CC BY
67
УДК 621.730.447
М.В. ПЕТРОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРЕССОВАНИЯ ПОРОШКОВ НА МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНОЙ УСТАНОВКЕ С ПРОПУСКАНИЕМ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Ключевые слова: порошок, магнитно-импульсная установка, прессование, электрический ток, изделие, индуктивность, омическое сопротивление, взаимная индуктивность, ёмкость.
Разработана математическая модель процессов прессования электропроводящих порошков на магнитно-импульсной установке с одновременным пропусканием через порошок импульсного электрического тока. В математической модели используется теория электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Сосредоточенные параметры электрической цепи определяются по известным в научной литературе зависимостям.
M.V. PETROV MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS OF THE PRESSING POWDER ON MAGNETIC-PULSED INSTALLATION WITH DRIVE OF THE PULSED ELECTRIC CURRENT
Key words: powder, magnetic-pulsed installation, pressing, electric current, product, inductance, ohm resistance, mutual inductance, capacity.
There is a designed mathematical model ofpressing processes of conducting electric current conducting powder on magnetic-pulsed installation with simultaneous pass of pulsed electric current through powdere. Theory of the electric circuits with concentrated parameters is used in mathematical model. The concentrated parameters of electric circuit are defined according to the known in scientific literature dependency.
Создание методами порошковой металлургии новых композитных материалов, изготовление нанопорошковых изделий вызывают все больший интерес. Использование магнитно-импульсного способа прессования порошков открывает новые возможности технологии.
Принципиальная схема прессования порошков на магнитно-импульсной установке (МИУ) с одновременным пропусканием через прессуемое изделие импульсного электрического тока МИУ представлена на рис. 1 [7], где 1 - магнитно-импульсная установка, имеющая ёмкость С0, собственную индуктивность L0, омическое сопротивление R0; 2 - пульт управления; 3 - индуктор; 4, 5 - матрица с порошком; 6, 7 -
пуансоны. Один вывод МИУ соединяется с верхним пуансоном 7, другой вывод че-
рез пульт управления 2 и индуктор 3 соединяется с нижним пуансоном 6. Импульсный электрический ток, проходя через порошок 5, нагревает его, а нижний пуансон 6 пондеромоторными силами разгоняется и прессует порошок.
Нижнее основание пуансона 6, взаимодействующего с индуктором, разделим на Т кольцевых элементов. Систему «МИУ - индуктор - пуансон - изделие» с точки зрения электродинамики будем рассматривать как многоконтурную эквивалентную схему замещения (рис. 2), приняв «МИУ - индуктор - изделие» за один контур, а кольцевые элементы пуансона 6 - за другие взаимосвязанные контуры Т, полагая, что электрический ток, который наводится в донышке пуансона 6, можно разбить на элементарные нити тока [2]. Система уравнений Кирхгофа для контуров:
it T-1
^и + Ro + R ) J и + (^ + Lo + Ln ) J и + Т- JJ и<* + Z (МrnJ i + JiMи ) = V0,
L"0 2=1
T -1
RI + LjJ i +1 и M иг + Мш1и + Z (Wij + Mÿf ) = 0, (1)
j=1;i * j
(i = 1, 2, 3,...,T),
где ¥0 - напряжение зарядки МИУ; Я - омические сопротивления; I - электрический ток; I - скорость изменения тока; М - взаимная индуктивность; М - скорость изменения взаимной индуктивности. Индексы и - относятся к индуктору; о - к МИУ; I, у -к контурам пуансона; п - к изделию.
П П
Инертная среда
Рис. 1. Принципиальная схема установки Начальные условия при / = 0: /и = 0,
I = 0.
Имеем систему (1) нелинейных алгебраических уравнений относительно изменения токов в индукторе 1и и контурах пуансона 1.. Коэффициенты этой системы образуют матрицу индуктивности (2), симметричную относительно главной диагонали. Они зависят от текущего состояния системы «индуктор -пуансон».
11#
Ц +Ц +Ц М М2 Мз . .. МиТ-1
М к М12 Мз . .. Мт-1
Ма М-21 4 М23 . .. М2Т-1
Мз М31 М32 к . .. М3Т-1
М. М1 М.2 Мз . .. Щт-1
МаГ-1 МТ-11 МТ-1,2 мт-13 . .. кТ-1
(2)
I
1
2
2
3
К системе уравнений (1) добавляется уравнение движения слоя порошка, уплотняемого пуансоном:
С2и С2и
0,5^1—- + т—- + mg + Бп = БМ, (3)
С/2 С/2
где т1 - масса уплотняемого порошка; т - масса нижнего пуансона; и - перемещение пуансона; g - ускорение свободного падения; БП - усилие прессования; Бм - понде-ромоторная сила, действующая на донышко пуансона 6.
