Математическое моделирование динамики нового вида зацепления в передаточных механизмах Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 514.85

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ НОВОГО ВИДА ЗАЦЕПЛЕНИЯ В ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМАХ

А.М. Бубенчиков, Н.Р. Щербаков

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Построена математическая модель работы редуктора, использующего новый вид зацепления рабочих колёс, одно из которых представляет собой винтовой эксцентрик, а профиль другого построен на базе циклоидальной кривой. Такое зацепление обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать высокие передаточные отношения в одной ступени. Создана компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур - торцевых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики.

Ключевые слова:

Математическое моделирование, эксцентриково-циклоидальное зацепление, циклоидальная кривая.

Введение

Широко применяемое эвольвентное зацепление колес при всех его достоинствах обладает и рядом недостатков, таких как недостаточная несущая способность зубьев из-за малой кривизны рабочих поверхностей, сравнительно высокие потери, связанные с наличием трения скольжения. Кроме того, эвольвентное зацепление имеет ограничения по величине передаточного отношения для одной ступени. Все эти недостатки обуславливают поиск новых видов зацеплений.

Известно зацепление Новикова [1], которое имеет выпукло-вогнутые винтовые зубья с противоположным направлением винтовой линии и с начальным касанием в точке, которая при вращении перемещается параллельно оси колес. Профили в торцовом сечении очерчиваются дугами окружностей и имеют кривизну разных знаков. В зацеплении Новикова преобладает качение, поэтому оно имеет более высокий КПД, и обладает большей контактной прочностью при тех же основных размерах, чем эвольвентное зацепление. Однако, редукторы с таким зацеплением обладают повышенной чувствительностью к изменению межосевого расстояния колес, высокой виброакустической активностью, низкой конструктивной гибкостью, что ограничивает область их практического использования. В [2] описан новый вид зацепления колес с криволинейными зубьями - эксцентриково-циклоидальное зацепление, которое частично объединяет достоинства эвольвентного зацепления и зацепления Новикова. В данной статье построена математическая модель динамики этого зацепления.

Геометрическая модель механизма

Общий вид редуктора с плоскостью Р, перпендикулярной осям колес, приведен на рис. 1, а фрагмент участка контакта червячного элемента с большим колесом - на рис. 2. Зубчатый профиль меньшего колеса 1 в торцовом сечении представляет собой окружность Ъ диаметра с1=2г, эксцентрично смещенную на расстояние е относительно оси вра-

щения колеса ОО1. Криволинейный профиль колеса 1 образован последовательным и непрерывным смещением этой окружности вдоль оси колеса ОО1 с одновременным поворотом её вокруг этой же оси. Таким образом, поверхность зуба колеса 1 образует винтовой эксцентрик.

Р

Рис. 1. Общий вид редуктора. Плоскость Р перпендикулярна осям колёс

Профиль зуба большего колеса 2 в торцовом сечении сопрягается с эксцентрично смещенной окружностью Ъ колеса 1. Профиль построен как

огибающая семейства эксцентриковых окружностей в разных фазах зацепления и представляет собой циклоидальную кривую О, являющуюся экви-дистантой эпитрохоиды [3]. Винтовая криволинейная поверхность зубьев колеса 2 образуется аналогично поверхности зуба колеса 1 последовательным и непрерывным поворотом циклоидальных торцовых сечений колеса вокруг оси СС1 колеса 2. Винтовые поверхности колес 1 и 2 имеют противоположное направление вращения.

Рис. 2. Фрагмент участка контакта

Нахождение линии контакта

Параметрические уравнения эпитрохоиды имеют вид

X(т) = -Е С0Бт + аСОБ

г2 +1

у(т) = -е бтт + абш-

где т=0,...,2п(г2+1) - текущий параметр, е - эксцентриситет, а - межцентровое расстояние колес, - количество циклов кривой (количество зубьев колеса 2).

Параметрические уравнения эквидистанты О, удалённой по нормали на радиус й/2 окружности Б от эпитрохоиды, имеют вид:

X (т) = х(т) + 2 п1(т), У (т) = у(т) + 2 Щ(т),

где и1(т), п2(т) - координаты единичного вектора нормали.

