Математическое моделирование работы зубчатой реечной передачи с эксцентриково-циклоидальным зацеплением Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Вычислительные технологии

Том 15, № 1, 2010

Математическое моделирование работы зубчатой реечной передачи с экецентриково-циклоидальным

зацеплением

A.M. Бубенчиков, Н.Р. Щербаков Томский государственный университет, Россия e-mail: nrs@math.tsu.ru

В. В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т. А. Ремнёва ЗАО "Технология маркет", Томск, Россия e-mail: tm@mail. tomsknet. ru

Построена математическая модель работы реечной передачи, преобразующей вращательное движение в поступательное и использующей эксцентриково-циклоидальное зацепление. Механизм состоит из винтового эксцентрика, выполняющего роль зубчатого колеса, и выходной детали (рейки), построенной на базе циклоиды. Предложенный новый вид зацепления обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать невысокие скорости перемещения рейки. Создана компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур — торцевых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики, а также оптимальные режимы функционирования рассматриваемых систем.

Ключевые слова: математическое моделирование, реечная передача, эксцентри-ково-циклоидальное зацепление, вектор-функция, оптимизация.

Введение

Рассматриваемый передаточный механизм относится к зубчатым кинематическим парам, а более конкретно, к реечным передачам, преобразующим вращательное движение в поступательное и наоборот. Известные реечные передачи — цилиндрические [1], червячные и др. — имеют либо недостаточную нагрузочную способность, либо низкий КПД. Предлагаемый механизм имеет повышенную нагрузочную способность зацепления при габаритах уже используемых реечных передач, а также возможность получения невысоких скоростей перемещения рейки независимо от размеров вращающегося колеса (определяемых только угловым шагом рейки). Устройство может быть использовано вместо обычных реечных механизмов в линейных приводах станков, в устройствах рулевого управления автомобилей, а также в грузоподъемной технике (реечные домкраты и т. п,),

© ИВТ СО РАН, 2010.

1. Геометрическая модель механизма

На рис, 1 изображен фрагмент реечной передачи в области зацепления ее составных элементов.

Передача состоит из винтового эксцентрика и зубчатой рейки. Идеальная поверхность винтового эксцентрика образуется как геометрическое место точек окружности с центром, перемещенным но винтовой .пинии вокруг оси вращения колоса, или, что то же, — как огибающая семейства сфер постоянного радиуса, центры которых находятся на винтовой .пинии. Следовательно, в каждом сечении винтового эксцентрика, перпендикулярном его оси вращения, мы имеем окружность радиуса р, центр которой смещен относительно оси на эксцентриситет е. В таком же сечении рейки получается эквиди-станта трохоиды |2| (укороченной циклоиды), удаленная но нормалям к трохоиде на величину р. Таким образом, поверхность рейки образуется смещением эквидистанты вдоль оси эксцентрика с одновременным смещением ее в направлении, перпендикулярном этой оси. Дня обеспечения непрерывного контакта червяка и рейки необходимо, чтобы при повороте окружности, образующей поверхность винтового эксцентрика, па угол в эквидистанта сместилась на расстояние вг, гДе г = Р + е — радиус окружности, образующей исходную циклоиду. Длина арки циклоиды ("шаг" по длине) равна 2пг.

На рис. 2 изображены кривые, участвующие в построении поверхностей деталей реечной передачи: 1 — циклоида, образованная при качении круга 4 радиуса г по оси ОУ;

2 — трохоида, вычерчиваемая точкой 6, удаленной от центра круга 4 на е; 3 — эквиди-

р

виптового эксцентрика с центром в точке 6. Кривые 2, 3, 5 изображены в сечении, отвечающем значению в = 90°.

Рис. 1. Фрагмент реечной передачи в области зацепления

Рис. 2. Образование профилей реечншх) зацепления

Параметрические уравнения трохоиды 2 имеют вид [2]

х(т) = — £ cos Т + Г,

у(т) = —£ sin Т + ГТ, а параметрические уравнения эквидиетанты трохоиды 3 —

X(т) = х(т) + р п\(т), Y(т) = у(т) + рП2(т),

где ^(т), п2(т) — координаты единичного вектора нормали в точке трохоиды. Если ось OZ параллельна оси винтового эксцентрика, то поверхность рейки может быть задана в виде

Хт(т,/3) = X (т), Ут(т, в) = Y(т) — вг,

Мт,Р) = (1)

где l — задаваемая ширина рейки, в = 0... 2п, т = 0... 2nm (m — задаваемое число циклов — арок циклоиды). Проекции в плоскость XOY центров сечений винтового эксцентрика в начальный момент времени имеют координаты

