CC BY
40
97. Бочков М. В., Слинько М. Г., Четверушкин Б.Н. Ультравысокая чистота дымовых газов при сжигании метана // Докл. РАН. 1999. 365. № 1. С. 87-89.
98. Дородницын JI.B., Корнилина М.А., Четверушкин Б.Н., Якобовский М.В. Моделирование газовых течений при наличии химически активных компонентов // Журн. физ. химии. 1997. 71. № 12. С. 2275-2281.
99. Лукшин A.B., Ярчук Л. В. О методе декомпозиции областей для уравнения Больцмана // Диф. ур-ния. 1998. 34. № 7. С. 958-964.
100. Дородницын Л. В. Неотражающие граничные условия для систем уравнений газовой динамики // ЖВМиМФ. 2002. 42. № 4. С. 522-549.
101. Дородницын Л. В. Акустика в моделях вязких дозвуковых течений и неотражающие граничные условия // Прикл. матем. и информатика. № 3. М.: Диалог-МГУ, 1999. С. 43-64.
102. Дородницын Л. В. Акустические свойства непрерывных и дискретных газодинамических моделей // Прикл. матем. и информатика. № 6. М.: МАКС Пресс, 2000. С. 39-62.
103. Д о р о д н и ц ы н Л. В. Неотражающие граничные условия для газодинамических задач в нелинейной постановке // Прикл. матем. и информатика. 2002. № 11. С. 38-74.
104. Д о р о д н и ц ы н Л. В. Неотражающие граничные условия: от концепции до алгоритмов. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2002.
105. Богомолов C.B. Метод частиц с весами для уравнения Бюргерса // Матем. моделир. 1994. 6. № 5. С. 77.
106. Б о г о м о л о в C.B., Замараева A.A., Карабелли X., Кузнецов К. В. Консервативный метод частиц для квазилинейного уравнения переноса // ЖВМиМФ. 1998. 38. № 9. С. 1602.
107. Богомолов С. В., Кузнецов К. В. Метод частиц для системы уравнений газовой динамики / / Матем. моделир. 1998. 10. № 7. С. 93.
108. Богомолов C.B., Михайлов Д.Н. Численные расчеты распространения сейсмических волн на основе нелинейной вязкоупругой модели // Физика Земли. 1999. № 3. С. 18.
109. Богомолов C.B., Захаров Е.В., Зеркаль C.B. Моделирование волн на мелкой воде методом частиц // Матем. моделир. 2002. 14. № 3. С. 103.
110. Богомолов C.B. Метод частиц. Несжимаемая жидкость // Матем. моделир. 2003. 15. № 1. С. 46.
111. Зеркаль C.B., Захаров Е. В., Б о г о м о л о в С. В. Моделирование движения потоков различной природы по наклонной поверхности методом частиц // Bíchhk Харювського нащонального ушверситету. Сер1я Матем. моделюв. 1нформ. техн. Автомат, системи управлшня. 2003. № 590. С. 114.
112. Б о г о м о л о в C.B. Уравнение Фоккера-Планка для газа при умеренных числах Кнудсена // Матем. моделир. 2003. 15. № 4. С. 16.
Поступила в редакцию 20.06.04
Г. Г. Еленин, Ю. П. Попов, В. А. Трофимов, А. П. Фаворский МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ1
(кафедра вычислительных методов, лаборатория математического моделирования факультета ВМиК)
В статье приводится обзор работ, выполненных за последние годы сотрудниками кафедры вычислительных методов (заведующий кафедрой академик А. А. Самарский) и лаборатории математического моделирования в физике (заведующий лабораторией В. А. Трофимов). Представлены работы, относящиеся к математическому моделированию прикладных задач: гемодинамика сердечно-сосудистой
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 02-01-01089, 02-01-00555, 01-01-00488, 99-01-01078, 01-01-00572, 04-01-00633, 01-03-00606) и программы "Университеты России".
системы, процессы пространственно-временной самоорганизации в открытых неидеальных системах, проблемы взаимодействия лазерного излучения с веществом, физические процессы в аккреционных дисках двойных звездных систем.
1. Математическое моделирование гемодинамики сердечно-сосудистой системы. В
последнее время все более актуальной становится проблема математического моделирования и проведения вычислительного эксперимента в медицине и физиологии человека. Среди возникающих здесь разнообразных вопросов особое место занимает исследование функционирования сердечно-сосудистой системы, которая является основой жизнедеятельности живого организма.
