

3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. - М.: 1985. - Т. 1, 2.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984.

УДК 661.487.621.313

СИСТЕМА НЕЧЕТКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ЭЛЕКТРОНАГРЕВАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК

С.В. Кокорев*, В.Г. Букреев

*Сибирский химический комбинат. г. Северск Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассматривается структура системы автоматического управления технологическим объектом на основе теории нечетких множеств. Приведены результатыi моделирования нечеткого регулятора и оценка его эффективности по сравнению сдвухпозицион-ным и пропорционально-интегрально-дифференциальным регуляторами.

Качество протекания технологического процесса в значительной степени зависит от правильного выбора и точности настройки регуляторов, применяемых в автоматизированных системах управления. В настоящее время температурными режимами многих технологических объектов управляют системы, использующие двухпозиционное регулирование, либо пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы или его модификации [1].

Точность поддержания температуры на заданном уровне при двухпозиционном способе регулирования зависит от двух факторов: точности измерения температуры регистрирующим прибором (погрешности термопары, пирометра и т.д.) и предельной коммутационной способности исполнительного элемента системы регулирования температуры (контактора или тиристорного регулятора напряжения).

Следует отметить тот факт, что предельная коммутационная способность полупроводниковых систем регулирования напряжения намного выше, чем у контакторной коммутационной аппаратуры.

То есть, в случае использования полупроводниковых систем регулирования напряжения основным фактором, влияющим на точность поддержания температуры, будет являться точность измерения температуры регистрирующим прибором, а в случае применения контакторов - их предельная коммутационная способность.

В случае использования классических регуляторов совместно с тиристорным регулятором напряжения появляется возможность плавного регулирования мощности, подводимой к электронагревателям. В этом случае точность стабилизации температуры на заданном уровне помимо точности измерения температуры регистрирующим прибором зависит от настройки регуляторов. Однако для определения параметров классических регуляторов необходима адекватная математическая модель объекта управления. Одним из методов построения такой модели является статистический подход, который предполагает наличие экспериментальных данных регулируемых переменных для конкретного режима