МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОСАЖДЕНИЯ И ВСПЛЫТИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ, КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЕЙВ ИЗОТРОПНОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.6 https://dai.afB/10.214+0^2107-2031-2П»-4-Ш-№

Математическое моделирование процессов осаждения и всплытия твердых частиц, капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке

Гудрат Исфандияр оглы КЕЛБАЛ ИЕВ1" С а кит Рауф оглы РАСУЛОВ3" Нияз Глдым оглы ВАЛ И ЕВ9

1 Институт катализа и неорганической химии им. акад. М. На гнева НАН Азербайджана, Баку, Азербайджанская Республика

^Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, Баку, Азербайджанская Республика 'Уральский государственный горный университет, Екатеринбург, Россия

Аннотация

Актуальность. Проблемы р заделе ни я, расслоения и классификации дисперсных систем, составляющих основу осаждения и перемещения фаз, определяются гидродинзмической структурой и нзправлением потока, физическим взаимодействием сил систем различной природы, диффузионным переносом и осаждением е турбулентных потоках, физико-химическими свойствами самих частиц и несущей среды и многими другими факторами. Возникает необходимость разработки модели осаждения твердых сферических частиц из объема с малыми значениями числа Рейнольдса (Не) при условии отсутствия эффектов взаимодействия частиц и модели стесненного осаждения из концентрированного дисперсного потока. Обуславливается рассмотрение выражений для определения эффективной вязкости дисперсной системы с учетом концентрации частиц в потоке и моделей осаждения частиц из изотропного турбулентного потока с учетом масштаба турбулентности и удельной энергии диссипации. Это, е свою очередь, связано с определением коэффициента сопротивления для деформируемых частиц (капель и пузырей), что используется е модели скорости осаждения и всплытия капель и пузырей для различных чисел Вебера и Моргона.

Цель работы. Целью данного исследования является аналитический обзор всевозможных вариантов осаждения, разделения и расслоения дисперсных систем и модельных представлений их описания в различных условиях течения.

Методология исследования. Для решения данной проблемы необходим анализ всех эффектов, сопутствующих миграции частиц, их осаждению и разделению. Существенная роль в осаждении и миграции обуславливается силами сопротивления, что зависят от числа Рейнольдса, формы и размеров, а также физико-химических свойств частиц и соответствующей среды.

Результаты. Исследование осаждения частиц в изотропном турбулентном потоке для различных масштабов турбулентности в трубах: и каналах позволило выразить скорость осаждения через основные параметры турбулентности - удельную диссипацию энергии, масштаб турбулентности и вязкость среды. Осаждение и обрззовзние плотного слоя частиц на внутренней поверхности труб оказывает существенное влияние на все параметры переноса субстанции (массы, тепла и импульса) и на гидродинамическую устойчивость течения. Выявлено, что осаждение поли дисперсных частиц характеризуется непостоянством размеров или же функцией распределения их по размерам, что связано со стесненностью осаждения, столкновением и взаимодействием частиц между собой.

Выводы. Сделан вывод о том, что характер осаждения частиц из пол и дисперсного турбулентного потока существенно отличается от их свободного осаждения из объема. При осаждении дисперсных частиц на стенках труб и каналов различают следующие механизмы и модели: свободно-инерционные, основу которых составляет принцилсвободногоинерционноговыбросачастицкстенке; подъемно-м и фационные,связывающие осажден ие частиц с их подъемной миграцией (эффект Магнуса); конвективно-инерционные, которые связывают скорость осаждения частиц с инерционными эффектами; эффекти в но-диффузионные; турбулентно-миграционные, где в качестве движущей силы осаждения рассматривается турбулентная миграция частиц к стенке. Осаждение частиц и образование плотного слоя частиц на внутренней поверхности труб оказывает существенное влияние на гидродинамику течения и на тепломассоперенос. Все предложенные модели сравнили с имеющимися экспериментальными данными, что подтверждает их эффективность и адекватность.

Ключевые слова: осаждение, всплытие, турбулентность, капли, пузыри, твердые частицы массоперенос, расслоение, сопротивление, коалесценция, дробление.

. [email protected] О Шр»:«огсж) смдДЮ00-НХ12-6275^3732 "[email protected] гл

https://orcid.org/DDaa-aa03-1S48-3143 [email protected]

Нфк/Л)пж1лждИЮО-ООа2-555&Э217

Введение

В промышленной практике химической, нефтехимической и нефтеперерабатывающей технологий основу процессов очистки, разделения, расслоения фаз и классификации пол и дисперсных потоков составляет осаждение частиц или всплытие капель и пузырей в гравитационном поле, чему посвящены многочисленные исследования [1-9]. Проблемы разделения, расслоения и классификации дисперсных систем, составляющих основу осаждения и перемещения фаз, представляют собой весьма сложную структурную задачу

Для решения данной проблемы необходим анализ всех эффектов, сопутствующих миграции частиц, их осаждению и разделению. Существенная роль в осаждении и миграции обуславливается силами сопротивления, что зависят от числа = формы и размеров, а также физико-химических свойств частиц и соответствующей среды. Наиболее полный обзор по определению коэффициента сопротивления твердых частиц, капель и пузырей изложен в работах [10-12].

При движении одиночной частицы в турбулизиро-ванной среде сила сопротивления определяется согласно сложному уравнению, предложенному Басе, Буссинеском, Осееном и обобщенному Ченом [3-5]. Используя это уравнение, силу сопротивления, действующую на движущуюся сферическую частицу со скоростью и = и {£), можно определить в виде:

: 2ЛРЛ

I (1и Зу 3 - -+—~и +—

3 Я К* й_

1Вц(1+Н^ /б)

(2)

где р^ - плотность частиц, кг/м5; я - диаметр частиц, мм; т^ - динамическая вязкость среды, кгДм х с).

Численные расчеты по уравнению 0) показывают, что для мелкодисперсных частиц ^ -» 1, О, а для гру-бодисперсных частиц ^ -» 0, ц I, т. е. с увеличением размеров частиц степень увлечения частиц пульсирующей средой уменьшается, а мелкодисперсные частицы реагируют на турбулентные пульсации среды, совершают под их влиянием пульсационное движение относительно молей несущей фазы и беспорядочной движение во всех направлениях за счет турбулентной диффузии. В перемещении, ми фации и осаждении мелкодисперсных частиц немаловажную роль играет диффузионный перенос к поверхности, зависящий от коэффициента турбулентной диффузии частиц [5]

I№

(3)

где О^ - коэффициент турбулентной диффузии частиц, м3/с; От - коэффициент турбулентной диффузии жидкости, м2/с.

Для изотропного турбулентного течения коэффициент турбулентной диффузии частиц с учетом {3} и приведенных в [2] выражений можно представить как

где р - плотность среды, кг/м1; Я - радиус частицы, см; V,- кинематическая вязкость среды, м3/с; т - напряжение сдвига, Па.

Определенные сложности при вычислении коэффициентов сопротивления и скорости осаждения возникают для деформируемых капель и пузырей, когда в области их деформаций проявляется зависимость от чисел Вебера

\Уе= ^[Яя/о, Мортона, р^сг' р€ Бонда 0 р

и Акривоса

Ас

РХ

аа

Ас = WcRe;^

Кроме этого, в работах [5,13] вводятся параметры, характеризующие миграцию частиц, - степень увлечения частиц пульсирующей средой |1р и степень обтекания частиц потоком (1^, м/с, определяемые в виде выражений

ап\

II, =

■Ь =

(I)

которые подчиняется условию: Цр + = 1- Здесь и - частота турбулентных пульсаций, с1; т - время релаксации, с, определяемое для тонкодисперсных частиц как тр = р¿я3/ (] 8г|;), а для грубодисперсных частиц в виде [ 13]; о - коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

где % - масштаб турбулентных пульсаций, м; ^ - колмо-

горовский масштаб турбулентности, = /е№) ; а, - эмпирические постоянные; удельная диссипация энергии в единице массы, м3/сЛ В работе [14] коэффициент |а в пределах пограничного слоя определяется в виде

1000 -

I Не )

У.

14,5

5с, у> < 0,05,

где Эс - число Шмидта; уг - безразмерная координата,ул = УЩу.;у- радиальная дистанция от стенки канала I/, - динамическая скорость потока, м/с, I/, = 0,2 Ц,/^; - средняя скорость турбулентного потока, Ке = - число Рейнольдса для потока, - диаметр трубы, м, и - средняя скорость потока, м/с. Множество формул для расчета коэффициента турбулентной диффузии частиц в зависимости от динамической скорости и скорости осаждения предложены в работе [7].

□ель работы

Целью данного исследования является аналитический обзор всевозможных вариантов осаждения, разделения и расслоения дисперсных систем и модельных представлений их описания в раз личных условиях течения.

Осаждение твердых сферических частиц из объема при малых значениях числа Ке. Осаждение твердых частиц из объема потока в промышленной практике

используется для разделения, очистки и классификации частиц по размерам или по фракциям. Основу этик процессов обычно составляет наличие гравитационного поля, хотя иногда используются и другие поля (центробежное, электрическое, магнитное и др.), или для более глубокой очистки применяются комбинации этил полей. Для расчета подобных процессов важным параметром является скорость гравитационного осаждения частиц, определяемая характером суммарного действия сил разной природы на частицу и зависящая от числа Е^ и физико-химических свойств среды и частиц (разности плотностей частицы и среды Др, вязкости среды V, поверхностного натяжения), формы и размеров частиц [], 3-5].

Решение данной проблемы достаточно известно для малых чисел Ие^, и сложности возникают лишь при умеренных и больших числах Ве^ это связано со сложностью обтекания частицы (отрыв пограничного слоя с поверхности частицы, кризис сопротивления, турбулиэация следа и т. д.) [9,10]. Движение единичной частицы в силовом поле при медленном течении среды с учетом присоединенной массы, силы веса с поправкой насилу Архимеда и силы сопротивления описывается уравнением [1,3,4,13]

■Ч ¿Р р

л 4 "а^+р 1

где V - общая скорость осаждения частиц, м/с; С0 - коэффициент сопротивления частиц.

В установившемся состоянии это уравнение преобразуется к более простому виду [ 1,9, ] 3]:

к--И К-17)'

, .и

Ш

±в

J/N

(5)

Очевидно, данная формула в пределах допустимой погрешности пригодна лишь для Ие^ < 10*. Аналогичная форма выражения коэффициента сопротивления использована для капель и газовых пузырей в [10, 14] для области Ке, < 100.

а

Окончательно с использованием (4) и (5) для скорости осаждения в работах [13,15] получено выражение

1

\в

(э в)

А

В)

(6)

экспериментальными данными по осаждению твердых сферических частиц позволило определить коэффициенты, входящие в это уравнение: А = 30,6; В = 0,37; л = 2 [ 16]; А = 23,2; В = 0,4; п = 2 [ 17]; А = 21,4; В = 0,36; п = 2 [18]; А = 24,0-66,0; В = 0,4-0,7; п = 0,98-2 [19].

Следующей формулой скорости осаждения твердых сферических частиц является выражение [13, 15,20-22]:

мч

3 В

4 Дрщ

''Р"^' (4)

где ч}1 - скорость гравитационного осаждения частиц, м/с.

Коэффициент сопротивления С0 для различных областей изменения числа Ие^ для твердых частиц и деформируемых капель можно найти в работах [9-14], В частном случае, если Кей < 1 (Ср = 24/Ие.,), из уравнения (4) можно получить известное выражение для скорости стоксового осаждения мелкодисперсных частиц: и = т^ (£- ускорение свободного падения, м/с3). В [13,15] для решения проблемы осаждения твердых сферических частиц коэффициент сопротивления принят в виде

Здесь а = (Др£/ р,^) я. Сравнение с различными

(7)

Значения коэффициентов, входящих в это уравнение, следующие: А = 26,2; В = 1,91; п = 2 [20]; А = 24,0; В = 4/9; п = 2,0 [21 ]; А = 24,0; В = 0,44; п = 2,22 [22]; А = 32-, В = 0,33; п = 2,0 [23]. Относительная ошибка для (8) и (9) составляет порядка -6,36-7,02 %. Следует отметить, что в зависимости от характера выражения Са (Е1е^ для различных областей изменения числа Ие^ уравнение (4) приемлемо для описания скорости осаждения единичных твердых сферических частиц [24-29], а также с некоторыми изменениями - для цилиндрических частиц [30, 31]. В литературных источниках часто встречаются более сложные формулировки для коэффициента сопротивления [26,28, 32,33], охватывающие широкий диапазон изменения числа 106, для чего вывод выражения скорости осаждения твердых частиц в ясной форме невозможен. В таком случае скорость осаждения необходимо вычислять численным путем решения трансцендентного уравнения при помощи экспериментальных данных.

Осаждение из высококонцентрированного дисперсного потока. В практике поли дисперсные системы часто характеризуются высокой концентрацией частиц и сопровождаются взаимодействием и коагуляцией частиц, а также образованием агломератов. Во время осаждения частиц из потока под действием сил тяжести более типичной проблемой считается гравитационная коагуляция [2, 13, 34], т. е. захват крупными частицами малых при их движении.