Существует значительное количество работ, посвященных изучению гемодинамических течений в отдельных сосудах и фрагментах кровеносной системы с учетом влияния пространственных и некоторых физиологических факторов. Вместе с тем большое значение имеет комплексное рассмотрение сердечно-сосудистой системы в целом, включая ее взаимодействие с важнейшими органами человеческого организма (почки, печень, желудочно-кишечный тракт, группы мышц и т.д.). Понятно, что реализация такого подхода требует использования различных математических, алгоритмических средств и мощных компьютеров. Большой практический опыт, накопленный математической школой А. А. Самарского в решении сложных научно-технических проблем, а также разработанные в этой школе конструктивные принципы и методы численного решения широкого круга задач математической физики позволяют расширить предметную базу средств математического моделирования на разнообразные современные задачи медицины. Такой подход открывает принципиально новую возможность всестороннего глубокого изучения процессов, происходящих в организме, и в частности в его кровеносной системе, а также исследования влияния различного рода вмешательств и воздействий внешних факторов в функционирование организма. С этой целью по инициативе А. А. Самарского на кафедре вычислительных методов совместно с сотрудниками ФФМ МГУ была разработана иерархическая система математических моделей, отражающая систему кровеносных сосудов на топологически эквивалентный граф (см. [1-5]). Ребра графа соответствуют собственно сосудам, вершины графа отвечают зонам ветвления или являются точечными моделями мышц и различных органов. Самостоятельно выделенная модель сердца замыкает уравнения гемодинамики. Система моделей позволяет как выборочно, так и в комплексе учитывать трение потока крови о стенки сосудов, гравитационные силы, перенос различных включений вместе с потоком крови, различные варианты описания работы сердца, допускает уточнение физиологических свойств сосудов и т.д. Основой системы моделей являются квазилинейные уравнения в частных производных, отражающие фундаментальные физические законы сохранения.
Для решения построенной таким образом системы квазилинейных уравнений в частных производных на графе в общем случае используются численные методы. В соответствии с теорией, развитой в работах А. А. Самарского и его учеников, в основу вычислительных алгоритмов заложены однородные консервативные разностные схемы, полученные на основе интегроинтерполяционного метода. Такой подход кардинально облегчил создание унифицированной системы программ, объединенных в программный комплекс CVSS (CardioVascular Simulating System), ориентированный на постоянное обновление и расширение класса математических моделей алгоритмов и необходимой базы экспериментальных данных (см. [6]). Кроме того, комплекс CVSS содержит блоки построения различных аналитических и приближенных решений в упрощенных постановках (линеаризация, стационарность и т.п.). Переходя к описанию полученных результатов, прежде всего следует выделить расчет гемодинамики в большом круге кровообращения с квазипериодической нелинейной моделью сердца, позволяющей поддерживать постоянный объем интегрального количества крови в системе (см. [7]). Следует отметить, что весьма важную роль в постановке и решении задач гемодинамики играет правильный, согласованный выбор графа сосудов и всех параметров модельной кровеносной системы, позволяющий выйти на квазипериодический режим. Специальный цикл расчетов позволил подробно воспроизвести почечную функцию регуляции артериального давления в различных режимах (см. [8]). Было исследовано также влияние резистивных сосудов на формирование уровня артериального давления (см. [9]), смоделирована барорецепторная регуляция давления (см. [10]), а также смоделирован процесс распространения фракций в кровеносной системе. Определенный прикладной интерес представляют результаты численного моделирования влияния гравитационных нагрузок на живой организм, приводящих к перераспределению давлений и напряжений в сосудах и в сердце. Проведенные расчеты показали, что при изучении гравитационного воздействия весьма существенную роль играет конкрет-
ный вид уравнений, описывающих упругие свойства сосудов и адаптацию режима работы сердца в зависимости от величины гравитационной нагрузки (см. [10]). Для моделирования процессов гемодинамики в сложно организованной системе кровообращения головного мозга потребовалось, используя возможности программного комплекса CVSS, "перестроить" граф сердечно-сосудистой системы так, чтобы за счет упрощения некоторых фрагментов структуры сосудов большого круга кровообращения достичь, в свою очередь, необходимой детализации графа сосудов мозгового кровообращения. Проведенные совместно с сотрудниками Института нейрохирургии им. Н. Н. Бурденко расчетные исследования продемонстрировали большие резервы системы сосудов головного мозга в обеспечении надежного, стабильного кровоснабжения тканей головного мозга за счет активного подключения дублирующих резервных сосудов в случае каких-либо отклонений от нормы [11]. Разработанная система наполнения и коррекции базы данных позволила, в частности, осуществить контрольную верификацию параметров пациентов в предоперационный период, а также проводить априорные оценки кровоснабжения тканей головного мозга при планировании хирургических вмешательств. Неотъемлемой частью вычислительного эксперимента является построение аналитических приближенных решений исследуемых задач. В связи с этим был проведен большой цикл работ по построению точных решений линеаризованных уравнений гемодинамики на графе сосудов (см. [6, 7, 12, 13]). Построение решений проводилось методом продолжения, принципы которого изложены в классических работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Полученные решения обеспечили верификацию программного комплекса CVSS в ряде предельных случаев (см. [6]). Более того, использование аналитических решений позволило провести ряд качественных и количественных оценок поведения сердечно-сосудистой системы в норме и при патологии (см. [7]). Показано, что безразмерными параметрами, определяющими характер поведения амплитуд пульсовых волн давления и скорости, являются значения определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения во всех вершинах графа. Найдены общие условия, при которых происходит резонансный рост амплитуд давления и скорости [13]. Выводы линейной теории относительно качественных особенностей течения подтверждены результатами прямых численных расчетов с использованием программного комплекса CVSS (см. [6]).
