Научная статья на тему 'Компьютерная модель динамического состояния зубчатой реечной передачи с зацеплением нового вида'

Компьютерная модель динамического состояния зубчатой реечной передачи с зацеплением нового вида Текст научной статьи по специальности «Математические модели»

CC BY
473
79
Поделиться
Ключевые слова
математическое моделирование / реечное зацепление / оптимизация

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Щербаков Николай Романович

Построена математическая модель работы реечной передачи, преобразующей вращательное движение в поступательное и использующей эксцентриково-циклоидальное зацепление. Механизм состоит из червячного элемента, выполняющего роль генератора, и выходной детали (рейки), построенной на базе циклоиды. Предложенный новый вид зацепления обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать не высокие скорости перемещения рейки. Создана компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур торцевых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики, а так же находить оптимальные режимы функционирования рассматриваемых систем.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Щербаков Николай Романович,

Mathematical model of rack gear operation has been constructed. It transforms rotary motion into translation one and uses eccentric-cycloidal linking. The mechanism consists of a worm element, acting as a generator and an output part (rod) constructed on basis of cycloid. The proposed new kind of linking possesses high power characteristics and allows obtaining low rates of rod travel. The computer program illustrates kinematically cooperative motion of ideal geometry figures face sections of operating mechanism and allows determining numerical characteristics required for construction as well as optimal modes of operation of the examined systems was developed.

Текст научной работы на тему «Компьютерная модель динамического состояния зубчатой реечной передачи с зацеплением нового вида»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бубенчиков А.М., Щербаков Н.Р. Математическое моделирование динамики нового вида зацепления в передаточных механизмах // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - № 5. - С. 241-243.

2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зацепление колес с криволинейными зубьями (варианты) и планетарная передача на его основе / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнёва,

В.М. Кузнецов. Заявлено 09.07.2007; опубликовано 10.11.2008, Бюл. № 31.

Поступила 24.02.2009. Печатается в авторской редакции без учета мнений рецензентов

УДК 514.85

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЗУБЧАТОЙ РЕЕЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ С ЗАЦЕПЛЕНИЕМ НОВОГО ВИДА

Н.Р. Щербаков

Томский государственный университет E-mail: nrs@math.tsu.ru

Построена математическая модель работы реечной передачи, преобразующей вращательное движение в поступательное и использующей эксцентриково-циклоидальное зацепление. Механизм состоит из червячного элемента, выполняющего роль генератора, и выходной детали (рейки), построенной на базе циклоиды. Предложенный новый вид зацепления обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать не высокие скорости перемещения рейки. Создана компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур - торцевых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики, а так же находить оптимальные режимы функционирования рассматриваемых систем.

Ключевые слова:

Математическое моделирование, реечное зацепление, оптимизация.

Введение

Рассматриваемый передаточный механизм относится к зубчатым кинематическим парам, а более конкретно, к реечным передачам, преобразующим вращательное движение в поступательное и наоборот. Известные реечные передачи - цилиндрические, [1. С.381] червячные и др. имеют либо недостаточную нагрузочную способность, либо низкий КПД. Предлагаемый механизм имеет повышенную нагрузочную способность зацепления при тех же габаритах, а также возможность получения не высоких скоростей перемещения рейки независимо от габаритов вращающегося колеса (а зависящих только от углового шага рейки). Устройство может быть использовано вместо обычных реечных механизмов в линейных приводах станков, в устройствах рулевого управления автомобилей, а также в грузоподъемной технике (реечные домкраты и т. п.).

Геометрическая модель механизма

На рис. 1 изображён фрагмент реечной передачи в районе зацепления её составных элементов.