Необходимо отметить, что взаимодействие частиц происходит, если расстояние между ними 1т ~ 80 яфс / Сж [5] (Си - массовая концентрация частиц, г/м3) меньше, чем размеры частиц. В работах [13, 16, 35-37] рассматривается полный анализ осаждения твердых частиц сферических форм, описывающих скорость их осаждения (стесненного), сущность которых объясняется формулой Ричардсона-Заки [38]

уо^-^Г, (8)

с разными эмпирическими отклонениями, связанными с зависимостью параметра л от некоторых параметров (объемной доли, размерности частиц и т. д.), а также уравнениями Хаппеля и Кувабары [4, 39]. С использованием некоторых эмпирических зависимостей в итоге для скорости осаждения (стесненного) частиц можно сформулировать

в/р^^Д), (9)

где ^ (ф. я) - характеризующая функция влияния параметров среды и размеров на стесненное движение, что описывается следующими различными эмпирическими зависимостями [4, 13, 34, 37, 38,40]:

^ (ф) = * = К 3 -1,9; = {1Ф < 0,4;

Ф)-(1-Ф)" »(,). ■«(*)- ('-*)"'^ ч

где ф - объемная доля частиц в потоке; тц - эффективная вязкость суспензий, кг/(м х с).

Последние выражения являются поправками Хаппеля и Кувабары [4, 39] к скорости осаждения. Несмотря на то, что все указанные зависимости существенно отличаются между собой, ил значения находятся в пределах О < Ё, (<р) < 1. В работах [4,38] проводится более подробный анализ функции £ (ф, а) и излагаются возможные причины отклонения ее теоретических и экспериментальных данных. Вероятно, эти причины обуславливаются формированием агрегатов и искажением поперечной однородности распределения частиц при коагуляции, зависимостью рассматриваемой функции от свойств среды и частиц и размеров частиц. Существование ряда формул по определению функции (ф, а), влияющей на стесненность осаждения частиц, не позволят утвердить факт наилучшего совпадения приведенных формул с экспериментальными данными. В литературных источниках нередко встречаются экспериментальные исследования по стесненному осаждению, из числа которых необходимо выделить работы [13, 41 ], где приводятся данные экспериментов для скорости осаждения различных твердых частиц из потока (рис. ]), которые подлежат удовлетворительной аппроксимации выражением (8). Следует отметить, что нижний и верхний предел распределения данных экспериментов описываются формулировками типа (8), т. е, кривая 1 соответствует п = 3 - 0,9 фпи, а кривая ]-п = 1.С учетом этих формулировок среднестатистическая кривая осаждения частиц характеризуется также выражением (8) при п = ],75 -1,25 ф3,5 (на рис. ] указанная кривая соответствует цифре 2).

Vpll)s

Рису ног 1. Скорость стесненного осаждения разных частиц: а, 6, в. г - частицы стеклянные с размерами а = 0,35; 0,5; 1,85; 3,0 мм соответственно; д - частицы полимерные, a = 2,4 мм; е - частицы антрацитные, a = 1,32 мм: ж - частицы свинцовые, a = 2,4 мм; з, и - частицы песка с размерами a = 0,22 мм и а = D,32 мм соответственно; к - частицы гравия, a = 2,4 мм; 1 - верхним предел экспериментальных знамен™; 2 - кривая, рассчитанная по выражена л = 1,75 - 1,25 (р8*5; 3 - нижний предел экспериментальных значений.

Figure 1. The speed of constrained deposition of different particles, a, b, c, d - glass particles with sizes respectively, а = 0,35; 0,5; 1,85; 3,0 mm; e - polymer particles, □ = 2,4 mm; f - anthracite particles, a = 1,32 mm; g - lead particles, a = 2,4 mm; h, i - sand particles with sizes respectively, a = 0,22 mm and a = 0,32 mm; j - particles of gravel, □ = 2,4 mm; 1 - upper limit of experimental values; 2 - curve calculated by expressions n = 1,75 - 1,25 3 - lower limit of experimental values.

Зависимость показателя п от размеров частиц при использовании данных экспериментов [14,42] можно изложить б виде (рис. 2)

я = (о, 049 + 0,07flJ у4" (10)

с коэффициентом корреляции, равным г1 ^ 0,95. Как видно из рис. 1, существенный разброс экспериментальных данных характерен для области ф> 0,8, где суспензия имеет высокую эффективную вязкость.

Экспериментальные исследования подтверждают, что при большей плотности частиц обнаруживается большая ошибка расхождения между расчетными и экспериментальными значениями скорости осаждения. Это характеризуется высоким значением л, что зависит от плотности частиц, эффективной вязкости среды, числа Архимеда Ai и т. д. Рост концентрации частиц приводит к увеличению эффективной вязкости и определяется при помощи полуэмпирического выражения Муни [4,8] в виде

± = J * "

где ^ = 2,5; 0,75 < 1,5. Эффективную вязкость дисперсной системы с объемным содержанием твердых сферических частиц ф можно также определить по предлагаемой нами формуле [44]

П 3

— = 1 + 2,5ф + — ф ехр

(

шф

(п)

где т = 22 + 0,033 а, а - размер частиц, мкм; ф_- концентрация частиц при максимальной упаковке ф^ = 0,74. На рис. 3 представлено сравнение экспериментальных данных и расчетных значений зависимости относительной вязкости от объемной доли и размеров частиц [44].

Множество экспериментальных данных для вычисления я в зависимости от размера частиц, плотности и вязкости среды, предложенные в работах [37,38,42,43], слишком разбросаны и трудно поддаются какому-либо математическому описанию. Достаточно большое количество эмпирических формул и экспериментальных данных по определению скорости осаждения твердых сферических частиц в жидкой среде приведены также в работах [9, 17, 18, 27, 45, 46] дтя области изменения числа 2 х 10" < 3 х 104, где коэффициент сопротивления принимается равным С0 0,44. Большой разброс экспериментальных данных по осаждению твердых частиц, приведенных в литературе, не позволяет однозначно указать на конкретное описание процессов для большой области изменения числа Ке^, удовлетворяющей какой-либо закономерности (кроме стоксовых частиц), хотя в практических расчетах принимаются некоторые модификации приведенных формул введением эмпиризма дтя конкретных приложений.

Осаждение частиц в изотропном турбулентном потоке. На осаждение частиц значительное влияние оказывает турбулентность потока, причем это влияние ощутимо в зависимости от соотношения размеров частиц и масштаба турбулентных пульсаций. Если размеры частиц больше или сравнимы с колмогоровским масштабом турбулентности (и > то поведение частиц характеризуется турбулентным блужданием, что увеличивает вероятность столкновения, коагуляции и скорость осаждения. Теоретические и экспериментальные вопросы гравитационного осаждения аэрозольных частиц из объема с малой концентрацией в изотропном турбулентном потоке рассмотрены в работах [8,47-54]. Статистические модели движения, осаждения частиц и теплопереноса в изотропном турбулентном потоке с постоянным градиентом температуры рассмотрены в работах [54,55]. Следует отметить, что в изотропном турбулентном потоке, если размер частиц меньше масштаба турбулентных пульсаций я < \ = , то такие частицы, дтя которых —> I, следуют за любыми пульсациями. Для случая а < \ и малой концентрации ф « 1, согласно принципам гидродинамической аналоги и и подобия, можно написать

^ ' (12) где и. - Колмогоровский масштаб скорости; в - скорость турбулентных пульсаций, равная = тл масшта-

ба а.., тл = \IUí = - временной масштаб турбулентности или период турбулентных пульсаций масштаба Х^.

цр. - скорость осаждения стоксовых частиц. Тогда для скорости осаждения частиц в изотропном турбулентном потоке можно написать

V т.

( \ Е1

7-?

(13)

Это уравнение можно также переписать в виде

V 1 р

Я ре

F

Ы" (e,v.)

ft J

п

Рисунок 2. Зависимость показателя п от размера частиц: а - [42] 6 -[43]; а-[41]. Figure 2. The dependence of the indicator n from the particle size: a - [42]; b - [43]; с - [41].

ц.'цс

Рису но г 3. Зависимость вязкости дисперсной системы от объемной доли твердых сферических частиц с размерами: 1-0,1 ^м: 2 - D,5 ^im; 3 -1 им; 4 -1,5 рм: сплошные кривые - расчет го формуле (11).

Figure 3. Dependence of itie viscosity of a disperse system on the volume fraction of solid spherical particles of sizes. 1-0.1 ^im; 2-0.5 (inn; 3-1 ^im; 4 - 13 ^im; solid curves - calculated by the formula (11).

Для малых концентраций и размеров частиц аналогичное уравнение предложено в работе [47, 43] для скорости гравитационного осаждения капель в изотропном турбулентном потоке в виде

I/,

= StL

/ V

I

V ft,

(14)

где = т^ / т, - число Сгокса для турбулентного потока. Сравнение этого выражения с экспериментальными данными в области 24,5 < Е^ < 42,7; 0,92 < < 3,2 и 0,435 < А. < 0,606 дает достаточно удовлетворительную относительную ошибку -6-3 %. Сравнивая со скоростью осаждения в ламинарном потоке = I р^., можно отметить, что время

релаксации для частиц в изотропном турбулентном потоке можно определить в ви де = (. Следовательно, для мелкодисперсных частиц, размер которых менее масштаба турбулентных пульсаций, скорость осаждения частицы будет зависеть от интенсивности турбулентных пульсаций, мерой которой является диссипация турбулентной энергии и характеризоваться беспорядочным движением частиц вместе с несущими их пульсационными молями.

При малых интенсивностях турбулентности и небольших числах турбулентность незначительно увеличивает сопротивление движению частиц и, наоборот, при высокой интенсивности турбулентность уменьшает сопротивление, благодаря сужению следа за частицей и резкому уменьшению коэффициента сопротивления, тем самым увеличивает скорость осаждения. Осаждение крупных частиц, обладающих большими скоростями в турбулентном потоке, характеризуется тем, что эти частицы не остаются внутри исходного моля жидкости, а покидают его, двигаясь вниз под действием силы веса и пересекают множество других молей [3,5]. Увеличение интенсивности турбулентности способствует росту вероятности столкновения и укрупнения частиц, что является положительным эффектом для процессов разделения и расслоения полидисперсных систем. Явления коагуляции и дробления частиц по-разному влияют на скорость стесненного осаждения в горизонтальных и вертикальных потоках. В вертикальных потоках поли дисперсность частиц обуславливает их расслаивание по высоте, тем самым меняя скорость их осаждения по высоте. В турбулентном потоке размеры частиц оказывают существенное влияние на время релаксации тр, и, учитывая, что степень увлечения

частиц пульсирующей средой - [4], с увеличением труменьшается увлечение частиц средой, что способствует росту скорости их осаждения.

В заключение отметим, что расчет скорости свободного осаждения в турбулентном потоке численными методами приведен во многих работах [56, 57]. Отметим, что обычно использование численных методов решения связано: а) с нелинейным характером задачи, вытекающим из нелинейности коэффициента сопротивления частиц для широкой области изменения числа Ие^ [26, 56]; б) с необходимостью учета параметров турбулентного потока, характера распределения по сечению поперечных параметров скорости, энергии диссипации, коэффициента турбулентной диффузии и т. д. [55]; в) с учетом агрегативной неустойчивости поли дисперсной среды и термофоретических и других видов миграций частиц. Важно отметить, что полученные численные решения, хотя и сравнительно более точно отражают картину осаждения, но они из-за сложности самих уравнений не всегда пригодны для практических расчетов широкого класса задач химической технологии, связанных с осаждением частиц и разделением дисперсной системы.

Осаждение и ксплытис капель и пузырей. Проблемы всплытия (р„ < р:) и осаждения > ркапель и пузырей в химической технологии характерны для разделения эмульсий, для абсорбции газов в колонных аппаратах, для жидкостной экстракции, для расслоения двухфазной жидкости и т. д. Процессы разделения и осаждения деформируемых частиц (капли, пузыри) в принципе существенно отличаются от оседания твердых частиц тем, что:

а) калл и и пузыри в определенных условиях подвергаются деформации в гравитационном и электрическом полях, тем самым меняя форму и характер сопротивления [2-4, 9, 53-62]. В работе [12] предложена следующая зависимость коэффициента сопротивления капель и пузырей с учетом их деформации;

16 Rie,

Г Т1

1 +

{l, 3S5 ^

8

+ —

Re' Mo

В

ГТ73

3 2.4(1 +Mo") + Ве^Ыо"

(15)

Уравнение (15) удовлетворяет условиям Red< 100, Mo < 7, при Rerf< 1,385 второй член становится незначительным, и в этом случае можно воспользоваться выражениями (5)-{7) для вычисления скорости осаждения или всплытия капель и пузырей. Как показывают многочисленные экспериментальные данные по исследованию поведения капель и пузырьков, их деформация зависит от чисел Red, Mo и We. Второй член в уравнении (15) характеризует зависимость коэффициента сопротивления капли и пузырька от их деформации в зависимости от значений чисел ЕЦ,иМо,тем самым оказывая тормозящий эффект на их осаждение или всплытие;

б) жидкость, обтекающая каплю и пузырь, инициирует, вследствие трения, циркуляцию внутренней жидкости, из которой состоит капля, причем этот эффект будет зависеть от безразмерного параметра у = ц/ц, представляющего собой отношение динамической вязкости внутренней жидкости к динамической вязкости внешней жидкости и выражающего степень подвижности поверхности (у - отношение динамической вязкости частиц к динамической вязкости среды; т|с, тц - динамические вязкости среды и частиц, кгДм х с)). Естественно, у —► 0 для газовых пузырей в жидкой среде. При медленном течении среды для Red « 1 скорость осаждения сферической капли в чистой жидкости выражается формулой Адам ара-Рыбч и некого [2-4,9,44,63]:

2 AçgK I + Y

ТГ =_----.