Как видно из схемы построения зубчатых поверхностей колес 1 и 2, профиль зуба колеса 1 в любом торцовом сечении представлен эксцентрично смещенной окружностью Б, а профиль колеса 2 -повёрнутой циклоидальной кривой О. Окружность Б в любом торцовом сечении имеет точку касания А с соответствующей циклоидальной кривой. Винтовой зуб колеса 1 имеет одновременно множество точек контакта с винтовым циклоидальным зубом колеса 2. Эти точки образуют непрерывную винтообразную (с непостоянной кривизной) линию контакта ААД.

Координаты точки А контакта окружности Б с циклоидальной кривой О находятся как сумма радиус-вектора центра окружности Б с вектором, направленным по нормали к этой окружности в точке контакта и имеющим длину равную радиусу окружности Б. Для нахождения этой нормали нет необходимости прибегать к дифференцированию - достаточно применить свойство циклоидальных кривых: нормаль в произвольной точке такой кривой проходит через полюс (точка соприкосновения обкатывающихся кругов, с помощью которых получается исходная циклоидальная кривая [3. С. 113]). Линия АА2А4 строится с помощью встроенной в пакете МаШСаё функции интерполяции массива точек контакта, соответствующих близким торцевым сечениям. Полученная при этом вектор-функция Ки(о) (и=0,...,2п - угол поворота окружности Б вокруг оси ОО1, при котором получается соответствующее торцевое сечение) точек линии контакта АА2А4 даёт возможность дифференцирования с помощью символьного процессора пакета МаШСаё с целью нахождения кривизны в каждой точке этой линии в любой момент времени. Эта кривизна оказывается не постоянной, т. е. линия контакта не является винтовой.

Радиусы кривизны и расчёт усилий в точках контакта

Для нахождения контактных напряжений в точках линии АА2А4 необходимо знать радиус кривизны той линии на большом зубе 2, которая получается торцевым сечением, соответствующим точке контакта, т. е. при заданном угле и. Эта линия является результатом поворота исходной линии О на угол -(и+ 5)

где 5 - угол поворота генератора. Радиусы кривизны вычисляются по обычной формуле Я(о,8) =

3

= (X' (р(о,8))2 + У (<р(и,5))2у

X'(р(о,8))¥''<(о,8)) -X''(р(о,8))¥'<(о,8))'

где

р(и,8) = ^^ (и+8),

а Х(р(и,8)), У(р(и,8)) - координаты точки контакта на соответствующей эквидистанте.

Формула для расчёта усилий в точках контакта при угле поворота генератора 8 принимает интегральный вид:

^ (и,8) = М Бт(у(и,8))

о+п

(1)

где М - входной момент на генераторе, а у(о, 8) -угол между радиус-вектором точки контакта отно-

2

2

2

сительно оси червячного элемента и общей нормалью к касающимся кривым (окружность и экви-дистанта). Интегрирование ведётся по половине длины червячного элемента - «рабочей части» червяка, изменяющейся в зависимости от 8.

Выходной момент и расчёт потерь мощности на трение

Сечениями перпендикулярными осям вращения выделим элементарные по глубине фрагменты деталей с размером в направлении осей dh их в дальнейшем будем называть плоскими фрагментами (фигурами) зубчатого колеса и червяка. Далее мы предполагаем, что различные по глубине фрагменты каждой отдельно взятой детали не участвуют между собой в силовом взаимодействии. В случае же существования такого взаимодействия реализующие его усилия были бы направлены лишь вдоль осей вращения. Таким образом, распределённые по линии контакта усилия, определяемые соотношением (1), действуют в плоскости нормальной осям вращения деталей. Поскольку на глубине dh реализуется поворот плоской линии G на угол dv, то со стороны входной детали (червяка) на выделенный элементарный фрагмент зубчатого колеса будет действовать сила величиной F(v,S) du, направленная по общей нормали к плоским фигурам в точке контакта. В свою очередь, со стороны зубчатого колеса вдоль того же направления общей нормали будет действовать равная по величине, но противоположно направленная сила реакции. Точками опоры выделенных вращающихся плоских фигур являются центры вращения этих фигур. Эти центры остаются неподвижными во всё время движения, в случае же, если центробежные силы являются не слишком значительными, они взаимодействуют между собой по законам статики, т.е. по закону равенства действия и противодействия.