2. Математическое моделирование процессов пространственно-временной самоорганизации. Математическое моделирование процессов пространственно-временной самоорганизации в открытых неидеальных системах, далеких от состояния термодинамического равновесия, является одним из перспективных направлений в современных междисциплинарных исследованиях. Результаты, полученные в этой области, представляют интерес как для фундаментальной науки, так и для практических приложений. В настоящее время известно, что пространственный порядок в нанометровой шкале размеров определяет уникальные физические, химические и биологические свойства материалов, а пространственно-временной порядок в нано- и микрометровом диапазоне определяет скорость химических превращений и их селективность. Так как многие привлекательные свойства мезоскопиче-ских и макроскопических образцов материалов теряются из-за дефектов в пространственном порядке расположения атомов и молекул, то представляет интерес разработка новых технологий сборки или самосборки "бездефектных" материалов, а также микроустройств со специальными функциями, например медицинских нанороботов для уничтожения вирусов, чистки кровеносных сосудов и доставки лекарств в определенную область больного органа [14-17]. При исследовании самоорганизующихся систем и определении возможности самосборки и условий существования явлений самоорганизации наряду с методами лабораторного эксперимента используются компьютерные технологии. Эти технологии опираются на математические модели конденсированного состояния вещества, эффективные вычислительные алгоритмы решения соответствующих классов задач и проблемно-ориентированные комплексы программ [17-19]. Для проведения теоретических исследований таких систем методом вычислительного эксперимента [20] под руководством профессора Г. Г. Еленина студентами и аспирантами кафедры вычислительных методов созданы проблемно-ориентированные комплексы компьютерных программ PROMETHEUS [21, 22] (Г. Г. Еленин, Д. С. Надобенко), PATH [23, 24] (Г. Г. Еленин, П. И. Шляхов), DYNAMICS [25] (П. Б. Богданов, Г. Г. Еленин). Комплексы снабжены дружественным интерфейсом и развитыми средствами визуализации результатов вычислительных экспериментов.
Комплекс компьютерных программ PROMETHEUS предназначен для моделирования эволюции состояния широкого класса открытых неидеальных решеточных систем типа реакция-диффузия. С его помощью исследуются явления пространственно-временной самоорганизации в мезо- и макроскопических системах. Состояние всех N узлов фрагмента пространственной решетки в момент време-
ни £ определяется решением задачи Коши ит{Ь) = ..., С/т(0) = С/т> о, иттитО £
то = для системы значительного числа (1 «С X) нормальных обыкновенных нелинейных
дифференциальных уравнений следующего вида:
¿ит/М = Р(ит,Р^),рт)+ ^ {№(ик,ит,Рк) -Ш(ит,ик,Рк)},
кеОг (т)и02(т)
где то — внутренний узел фрагмента решетки, 11т — 5-компонентный вектор состояния узла, — вектор управляющих параметров, рт — вектор внутренних параметров, £ — время, Ор(т) — множество узлов, являющихся р-ми соседями узла то, Р(ит, Р(Ь),рт), А¥{ик, ит,рк) — задаваемые пользователем вектор-функции. На внешней границе фрагмента решетки д£1(1, -Т) задаются аналоги граничных условий либо первого, либо второго, либо третьего рода либо имеют место периодические граничные условия. Граничные условия первого и второго рода содержат задаваемые пользователем функции то), то), II). Фрагмент решетки, решетка и функции Р(ит, Р(Ь),рт), А¥{ик, ит,рк), то), то), и) определяют класс решеточной модели типа реакция-диффузия. Постановка задачи для выбранного класса моделей заключается в задании этих функций, начальных и граничных условий, внутренних параметров и режимов изменения управляющих параметров. Программный комплекс предоставляет возможность выбора вычислительного метода и средств визуализации результатов вычислительного эксперимента. Комплекс использовался (в частности, см. [26-28]), для исследования:
• процессов спонтанной и вынужденной нуклеации стабильных высокореакционных состояний, условий стабилизации метастабильных состояний в реакции окисления монооксида углерода на платиновом катализаторе;
• химической турбулентности в реакции редукции монооксида азота монооксидом углерода;
• формирования спиральных волн с "прямоугольными" и "треугольными" фронтами;
• фазовых переходов типа порядок-беспорядок и фазовых переходов типа расслоения на фазы;
• образования контрастных стационарных диссипативных структур в режиме волны достройки [29] в проблеме морфогенеза.