9 * (16)

Из этого выражения нетрудно получить уравнение для всплытия пузырей малых размеров (у 0, Др р^:

I аК

(17)

Если число Во < ] 3, то коэффициент сопротивления пузырей можно выразить как [10, 12]: Сд=; 0,568 Во1'2, подставляя которое в выражение (4), получим скорость всплытия пузырька (рЛ « рс>Др = р;)

* (I»)

где К - капиллярное число, К= (оДр^))"1. Для числа Во > 40 коэффициент сопротивления стабилизируется на уровне С0 гЗД, Используя выражение (18) для скорости всплытия пузырей в виде «сферических колпачков*, получим

т

где flf - эквивалентный диаметр пузыря, соответствующий радиусу кривизны сферической части колпачка;

в) осаждение капель и всплытие пузырей (у 0) в концентрированных потоках сопровождается их столкновением, коалесценцией: (слиянием) и дроблением [2,44, 59-61, 64], что существенно меняет спектр размеров и характер движения частиц. Сущность процессов коалесценции и дробления капель и пузырей состоит в потере arpe гати в ной, а в некоторых случаях и в повышении оедиментационной устойчивости дисперсной системы под действием внешних сил или же самопроизвольно из-за стремления уменьшить избыточную поверхностную энергию (для крупных капель). Дробление капель и пузырей, необходимое для увеличения межфазной поверхности, достаточно широко используется в массообменных процессах жидкостной экстракции, абсорбции, в газожидкостных реакторах, в процессах распыления и горения и т. д., тем самым существенно снижая скорость осаждения или всплытия;

г) осаждение капель сопровождается различными побочными факторами, такими как эффект Маран гон и [44,6567], создающий дополнительные термокапиллярные и конвективные течения на поверхности капель за счет разницы температуры и поверхностного натяжения в различных точках поверхности капель. Эффект Марангони существенно меняет циркуляционное течение жидкости внутри капли, создавая определенный хаос в течении в результате образования множества локальных конвективных потоков на поверхности, проникающих в глубь объема капли, и оказывает тормозящее влияние на скорость осаждения [2].

В работах [Э, 12,44,68] предложены эмпирические формулы для вычисления скорости всплытия пузыря в жидкой среде в виде кусочной аппроксимации

0,]Э

К PcJ

1,4 < Re < 500;v =1,74

<t. V

f A ^

Др S—fl Pe

, Rea > 500.

(20)

Кроме приведенных формул для вычисления скорости осаждения или всплытия (16)-(20), в работе [69] предложена кусочная аппроксимация скорости всплытия пузырьков для большой области изменения чисел Ке^, Мо:

^ = х(Ас,Мо,йа)

/

Др

Pe J

(21)

Приняв число Аг = Ас^Мо, уравнения для вычисления функции % в (21), учитывающие влияние отношения вязко-

стей капли и среды у = т^т], а также влияние чисел Мо, Ас, We или деформацию капель, можно свести в таблицу [44],

{ ■ чИ

где £ =

аДр

В частности, скорость всплытия пузырей в различных жидкостях с использованием (21), выражений, приведенных в таблице, и экспериментальных данных [62] предложена в виде [12,44]:

(9fl£ip/2pt У rtJ'~Mo U ] + у

. , и . ш

I + + к, а

1 + 3/2у

, 9 10 < Mo<78,Re„ <3 10

ka = 0,2 (О, ] + Мо™)^ = (0,02 + 5Моиь)"'

(22)

Формулы для вычисления >;. Formulas for calculation X-

Быражения для определения x

Условия

X = 2Аг -= 2Ас Mo -

6+9 у

3

6 + 9 V

• " Л -if*., «

X = — Ar = — Ас Mo

X-1,4

3 -,-s«

Re, < 1, Ar < 4,5

4,5 < Ar < 100

Ar >■ 2000]

I

К

Ar:

к J ,— <1,5 К

V к у -Î.B К

l'p, CMi'C

Рисунок 4. Скорость асглытнл пузырей в различных средах в зависимости от их размеров и числа Мо (точки - эксперимент [62]). равных: а - Э я 10"7; 6 - ИГ+ в - 9 я 10J; г - 0,023; д - 1,4; е - 7,D; ж - 78,0.

Figure 4. The rate of ascent of bubbles In different environments, depending on their size and number (points - experiment [62]). equal to. a - 9 к 1D"7; b - 1DJ; c-9 * ИГ+ d - 0,023; e -1,4; f - 7,D; g - 78,0.

На рис. 4 приведены расчетные данные по формуле (22) и экспериментальные значения скорости всплытия пузырей [44, 62] в различных жидкостях (дтя разных чисел 1Чо). Как следует из экспериментальных данных по всплытию частиц - (рис. 4) и формула (21)-, влияние числа Мо на скорость всплытия пузырей существенно лишь при его малых значениях Мо « I. Как следует из экспериментальных данных и уравнения (22), для больших значений числа 1,4 < Мо < 78 скорость всплытия пузырей подчиняется закону Сгокса и пропорциональна -я2, с уменьшением числа Мо <9х 1(Н скорость всплытия пропорциональна-л5'1, а при значениях числа Мо < 1(Н пропорциональна ~я-|/3, что соответствует формулам, приведенным в таблице.

Для большой области изменения размеров воздушных пузырей их всплытие в водной среде с использованием экспериментальных данных [3,68] можно описать уравнением

(9я£Др / 2р У~ я^Мо"1" г -,

I + 1,2ß + 4550 я

(23)

г'цд, СМ,'С

Рисунок 5. Сравнение расчетной скорости всплытия пузырька воздуха с экспериментальными данными [3. 68]. Figure 5. Comparison of the estimated rate of ascent of the air bubble with experimental data [3, 68].

/ \ -g—

где можно принять pc J для системы воздух-вода. На рис. 5 приведено сравнение расчетных (23) и экспериментальных значений скорости всплытия [3, 44, 69]. Как следует из формулы (23), при весьма малых значениях числа Мо (в частности, для воды Mo s3xl0"") скорость всплытия пузырей больших размеров пропорциональна -iяТаким образом, можно положить, что зависимость показателя степени размера частицы в уравнении для скорости всплытия пузырей от числа Мо следующая: Мо-1М. Этот показатель не будет зависеть от числа Мо для тех жидкостей, значение числа Мо которых около 3 х 107,

Как следует из рис. 5, с увеличением значения числа Мо область деформации пузырей смещается в сторону их больших размеров. На рис. 5 обозначено: I - область ламинарного течения, где форма пузырька сферическая; П- промежуточная область, где форма пузырька близка к овалу или эллипсоиду; III - турбулентное течение, где пузырьки деформируются до сферических колпачков.

При течении в вертикальных каналах при больших значениях А. на скорость всплытия пузырьков оказывает влияние стенка трубы. При X =; ] движение пузырька характеризуется «поршневым» режимом всплытия, а при X « ] влияние стенки становится пренебрежимо малым. В работах [9, 44, 70,71] эффект стенки при осаждении капель учитывается следующим образом:

v

5=

где v^ - скорость осаждения без влияния стенки, причем А < 0,06; Re < 0,1; А. < 0,08 + 0,02 log Re; 0,] < Re < 100-Д < 0,12; Re> 10,

Как следует из выражений (22) и (23), для широкой области изменения числа Red или большой области изменения размеров частиц возникает необходимость использования эмпирического подхода, позволяющая в пределах допустимой точности удовлетворительно описать всю область. Это вызвано тем, что наличие различных ситуаций обтекания капли с ростом числа Rerf и размеров частиц определяет сложный характер кривой сопротивления, что также отражается на скорости всплытия и осаждения. В связи с этим для охвата большой области изменения числа Red наиболее эффективным является описание кривой сопротивления различными рядами [10-12]. В отличие от кусочной аппроксимации скорости всплытия (20) и (21), формулы, использующие определенные алпроксимационные ряды, могут единым выражением описывать большую область изменения числа Re^.

Осаждение частиц в трубах и каналах из изотропного потока. Характер осаждения частиц из пол и дисперсного турбулентного потока существенно отличается от свободного осаждения их из объема. Как отмечено в работе [5], при

осаждении аэрозольных частиц на стенках труб и каналов различают следующие механизмы и модели: а) свободно-инерционные, основу которых составляет принцип свободного инерционного выброса частиц к стенке; б) подьемно-ми-грационные, связывающие осаждение частиц с их подъемной миграцией (эффект Магнуса); в) конвективно-инерционные, которые связывают скорость осаждения частиц с инерционными эффектами; г) эффективно-диффузионные; д) турбулентно-миграционные, где в качестве движущей силы осаждения рассматривается турбулентная миграция частиц к стенке и т д. В работе [5] приводится большое количество экспериментальных исследований по осаждению аэрозольных частиц, проведенных как самим автором, так и заимствованных из литературных источников. Здесь следует отметить работы [6-3, 40], где модели осаждения частиц построены на основе м и грационно-гравитационного механизма, учитывающего диффузионную и гравитационную составляющие миграции частиц.

Осаждение в вертика льных трубах и каналах из турбулентного потока. Основу осаждения частиц из турбулентного потока в вертикальных трубах и каналах при незначительности гравитационной составляющей составляет турбулентный перенос частиц к поверхности стенки из потока, осложненных силами поперечной миграции. В связи с этим при решении этой задачи важную роль играют распределение поперечной пульсационной скорости потока ч/ и коэффициент турбулентной диффузии. В работах [7, 44] на основе использования экспериментальных измерений [70-82] выражения для распределения поперечной пульсационной скорости и распределения коэффициента турбулентной диффузии по сечению канала представлены в виде (4* 101 < Ие < 5 х 104):

— = 0,72[l -езф(-б, 25г ) + 4,46 г"ехр (-7.49 г^)];

(24)

D

vLRe.

= 0,275 Re

1 [l - exp (-3.73 rt) + 0,95 r exp (-9,765r' )],

(25)

где r. = yjR {у - расстояние до стенки трубы с радиусом Д), Ret = 2(7jyvt. Как следует из рис. 6, значение пульсационной скорости потока достигает максимума при г, = 0,15, где ч/ = 0,85{/., и при г. -> 1, dv'idr —» 0 принимает установившееся значение в ядре потока, равное и' к 0,72 LT.

Из выражений (3) и (25) следует, что коэффициент турбулентной диффузии частиц зависит от значения поперечной пульсационной скорости в квадратичной форме и достигает максимума вблизи стенки при г, = 0,4. Значение коэффициента турбулентной диффузии частиц в области развитой турбулентности, т. е. в центре канала, можно оценить по выражению

lim D „ = 0,275 и v Re te-"5 —

Ч--Ч

(26)

В работе [7] дтя оценки степени увлечения капель воды турбулентным потоком воздуха при течении в вертикальных трубах предложены эмпирические уравнения, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными, в виде

— = tt, =0,023 у (U.) D

LК

V а

<5;

v.

— = Ц =0,054 D '

, Re. >

(27)

где 1)у (и.) = 1 + 0,786 -10"" и*.. В литературе имеется множество эмпирических формул, описывающих скорость осаждения аэрозольных частиц в вертикальных трубах, сводящихся к выражению вида

Ат\

(28)

где ч> г = -и^Щ,, т. = / - безразмерное время релаксации; А - некоторый коэффициент, А = 5,3 х 10 * [82], т <с 5,5; А = 4,67 * 1(Н[84], Г^ < $ А = 2,8 х ПН [84]; А = 6,0 х 1<И [85], т# < 10; А = 3,25 х 104 [86], тг < ] 2. В работе [5] предложена модель осаждения в виде

v. =7,25 10

I +шт

i/IU'

Рису ног 6. Сравнение экспериментального распределения поперечной пульсациониой скорости [27, 2ft, 44] с расчетными значениями (2D).

Figure S. Comparison of the experimental distribution of the transverse pulsation velocity [27, 28, 44] with the calculated values (20|.

С учетом изложенных рассуждений, допускающих влияние поперечной скорости турбулентного переноса и турбулентного диффузии, в работах [б, 53, 87] предложено следующее уравнение распределения частиц в вертикальной трубе;

ар

до 1 3 ( ёр \

*'iT7 »P-ïr-»'-1

3r

= 0.

(29)

где г - текущий радиус частицы, мм.