хс(в) = —£ cos в + г,

ус(в) = —£ sin в, а поверхность эксцентрика имеет параметрические уравнения

Хс(а, в) = хс(в) + р cos а,

Yc(a, в) = ус(в) + р sin а,

Zc(a,f3) = (2)

2. Математическое моделирование работы механизма

Математическая модель работы механизма позволяет проиллюстрировать кинематически согласованное движение геометрических фигур, составляющих контактирующие детали передачи. Другими словами, необходимо получить возможность изображения в каждый момент времени (т, е, для каждого угла поворота винтового эксцентрика) взаимного расположения этих деталей в зацеплении. Для этого нужно иметь уравнения семейств поверхностей (1) и (2), причем параметром этих семейств является угол поворота колеса (винтового эксцентрика). Уравнения таких семейств легко получаются, если повороту эксцентрика вокруг своей оси на угол △ будет соответствовать сдвиг рейки на величину (—гА).

3. Нахождение линии контакта

Как видно из схемы построения поверхностей (1), (2) (см, рис, 2), профиль винтового эксцентрика в любом торцевом сечении представлен эксцентрично смещенной окружностью 5, а профиль рейки — смещенной эквидиетантой 3. Окружность 5 в любом торцовом сечении имеет точку касания с соответствующей эквидиетантой. Рассмотрим п торцевых сечений, получающихся при повороте окружности 5 на углы

*=!...„. (3)

п

Координаты точки контакта окружности 5 с эквидиетантой 3 находятся как сумма

радиус-вектора центра 6 окружности 5 с вектором, направленным по нормали к дан-

р

нет необходимости прибегать к дифференцированию — достаточно применить свойство циклоиды: нормаль в произвольной ее точке проходит через полюс (нижняя точка катящегося круга, образующего циклоиду (с, 241 [2])), В данной конструкции полюс неподвижен и находится в начале координат, а искомая нормаль идет по направлению радиус-вектора точки 6. Учитывая это, нетрудно найти значение параметра на соответствующей эквидиетанте, при котором получается точка контакта:

тк (△) = △ + вк. (4)

Линия контакта строится с помощью встроенной в пакете Ма1 Ь( 'н<1 функции интерполяции массива точек контакта, соответствующих близким торцевым сечениям. Полученная при этом вектор-функция К. в (в) точек линии контакта дает возможность дифференцирования с помощью символьного процессора пакета Ма1 Ь( 'н<1 с целью нахождения кривизны в каждой точке этой линии в любой момент времени. Эта кривизна

4. Зацепление с составными венцами

При всех достоинствах предлагаемое реечное зацепление достаточно сложно в изготовлении, требует наличия многокоординатных станков с ЧПУ, Эта же идея зацепления может быть реализована в другом варианте, более простом в изготовлении. Обратимся к схеме образования винтового профиля эксцентрика, изображенного на рис, 1, Если профиль получать не непрерывным поворотом и смещением эксцентричной окружности относительно оси вращения, а разделить эти два движения, то получится ступенчатый профиль, образованный отдельными, повернутыми относительно друг друга одинаковыми венцами 3, 3', 3", 3'" (рис, 3), Каждый венец 3 образован цилиндром с эксцентрично смещенной окружностью в сечении. Соседние венцы 3, 3'... повернуты друг относительно друга на угол, равный угловому шагу колеса 1, деленному на число

венцов п, а венец с номером к = 1... п повернут по отношению к первому па угол вк-,

°

°

Изготавливать такой ступенчатый профиль колеса можно либо из отдельных венцов, жестко скрепляемых вместе, либо путем выполнения колеса со ступенчатым профилем в виде единой детали наподобие коленчатого вала. Аналогично строится и составной

Рис. 3. Зацепление с составными венцами

зубчатый профиль рейки 2, только отдельные венцы 4, 4', 4", 4"', ... здесь сдвинуты относительно друг друга вдоль рейки на расстояние, равное шагу рейки, деленному на число венцов. В общем случае можно сказать, что венцы составного колеса и составной рейки смещены относительно друг друга по фазе, и это смещение равно шагу соответствующего венца, деленному на число венцов. Каждая пара венцов 3 и 4 колеса 1 и рейки 2 контактируют по прямой линии, и общая линия контакта профилей представляет собой кусочно-непрерывную ломаную кривую. Следует отметить, что увеличивая число венцов в зацеплении, мы будем приближаться к первому варианту зацепления с косыми винтовыми зубьями. В свою очередь, зацепление с косыми зубьями можно рассматривать как зацепление ступенчатых профилей, где число венцов бесконечно велико, а смещение по фазе между соседними венцами бесконечно мало. Учитывая это, дальнейшие расчеты достаточно провести для варианта зацепления с п составными венцами.