В вычислительных экспериментах, выполненных с помощью комплекса, подтверждены основные результаты теоретических исследований вынужденной нуклеации высокореакционных состояний на поверхности катализатора [30]. Показано, что естественные или искусственные мезоскопические дефекты могут играть двоякую роль в процессе вынужденной нуклеации. При определенных условиях они могут инициировать рост высокореакционного состояния на поверхности катализатора. При других условиях группы дефектов могут стабилизировать метастабильные состояния реакционной системы. Эти теоретические результаты подтверждены в лабораторных экспериментах по исследованию реакции окисления монооксида углерода на платиновом катализаторе, выполненных совместно с сотрудниками Института им. Ф. Габера общества М. Планка [27, 31].
Комплекс компьютерных программ РАТН разработан для продолжения по параметрам решений нелинейных задач, исследования их ветвлений и их устойчивости. К основным классам исследуемых задач, в частности, относятся перечисленные ниже задачи и задачи, сводящиеся к ним.
1. Известно достаточное число раз дифференцируемое нелинейное отображение X —> У: У = Р(Х, Р); У,ХЕ где Р — вектор параметров, Р 6 Км, и некоторое решение Хо = Х(Ро) задачи
Р(Хо,Ро) = 0. Требуется найти:
• зависимость решения задачи X = Х(Ро^) от одного из параметров где Ро,г = (Р1,о, ■ ■ ■ . . . ,£>¿-1,0, £>¿,£>¿ + 1,0, . . .,Рм,о)] К е К, ! е {1, • • -,М};
• множество 5* точек смены устойчивости стационарного решения задачи Коши для системы йХ/М = Р(Х,Р):
5; = {(Р0**,Х** = Х(Р**)) : Р(Х**,Р**) = 0, Эк, ЯеХк = О, V/ ф к, ЯеХ; < О,
ае^рГ**, Р0**)дХ - ХЕ) = 0, к, / 6 {1,..., N}};
• множество точек Вм(ъ^) в плоскости управляющих параметров pj, I,] 6 {1,.. -
Вм&Л = {(Р»рз): Р(Х(Р0^),Р0^) = О, (др(х(р0^)1р0^)/дх)г=о1 гем^,
Ф 0, Ро,г,з = {Р1,0, ■ ..,Рг-1,0,Рг,Рг + 1,0, ■ ■ -^3-1,0^3^3+1,0, ■ ■ -,Рм,о)}]
• множество точек бифуркации Андронова-Хопфа в плоскости управляющих параметров рг, pj, i,j G {1,..N}:
BA(i,j) = {(pi,pj) : F(X(Po,i,j), P0,i,j) = 0, 3k, ReAfc = 0, Im Afc ф О, V/ ф к, Re А/ < О,
det(3F(X**, Р0**)/дХ - ХЕ) = 0, к, / G {1,..., N}}.
2. Известно решение Xq = X(t, Ро), t G [0,1], Го = Т(Ро) краевой задачи
dX/dt = TF{X, -Ро) = 0, t G [0,1], Х(0) = Х(1),
где F{X,P) — достаточное число раз дифференцируемая функция F, х G Р G Км, Т Е К,
Т ф 0, где Р — вектор параметров. Требуется найти:
• зависимость решения X = X(t,Poti), То = Г(Ро,г) задачи от одного из параметров pi, Po,i = {pi,o, ■ ■ -,Pi-i,o, Pi,Pi+i,o, ■ ■ -,Pn, o); Pj G M, j G {1,. •., M};
• множество So точек смены устойчивости решения X = X(i, Ро,г)> t £ [0,1], То = Т(Ро,г):
5*0 = = X{t,P^),T* = Г(Р0*,г)) : dJT/di = T*F{X*,P^) = О, Х*(0) = Х*(1),
^ дг = 1, = i,j G {l,...,iV}, MGR, det(W(l) - цЕ) = 0, WeKNxN,
dW/dt = T*(dF(X*,Pli)/dX)W = 0, ¿G[0,1], W(0) = E}.
С помощью комплекса программ установлены границы областей существования, единственности, множественности и устойчивости стационарных пространственно-однородных и пространственно-неоднородных решений типа волн переключения и уединенных волн, а также периодических по времени решений на множестве допустимых значений управляющих параметров класса моделей. С помощью комплекса программ построены диаграммы неравновесных состояний ряда реакционных систем, которые облегчают параметрическую идентификацию математических моделей [27].