Для упрощения аналитического решения коэффициенты диффузии частиц для изотропного турбулентного потока в (29) приняты в виде (3),т. е, приняты постоянными по сечению трубы. Из решения этого уравнения поток частиц к внутренней поверхности трубы можно определить в виде [44]:

Ф|

дг

(30)

а скорость осаждения частиц на поверхности в виде

Г5 „-0

2

' pV

F

(31)

е

Здесь 1 | 1 - лагранжев масштаб турбулентности,^-лафанжев временной коэффициент корреляции;

- собственные числа уравнения, I - коэффициент, определяемый экспериментально. Поскольку ряд быстро сходится, то достаточно ограничиться тремя членами и, введя безразмерные величины щ # = ъ^и, и т^ = ГрО'/ выражение (31) упростим и приведем к виду [44]

(32)

где

А=К

U.

g г ч!/3/ '

,f = 0,1.2,...

- коэффициенты ряда. С использованием экспериментальных исследований [44, 82, 85,87-89] посвященных осаждению аэрозольных частиц из турбулентного газового потока.

коэффициенты, входящие в выражение (32), оцениваются как: А0 = 0,20, А, 0,00]; А2 0,202 им^З« 10э, т1 0,012. Второй член в уравнении (32) значим для области < ^ < 101 и характеризует осаждение субмикронных частиц, для которых —К —> 0. На рис. 7 приведено сравнение экспериментальных данных [5,44,39], заимствованных из исследований различных авторов для Т, > 10^, скорости осаждения аэрозольных частиц (и = 0,1 -2,04 мкм) с ее расчетными значениями (32).

Как показывают расчетные и экспериментальные исследования рис. 7, относительная скорость осаждения частиц устанавливается при >16,6 и определяется как

(м

и- (33)

При малых значениях Ю 1 < ^т* « 1 выражение (32) упрощается и приводится к виду -2,4 М^^т', совпадающему с выражением (28). При осаждении мелкодисперсных частиц из турбулентного потока жидкости воспользуемся следующей формулой скорости осаждения [7,44,53]:

», - к

V4"

V

(34)

Как следует из уравнения (34), скорость осаждения из турбулентного потока жидкой среды на вертикальной поверхности, кроме прочих параметров, обратно пропорциональна вязкости среды v".

Кроме перечисленных исследований, теоретическому и экспериментальному исследованию процессов осаждения аэрозольных частиц на внутренней поверхности вертикальных труб посвящены работы [83, 90, 91], где также предложены множество эмпирических формул для скорости осаждения, а в работе [93] предложено стохастическое моделирование осаждения в турбулентном потоке. Большинство экспериментальных данных, имеющихся в литературе, характеризуются существенным разбросом [82,85,88-91], не подчиняющимся детерминированному описанию.

Осаждение частиц в горизонтальных каналах. В отличие от вертикальных каналов, скорость осаждения в горизонтальных каналах наряду с диффузионным переносом существенно зависит от гравитационной составляющей, которая повышает скорость осаждения на донную часть трубы и уменьшает на верхнюю потолочную часть. Это создает несимметричную картину сечения отложившегося слоя частиц.

В работах [44,93,94] поток частиц на внутреннюю поверхность горизонтальной трубы представлен эмпирическими выражениями

/ (ч<) = К [l + Ю ехр[2 (cos у - |)]];

/(*)=*; *) ™р[в(®, )(«»*-!)]■

где Б -коэффициенты, определяемые на основе экспериментальных данных.

Экспериментальному исследованию процессов осаждения частиц на внутренней поверхности горизонтальных труб посвящены работы [95,96], экспериментально подтверждающие несимметричность сечения отложившегося слоя частиц. В работах [6,8] уравнение для скорости осаждения частиц в горизонтальных трубах для случая пренебрежения диффузионным переносом предложено в виде

II Л, , .

+17 (<&'- ) - Pdcos У = 0,

д1 а^1

(35)

где Е = - постоянная времени; у - угол, рассчитываемый с донной части трубы, рад. В результате решения уравнения (35) в первом приближении получено следующее выражение:

(3«)

где = у + и\ а, = 21/' / (+ и'), и1 - среднеквадратичная скорость, м/с.

Используя экспериментальные данные [79, 80], эти коэффициенты выразим в виде эмпирических зависимостей, зависящих от времени релаксации, динамической скорости потока и числа Е1е [6, 8]. Поток частиц на внутреннюю поверхность горизонтальной трубы определяется как [6, 53]

Рисунок Т. Сравнение расчетных значении безразмерной скорости осджцения частиц (27) с экспериментальными данными: а _ [43]; 6 - [460; в - [49]; г - [5,49]; д - [Б8].

Figure 7. Comparison of calculated values of the dimension less particle deposition rate (27) with experimental data, a -[43]; b - [46": с - [49]; d -[5, 49]; e-[B8]_

Vp, С м/с

0 30 60 90 120 150 180 V*

Рисунок 6. Сравнение распределения скорости осаждения частиц в горизонтальном канале по его сечению при динамической скорости потока: а - U. = 103 с м/с; 6 - 87,9 смУс; в - 68 см/с; г - 23,7 с м/t.

Figure S. Comparison of the distribution of the deposition rate of particles in a horizontal channel along its cross section at a dynamic flow rate. a-U.= 10Б sm/s; b - 87,9 sm/s; с - 66 sm/s; d - 28,7 sm/s.

(Е.К) Р.*)Р. (37)

На рис. 8 приведено сравнение распределения скорости осаждения (36) в горизонтальной трубе диаметром = 10-20 см с экспериментальными данными [44,96] по осаждению твердых частиц цинка (р^, = 7140 кг/м1, я = 1,69 мкм} и частиц вольфрама (р^ = 1730 кг/м3, я = 1,46; 2,04 мкм) по сечению трубы в пределах 0 < у < 130° дтя различных значений динамической скорости потока. Как следует из рис. 8, в донной части трубы скорость осаждения частиц для всех значений динамической скорости потока выше, чем дтя у > 0. При больших значениях скорости потока (воздуха) скорость турбулентного осаждения почти постоянна (а) и (б) и лишь незначительно уменьшается при цг > 120°. Возможно, это связано с увеличением скорости конвективного уноса частиц турбулентным потоком.

При малых значениях скорости потока снижение скорости турбулентного осаждения начинается при у < 30°, Следует отметить, что для крупнодисперсных частиц скорость гравитационного осаждения больше, чем скорость турбулентного переноса. Наконец отметим, что на скорость осаждения частиц из турбулентного потока существенно влияет качество поверхности труб (шероховатость) [7,44,97].

Осаждение и образование плотного слоя частиц на внутренней поверхности труб и его клиянис на тепломас-сонерснос. iMHorne процессы в химической технологии, протекающие в трубчатых аппаратах (теплообменники, конденсаторы, транспортные трубы, трубчатые печи, гомогенные трубчатые реакторы и т. д.) [89-100], сопровождаются осаждением и прилипанием различного рода частиц-примесей к стенке и образованием плотного неоднородного слоя на внутренней поверхности трубы с определенной шероховатостью поверхности. Примером таких образований являются параф инистые отложения в трубах при транспорте нефти, образование и отложение льда в трубах при транспортировке природного газа, отложение кокса в трубчатых гомогенных реакторах пиролиза и нагревательных печах, отложение кристаллов минеральных солей на поверхности труб конденсаторов-холодильников, отложение различных частиц в трубах теплообменников и т. д. Следует отметить, что образование на поверхности плотного слоя толщиной 5 (í) (где 5 - толщина отложений, м; t - время, с), растущего со временем протекания процесса и характеризующегося низкой теплопроводностью по сравнению со стенкой трубы, существенно влияет и изменяет параметры массо- и те-плопереноса и гидродинамики течения [101] ив целом создает нестационарные условия протекания всего процесса. Такое осаждение для технологических процессов является вынужденным, что приводит к увеличению энергетических и материальных затрат на проведение процесса.

Образование плотного слоя на поверхности труб осуществляется следующими путями: а) непосредственным осаждением различных частиц из объема потока за счет миграционно-гравитационного механизма; б) путем переноса веществ к пограничному слою и последующим протеканием различных химических и физических процессов непосредственно на поверхности с дальнейшим прилипанием продуктов реакции к поверхности стенки. Это относится к химическому образованию кокса на внутренней поверхности гомогенных трубчатых печей и реакторов, образованию парафинистых отложений в трубах для транспорта нефти, к кристаллизации различных компонентов (минеральных солей) из жидкой среды на поверхности трубчатых конденсаторов и т. д. Сложная структура отложившегося слоя будет зависеть от природы и сорта частиц, от их свойств и размеров, а шероховатость поверхности слоя будет определяться размерами и формой частиц.

Образование плотного слоя частиц на тепло- и массообменных поверхностях определяется множеством факторов, среди которых важно отметить гидродинамические и термодинамические условия, реологические свойства дисперсной среды, адгезионную совместимость частиц с обтекаемой поверхностью, физико-химические превращения в пограничном слое, размеры и концентрацию частиц, ориентацию обтекаемой поверхности и т. д. [99-102]. Анализ подобных процессов показал, что отложение на внутренней поверхности труб с образованием плотного слоя частиц с низким коэффициентом теплопроводности ухудшает теплообмен с внешней средой, следствием чего является убывание коэффициентов теплоотдачи и теплопередачи. Введя безразмерную толщину отложений частиц в виде Р = 1 - 5/Д^, выразим основные параметры переноса в трубах от р, как [102]: коэффициент теплоотдачи для турбулентного течения

К ~ — 1пр"1

а/а^ р^и джя ламинарного течения а/а^ коэффициент теплопередач и - теплопроводность слоя

частиц, ВтДм х град)); скорость потока U!UÜ = p~:¡ число Re/Re0 = скорость и частота турбулентных пульсаций v-J p-1£ÍB ия/е^г: Р1£М; интенсивность турбулентности Ш0 = Р"^ масштаб турбулентных пульсаций = р1В; степень увлечения частиц пульсирующим потоком р/Р^-Р15^ коэффициент сопротивления в трубах при ламинарном = Р и турбулентном течении = р (в этих выражениях нижний индекс «0» относится к чистой трубе). Как следует из этих формул, если в случае ламинарного течения рост толщины отложений в трубах приводит к гидродинамической неустойчивости, то для турбулентного течения этот же фактор -увеличение диссипации энергии, уменьшение масштаба турбулентности и связанный с этим - затухание интенсивности турбулентности. Как отмечено в работах [103, 104], рост толщины отложений в трубах со временем уменьшает в определенной степени скорость осаждения частиц, поскольку с увеличением скорости основного потока растет скорость отрыва и уноса частиц.

Положив, что удельная диссипация энергии в изотропном турбулентном потоке £к -U1 fdT, можно записать £í * в работе [105] отмечено, что в изотропном турбулентном потоке коэффициент массоотдачи или число

Шервуда (Sh) определяется как

{г пМ Sh = C..Sc" h?

vJ

Тогда, учитывая приведенные формулы, можно написать = Б!^"5, т. е. с ростом толщины отложений число или коэффициент массоотдачи растет. Анализ и обсуждение результатов

Рассмотренная проблема осаждения или всплытия частиц является весьма распространенным исследованием в гидродинамике течения дисперсных систем и, естественно, изложение ее в объеме одной публикации не может охватывать различные ситуации. Анализ процессов осаждения частиц позволяет выделить следующие их особенности:

1) несмотря на наличие большого количества формул для вычисления скорости осаждения и всплытия частиц (4)-(9), (13)-(19), (32)-(34) и (36), выделить и предложить единую формулу однозначно не представляется возможным, за исключением стоксовых частиц (Red « 1). Это связано с большим разбросом экспериментальных данных, с условиями обтекания частиц потоком (отрыв жидкости с поверхности частицы, турбулизация пограничного слоя и т, д.) для различных чисел Re^ непостоянством размеров и формы частиц, а также возможными физическими явлениями, состоянием и свойствами частиц и среды, приводящими к сложной зависимости коэффициента сопротивления от числа Red. Как следует из данного исследования, для скорости осаждения твердых частиц из объема можно предложить следующие формулы: (6)-{7) для Red< Ю1; (8) с поправками на стесненность осаждения и размер частиц для 2 х 101 <Red <3 х 10*; (22) для осаждения и всплытия деформируемых капель и газовых пузырей при 9 х Ш7 <Мо<78, Rerf< 3 х 10J; (31)-(32) для осаждения частиц в вертикальных и горизонтальных трубах при L0~3< it < 103;

2) в результате флуктуации концентрации частиц и их распределения в неоднородном турбулентном поле, флуктуа-ций поперечной скорости, диссипации энергии и многих других факторов процессы осаждения имеют стохастическую природу, следствием чего является большой разброс экспериментальных данных, и это требует особого эмпирического подхода к решению данной проблемы (особенно для больших областей изменения чисел Red, Mo и We). Под действием турбулентных пульсаций и перемешивания, наличия сдвига гидродинамических полей частиц и несущей турбулентной среды частицы приобретают дополнительную относительную скорость, влияющую на вероятность их столкновения, коагуляцию и скорость осаждения. Необходимость использования эмпирического моделирования к описанию процессов осаждения связана, прежде всего, с непостоянным характером гидродинамического обтекания частиц внешним потоком, что создает определенные нелинейности, не поддающиеся детерминированному описанию. Лишь разумное использование стохастических алгоритмов оценки {в том числе, алгоритмов стохастической фильтрации и аппроксимации) в условиях неопределенности статистических параметров (коэффициент корреляции или ковариации, среднее квадратическое отклонение, характер распределения ошибок и т. д.) позволяет получать определенные результаты, качественно отличающиеся от детерминированного описания. В данном исследовании приведены множество моделей (6). (7), (13), (14), (20)-(23) для среднестатистического описания процессов осаждения частиц, пригодных для практических расчетов в пределах допустимой точности;

3) исследование осаждения частиц в изотропном турбулентном потоке для различных масштабов турбулентности в трубах и каналах позволило выразить скорость осаждения через основные параметры турбулентности - удельную диссипацию энергии е„, масштаб турбулентности А. и вязкость среды vt - выражения (32), (36) и (37). Следует отметить, что в массообменных процессах с участием дисперсных частиц для интенсификации и повышения эффективности мас-сообмена необходимо, чтобы скорость осаждения или всплытия была минимальной, т. е. частицы в большей степени были во взвешенном состоянии. Это достигается путем дробления капель и пузырей до их определенной дисперсности, что увеличивает межфазную поверхность контакта. Осаждение и образование плотного слоя частиц на внутренней поверхности труб оказывает существенное влияние на все параметры переноса субстанции (массы, тепла и импульса) и на гидродинамическую устойчивость течения;

4) осаждение поли дисперсных частиц характеризуется непостоянством размеров или же функции распределения их по размерам, связанным со стесненностью осаждения, столкновением и взаимодействием частиц между собой, сопровождающимся такими физическими явлениями, как коагуляция, деформация их формы, разрушение и дробление, приводящие к эволюции спектра частиц. Влияние стесненности частиц в концентрированных потоках на скорость осаждения учитывается введением соответствующих поправок (8), (9), которые зависят от объемной доли частиц в потоке и размеров частиц.