Передача состоит из колеса - винтового эксцентрика и зубчатой рейки. Идеальная поверхность винтового эксцентрика получается как геометрическое место точек окружности, центр которой перемещается по винтовой линии вокруг оси вращения колеса. Следовательно, в каждом сечении винтового эксцентрика, перпендикулярном его оси вращения, мы имеем окружность радиуса р, центр которой смещён относительно оси на эксцентриситет е. В таком же сечении рейки получается эквидистанта трохоиды [2] (укороченной циклоиды), удалённая по нормалям к трохоиде на величину р. Таким образом, поверхность рейки получается смещением такой эквидистанты вдоль оси эксцентрика с одновременным смещением её в на-

правлении, перпендикулярном этой оси. Для обеспечения непрерывного контакта червяка и рейки необходимо, чтобы при повороте окружности, образующей поверхность винтового эксцентрика, на угол в, эквидистанта сместилась на расстояние fir, где r=p+e - радиус окружности, образующей исходную циклоиду. Длина арки циклоиды («шаг» по длине) равна 2 nr.

На рис. 2 изображены кривые, участвующие в построении поверхностей деталей реечной передачи: 1 - циклоида, образованная при качении круга 4 радиуса r по оси OY; 2 - трохоида, вычерчиваемая точкой 6, удалённой от центра круга 4 на е; 3 - экви-дистанта трохоиды, удалённая от неё по нормалям на расстояние р; 5 - плоское сечение винтового эксцентрика с центром в точке 6. Кривые 2, 3, 5 изображены в сечении, отвечающим значению f=90°.

Параметрические уравнения трохоиды 2 имеют вид [2]:

[ х(т) = -е cost + r, [ у(т) =-esinT+rT.

Параметрические уравнения эквидистанты трохоиды 3 имеют вид:

X(т) = х(т) + р п1(т),

Y (т) = у(т) + рщ(т),

где и1(т), п2(т) - координаты единичного вектора нормали в точке трохоиды. Если ось OZ параллельна оси винтового эксцентрика, то поверхность рейки может быть задана в виде:

Xr (т, в) = X (т), Yr (т, в) = Y (т) -fr,

Z (т, f) = f.

2п

(1)

хс (в) = -ecos в + r, Ус (в) =-esin Р,

а поверхность эксцентрика имеет параметрические уравнения:

Xc (а, в) = хс (Р)+pcosa, Yc (а, в) = Ус (в)+piana,

Z {а, в) = 1в

2п

(2)

где I - задаваемая ширина рейки, в=0,..,2п, т=0,..,2пт (т - задаваемое число циклов - арок циклоиды). Проекции в плоскость ХОГцентров сечений винтового эксцентрика в начальный момент времени имеют координаты:

Математическое моделирование работы механизма

Математическая модель работы механизма позволяет проиллюстрировать кинематически согласованное движение геометрических фигур, составляющих контактирующие детали передачи. Другими словами, должна быть получена возможность изображать в каждый момент времени (т. е. для каждого угла поворота винтового эксцентрика) взаимное расположение этих деталей в зацеплении. Для этого нужно иметь уравнения семейств поверхностей (1) и (2), причём параметром этих семейств является угол поворота колеса - винтового эксцентрика. Уравнения таких семейств легко получаются, если повороту эксцентрика вокруг своей оси на угол Д будет соответствовать сдвиг рейки на величину (-гД).

Нахождение линии контакта

Как видно из схемы построения поверхностей (1) и (2) (см. рис. 2), профиль винтового эксцентрика в любом торцовом сечении представлен эксцентрично смещенной окружностью 5, а профиль рейки - смещённой эквидистантой 3. Окружность 5 в любом торцовом сечении имеет точку касания с соответствующей эквидистантой. Рассмотрим п торцевых сечений, получающихся при повороте окружности 5 на углы

вк =

2п (к -1)

к = 1,..., п.