Комплекс компьютерных программ DYNAMICS предназначен для исследования атомно-молеку-лярных систем в рамках метода классической молекулярной динамики. Эволюция неидеальных систем в нанометровой шкале пространственных размеров и в пикосекундной шкале временных интервалов описывается численным решением задачи Коши для уравнений движения в форме Ньютона в случае свободного движения материальных точек и в форме Лагранжа (I рода) в случае систем со связями:
d(MdR/dt) = gvadRU(R) + {dL(R)/dR)TK, L(R) = 0, t^t0, Ro = R(to), V0 = dR(t0)/dt, L(Ro) = 0, (dL(R0)/dR)Vo = 0,
где L — известные связи, A — неизвестные множители Лагранжа, L, A G i№; R, Ro — векторы текущего и начального положений частиц, Vo — вектор начальных скоростей, R,Ro,Vo G Мздг; t,to — текущий и начальный моменты времени, U — потенциальная энергия системы, U G Мздг. Пользователю предоставлены возможности выбора различных типов потенциалов взаимодействия, начальных условий, а также консервативных и обратимых по времени вычислительных методов. По состоянию системы вычисляются коллективные характеристики системы такие, как температура, давление, различные формы энергии и различные характеристики пространственно-временной структуры состояния. Комплекс использовался для исследования процессов диссоциации двухатомной в жидкой фазе и на поверхности монокристалла, адсорбции, десорбции и миграции адсорбированных частиц по ступенчатой поверхности монокристалла.
Комплексы компьютерных программ существенно облегчают исследование математических моделей, служат своеобразным тренажером для выработки интуиции исследователя и используются в учебном процессе.
3. Математическое моделирование современных проблем взаимодействия лазерного излучения с веществом. В лаборатории математического моделирования в физике проводятся исследования проблем взаимодействия лазерного излучения с веществом, которые возглавляет проф. В. А. Трофимов. Полученные за последние 6 лет результаты опубликованы более чем в 170 научных работах в отечественных и зарубежных изданиях и докладывались на многочисленных международных и отечественных конференциях. Проводимые исследования можно условно разделить на три направления.
1. Математическое моделирование распространения фемтосекундных импульсов в нелинейных средах (проф. В. А. Трофимов, к.ф.-м.н. С. А. Варенцова, к.ф.-м.н. Т. М. Лысак, к.ф.-м.н. М. В. Федотов,
A. Г. Волков, Е.Б. Терешин).
2. Исследование новых типов оптической бистабильности для создания оптического процессора и оптических переключателей (проф. В. А. Трофимов, к.ф.-м.н. Т.М. Лысак, к.ф.-м.н. Ю.В. Трощиев, к.ф.-м.н. A.B. Шобухов, М. М. Логинова).
3. Исследование закономерностей записи информации в трехмерные оптические винчестеры (проф.
B. А. Трофимов, к.ф.-м.н. Ю.В. Трощиев, A.B. Выслоух).
В рамках первого направления построены инварианты нелинейного комбинированного уравнения (или систем) Шредингера, содержащего производную по времени от нелинейного отклика среды, на основе предложенного оригинального преобразования [32] исходного уравнения (систем уравнений). Полученные инварианты открывают возможность построения консервативных разностных схем для рассматриваемого класса задач (см., например, [33]). На этой основе пересмотрены сложившиеся в мировой литературе закономерности о развитии неустойчивости распространения фемтосекундных импульсов и сформулирована математическая модель, содержащая производную по времени от нелинейного отклика среды и свободная от развития нефизической неустойчивости.
Предложен новый подход к расчету распространения лазерных импульсов в фотонных кристаллах [34], который состоит в отказе от выделения направления их распространения, и получены их инварианты. На их основе построены консервативные разностные схемы для данного класса задач.
Используя построенные математические модели и разностные схемы, удалось предсказать ряд нелинейно-оптических эффектов. Среди них, в частности, отметим самоформирование солитонов при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде и формирование двухцветных солитонов; локализацию световой энергии и формирование солитонов в слоях одномерных нелинейных фотонных кристаллов; эффект зависимости спектра импульса в нелинейной среде от его абсолютной начальной фазы и другие эффекты. Создана теория генерации второй гармоники высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов при одновременном действии квадратичной и кубичной нелинейности среды [35, 36].
В рамках второго направления развита теория самопереключений в оптически бистабильных без-резонаторных системах, предсказана в них пространственно-временная неустойчивость и новый сценарий перехода к лазерно-индуцированному хаосу через генерацию суммарных частот в оптически бистабильных системах на основе температурной зависимости времени релаксации носителей заряда полупроводника. Предложены новые типы оптической бистабильности:
— релаксационная оптическая бистабильность на основе зависимости времени безызлучательной или излучательной релаксации свободных носителей заряда полупроводников;
— оптическая бистабильность при генерации второй гармоники фемтосекундных импульсов в условиях их самовоздействия;
— оптическая бистабильность на основе нарушения законов отражения Снеллиуса при наклонном падении оптических пучков на экран, расположенный в нелинейной среде, и др.