Решая совместно уравнения (1) и (3), определяем электрические токи в цепи индуктора и контурах пуансона со стороны индуктора.
При расчёте индуктивностей и взаимоиндуктивностей примем, что магнитные проницаемости индуктора, пуансона и окружающей среды не зависят от напряжённости магнитного поля, одинаковы и равны магнитной проницаемости пустоты ц0 = 4л-10-7 Гн/м. При магнитно-импульсной обработке в металлах индуктора и пуансона возникает явление поверхностного эффекта, поэтому индуктивности и взаи-моиндуктивности контуров рассчитываются при весьма высокой частоте тока. В работе [4] сказано, что неравномерность распределения тока по сечениям отдельных витков мало сказывается на величине взаимной индуктивности, а собственная индуктивность контуров в нашем случае не изменяется в процессе изготовления изделий, кроме индуктивности порошковой массы.
Для расчёта индуктивностей и активного сопротивления элементов системы «индуктор - пуансон - изделие» примем две расчётные системы [8]: первую - для расчёта индуктивностей, вторую - для расчёта активного сопротивления. При расчёте индуктивностей реальное распределение электромагнитного поля заменяем эквивалентным полем бесконечно тонкого токового слоя с линейной плотностью -, расположенным на расстоянии ДЭк от активной поверхности проводника. В этом случае поле глубиной ДЭк будет постоянным и равным внешнему Н0, а за слоем - Н = 0. Эквивалентный токовый слой располагаем на расстоянии ДЭк = 0,5ДЭ, ДЭ = ^2/уц0ю , где у - электропроводность; ю - циклическая частота тока разряда МИУ; ДЭ - глубина проникновения поля в металл. Погрешность расчёта индуктивностей в этом случае не превышает 10-15% во всём диапазоне изменения частот. При расчёте омического сопротивления индуктора и пуансона примем условную глубину проникновения токового слоя ДЭЯ = ДЭ. Распределение плотности тока в реальной системе заменяем слоем с равномерно распределённой плотностью тока толщиной ДЭ, в этом случае активное сопротивление эквивалентного токового слоя совпадает с активным сопротивлением реальной системы [8].
Индуктор будем рассматривать как сложный контур, имеющий форму плоской спирали, витки которой имеют ход перпендикулярно к направлению оси. Расчёт индуктивностей индукторов с учётом спиральности витков связан с весьма значительными трудностями, поэтому индуктор будем рассматривать как совокупность замкнутых витков, имеющих бесконечно тонкую изоляцию и плотно заполняющих всё пространство, занятое обмоткой.
Собственные индуктивности контуров и взаимные индуктивности контуров будем рассчитывать по формулам [4].
Собственная индуктивность --го кругового кольца прямоугольного сечения при весьма высокой частоте:
к =ц0Г, (1п8Г - 1п Ч -
где ч - среднее геометрическое расстояние периметра поперечного сечения кольца от самого себя, которое определяется следующим образом:
^ Ч = [Л^21п + Д Эк 1п Д Эк + Д£г Д Эк 1п(Д2Эк +Д£г2) + Д Эк(Д Эк + ^) агс1В +
АЭк
+ А5,. (Д^г +Д Эк )аго1в Дщ - 3/2(д эк +Д^г )2]/(Д^г +Д эк )2, где ДБ, - ширина кольца.
Индуктивность однослойного плоского (дискового) индуктора по [4]
к =^ кку,
8л
Л1 + Л2 ~ ЛЛ
где аи =—-— - средний диаметр; Ль #2 - наружный и внутренний диаметры ин-
2
дуктора; ки - число витков индуктора. При малых значениях р =
у = 4л
Л — ^2 Л + ^2
, Р2 11 4 \ 4 1 43 2 1 4
1 +-------+---------р +... 11п--------------+-------р +---------р +...
24 2880 I р 2 28» 150
При больших значениях р (р > 0,5)
у = (1 + р) (1,742^ + 3,29у31пу - 2,27у3 + 0,3702у5 +...) р
Л 2
где у = —2.
Взаимную индуктивность двух контуров с номерами г и ] для контуров пуансона или индуктора или контуров пуансона и индуктора определим по формуле [4]:
и 2г,г. 3( 1 1 2 3 3 9 4
М =^Ъг “ 1‘ + 1, + 4 “ + 16 “ +64 “
1 - к1 1 +к
к = -у/Г-к!"; к1 =
; к'^л/Т-к2; к2 =-
4гг
1 + к
(Гг+Г]) + х;
(4)
2; х. - расстоя-
ние круговых контуров друг от друга.