(3)

Координаты точки контакта окружности 5 с эк-видистантой 3 находятся как сумма радиус-вектора центра 6 окружности 5 с вектором, направленным по нормали к этой окружности в точке контакта и имеющим длину р. Для нахождения этой нормали нет необходимости прибегать к дифференцированию - достаточно применить свойство циклоиды: нормаль в произвольной её точке проходит через полюс (нижняя точка катящегося круга, образующего циклоиду [2. С. 241]. В данной конструкции полюс неподвижен и находится в начале координат, а искомая нормаль идёт по направлению радиус вектора точки 6. Учитывая это, нетрудно найти значение параметра на соответствующей эквиди-станте, при котором получается точка контакта:

тк (А) = Д + в. (4)

Линия контакта строится с помощью встроенной в пакете МаШСаё функции интерполяции массива точек контакта, соответствующих близким торцевым сечениям. Полученная при этом вектор-функция КДв) точек линии контакта даёт возможность дифференцирования с помощью символьного процессора пакета МаШСаё с целью нахождения кривизны в каждой точке этой линии в любой момент времени. Эта кривизна оказывается не постоянной, т. е. линия контакта не является винтовой.

При всех достоинствах предлагаемое реечное зацепление достаточно сложно в изготовлении, требует наличия многокоординатных станков с ЧПУ. Эта же идея зацепления может быть реализована в другом варианте, более простом в изготовлении. Обратимся к схеме образования винтового профиля эксцентрика, изображенного на рис. 1. Если этот профиль получать не непрерывным поворотом и смещением эксцентричной окружности относительно оси вращения, а разделить эти два движения, то получим ступенчатый профиль, образованный отдельными, повернутыми друг относительно друга одинаковыми венцами 3, 3', 3'', 3''' (см. рис. 3).

Каждый венец 3 образован цилиндром с эксцентрично смещенной окружностью в сечении. Соседние венцы 3, 3'... повернуты друг относительно друга на угол, равный угловому шагу колеса 1, деленному на число венцов п, а венец с номером к=1,..,п повёрнут по отношению к первому на угол вк, определённый формулой (3).

На рис. 3 угловой шаг составляет 360°, число венцов равно 6. Следовательно, соседние венцы 3 будут повернуты друг относительно друга на 60 градусов. Изготавливать такой ступенчатый профиль колеса можно либо из отдельных венцов, жестко скрепляемых вместе, либо выполняя колесо со сту-

пенчатым профилем в виде единой детали, наподобие коленчатого вала. Аналогично строится и составной зубчатый профиль рейки 2, только отдельные венцы 4, 4', 4", 4"', ... сдвинуты друг относительно друга вдоль рейки на расстояние, равное шагу рейки, деленному на число венцов. В общем случае про венцы составного колеса и составной рейки можно сказать, что они смещены друг относительно друга по фазе, и смещение равно шагу соответствующего венца, деленному на число венцов. Каждая пара венцов 3 и 4 колеса 1 и рейки 2 контактируют по прямой линии, и общая линия контакта профилей представляет собой кусочно-непрерывную ломаную кривую. Следует отметить, что, увеличивая число венцов в зацеплении, мы будем приближаться к первому варианту зацепления с косыми винтовыми зубьями. В свою очередь, зацепление с косыми зубьями можно рассматривать как зацепление ступенчатых профилей, где число венцов бесконечно велико, а смещение по фазе между соседними венцами бесконечно мало. Учитывая это, дальнейшие расчёты достаточно провести для варианта зацепления с п составными венцами.

Радиусы кривизны и расчёт усилий в точках контакта

Для нахождения контактных напряжений в точках соприкосновения составных венцов колеса 1 и рейки 2 необходимо знать радиус кривизны той линии Ок на рейке, которая получается торцевым сечением, соответствующим углу поворота вк, в точке касания этой линии с окружностью этого же торцевого сечения венца колеса 1. Эта линия является результатом смещения исходной линии 01 на величину (-г(вк+Д)), где Д - угол поворота генератора. Радиусы кривизны вычисляются по обычной формуле

Я(к, Д) = -

(X '(т (Д))2 + У '(тк (Д))2)

(5)

¿д/(X(т(Д)) - г)2 + У(т (Д))2 81И2(7(/, Д))

Выходное усилие и расчёт потерь мощности на трение

При определении силового воздействия со стороны колеса по формуле (5) выходное усилие (тангенциальное воздействие на рейку) может быть определено следующим образом:

п

Рых = ¿(^ (¿,Д), е).