После определения вектора /(и,8) (|/(u,5)|=F(u,5)) выходной момент найдётся по формуле:

8+п

Мвых = | \/(V, 5) хр(и,8)| ёи,

где р(и,8)= СА - радиус-вектор точки контакта плоских фигур относительно центра вращения фрагмента зубчатого колеса. Таким образом, если «разброс» входного воздействия определяется по формуле (1), то, следуя принципу Лагранжа, при статическом нагружении системы мы должны иметь:

М®1 = М„ых®2> (2)

где т1, т2 - угловые скорости, соответственно, червяка и зубчатого колеса, а М - входной момент. В динамических же условиях, т. е. при наличии в системе движения, соотношение (2), следуя принципу Даламбера-Лагранжа, можно обобщить следующим образом:

Мт, = М т2 - О ,

1 вых 2 Х-^тр >

где <2Щ - потери входной мощности на трение.

Величины потерь входной мощности на трение рассчитываются следующим образом:

5+п

Отр = к $ ^(о,8)(ДУ,Г)ёо.

8

Здесь к - коэффициент трения, t - единичный вектор касательной в точке контакта, ДУ=у1-у1, У1=тк-Ф1, Уг=Рк'Щ, Гк, Рк - радиус-векторы точки контакта, соответственно, относительно оси вращения червяка и оси вращения зубчатого колеса.

Программа и метод расчета могут быть использованы и для других значений е, d, гь а, М.

Таким образом, построена математическая модель нового вида зубчатого зацепления, а именно, эксцентриково-циклоидального зацепления с криволинейными зубьями. Модель включает в себя точные уравнения кривых - профилей деталей механизма и уравнения поверхностей этих деталей, а также алгоритм расчёта силовых характеристик. На основании этой модели создана компьютерная программа, позволяющая визуализировать процесс кинематически согласованного взаимодействия деталей механизма, получать значения КПД и величины контактных напряжений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Батурин А.Т., Ицкович Г.М. и др. Детали машин. - М.: Машиностроение, 1970. - 264 с.

2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зацепление колес с криволинейными зубьями (варианты) и планетарная передача на его основе / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнёва, В.М. Кузнецов. Заявлено 09.07.2007; опубликовано 10.11.2008, Бюл. № 31.

3. Савёлов А.А. Плоские кривые. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 294 с.

Поступила 24.02.2009. Печатается в авторской редакции без учета мнений рецензентов

УДК 514.85

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ НОВОГО ВИДА ЗАЦЕПЛЕНИЯ КОЛЁС С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ЗУБЬЯМИ

Н.Р. Щербаков

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Рассмотрена оптимизация геометрических параметров нового вида зацепления колес с криволинейными зубьями, а именно эк-сцентриково-циклоидального. Зацепление образовано винтовыми зубьями, причем меньшее колесо имеет один зуб, профиль которого в торцовом сечении представляет собой эксцентрично смещенную окружность. Профиль зуба большего колеса в торцовом сечении представляет собой циклоидальную кривую. Показано, что КПД и контактные напряжения зависят от эксцентриситета и диаметра окружности профиля меньшего колеса. Дан алгоритм расчета оптимальных значений этих параметров для достижения наивысшего КПД при предельно допустимых контактных напряжениях.

Ключевые слова:

Математическое моделирование, эксцентриково-циклоидальное зацепление, оптимизация.

В [1] построена математическая модель работы редуктора, использующего новый вид зацепления рабочих колёс [2], одно из которых представляет собой винтовой эксцентрик, а профиль другого построен на базе циклоидальной кривой. Такое зацепление обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать высокие передаточные отношения в одной ступени.

Рассмотрим геометрические параметры зацепления, изменением которых можно было бы оптимизировать зацепление по КПД, а также по максимально допустимым значениям контактных напряжений. Поскольку малое колесо (винтовой эксцентрик) в зацеплении имеет один зуб (^=1), то передаточное отношение зацепления определяется только числом зубьев большего колеса г2. При проектировании редукторов передаточное отношение обычно является заданной величиной, следовательно, для нашего зацепления варьировать число зубьев большего колеса мы не можем. Вторым заданным параметром редуктора является его номинальный крутящий момент, характеризующий нагрузочную способность передачи. Величина крутящего момента определяется габаритами передачи. Поэтому второй постоянной величиной в нашем случае мы выбрали межцентровое расстояние колес а. Таким образом, в качестве изменяемых для оптимизации параметров были выбраны диаметр окружности й в поперечном сечении однозубого колеса и эксцентриситет е смещения этой окружности от оси вращения колеса.