Показана гистерезисная зависимость частоты с максимальной спектральной яркостью отклика среды от амплитуды воздействующего фемтосекундного импульса. Важное практическое значение имеет эффект аномального увеличения температуры термостата, при которой имеет место оптическая бистабильность на основе температурной зависимости коэффициента поглощения полупроводника. Он позволяет на несколько порядков уменьшить энергию переключения за счет существенного снижения затрат энергии, расходуемой на отвод тепла.
В рамках третьего направления построена теория дифракционных явлений оптически бистабильных безрезонаторных систем. Основным результатом этой теории является эффект ложной записи в 3D оптических винчестерах [37-40]. Здесь следует также отметить фундаментальный эффект — дифракционную неустойчивость светового пучка при прохождении неоднородной границы домена высокого поглощения. Дифракция оптического излучения также приводит к формированию движущихся и неподвижных многодоменных пространственных структур и обратного "кинка" в оптически бистабильных системах, а также к возможности реализации оптической бистабильности за счет эллиптичности профиля пучка. Более подробную информацию о полученных результатах и публикациях можно
найти на сайте кафедры вычислительных методов и лаборатории математического моделирования в физике в разделе проф. В. А. Трофимова.
4. Математическое моделирование процессов в аккреционных дисках двойных звездных систем. Аккреционные диски или газовые образования вблизи гравитирующих тел являются в настоящее время одним из важных объектов, изучаемых современной астрофизикой. Наличие таких дисков является характерной особенностью двойных звезд, которые являются преобладающими среди всех звезд, наблюдаемых во Вселенной. Одной из компонент двойной звездной системы зачастую являются такие экзотические объекты как, например, нейтронные звезды или "черные дыры", непосредственное наблюдение которых затруднено. Однако изучение процессов, происходящих в аккреционных дисках, находящихся в их окрестности, дает возможность делать выводы относительно свойств этих объектов.
Изучение процессов в двойных звездных системах, в том числе и в их аккреционных дисках, с помощью методов математического моделирования занимаются в различных постановках несколько научных групп в разных странах.
Особенностью нашего цикла исследований является то, что аккреционный диск выделен в качестве отдельного элемента. Это дает возможность проводить детальный анализ пространственной структуры диска и его эволюцию во времени.
Рассмотрение проводится в рамках уравнений гравитационной газовой динамики в неинерциаль-ной системе координат, вращающейся вместе с двойной системой. В уравнениях присутствуют силы различной природы — гравитационные, центробежные, кориолисовы, обусловливая формирование сложной структуры газодинамического течения в диске. Использованная физико-математическая модель предполагает, что на начальном этапе одна из компонент двойной звездной системы приближается ко второй, окруженной газовым облаком. При этом особое внимание уделялось выбору начального состояния газового облака, которое задавалось равновесным в отсутствие вторичной компоненты. Это позволило избежать движения газа, связанного с неравновесностью начальной конфигурации, и сосредоточиться на исследовании процессов в диске, обусловленных вращением двойной системы и гравитационным взаимодействием [41].
Построение указанной равновесной конфигурации газового облака, вращающегося вблизи грави-тирующего тела, потребовало дополнительных исследований. В результате получено аналитическое пространственно-трехмерное решение поставленной задачи, которое позволяет по заданной форме границы облака (или по распределению азимутальной скорости) определить все остальные параметры [42, 43].
Расчет сформулированной задачи проводился для обеспечения большей надежности, и в частности для контроля за схемной вязкостью, с помощью двух различных численных методов — модифицированной схемы Роу и модифицированного метода крупных частиц. В ходе расчетов варьировались параметры задачи: отношение масс компонент звездной системы, вид начального газового облака, размеры расчетной области, вид граничных условий [44, 45].
Основная масса расчетов проводилась в двумерном приближении. Трехмерные расчеты отдельных вариантов задачи показали, что двумерное приближение достаточно хорошо описывает процессы в аккреционном диске [46-52].
В результате проведенного математического моделирования получена картина развивающегося в диске газодинамического течения. На начальной стадии под действием гравитационных сил и вращения двойной системы газ приобретает положительную радиальную составляющую скорости и начинает разлетаться от центра. Как следствие возникает волна разрежения, тормозящая газ и вызывающая затем его падение на гравитирующее тело. При этом возникает ударная волна, переходя через которую газ практически полностью теряет радиальную скорость. Фронт ударной волны движется на периферию области, приобретая эллипсовидную форму из-за неоднородности компонент возмущающих сил по азимутальному углу. За фронтом волны формируется квазистационарное состояние, существенным элементом которого являются спиральные волны, которые перемещаются по газу. Такая конфигурация сохраняется в течение нескольких периодов обращения двойной системы.