1=1

Здесь вектор Дг,Д) направлен по общим нормалям к касающимся кривым, е — единичный вектор, направленный вдоль рейки.

Следуя принципу Лагранжа, при статистическом нагружении системы мы должны иметь

(6)

М®0 = ^вых^рей '

где М- входной момент, а ю0 и урей - пока ещё виртуальные (которые, конечно же, могут совпадать с парой реальных) угловая скорость колеса и скорость поступательного перемещения рейки. В динамических же условиях, т. е. при наличии в системе движения, соотношение (6), следуя принципу Даламбера-Лагранжа, можно обобщить следующим образом:

М®0 = ^ых^ей'

где 0тр - потери входной мощности на трение.

Величину потерь входной мощности на трение определяем следующим образом:

£р = к £ Р (г, Д)(Ду, Г) .

X' (т (Д))У '' (т (Д)) - X'' (т, (Д))У' (тк (Д))

где Х(тк(Д)), У(тк(Д)) - координаты точки контакта на линии Бк.

Формула для расчёта усилий в точках контакта при угле поворота колеса Д имеет вид:

Р (г, Д) = = М 8т(7(/, Д))

где М - входной момент на колесе, а у(/,Д) - угол между радиус-вектором точки контакта и общей нормалью к касающимся кривым (окружность и эквидистанта). Суммирование ведётся по половине всех номеров торцевых сечений, соответствующих «рабочим» венцам колеса 1 (испытывающим силовую нагрузку). Номера «рабочих» венцов зависят от Д и определяются с помощью специальной подпрограммы.

Здесь к - коэффициент трения, t - единичный вектор касательной в точке контакта, Ду=у—рей, у1=гк-а0, гк - радиус-вектор точки контакта относительно оси вращения винтового эксцентрика, урей -вектор скорости перемещения рейки.

Оптимизация параметров

Принципиальная схема нахождения оптимальных параметров линейчатой передачи сводится к следующему. Численно моделируется движение элементов системы в реальном времени, а именно, в каждый момент времени определяются новые положения поверхностей взаимодействия и новые совокупности точек контакта, новые усилия в местах контакта и локальные значения потерь входной мощности на трение. Перемещение по времени заканчивается с завершением полного цикла движения системы. Такой расчёт составляет первичный вариант для данного зацепления. Последовательными расчётами строится система базовых вариантов, позволяющая получить поверхности КПД и контактного напряжения. После чего проводится оптимизация по схеме, предложенной для редуктора с эксцентриково-циклоидальное зацеплением [3].

Таким образом, построена математическая модель нового вида зубчатого зацепления с криволинейными зубьями, обладающего высоким передаточным отношением при минимальных габарит-

п

г=1

3

п

г=1

ных размерах. На основании этой модели создана компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур - торцевых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики, а так же находить оптимальные значения параметров передачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. - М.: Машиностроение, 1987. - 451 с.

2. Савёлов А.А. Плоские кривые. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 294 с.

3. Щербаков Н.Р. Оптимизация параметров нового зацепления колёс с криволинейными зубьями // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - № 5. - С. 244-246.

Построенная математическая модель использовалась при конструировании разработки, на которую подана заявка на изобретение RU 2008115365 «Реечное зацепление для линейного привода (варианты)», авторы Становской В.В., Казакявич-юс С.М., Ремнева Т.А., Кузнецов В.М., Бубенчиков А.М., Щербаков Н.Р. (решение о выдаче патента от 24.12.2008).

Поступила 24.02.2009.

Печатается в авторской редакции без учета мнений рецензентов