С помощью рабочей программы была найдена матрица средних значений КПД (сетка узлов) при различных величинах е и й для а = 70 мм и 12 = 10. Для получения численных значений КПД выбрали коэффициент трения скольжения равным 0,05.

Далее, выполняя в МаШСаё интерполяцию кубическими сплайн-функциями двух переменных (е, й) проводим через сетку узлов поверхность, составленную из кубических полиномов от переменных е, й так, что первые и вторые частные производные являются непрерывными в каждом узле сет-

ки. Эта поверхность представляет собой график явно заданной функции двух аргументов е, й (рис. 1).

Таблица 1. Значения КПД для различных эксцентриситетов и диаметров

диаметр/ эксцентриситет 13,7 мм 14,3 мм 14,9 мм 15,5 мм 16,1 мм 16,7 мм 17,3 мм

3,0 мм 96,39 96,339 96,317 96,142 95,874 95,511 95,053

3,5 мм 96,308 96,371 96,359 96,275 96,118 95,889 95,586

4,0 мм 96,169 96,298 96,338 96,317 96,237 96,097 95,898

4,5 мм 96,05 96,187 96,269 96,297 96,273 96,198 96,072

5,0 мм 95,868 96,039 96,158 96,227 96,249 96,224 96,155

5,5 мм 95,644 95,852 96,007 96,112 96,173 96,19 96,166

6,0 мм 95,369 95,618 95,809 95,95 96,045 96,098 96,112

Рис. 1. Значения КПД как график функции двух аргументов

Наибольшее значение КПД находится стандартными средствами МаШСаё как максимум значений этой функции на выбранных участках значений е, й. Одновременно определяются и значения аргументов, при которых достигается этот максимум:

КПДмакс=96,34 % при е=4 мм, й=15 мм.

Таблица 2. Значения контактных напряжений для различных эксцентриситетов и диаметров

диаметр/ эксцентриситет 13,7 мм 14,3 мм 14,9 мм 15,5 мм 16,1 мм 16,7 мм 17,3 мм

3,0 мм 1,568.106 1,546.106 1,526.106 1,507.106 1,489.106 1,473.106 1,458.106

3,5 мм 1,48.106 1,461.106 1,444.106 1,429.106 1,415.106 1,402.106 1,39.106

4,0 мм 1,409.106 1,394.106 1,38.106 1,367.106 1,356.106 1,345.106 1,336.106

4,5 мм 1,347.106 1,335.106 1,324.106 1,314.106 1,306.106 1,298.106 1,292.106

5,0 мм 1,294.106 1,29.106 1,287.106 1,284.106 1,284.106 1,284.106 1,285.106

5,5 мм 1,268.106 1,267.106 1,268.106 1,313.106 1,325.106 1,34.106 1,358.106

6,0 мм 1,238.106 1,377.106 1,402.106 1,529.106 2,074.106 2,311.106 2,682.106

Для этих же значений е, й находится матрица средних значений максимальных контактных напряжений ое при углах поворота винтового эксцентрика от 0 до 180° при заданном размере ширины колёс Ь = 30 мм, и при входном крутящем моменте Иж = 50 Нм.

С помощью интерполяции строится поверхность (рис. 2), проходящая через узлы сетки, являющаяся графиком функции двух аргументов е, й.

где г- радиус-вектора q точек границы общей части проекций (рис. 4).

Рис. 2. Значения контактных напряжений как график функции двух аргументов

Минимальное значение этой функции - ое-мин=1,2-106 кг-м-1-с-2 при е=5,4 мм, й=14,6 мм.