ЛИТЕРАТУРА

1. С oui son J. M., Richandson J. F., Backhurst J. R., Hakker J. H. Chemical Engineering. Vol 2. Particle technology and Séparation Process. London; N. Y.: Butterworth Heinemann, 2002. 788 p.

2. Левич В. Г Физико-химическая гидродинамика. M.: Физматтиз, 1962.7D0 с.

3. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971. 536 с.

4. Броунштейн Б. И., Щегапев В. В. Гидродинамика, масс о- и теплообмен в колонных аппарата*. Л.: Химия, 1988.336 с.

5. Медников Е. П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. М.: Наука, 1980. 176 с.

6. Sarimeseli Д., Kelbaliyev G. Déposition of dispersed particles in isotropic turbulent flow // Journal of Dispersion Science and Technology. 2D08. №29. P 307-312. https :tfdoi .ong/10.1080Ю1932690701688839

7. Altunbaç A., Kelbaliyev G., Ceylan K. Eddy diffllisivity of particles in turbulent flow in nough channels H Journal of Aérosol Science. 20D2. № 33. P. 1075-1086. httpsJ/doi. org/10.1016/S0021 -8502(02) D0054-X

6. Sarimeseli A., Kelbaliyev G. Sédimentation of solid particles in turbulent flow in horizontal channels H Powder Technology. 2004. № 140. P 79-85. https://dai.Org/10.1016/j.powtec.2004.01.0 D3

9. CliftR., Grâce J.R., WeberM. E. Bu billes, drops and particles. N. Y.: Academic Press, 1978.38D p.

10. Келбалиев Г. И. Коэффициенты сопротивления тверды* частиц, капель и пузырей различной формы И Теоретические основы химической технологии. 2011. Т. 45, № 3. С. 264-283.

11. Ceylan К., Kelbaliyev G. A new niodel for estimation of drag force in the flow of Newtonian fluids around rigid ordefomnable particles// Powder Technology. 2001. № 119. P 25D-256. httpsJ/doi.org/10.1016/S0032-5910(01)00261-3

12. Kelbaliyev G., Ceylan K. Development of new empirical équations for estimation of drag coefficients, shape déformation and rising velocity of gas ЬиЬЫезог liquid drop//Chemical Engineering Communications. 2D07. № 194. P. 1623-1637. https://doLorg/10.1080/00986440701446128

13. Мустафаева Г. P Осащдение твердых частиц из потока суспензии В Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2017. № 1. С. 33-37.

14. Oavies C. N. Deposition from moving aerosols // Aerosol Science. 1966. London. P. 392-446.

15. Song Zhiyao, Wli Tirgting, Xu Fumin, Li Ruijie. A simple formula for predicting settling velocity of sediment particles // Waiter Science and Engineering. 2006. VoL 1, № 1_P. 37-43. https:f/doi.org/1D.1016/S1674-2370(15)3DD17-X

16. Concha F., Almendra E. R. Settling velocities of particle systems: 1. Settling velocities of individual spherical particles II International Journal of Mineral Processing. 1979. VtaL 5, №4. P. 349-367. https://doi.org/1D.1016JD301-7516(79)90044-9

17. Zigrang D. J., Sylvester N. D. An explicit equation for particle settling velocities in solid- liquid systems //AlChE Journal. 1981. Vol. 27, № 6. P. 1D43—1D44. https J/doi. org/10.1002/aic.69D270629

18. Brown P. P., LawlerD. F.. Sphere drag and settling velocity revisited // Journal of Environmental Engineering. 20D3. Vol. 129, № 3. P. 222-239. https://d0i.0rg/l0.1061 /(ASC E)D733-9372(2DD3) 129:3(222)

19. Carmenen Б. Simple and general formula for the settling velocity of particles // Journal of Hydraulic Engineering. 20D7. Vol. 133, N2 2. P. 229-233. htips ://doi.org/1 D.1D61/(ASCE)0733-9429(2007)133:2(229)

2D. Swanson V. F. The development of a formula for direct determination of free settling velocity of any size particle // Transactions, SME/AIME. 1967. VtA. 236. P. 160-166.

21. Guo J. Logarithmic matching and its applications in computational hydraulics and sediment transport//Journal of Hydraulic Research. 2D02. Vol. 40, №5. P. 555-565. https://doi.org/ia.108D/002216SD2D94999D0

22. Khan A. R., Richardson J. F. The resistance to motion of a solid sphere in a fluid // Chem. Eng. Communications. 1967. ^jI. 62, № 1-6. P. 135-150. https://d0i.0rg/l D.1D60/OD966448706912056

23. Jiménez J. A., Madsen O. S. Asimple formula to estimate settling velocity of natural sediments// Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering. 2003.™. 129, №2. P. 7D-81. https://doi.oig/1D.ia61/(ASCE)0733-950X(20D3)129:2(7D)

24. Engelund F., Hansen E. A monograph on sediment transport in alluvial streams (3rd Edition). Denmark, Copenhagen: Technical Press, 1972. 62 p.

25. Cheng N. S. Simplified settling velocity formula for sediment particle// Journal of Hydraulic Engineering. 1997. Vol. 123, N2 2. P. 149-152. https://d0i.0rg/l 0.1061 /(ASC E )D733-9429(1997)123:2(149)

26. AJmedeij J. Drag coefficient of flow around a sphere: matching asymptotically the wide trend // Powder Technology. 2DD8. Vol. 166, № 2. P. 218-223.

27. Turton R., Clark N. N. An explicit relationship to predict spherical particle terminal velocity // Powder Technology. 1987. 53, № 2. P. 127-129. https://d0i.0rg/l D.1D16/DD32-5910(67)65007-6

28. Concha F., Barrintos A. Settling velocities of particulate systems, 3. Power-series expansions for drag coefficient of a sphere and production of the settling velocity// International Journal of Mineral Processing. 198Z Vol. 9, № 2. P. 167-172. https://doi.org/1D.1016/D301-7516(82)90025-4

29. Болощук В. M., Соду нов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. П.: Гидрометеоиздат, 1975. 32 с.

3D. Gabitto J., Tsouris С. Drag coefficient and settling velocity for cylindrical shape// Powder Technology. 2006. Vol. 183, № 2. P. 314-322. https:// doi.org/10.1016/j. powtec.2DD7.07.D31

31. Yin C., Rosedahl L., Kser S. K_, Serensen H. Modelling the motion of cylindrical particles in nonuniform flow // Chem. Eng. Sei., 2D03. Vol. 56. P. 3469-3498. httpsJ/doi.org/10.1016/SOOD9-2SO9(03)00214-8

32. Kurose R., Makino H., Komori S., Nakamura M., Akamatsu F., Katsuki M. Effects of outflow from Ihe surface of a sphere on drag, shear lift, and scalar diffusion //Physics of Fluids. 2003. W. 15, № 8. P. 2338-2351. https://doijorg/1D. 1063/1.1591770

33. Balduga J., Henczka M., Shekunov В. V. Fluid dynamics,, moss transfer and particle formation in Supercritical Fluids // Supercritical fluid technology for drug product development / ed. by P. York, U. B. Kampella, В. Y. Shekunov. 20D4. Boca Raton (USA): CRC Press (Taylor and Francis Group). Informa Healthcare. P. 91-106.

34. Varaksin A. Y., Polezhaev Y. V., Polyakov A. F. Effect of particle concentration on fluctuating velocity of Ihe disperse phase for turbulent pipe flow // Heat and Fluid Flow. 2000. Vol. 21, № 5. P.. 562-567.

35. Concha F., Almendra E. R. Settling Velocities of Particulate Systems, 2. Settling velocities of suspensions of spherical particles // Int J. Mineral Process. 1979. m 6, P. 31-41. https://doi.org/10.1D16/03D1-7516(79)90D30-9

36. Concha F.. Banfentos A. Settling Velocities of Particulate Systems, 4. Settling of nonspherical isometric particles // InL J. Mineral Process. 1988. Vol. 18. P. 297-308. https://d0i.0rg/l D.1016/D301-7516(66)9DD25-6

37. Concha F., Christiansen A. Settling Velocities of Particulate Systems, 5. Settling velocities of suspensions of particles of arbitrary shape // int. J. Mineral Process. 1966. Vol. 18. P. 309-322. httpsJ/doi.org/10.1016/0301 -7518(66)90026-8

38. Richardson J. F., Zaki W. N. Sedimentation and fluidisation: Part I // Trans. Inst. Chem. Eng. 1954. Vol. 32. P. 35-53.

39. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнопвдса / пер. с англ. B.C. Берма на, В. Г Маркова: под ред. Ю. А. Буевича. М.: Мир, 1978.630 с.

4D. Келбалиев Г. П., Рэаев А. Г., Касумов А. Осаждение частиц из концентрированного дисперсного потока // Инженерно-физический журнап.. 1991. Т. 81, N2 3. С. 365-366.

41. Baidock Т. Е., Tomkins М. R., Nielsen Р., Hughes М. G. Setting velocity of sedimentation at high concentrations// Coastal Engineering. 2D04. Vol. 51. P. 91-1 OD. https://doi.Org/10.1016/i.coastaleng.2003.12.aD4

42. Cleosby J. L., Woods C. F. Intermixing of dual media and multimedia granular filter;// J.Am. Water Works Assoc. 1975. Vol. 67, issue 4. P. 197-203. https://doi.org/10.1 D02/j. 1551 -6833.1975 .U>D2195.x

43. Cleasby J. L., Fan K. Predicting fluidization and expansion of filter media //J. Environmental Eng., 1981. Vol. 107. P. 455—471.

44. Kelbaliyev G. I., Tagiyev D. В., Rosulov S. R. Transport Phenomena in Dispersed Media. Boca Raton; London; N. Y.: Taylor and Francis Group. 2D 19. 434 p.

45. Turian R. M.„ Yuan T. F., Mauri G. Pressure drop correlation for pipeline flow of solid-liquid suspensions //AlChE J. 1971. Vol. 17, N2 4. P. 6D9-817. https ://doi .org/10.1002/aic.69017D409

46. Wilhelm R. H.. Kwauk M. Fluidization of solid particles//Chem. Eng. Prag. 1948. Vol. 44. P. 201-218.

47. Bosse Т., Kleiser L. Small particles in homogenous turbulence: Settling velocity enhancement by two-way coupling // Physics of Fluids. 2DQ6. V<A. 18, issue 2. P. 1-14. https://doi.Org/10.ia63/1.2166456

48. Bosse Т., Kleiser L., Härtel E. Numerical simulation of finite Reynolds number suspension drop settling under gravity//Physics of Fluids. 2D05. V<A. 17. P. 14-26. https://doi.org/10.1D6af1.1851428

49. Maxey M. R. The gravitational settling of aerosol particles in homogeneous turbulence and random flow fields //J. Fliud Mech. 1987. Vol. 174. P. 441-465. https://doi.org/10.1017/Saa22112087000193

50. Yang C. Y., Lei U„ The role of Ihe turbulent scales in the settling velocity of heavy particles in homogeneous isotropic turbulence //J. Fluids Mech. 1996. VoL 371. P. 179-205.. https://doi.org/10.1017/SD022112a96D02326

51. Mei R. Effect of turbulence on the particle settling velocity in the nonlinear drag range // Int. J. Multiphase Flow. 1994. VoL 20, issue 2. P. 273-264. https://d0i.0rg/l D.ID 16/0301-9322(94)90082-5

52. Yang T. S., Shy S. S. The settling velocity of heavy particles in an aqueous near-isotropic turbulence // Physics of Fluids. 2DD3. Vol. 15. P. 668-676. https ://doi .org/10.1 D6af1.1557526

53. Келбалиев Г. П., Ибрагимов 3. П., Касимова Р К. Осаждение аэрозольных частиц в вертикальных каналах из изотропного турбулентного гюгока // Инженерно-физический журнал. 2010. Т. 83, № 5. С. 853—661.