Формула (4) представляет собой быстро сходящийся ряд, возможно применение её и при г, = г., ошибка при этом не более 3%, однако плохая сходимость при весьма малом расстоянии между контурами.
При малом расстоянии х, удобна формула для взаимной индуктивности двух коаксиальных круговых контуров
м.. =^ГГ,
гг
к к =
т2 т4 4 | т2 т4
1+--------+--------+ ... 11п---------1 2-----------+---------
4 64 | т { 4 128
= >/1 -к2 ; хг, = (2. - 2г).
4гг
г.
(5)
(гг +г.)2 +Х2.
Выражение (5) можно использовать при гг = г., но 2г Ф 2. и при 2{ = 2., но Гг * г.. Здесь г, 2^ и г., 2. - координаты контуров.
Взаимная индуктивность г-го контура пуансона с индуктором
М ш =Е М.
Вычисление взаимных индуктивностей круговых элементов пуансона и индуктора как взаимных индуктивностей коаксиальных кругов контуров оправдано тем, что линейные размеры их поперечных сечений малы по сравнению с их диаметрами [4].
Омическое сопротивление элемента пуансона или витка индуктора при равномерном распределении тока определяем по [1]:
я,=-^Л2_.
уЛ эя ^
Омическое сопротивление многовиткового индуктора определяем как сумму омических сопротивлений отдельных витков
ки
Я =1 Я .
г=1
Согласно работам [3, 5] сила взаимодействия между индуктором и элементом пуансона определяется как производная энергии магнитного поля по направлению движения кольцевого элемента - Ы{.
= 1J2 ^Ц_ +1иJ . (6)
г г% г 1 и г 1 v *
2 dui аиг
Пондеромоторная сила (6) не зависит от законов изменения токов в индукторе и пуансоне, определяется их мгновенными значениями, зависит от изменения собственных и взаимных индуктивностей контуров. В работе [5] показано, что такое определение пондеромоторной силы эквивалентно определению её по теории электромагнитного поля.
В частном случае, когда Li = const:
F = I и ^.
г и г 1
dUi
Пондеромоторная сила, действующая на донышко пуансона со стороны индуктора:
Fm=£f .
7=1
Из уравнения (3) определяется
d 2u 2 d 2u
Fn = fm -mg -Г-0,5PoVr —y.
dt dt2
Давление прессования
P = F
= „2
P = —Чг, (7)
nr
где r - внутренний радиус матрицы.
Таким образом, по формуле (7) определяется давление прессования при зарядке МИУ напряжением V0.
Литература
1. Белый И.В., Фертик С.М., Хименко Л.Т. Справочник по магнитно-импульсной обработке металлов. Харьков: Вища школа, 1977. 168 с.
2. Демирчян К.С. Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники. 4-е изд. СПб.: Питер, 2004. Т. 1. 462 с.
3. Билитченко В.П., Гонткявич В.С., Остроумов Г.В. Исследование с помощью ЭЦВМ электромагнитно-механических процессов МИОМ применительно к тонким цилиндрическим оболочкам // Вестник Харьков. политех. ин-та. 1971. Вып. 1. С. 77-84.
4. КалантаровП.А., Цейтлин Л.А. Расчёт индуктивностей. Л.: Энергия, 1970. 415 с.
5. Магнитно-импульсная обработка металлов / ЭНИКМАШ. Воронеж, 1976. 182 с.
6. Петров М.В., Баженов В.Г., Ломунов В.К. Магнитно-импульсная обработка тонкостенных осесимметричных заготовок. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. 144 с.
7. Пат. 2008140451 Российская Федерация, МПК В22Е 3/02 (2006.01). Устройство для магнитно-импульсного прессования порошковых материалов / М.В. Петров, Е.О. Зайцев; заявитель и патентообладатель Чуваш. гос. ун-т им. И.Н. Ульянова. № 82606, заявл. 13.10.2008; опубл. 10.05.2009. Бюл. № 13. 2 с.
8. Попов Ю.А. К выбору эквивалентных глубин проникновения поля при расчёте электромагнитных параметров двухконтурных систем // Исследование новых электрофизических и электромагнитных процессов и явлений / Чуваш. ун-т. Чебоксары, 1970. С. 32-39.
ПЕТРОВ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
PETROV MIKHAIL VASILYEVICH - doctor of technical sciences, professor of Building Constructions Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