Для анализа образующейся двухрукавной спиральной структуры дополнительно рассчитывались траектории отдельных частиц газа. Расчеты показали, что при переходе частицы через фронт спиральной структуры ее угловой момент, как правило, уменьшается. Однако при некоторых условиях
такой переход может сопровождаться n увеличением углового момента, в результате чего частица перемещается на периферию расчетной области и может вообще ее покинуть. Таким образом аккреция вещества диска определяется не только наличием спиральной структуры, как считалось ранее, но и общей суперпозицией всех сил, в том числе градиента давления.
Как показали расчеты, описанные стадии формирования спиральной структуры качественно не зависят от соотношения масс первичной и вторичной компонент, а также от выбора вида начальной конфигурации диска. Имеют место различия лишь во времени возникновения спиральных структур, их интенсивности и длительности квазистационарной фазы течения.
Одной из целей проведенного моделирования являлось изучение возможности стационарного состояния аккреционного диска в двойной звездной системе. Для этого проведена серия расчетов в области, содержащей полость Роша первичной компоненты и внутреннюю точку Лагранжа. Показано, что в случае "свободных" граничных условий в диске устанавливается двухрукавная спиральная структура, которая качественно не меняется в течение длительного времени. Однако стационарной такая структура по-прежнему не является, так как наблюдается истечение вещества диска как в сторону внутренней границы области (на первичную компоненту), так и на периферию, в основном в окрестности внутренней точки Лагранжа.
Отдельный раздел исследований посвящен анализу природы спиралевидных образований, возникающих в процессе эволюции газового диска. В литературе их было принято отождествлять с ударными волнами и считать, что именно на их фронтах происходит основная потеря углового момента. Однако проведенные расчеты, а также аналитические решения, построенные для одномерного случая, показали, что данные образования ударными волнами не являются. Они представляют собой волны плотности, обусловленные действиями совокупности указанных выше сил и являются проявлением так называемого "приливного" взаимодействия [53].
Таким образом, методами математического моделирования были изучены гравитационно-газодинамические процессы в аккреционных дисках двойных звездных систем и были получены новые результаты, относящиеся к их структуре и характеру эволюции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин A.B., Мухин С. И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. № 104. 1996.
2. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин A.B., Мухин С. И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы // Диф. ур-ния. 1997. 33. № 7. С. 892-898.
3. Абакумов М.В., Ашметков И.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П., Хруленко А. Б. Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы // Матем. моделир. 2000. 12. № 2. С. 106-117.
4. Мухин С. И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П. Квазиодномерные нелокальные модели гемодинамики // Третья Всероссийская с международным участием школа-конференция по физиологии кровообращения. Тезисы докладов. Москва, 2004. С. 63-64.
5. Koshelev V.B.,Mukhin S. I., S о s n i n N.V.,Favorskiy A. P. Complex nonlocal cardiovascular system mathematical modeling // Abstracts. Russia-Japan International Workshop on Actual Problems of Computational Mechanics. August 5-10, 2002. St. Petersburg, Russia.
6. Ашметков И.В., Буничева А.Я., Лукшин В.А., Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А. Б. Математическое моделирование кровообращения на основе программного комплекса CVSS // Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. С. 194-218.
7. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Математическое моделирование некоторых прикладных задач гемодинамики // Прикл. матем. и информ. М.: МАКС Пресс, 2001. № 9. С. 91-132.
8. Буничева А.Я., Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое моделирование фильтрационной функции почки. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2001.
9. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Осредненная нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 7. С. 905-912.
10. Буничева А. Я., Мухин С. И., Соснин Н.В., Фаворский А. П. Вычислительный эксперимент в гемодинамике // Диф. ур-ния. 2004. 40. № 7. С. 1-16.
11. Лукшин В. А., Ф аво р с к и й А.П.,Мухин С.И.,Соснин Н. В., Ш ах н о в и ч А. Р., Ш ах н о-вич В.А., Лазарев В.А., Усачев Д.Ю., Чурилов М.В., Бочаров А. В. Математическое моделирование церебральной гемодинамики // Материалы III съезда нейрохирургов России. СПб., 2002, С. 335-336.
12. Ашметков И.В., Мухин С.П., Соснин Н.В., Фаворский А.П.,Хруленко А.Б. Анализ и сравнение некоторых аналитических и численных решений задач гемодинамики // Диф. ур-ния. 2000. 36. № 7. С. 919-924.
13. Ашметков И.В., Мухин С.П., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Краевая задача для ЛГД уравнений на графе // Диф. ур-ния. 2004. 40. № 1. С. 1-11.
14. Drexler К. Е. Molecular manufacturing: perspectives on the ultimate limits of fabrication // Phil. Trans. R. Soc. L. 1995. 353.
15. Saito R., Fujita M., Dresselhaus G. et al. // Phys. Rev. B. 1992. 46.
16. Wildoer J.W.G., Venema L.C., Rinzler A. G. et al. // Nature. 1998. 391.
17. Еленин Г.Г. Нанотехнологии, наноматериалы, наноустройства // Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002. С. 123-159.