Следует отметить, что максимальный КПД и минимальные значения контактных напряжений достигаются при разных значениях параметров е, й. Для нахождения оптимальных значений е, й, позволяющих получить необходимые КПД и среднее значение максимально допустимых контактных напряжений ?е, создана специальная программа. Сначала вводятся величины, равные желаемому КПД (тткрй) и желаемому контактному напряжению (тахое) и проводятся плоскости 1=тткрй и 1=тах-ое. Затем на поверхностях, изображённых на рис. 1 и рис. 2 оставляются только те точки, которые лежат выше (для рис. 1) и ниже (для рис. 2) этих плоскостей. Оставшиеся части поверхностей проектируются на плоскость аргументов е, й (рис. 3) и определяется граница пересечения этих проекций.

Оптимальные значения е, й находятся как вектор ОрИт (е,й) по формуле:

1 д

Орйт (е,й)= -2Г'

Ц г=1

Рис. 3. Проектирование аргументов на плоскость аргументов

Рис. 4. Точка оптимальных значений

Таким образом, при е=4,9 мм, а й=16,23 мм получаем при прочих равных условиях наибольший КПД=96,25 % при контактных напряжениях, не превышающих ое=1,3-106 ктм-1-с-2.

Программа и метод расчета могут быть использованы и для других значений гь а, Ь, Иж. Выбор другого коэффициента трения изменит только абсолютное значение КПД, не изменяя оптимальных значений геометрических параметров, при которых достигается этот КПД.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бубенчиков А.М., Щербаков Н.Р. Математическое моделирование динамики нового вида зацепления в передаточных механизмах // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - № 5. - С. 241-243.

2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зацепление колес с криволинейными зубьями (варианты) и планетарная передача на его основе / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнёва,

В.М. Кузнецов. Заявлено 09.07.2007; опубликовано 10.11.2008, Бюл. № 31.

Поступила 24.02.2009. Печатается в авторской редакции без учета мнений рецензентов

УДК 514.85

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЗУБЧАТОЙ РЕЕЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ С ЗАЦЕПЛЕНИЕМ НОВОГО ВИДА

Н.Р. Щербаков

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Построена математическая модель работы реечной передачи, преобразующей вращательное движение в поступательное и использующей эксцентриково-циклоидальное зацепление. Механизм состоит из червячного элемента, выполняющего роль генератора, и выходной детали (рейки), построенной на базе циклоиды. Предложенный новый вид зацепления обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет получать не высокие скорости перемещения рейки. Создана компьютерная программа, иллюстрирующая кинематически согласованное движение идеальных геометрических фигур - торцевых сечений работающего механизма и позволяющая находить необходимые для конструирования числовые характеристики, а так же находить оптимальные режимы функционирования рассматриваемых систем.

Ключевые слова:

Математическое моделирование, реечное зацепление, оптимизация.

Введение

Рассматриваемый передаточный механизм относится к зубчатым кинематическим парам, а более конкретно, к реечным передачам, преобразующим вращательное движение в поступательное и наоборот. Известные реечные передачи - цилиндрические, [1. С.381] червячные и др. имеют либо недостаточную нагрузочную способность, либо низкий КПД. Предлагаемый механизм имеет повышенную нагрузочную способность зацепления при тех же габаритах, а также возможность получения не высоких скоростей перемещения рейки независимо от габаритов вращающегося колеса (а зависящих только от углового шага рейки). Устройство может быть использовано вместо обычных реечных механизмов в линейных приводах станков, в устройствах рулевого управления автомобилей, а также в грузоподъемной технике (реечные домкраты и т. п.).

Геометрическая модель механизма

На рис. 1 изображён фрагмент реечной передачи в районе зацепления её составных элементов.

Передача состоит из колеса - винтового эксцентрика и зубчатой рейки. Идеальная поверхность винтового эксцентрика получается как геометрическое место точек окружности, центр которой перемещается по винтовой линии вокруг оси вращения колеса. Следовательно, в каждом сечении винтового эксцентрика, перпендикулярном его оси вращения, мы имеем окружность радиуса р, центр которой смещён относительно оси на эксцентриситет е. В таком же сечении рейки получается эквидистанта трохоиды [2] (укороченной циклоиды), удалённая по нормалям к трохоиде на величину р. Таким образом, поверхность рейки получается смещением такой эквидистанты вдоль оси эксцентрика с одновременным смещением её в на-