54. Деревич И. В., Зайчик Л. И. Осаждение частиц иэ турбулентного потока // Иэв. АЛ СССР Механика жидкости и газа. 1908. N2 5. С. 96-104.

55. Зайчик J1. П., Алипченков В. М. Статистические модели движения частиц в турбулентной жидкости. М.: Фиэматлит, 2007. 312 с.

56. Majumer А. К. Prediction of fine Coal Particles terminal settling velocites in aqueous media //The Indian Mining and Engineering J. 20D3. Vol. 42, № 7. P. 29-37.

57. Yang Zhang, Seigneur C., Seinfeld J. H., Jacobson M. Z, Binkowski F. S. Simulation of aerosol dynamics: a comparative review of algorithms used in air quality models //Aerosol Sei. and Techn. 1999. Vol. 31. P. 467-514.

58. Xiumei Xu, Homsy G. M. The settling velocity and shape distortion of drops in a uniform electric field // J. Fluid Mech. 2006. Vol. 564. P. 395—414. https://doi .org/10.1017/S0022112006001400

59. Kelbaliyev G., Sarimeseli A. Modeling of drop coalescence in isotropic turbulent flow II J. of Dispersion Sei. and Techn. 2006. Vol. 27, issue 4. P. 443-451. https ://doi .org/10.1080/0193269050 D357305

60. Sarimeseli A., Kelbaliyev G. Modeling of tbe break-up of deformable particles in developed turbulent flow // Chem. Eng. Sei. 2004. Vol. 59. P. 1233-1240. http3://doi .org/10.1016/j. ces.200 3.09.047

61. Kelbaliyev G., Ceylan K. Estimation of ttie minimum stable drop sizes, break-up frequencies, and distribution in turbulent dispersions// J. of Dispersed Sei. and Techn. 2005. Vol. 26. P. 487-494. https://doi.org/10.iaei/DIS-2aaD54602

62. Raymond F., Rosant J.-M. A numerical and experimental study of terminal velocity and shape of bubbles in viscous liquids //Chem. Eng. Sei. 2002 VtaL 55. P. 943-955. https ://doi .org/10.1016/50009-2509*99)00 365-1

63. Ram Shankar Subramanian, Ramaswamy Balasubramaniam. The motion of bubbles and drops in reduced gravity. N. Y.: Cambridge University Press, 2001.471 p.

64. Кепбалиев Г. П., Ибрагимов 3. И. Коалесценция и дробление капель в изотропном турбулентном пепоке II Теоретические основы химической технологии. 20D9. Т. 43, № 3. С. 329-336.

65. Wegener М., Fe vre М., Wang Z, Paschedag A., Kraune M. Marangoni convection in single drop flow - Experimental investigation and 3D-simulation // 6th International Conference of multiphase flow, IС MF. Leipzig, Germany, 2007. P. 9-16.

66. Fanton X, Cazabat A. M., Quyru D. Thickness and shape of films driven by a Marangoni flow // Langmuir. 1996. Vol. 12. P. 5675-5896.

67. Leo L. Y., Matar О. K, Perez de Ortir E. S., Hewitt G. F. A description of phase inversion behavior in agitated liquid-liquid dispersions under the of Marangoni effect// Chem. Eng. Sci.2DDZ Vol. 57. P. 3505-3514.

68. Revill В. K. Jet Mixing // Mixing in Ihe Process Induslries 1 ed. by N. Ham by, M. F. Edwards, A. W. Nienow. Boston: Butteworth-Heinmann. 199Z P. 159-163. https://doi.org/10.1D16/B97e-a75D63760-2/5Da30-5

69. Кутателадэе С. С. Теппопередача и гидродинамическое сопротивление. М.: Энергоатомиздат, 199D. 367 с.

7D. Wegener М., Кгаите М., Paschedag A. R. Temiinal and transient drop rise velocity of single toluene droplets in water//AlChE J. 2009. Vol. 56, № 1. P. 2-10. httpsJ/doi. org/10.1002/aic. 11969

71. IMichaelides E. E. Particles, Bubbles and Drops. Singapore: World Scientific, 2D06. 424 p. https://dai.org/10.1142f6013

72. Emulsions and emulsion technology / ed. by K. J. Lissant. N. Y.: Marsel Dekker, 1976. to). 1. 971 p.

73. Sjoblom J., Undahl Q., Heiland H., Christy A. A., Johansen E. J. Water-in-crude oil emulsions. Formation, characterization, and destabilization В Progress in Colloid and Polymer Science. 1990. Vol. 82. P. 131-139.

74. Позднышев Г H. Стабилизация и разрушение нефтяных эмульсий. М.: Недра, 1982.221 с.

75. Тронов В. П. Разрушение эмульсий при добыче нефти. М.: Недра, 1974. 271 с.

76. Кепбалиев Г П., Сафаров Ф. Ф. Исследование утончения межфазной пленим в процессах разделения эмульсии // Химия и технология топлив и масел. 2011. № 4. С. 18-27.

77. Kelbaliyev G. I., Safarov F. F. An Analysis of Ihe Drops Coalescence in Oil Emulsion Separation // Energy Sources, Part A: Recovery, Utilization, and Environmental Effects. 2012. Vol. 34, №23. P. 2203-2213. https://doi.org/10.1D80/155670310a3645544

78. Kelbaliev G. I., Suleimanov G. Z, Phariborz A. Zorofi, Gasanov A. A., Rustamova A. I. Exstraction separation and cleaning of sewage waters by organic solvents with recirculation // Russian Journal of Applied Chemistry. 2011. Vol. 64, № 6. P. 1114—1119. httpsJ/doi.org/10.1134f S1070427211060363

79. Гасанов А. А., Кепбалиев Г. П., Рустамова А. П., Сулейманов Г. 3., Фариборэ А. Зорофи. Экстракционное разделение и очистка сточных вод органическими растворителями с рециркуляцией //Химическая промышленность. 2011. Т. 86, Nä 1. С. 35-41.

60. Reichardt Н. Vollständige Darstellung der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung in glatten Leitungen //Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Mechanik. 1951.™. 31, № 7. P. 208-219. https://doi.afg/10.10a2/zamm.1951D3ia704

61. Läufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow//Technical Report 1174, National Committee for Aeronautics, 1954. URL: http ://ri аса. centra l.cranfield.ac.u Wre ports/1954/naca-report-1174.pdf

62. Friedlander S. K., Johnstone H. F. Principles of gas-solids separation in dry streams. Reaction kinetics and unit operations // Chem. Eng. Progr. Symp. Ser. 1959. V(A. 55, № 25. P. 1135-146.

63. Kneen Т., Strauss W. Deposition of dust from turbulent gas stream // Atmospheric Environment. 1969. VoL 3, № 1. P. 55-67. httpsJ/doi. org/10.1016/0004-6 961 (69 )90115-2

64. Owen P. R. Pneumatic transport//J. Fluid Mech. 1969. Wo\. 39, №2. P. 407-432. t^stfdoi. org/10.1017/S0022112D69002242

65. Liu B. Y. H., Agarwal J. K. Experimental observation of aerosol deposition in turbulent flow// J. Aerosol Sei. 1974. Vol. 5, № 2. P. 145-155. https://d0i.0rg/l 0.1016/0021-6502(74)90046-9

66. McCoy D. D., Hanratty T. J. Rate of deposition of droplets in annular two-phase flow //Inter. J. Multiphase Flow. 1977. 3, № 4. P. 319-331. https://d0i.0rg/l 0.1016/0301 -9322(77)90 D12-Х

67. Кепбалиев Г И., Рас улов С. Р Гидродинамика и массоперенос в дисперсных средах. М.: Химиздат, 2014. 566 с.

68. Liu В. Y. Н., Ilori Т. A. Aerosol deposition in turbulent pipe flow // Environm. Sei. Techn. 1974. Vol. 8, № 4. P. 351-356.

69. Sippola M. R. Particle deposition in Ventilation Ducts. Ph. Doctor Dissertation, University of California, Berkelev, California, 2002. 460 p. https://d0i.0rg/l 0.2172/B10494

90. Weiss C. The liqiid deposition fraction of sprays impinging vertical walls and following films // Int. J. of Multiphase Flow. 2005. Vol. 31, № 1. P. 115—14D. https://doi .org/1 D. 1016/j .¡j multiphaseflow.20D4 08. DD4

91. Okawa Т., Kotani A., Kataoka I. Experiments for liquid phase mass transfer rate in annular regime for a small vertical tube // InL J. Heat and Mass Transfer. 2DD5. Vol. 48, № 3-4. P. 565-596. httpe^/doi.org/10.1016/j.ijheatmass1ransfer2004.0B.03D

92. Mito Y., Hanratty T. J. A stochastic description of wall sources in turbulent field // InL J. Multiphase Flow. 2003. Vol. 29. P. 11373-1394. https:// doi .org/10.1016/Sa 301 -9322(03)00138-1

93. Anderson R. J., Russell T. W. F. Circumferential variation of interchange in horizontal annular two-phase flow // Int. Eng. Chem. Fun dam. 1978. V<A. 9. P. 340-356.

94. Mols В., Oliemans R. V. A. A Turbulent diffusion model Ibr particle dispersion and deposition in horizontal tube flow //International Journal of Multiphase Flow. 1998. Vol. 24, № 1. P. 55-75. https://doi.org/10.1D16iSD301-9322(97)00043-6

95. Sehmel В.. A. Particle deposition from turbulent air flow // J. Geophys. Res. 1970. Vol. 75, l№ 9. P. 1766-1761. https://doi.org/10.1D29/ JC075i009pD1766

96. Yoshioka N., Кагаока C., Eitii H. Or the deposition of aerosol particles to the horizontal pipe wall from turbulent stream // Kagaku Kogaku. 197Z V<A. 36, № 9. P. 1010-1034.

97. Ceylan K_, Kelbaliyev G. The roughness effects on friction and heat transfer in Ihe Hilly developed turbulent flow in pipes // Applied Thermal Eng. 2003. № 23, issue 5. P. 557-570. https://doi.arg/10.1 D1&fS13594311(D2)D0225-9

98. Келбалиев Г И. Моделирование нестационарных процессов в теплообмвнных аппаратах // Теоретические основы химической технологии. 1982. Т. 16., № 1. С. 36-43.

99. Келбалиев Г. И. Моделирование нестационарных процессов в гомогенных трубчатых печах В Теоретические основы химической технологии. 1983. Т. 17, №3. С. 330-336.

100. Келбалиев Г. И. Теплообмен при течении многофазных систем с отложением твердой фазы // Теоретические основы химической технологии. 1985. Т. 19, №5. С. 616-621.

101. Келбалиев Г. И. Течение дисперсных систем в пограничном слое с осаждением твердой фазы //Теоретические основы химической технологии. 1988. Т. 22, № 5. С. 706-700.

102. Шахтахтннекий Т. Н., Келбалиев Г. П., Носенко Л. В. Теплообмен со стенкой трубы в условиях осаждения твердой фазы // Теоретические основы химической технологии. 1997. Т. 31, N2 i.e. 11-17.

103. Шахтахтинский Т. Н., Келбалиев Г. И. Явление самоторможения в процессах отложенин с учетом фазовых превращений // ДАН СССР. 1967. Т. 21. С. 132-136.

104. Шахтахтинский Т. Н., Келбалиев Г. И. Эффект самоторможения в процессах отложения частиц из дисперсного потока //ДАН СССР 1986. Т. 266. С. 946-949.

105. Келбалиев Г. И. Массообмен между каплей или пазовым пузырем и изотропным турбулентным потоком //Теоретические основы химической технологии. 2012. Т. 46, № 5. С. 554-562.