5. Радиусы кривизны и расчет усилий в точках контакта

Для нахождения контактных напряжений в точках соприкосновения составных венцов колеса 1 и рейки 2 необходимо знать радиус кривизны той линии Ок на рейке, которая получается торцевым сечением, соответствующим углу поворота вк-, в точке касания линии Ок с окружностью этого же торцевого сечения венца колеса 1. Данная линия является результатом смещения исходной линии С1 на величину (—г(вк + А)), где △ — угол поворота генератора. Радиусы кривизны вычисляются по обычной формуле

X'(Тк(А))У«(гк(А)) - X''(т(А))У'(тк(А)) •

где (X(тк(А)),У(тк(А)) — координаты точки контакта на линии Ок.

А

вид

Р{ь Д) = ^--, {5)

2 1 Е ((Х(п(А)) - г)2 + ¥(тг(А)У)1 8ш(7(г, Л))2

г=1

где М — входной момент на генераторе, 7(г, Д) — угол между радиус-вектором точки контакта и общей нормалью к касающимся кривым (окружность и эквидистанта), Суммирование ведется по половине всех номеров торцевых сечений, соответствующих "рабочим" венцам колеса 1 (испытывающим силовую нагрузку). Номера "рабочих" венцов зависят от Д и определяются с помощью специальной подпрограммы,

6. Выходной момент и расчет потерь мощности на трение

При определении силового воздействия со стороны колеса по формуле (5) выходное усилие (тангенциальное воздействие на рейку) может быть определено следующим образом:

п 2

Рвых = ^](Г(г, Д), е). (6)

г=1

Здесь вектор Е(г, Д) направлен то общим нормалям к касающимся кривым, е — единичный вектор, направленный вдоль рейки.

Следуя принципу Лагранжа, при статистическом нагружении системы мы должны иметь

МШо ^вых^реш (7)

где М — входной момент, и ^рей — пока еще виртуальные (которые, конечно же, могут совпадать с реальными) угловая скорость колеса и скорость поступательного перемещения рейки, В динамических условиях, т, е, при наличии в системе движения, соотношение (7), следуя принципу Даламбера — Лагранжа, можно обобщить следующим образом:

МШо -Рвых ^рей ^тр,

где — потери входной мощности на трение, которые определяем как

п 2

дтр = К ^(г, Д)^, т).

г=1

Кт

△V = v1 — урей, v1 = гк х ^о, гк — радиус-вектор точки контакта относительно оси вращения винтового эксцентрика, Vpeй — вектор скорости перемещения рейки,

7. Оптимизация зацепления

Принципиальная схема нахождения оптимальных параметров линейчатой передачи сводится к следующему. Численно моделируется движение элементов системы в реальном времени, а именно, в каждый момент времени определяются новые положения поверхностей взаимодействия и новые совокупности точек контакта, новые усилия в местах контакта и локальные значения потерь входной мощности на трение. Перемещение по времени заканчивается с завершением полного цикла движения системы. Такой расчет составляет первичный вариант для данного зацепления. Последовательными расчетами строится система базовых вариантов, позволяющая получить поверхности КПД и контактного напряжения. После этого проводится оптимизация по схеме, предложенной для редуктора с циклоидально-эксцентриковым зацеплением [3].

Таким образом, в статье рассмотрен новый вид зубчатого зацепления — эксцентрике во-циклоидальное зацепление с криволинейными зубьями, обладающее высоким передаточным отношением при минимальных габаритных размерах. Зубья имеют большой приведенный радиус кривизны, что увеличивает контактную прочность зацепления, а форма зуба обеспечивает большую п ¡гибкую прочность. Зацепление обладает повышенным КПД, так как имеет минимальные потери на трение.

Новое зубчатое зацепление оформлено в качестве заявки на изобретение [4].

Список литературы

[1] Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. М.: Машиностроение, 1987. 381 с.

[2] Савелов A.A. Плоские кривые. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. 294 с.

[3] Бубенчиков A.M., Щербаков Н.Р., Становской В.В. и др. Математическое моделирование работы редуктора с циклоидально-эксцентриковым зацеплением // Вычисл. технологии. 2009. Т. 14, № 2. С. 51-57.

[4] Заявка на изобретение RU2008115365. "Реечное зацепление для линейного привода (варианты)" / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнева, В.М. Кузнецов, A.M. Бубенчиков, Н.Р. Щербаков. Заявлено 18.04.2008. (решение о выдаче патента от 24.12.2008).

Поступила в редакцию 17 января 2009 г., в переработанном виде — 22 июня 2009 г.