Статья поступила в редакцию 20 июля 2020 года

YflK S33.6 https.//doi .Drg/lOJlWO/ 2307-20Sl-2JC20-'t-123-l'«

Mathematical modeling of sedimentation processes and surfacing of solids, droplets and bubbles in an isotropic turbulent flow

Gudrat Isfandiyar ogly KELBALIEV1* Sahit Rauf ogly RASULOV3" Niyaz Gadym ogly VALIEV*

Nagiev Institute of Catalysis and Inorganic Chemistry of ANAS, Baku, Republic of Azerbaijan 2AzErtjaijaii State Oil and Industry University, Baku, Republic of Azerbaijan JUral State Mining University Ekaterinburg, Russia

Abstract

Relevance. The problems of separation, stratification and classification of disperse systems that constitute the base of sedimentation and phase displacement are determined by hydrodynamic structure and direction of the flow, physical interaction of forces of different nature of the systems, diffusion transport and deposition In turbulent flows, physical and chemical properties of the particles themselves and the carrier medium and many other factors. Appears the necessity of development of the model of solid spherical particles deposition from a volume with small values of number Re under the condition of absence of effects of interaction of particles and model of constrained deposition from the concentrated disperse flow. The consideration of expressions for determination of effective viscosity of the dispersed system taking into account the concentration of particles in the flow and models of particle deposition from isotropic turbulent flow taking into account the scale of turbulence and specific energy of dissipation. This, In turn, is associated with the determination of the coefficient of resistance for deformable particles (droplets and bubbles), which is used In the model of deposition velocity and surfacing of droplets and bubbles for different numbers of Weber and Morton,

Purpose of work. The purpose of this study is an analytical review of all kinds of sedimentation (deposition), separation and stratification of dispersed systems and model representations of their description In different flow conditions. Methodology. To solve given problem, It is necessary to analyze all the effects associated with particle migration, deposition and separation. An essential role In deposition and migration is determined by the forces of resistance, which depend on the number of Reynolds, shape and size, as well as physical and chemical properties of the particles and the corresponding environment. Results. The study of particle deposition in an isotropic turbulent flow for different scales of turbulence in pipes and channels allowed to express the deposition rate through the main parameters of turbulence - specific energy dissipation, scale of turbulence and viscosity of the medium. The deposition and formation of a dense layer of particles on the inner surface of the pipes has a significant influence on all parameters of substance transfer (mass, heat and pulse) and on hydrodynamic stability of the flow. It has been found that the deposition of polydisperse particles is characterized by the size inconstancy or the function of their size distribution, which is related to the confinement of deposition, collision and Interaction of particles among themselves. Conclusions. It is concluded that the nature of deposition of particles from the polydisperse turbulent flow is significantly different from their free deposition from the volume. As the result of dispersed particle deposition on the walls of pipes and canals, the following mechanisms and models are distinguished: free-inertial, which is based on the principle of free inertial ejection of particles to the wall; elevating-migration, which binds the deposition of particles with their elevating migration (Magnus effect); convection-Inertial, which binds the deposition rate of particles with inertial effects; efficient-diffusion; turbulent-migration, where turbulent migration of particles to the wall is considered as the driving force of deposition. Particle deposition and formation of a dense layer of par tides on the Inner surface of the pipes has a significant impact on the hydrodynamic flow and heat-mass transfer. Particle deposition and formation of a dense layer of particles on the inner surface of the pipes has a significant impact on the hydrodynamics of the flow and heat and mass transfer. All proposed models are compared with available experimental data, which confirms their effectiveness and adequacy.

Keywords: sedimentation, surfacing, turbulence, droplets, bubbles, solid particles of mass transfer, stratification, resistance, coalescence, crushing.

REFERENCES

1. Coulson J. M., Richardson J. F., Backhurst J. R., Hakker J. H. 2D02, Chemical Engineering. Vol. 2. Particle technology and Separation Process. London; N. Y.: Butterworth Heinemann, 788 p.

2. Levich V. G. 1962, Physical-chemical hydrodynamics. Moscow, 700 p.

: [email protected] О 1"|Ирв:№>гсй .опд/0000-0002-6275-3732 "газЫсчвак^д mail.com

№р»Л*а ¿огдЛМКЮ4Ю021548^3143 "[email protected]

https:tforcid.org/ODDO-DOa2-55S6-2217

3. Sow S. 1971, Hydrodynamics of rnulti phase systems. Moscow, 536 p.

4. Brownstein В. I., Schegolev V. V. 1966, Hydrodynamics, mass and heat transfer in the column apparatus. Leningrad, 336 p.

5. Mednikov E. P. 196D, Turbulent transfer and sedimentation of aerosols. Moscow, 176 p.

6. Sarimeseli A., Kelbaliyev G. 2D08, Deposition of dispersed particles in isotropic turbulent flow. Journal of Dispersion Science and Technology, no. 29, pp. 307-31Z https://d0i.0rg/l 0.1080/0193269070166 6639

7. Altunbaj A., Kelbaliyev G., Ceylan K. Eddy diflusivity of particles in turbulent flow in rough channels II Journal of Aerosol Science. 20D2. № 33. P. 1075-1086. httpsJ/doi. org/10.1016/S0021 -8502(02) D0054-X

6. Sarimeseli A., Kelbaliyev G. 2Q04, Sedimentation of solid particles in turbulent flow in horizontal channels. Powder Technology, no. 140, pp. 79-85. https://dai.Org/10.1016/j.po wtec.2004.D 1.0 D3

9. CliftR., Grace J. R., Weber M. E. 1978, Bubbles, drops and particles. N. Y.: Academic Press, 38D p.

10. Kelbaliyev G. I. 2011, Drag coefficients of variously shaped solid particles, drops, and bubbles. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, vol. 45, no. 3, pp. 264—283.

11. Ceylan K_, Kelbaliyev G. 2001, A new model for estimation of drag force in the flow of Newtonian fluids around rigid or deformable particles. Powder Technology, no. 119, pp. 250-256. https://doi.Org/10.1016/50032-5910(01)00261-3

12. Kelbaliyev G, Ceylan K. 2007, Development of new empirical equations for estimation of drag coefficients, shape deformation and rising velocity of gas bubbles or liquid drop. Chemical Engineering Communications, na 194, pp. 1623-1637. https://d0i.0rg/l0.1080/00986440701446128

13. IMustafayeva G. R. 2017, Deposition of solids from the suspension stream. Transport and Storage of Petroleum Products and Hydrocarbons, no. 1, pp. 33-37.

14. IDavies C. N. 1966, Deposition from moving aerosols. In: C. N. Davies (ed.). Aerosol Science. London, pp. 392-446.

15. Song Zhiyao, Wu Tingting, Xu Fumin, Li Ruijie. 2D08, A simple formula for predicting settling velocity of sediment particles. Water Science and Engineering, vol. 1, no. 1, pp. 37-43. https://doijorg/1D.1016/S 1674-2370(15)30017-X

16. Concha F., Almendra E. R. 1979, Settling velocities of particle systems: 1. Settling velocities of individual spherical particles. International Journal of Mineral Processing, vol. 5, no. 4, pp. 349-367. https://d0i.0rg/l 0.1016/0301-7518(79)90044-9

17. Zigrang D. J., Sylvester N. D. 1961, An explicit equation for particle settling velocities in solid- liquid systems. AlChE Journal, vol. 27, no. 6, pp. 1043-1044. https://doi.arg/10.1002/aic. 690270629

18. Brown P. P., Lawler D. F. 2003, Sphere drag and settling velocity revisited. Journal of Environmental Engineering, vol. 129, no. 3, pp. 222-239. https://d0i.0rg/l 0.1061 /(ASC E)0733-9372(2003) 129:3(222)

19. Camenen B. 2007, Simple and general formula for Ihe settling velocity of particles. Journal of Hydraulic Engineering, vol. 133, no. 2, pp. 229-233. https://d0i.0rg/l D.1D61/(ASCE)0733-9429(2007)133:2(229)

20. Swanson V. F. 1967, The development of a formula for direct determination of free settling velocity of any size particle. Transactions, SME1 AIME, vol. 236, pp. 160-166.

21. Guo J. 2002, Logarithmic matching and its applications in computational hydraulics and sediment 1nansporL Journal of Hydraulic Research, vol. 40, no. 5, pp. 555—565. https://doi.org/1D.iaeO/D022168a2O94999D0

22. Khan A. R., Richardson J. F. 11987, The resistance to motion of a solid sphere in a fluid. Chew. Eng. Communications, vol. 62, no. 1-6, pp. 135-150. https://d0i.0rg/l D.1D8Q/0D9864487Q6912a56

23. Jimenez J. A., Madsen O. S. 2003, A simple formula to estimate settling velocity of natural sediments. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, vol. 129, no. 2, pp. 70-81. https J/doi.org/1D.1061/(ASCE)0733-950X(2003}129:2(70)

24. Engelund F., Hansen E. 1972, A monograph on sediment transport in alluvial streams (3rd Edition). Denmark, Copenhagen: Technical Press, 62 p.

25. Cheng N. S. 1997, Simplified settling velocity formula for sediment particle. Journal of Hydraulic Engineering, vol. 123, no. 2, pp. 149-152. https://d0i.0rg/l 0.1061 /(ASC E )D733-9429[1997)123:2(149)

26. Almedeij J. 2D08, Drag coefficient of flow around a sphere: matching asymptotically Ihe wide trend. Powder Technology, vol. 186, no. 2, pp. 218-223.

27. Turton R., Clark N. N. 1987, An explicit relationship to predict spherical particle terminal velocity. Powder Technology, vol. 53, no. 2, pp. 127-129. https://d0i.0rg/l D.ID16/0032-5910(67)65007-6

28. Concha F., Barrintos A. 198Z Settling velocities of particulate systems, 3. Power-series expansions for drag coefficient of a sphere and production of Hie settling velocity. International Journal of Mineral Processing, vol. 9, no. Z PP- 167-172. https J/doi. org/10.1016/0301-7516(82)90025-4

29. Voloshchuk V. M., Sedunov Yu. S. 1975, Coagulation processes in dispersed systems. Leningrad, 32 p.

30. Gabitto J., Tsouris C. 2006, Drag coefficient and settling velocity for cylindrical shape. Powder Technology, vol. 183, no. 2, pp. 314—322. https:// doi.org/10.1016/j. powtec.2DD7.07.D31

31. Yin C., Rosedahl L., KserS. K., Serensen H. 2DD3. Modelling the motion of cylindrical particles in nonuniform flow. Chem. Eng. Scr., vol. 58, pp. 3469-3496. httpsJ/doi.org/10.1D18fSD009-2509(03)DD214-e

32. Kunose R., Makino H., Komori S., Nakamura M., Akamatsu F., Katsuki M. 2D03, Effects of outflow from Hie surface of a sphere on drag, shear lift, and scalar diffusion. Pfiys/cs of Fluids, vol. 15, no. 6, pp. 2338-2351. https://doi.Org/10.1063/1.1591770

33. Balduga J., Henczka M., Shekunov B. Y. 2DD4, Fluid dynamics, mass transfer and particle formation m Supercritical Fluids. In: Supercritical fluid technology for drug product development (eds P. York, U. B. Kampella, B. Y. Shekunov). Boca Raton (USA): CRC Press (Taylor and Francis Group). Informa Healthcare, pp. 91-fQ6.

34. Varaksin A. Y., Polezhaev Y. V., Polyakov A. F. 200D, Effect of particle concentration an fluctuating velocity of Hie disperse phase for turbulent pipe flow. Heal and Fluid Flow, vol. 21, no. 5, pp. 562-567.

35. Concha F.. Almendra E. R. 1979, Settling Velocities of Particulate Systems, 2. Settling velocities of suspensions of spherical particles. Int. J. Mineral Process, vol. 6, pp. 3f-11. httpstfdoi.org/l 0.1016/0 301-7518(79)90030-9

36. Concha F., Barrientos A. 1966, Settling Velocities of Particulate Systems, 4. Settling of nonsphericaf isometric particles. Int. J. Mineral Process, vol. 18, pp. 297-3D8. httpsJ/doi.org/10.1016/03011-7516(86)90025-6

37. Concha F., Christiansen A. 1966, Settling Velocities of Particulate Systems, 5. Settling velocities of suspensions of particles of arbilrary shape. Int. J. Mineral Process, vol. 18, pp. 309-322. httpsJ/doi.org/10.1016/0301 -7516(86)90026-6

38. Richardson J. F.,.Zaki W. N. 1954, Sedimentation and fluidisation: Parti. Trans. Inst. Chem. Eng., vol. 32, pp. 35-53.

39. IHappel J., Brenner G. 1976, Hydrodynamics at low Reynolds numbers. Moscow, 63D p.

4D. Kelbaliyev G. I., Rzayev A. G., Kasumov A. 1991, Deposition of Particles (rem a Concentrated Dispersed Flow.. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 61, no. 3, pp. 365—368.

41. BaldockT. E., Tomkins M. R., Nielsen P., Hughes M„ G. 2004, Setting velocity of sedimentation at high concentrations. Coastal Engineering, vol. 51, pp. 91-10D. https://doijorg/10.1016/j.coostaleng.2003.12.004

42. Cleasby J. L., Woods C. F. 1975, Intermixing of dual media and multimedia granular filters. J.Am. Water Hforite Assoc., vol. 67, issue 4, pp. 197-203. https://doi.org/10.1002/j. 1551 -6833.1975 .tbQ2195. x

43. Cleasby J. L., Fan K. 1961, Predicting fluidization and expansion of filter media. J. Environmental Eng., vol. 107, pp. 455—47f.

44. Kelbaliyev G. I., Togiyev D. В., Rosulov S. R. 2019, Transport Phenomena in Dispersed Media. Boca Raton; London; N. Y.: Taylor and Francis Group, 434 p.

45. Turian R. М., Yuan Т. F., Mauri G. 1971, Pressure drop correlation for pipeline flow of solid-liquid suspensions. AlChE J., vol. 17, no. 4, pp. 6D9-817. https ://doi .org/10.1002/aic.69017D409

46. Wilhelm R. H., Kwauk M. 1946, Fluidizatton of solid particles. Chem. Eng. Prog., vol. 44, pp. 201-218.

47. Bosse Т., Kleiser L. 2006, Small particles in homogenous turbulence: Settling velocity enhancement by two-way coupling. Physics of Fluids, vol. 18, issue 2, pp. 1-114. https://doijorg/10.1063/1.2166456

48. Bosse Т., Kleiser L., Härtel E. 2005, Numerical simulation of finite Reynolds number suspension drop settling under gravity. Pfiysics of Fluids, vol. 17, pp. 14—26. https:tfdoi.Org/10.1063/1.1851428

49. Maxey M. R. 1967, The gravitational settling of aerosol particles in homogeneous turbulence and random flow fields. J. Fliud Mech., vol. 174, pp. 441—465. httpsJ/doi. org/10.1017/S0022112087000193

50. Yang C. Y., Lei U. 1996, The note of Hie turbulent scales in the settling velocity of heavy particles in homogeneous isotropic turbulence. J. Fluids Mech., vol. 371, pp. 179-205. https:tfdoi.org/10.1D17/Sa022112098002328

51. Mei R. 1994, Effect of turbulence on the particle settling velocity in the nonlinear drag range. Int. J. Multiphase Flow, vol. 2D, issue 2, pp. 273-264. https:tfd0i.0rg/l D.I016/0301-9322(94)90082-5

52. Yang T. S., Shy S. S. 2DD3, The settling velocity of heavy particles in an aqueous near-isotropic turbulence. Physics of Fluids, vol. 15, pp. 668-876. https :tfdoi .org/10.1063Л .1557526

53. Kelbaliyev G. I., Ibragimov Z. I., Kasimova R. K. 2010, Deposition of aerosol particles in vertical channels from an isotropic turbulent flow. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, vol. 63, no. 5, pp. 653-861.

54. Derevich I. V., Zaychik L. I. 1966, Deposition of particles from a turbulent flow. Izv. Academy of Sciences of the USSR. MZHG, no. 5, pp. 96-104.

55. Zaychik L. I., Alipchenkov V. M. 2007, Statistical models of particle motion in a turbulent fluid. Moscow, 312 p.

56. Majumer A. K. 2DD3, Prediction of fine Coal Particles terminal settling velodtes in aqueous media. The Indian Mining and Engineering J., vol. 42, no. 7, pp. 29-37.

57. Yang Zhang, Seigneur C., Seinfeld J. H., Jacobson M. Z., Binkowski F. S. 1999, Simulation of aerosol dynamics: a comparative review of algorithms used in air quality models. Aeraso/ Sn. and Techn., vol. 31, pp. 487-514.

58. Xiumei Xu, Homsy G. M. 2DD6, The settling velocity and shape distortion of drops in a uniform electric field. J. Fluid Mech., vol. 564, pp. 395—414. https:tfdoi.org/10.1D17/SD02211200600146D

59. Kelbaliyev G., Sarimeseli A. 2DD6, Modeling of drop coalescence in isotropic turbulent flow. J. of Dispersion Sei. and Techn., vol. 27, issue 4, pp. 443-451. httpsJ/doi. org/10.1060/0193269 D5DD357305

60. Sarimeseli A., Kelbaliyev G. 2QD4, Modeling of the break-up of deformable particles in developed turbulent flow. Chem. Eng. Sei., vol. 59, pp. 1233-1240. https://doi .org/10.1016/j. ces.200 3. D9.047

61. Kelbaliyev G., Ceylan K. 2005, Estimation of Ihe minimum stable drop sizes, break-up frequencies, and distribution in turbulent dispersions. J. of Dispersed Sei. and Techn., vol. 26, pp. 467-194. https:tfdoi.org/10.1061/DIS-2D00 54602

62. Raymond F., Rosant J.-M. 2002, A numerical and experimental study of terminal velocity and shape of bubbles in viscous liquids. Chem. Eng. Sei., vol.55, pp. 943-955. https:tfdoi.Org/10.1016/50009-2509(99)00365-1

63. Ram Shankar Subramanian, Ramaswamy Balasubramaniam. 2001, The motion of bubbles and drops in reduced gravity. N. Y.: Cambridge University Press, 471 p.

64. Кепбалиев Г. П., Ибрагимов 3. И. Коалесценция и дробление капель в изотропном турбулентном потоке // Теоретические основы химической технологии. 20D9. Т. 43, № 3. С. 329-336.

65. Wegener М., Fevre М., Wang Z, Paschedag А., Kraune М. 2007, Marangoni convection in single drop flow - Experimental investigation and 3D-simulation. 6th International Conference of multiphase flow, IС MF. Leipzig. Germany, pp. 9-16.

66. Fanton X., Cazabat A. M., Quyru D. 1996, Thickness and shape of films driven by a Marangoni flow. Langmuir, vol. 12, pp. 5675-5896.

67. Leo L. Y., MatarO. K., Perez de Ortir E. S., Hewitt G. F. 2Q02, A description of phase inversion behavior in agitated liquid-liquid dispersions under the of Marangoni effect. Chem. Eng. Sei., vol. 57, pp. 3505-3514.

68. Revill В. K. 1992, Jet Mixing. In: (eds) N. Ham by, M. F. Edwards, A. W. Nienov. Mixing in Ihe Process Induslries. Boston: Butte worth-Heinniann, pp. 159-183. https://doi.org/10.1016/B978-D75a6376D-2/5003D-5

69. Kutateladze S. S. 199D, Heat transfer and hydrodynamic resistance. Moscow, 367 p.

7D. Wegener M., Kraume M., Paschedag A. R. 2DD9, Terminal and transient drop rise velocity of single toluene droplets in water. AlChE J., vol. 56, no. 1, pp. 2-10. https J/doi.org/10.1 DD2/aic. 11969

71. IMichaelides E. E. 2006, Particles, Bubbles and Drops. Singapore: World Scientific, 424 p. https://dai.0rg/10.1142/6018

72. 1976, Emulsions and emulsion technology. K. J. Lissant (ed.J. IM. Y.: Marsel Dekker, vol. 1, 971 p.

73. Sjoblom J., Urdahl Q., Holland H., Christy A. A., Johansen E. J. 1990, Water-in-crude oil emulsions. Formation, characterization, and destabilization. Progress in Colloid and Polymer Science, vol. 82, pp. 131-139.

74. Pozdnyshev G. N. 1982, Stabilization and deslruction of oil emulsions. Moscow, 221 p.

75. Tronov V. P. 1974, The destruction of emulsions in Gil production. Moscow, 271 p.

76. Kelbaliyev G. I., Safarov F. F. 2011, Study of the interfacial film refinement in the process of emulsion separation. Chemistry and technology of fuels and oils, no. 4, pp. 16-27.

77. Kelbaliev G. I., Safarov F. F. 2012, An Analysis of the Drops Coalescence in Oil Emulsion Separation. Energy Sources, Pari A: Recovery, Utilization, and Environmental Effects, vol. 34, no. 23, pp. 2203-2213. httpstfdoi.org/l 0.1080/155670310D3645544

78. Kelbaliev G. I., Suleimanov G. Z., Phariborz A. Zorofl, Gasanov A. A., Rustamova A. I. 2011, Exstraction separation and cleaning of sewage waters by organic solvents with recirculation. Russian Journal of Applied Chemistry, vol. 64, no. 6, pp. 1114-1119. httpsJ/doi.org/10.1134f S1070427211060363

79. Kelbaliyev G. I., Suleymanov G. Z., Fariborz A. Zoroufi, Hasanov A. A. 2D 11, Extraction separation and purification of waste water wilh organic solvents with recirculation. Chemical Industry, vol. 88, по. 1, pp. 35—41. ]

60. Reichandt H. 1951, Vollständige Darstellung der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung in glatten Leitungen. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 31, по. 7, pp. 2D8-219. https://doi.org/1D.ia02/zamm.1951D310704

61. Laufer J. 1954, The structure of turbulence in fully developed pipe flow. Technical Report 1174, National Committee for Aeronautics. URL: http :tfri аса. centra l.cranfield.ac.u Wre ports/1954/naca-report-1174.pdf

62. Friedlander S. K, Johnstone H. F. 1959, Principles of gas-solids separation in dry streams. Reaction kinetics and unit operations. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., vol. 55, no. 25, pp. 135-148.

63. Kneen Т., Strauss W. 1969, Deposition of dust from turbulent gas stream. Atmospheric Environment, vol. 3, no. 1, pp. 55-67. httpsJ/doi. org/1 D. 1016/DQ04-6 961(69)90115-2

64. Owen P. R. 1969, Pneumatic transport: J. Fluid Mech., vol. 39, no. 2, pp. 407-432. https://doi.org/10.1017/Saa22112069aa2242

65. Liu B. Y. H., Agarwal J. K. 1974, Experimental observation of aerosol deposition in turbulent flow. J. Aerosol Sei., vol. 5, no. 2, pp. 145-155. https://d0i.0rg/l a.1016/0a21-65D2)(74)9aD46-9

66. McCoy D. D., Hanratty T. J.. 1977, Rate of deposition of droplets in annular two-phase flow. Infer. J. Multiphase Flow, vol. 3, no. 4, pp. 319-331.

https://d0i.0rg/l0.1016/0301 -9323(77)90 012-X

67. Kelbaliyev G. I., Rasulov S. R. 2014, Hydnodynamies and moss transfer in dispersed media. Moscow, 566 p.

68. Liu B. Y. H., lloriT. A. 1974, Aerosol deposition in turbulent pipe flow. Environm. Sc.i. Techn., vol. 8, ro. 4, pp. 351-356.

69. Sippola M. R. 2002, Particle deposition in Ventilation Ducts. Ph. Doctor Dissertation, University of California, Berkefev, California, 460 p. https://d0i.0rg/l 0.2172/810494

90. Weiss C. 2005, Tbe liquid deposition fraction of sprays impinging vertical walls and following films. Int J. of Multiphase Flow, vol. 31, no. 1, pp. 115-140. https://dai.org/10.1 D16/j.ijmultiphaseflow. 2004.08.004

9f. Okawa T., Kotani A., Kataoka 1.2D05, Experiments for liquid phase mass Irarsfer rate in annular regime for a small vertical tube. Int. J. Heat and Mass Transfer, vol. 48, no. 3-4, pp. 585-598. https://dai.org/10.1D16fi.ijhea1ma5stransfer.2aD4.08.a30

92. Mito Y., Hanratty T. J. 2D03, A stochastic description of wall sources in turbulent field. Int J. Multiphase Fiow, vol. 29, pp. 1373-1394. https:// doi .org/10.1016/50 301 -9322(03)00138-1

93. Anderson R. J., Russell T. W. F. 197D, Circumferential variation of interchange in horizontal annular Iwo-phase flow. Int. Eng. Chem. Fundam., vol. 9, pp. 340-356.

94. Mols B., Oliemans R. V. A. 1996, A Turbulent diffusion model for particle dispersion and deposition in horizontal tube flow. International Journal of Multiphase Flow, vol.. 24, no. f, pp. 55-75. https://doi.org/10.1D16/SD301-9322(97)00043-8

95. Sehmel B. A. 1970, Particle deposition from turbulent airflow. J. Geophys. Res., vol. 75, no. 9, pp. 1766-1781. https://doi.org/10.1D29/ JC075i009pD1766

96. Yoshioka N., Karaoka C., Emi H. 1972, On the deposition of aerosol particles to the horizontal pipe wall from turbulent stream. Kagaku Kogaku, vol. 38, no. 9, pp. 1D10-1D34.

97. Ceylan K, Kelbaliyev G. 2D03, The roughness effects on friction and heat fransfer in the fully developed turbulent flow in pipes. Applied Thermal Eng., no. 23, issueS, pp. 557-570. https^/doi.org/10.1 D16/S1359-4311(D2)D0225-9

98. Kelbaliyev G. I. 1982, Simulation of non-stationary processes in heat exchange apparatus. Theor. Basics chemical Techn., vol. 16, no. 1, pp. 38-43.

99. Kelbaliyev G. I. 1983, Simulation of non-stationary processes in homogeneous tube furnaces. Theor. basics chemical tehn., vol. IT, no. 3, pp. 330-336 ]

1DD. Kelbaliyev G. 1.1965, Heat transfer during the flow of multiphase systems with deposition of a solid phase. Theor. basics chemical tech., vol. 19, no. 5, pp. 616-821.

101. Kelbaliyev G. I. 1988, The flow of dispersed systems in the boundary layer with sedimentation of ttie solid phase. Theor. basics chemical tehn., vol. 22, no. 5, pp.. 7D6-708.

1D2. Shakhtakhtinsky T. N., Kelbaliev G. I., Nosenko L. V. 1997, Heat exchange with the pipe wall in the conditions of sedimentation of a solid phase. Theor. basics chemical Techn., vol. 31, no. 1, pp. 11-17.

1D3. ShakhtakhtinskyT. N., Kelbaliyev G. 1.11987, Phenomenon of self-retardation in deposition processes with allowance for phase transformations. DAN SSSR, vol. 21, p. 132-136.

1D4. Shakhtakhtinsky T. N.. Kelbaliyev G. I. 1966, The effect of self-inhibition in the processes of deposition of particles from a dispersed flow. DAN SSSR, vol. 286, pp. 946-949.

1D5. Kelbaliyev G. I. 2012, Mass transfer between a drop or a gas bubble and an isotropic turbulent flow. Theor. basics chemical Techn., vol. 48, no. 5, pp. 554-562.

TTie article ivas received on Julay 20, 2020