18. Еленин Г.Г. Математическое моделирование гетерогенных каталитических реакций на гранях монокристаллов благородных металлов. Ч. I. Сверхструктуры и фазовые переходы // Российский химический журнал. 1996. XL. № 2. С. 19-50.
19. Еленин Г.Г. Математическое моделирование гетерогенных каталитических реакций на гранях монокристаллов благородных металлов. Ч. II. Пространственно-временная самоорганизация: реконструкция поверхности катализатора, автоволновые явления // Российский химический журнал. 1999. XLIII. № 2. С. 17-43.
20. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестн. АН СССР. 1979. № 5. С. 38-49.
21. Еленин Г.Г.,Надобенко Д.С. Компьютерный комплекс Прометей. Краткое описание. Версия 1-00. М.: МАКС Пресс, 2000.
22. Еленин Г.Г., Надобенко Д.С. Компьютерный комплекс Прометей. Задание новых решеточных моделей типа реакция-диффузия. Версия 1-00. М.: МАКС Пресс, 2001.
23. Еленин Г. Г., Шляхов П. И. Программа PATH. Версия 1. Исследование ветвлений решений системы нелинейных уравнений. Вып. 1. Описание программы. М.: МАКС Пресс, 2001.
24. Еленин Г. Г., Шляхов П. И. Программа PATH. Версия 2. Исследование ветвлений решений нелинейных уравнений. Вып. 2. Продолжение по параметру периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МАКС Пресс, 2003.
25. Богданов П. Б., Еленин Г. Г. Программный комплекс DYNAMICS для решения задач классической молекулярной динамики. Версия 1-03. М.: МАКС Пресс, 2004.
26. Yelenin G.G. Whether can local defects of a monocrystal surface change fundamentally global dynamics of a surface reaction? Moscow: Dialogue-MGU, 1998.
27. Berdau M., Yelenin G.G., Karpowicz A., Ehsasi M., Christmann K., Block J.-H. Macroscopic and mesoscopic characterization of a bistable reaction system: CO oxidation on Pt(lll) surface // J. Chem. Phys. 1999. 110. P. 11551-11573.
28. Yelenin G.G., Nadobenko D.S., Yelenina M.G. Mathematical modeling of the CO oxidation on modified Pt-catalyst surface // Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2002 / Eds. A. Buikis, R. Ciegis, A. D. Fitt. Berlin; Heidelberg; New York, Springer, 2003. P. 408-412.
29. Еленин Г. Г., Крылов В. В., Полежаев А. А., Чернавский Д. С. Особенности формирования контрастных диссипативных структур // ДАН СССР. 1983. 227. № 1. С. 273-276.
30. Еленин Г. Г. Точные стационарные и автоволновые решения в минимальных моделях бистабиль-ной среды // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 7. С. 933-940.
31. Berdau М., Karpowicz A., Yelenin G.G., Christmann К., Block J.-H. Kinetic phase diagram for CO oxidation on Pt(210): Pattern formation in the hysteresis and oscillation regions //J. Chem. Phys. 1997. 106. P. 4291-4308.
32. Трофимов В. А. О новом подходе к моделированию нелинейного распространения сверхкоротких лазерных импульсов // ЖВМиМФ. 1998. 38. № 5. С. 835-839.
33. Варенцова С.А., Волков А.Г., Трофимов В.А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного лазерного импульса в кубично-нелинейной среде // ЖВМиМФ. 2003. 43. № 11. С. 1709-1721.
34. Трофимов В. А. Инварианты распространения фемтосекундных световых импульсов в фотонных кристаллах // ЖВМиМФ. 2001. 41. № 9. С. 1458-1462.
35. Лысак Т.М., Трофимов В.А. О возможности высокоинтенсивной и высокоэффективной генерации второй гармоники фемтосекундных импульсов // Письма в ЖТФ. 2001. 27. Вып. 11. С. 64-71.
36. Лысак Т.М., Трофимов В. А. О возможности компенсации влияния самовоздействия волн на эффективность ГВГ фемтосекундных импульсов // Оптика и спектроскопия. 2003. 95. № 3. С. 489-494.
37. Trofimov V.A. Effect of false writing of information in optical processor and optical storage devices realizing on the base of nonlinear absorption // Quantum and Atomic Optics / Eds. S.N. Bagaev et al. Proc. of SPIE. 2002. 4750. P. 227-237.
38. Трофимов В. А. ОБ на основе температурной зависимости времени излучательной рекомбинации — новый класс ОБ элементов // Оптика и спектроскопия. 2002. 92. № 6. С. 964-967.
39. Никитенко К.Ю., Трофимов В.А. ОБ на основе нелинейного наклонного отражения световых пучков от экрана, имеющего отверстие на его оси // Квантовая электроника. 1999. 26. № 2. С. 147-150.
40. Лысак Т. М., Трофимов В. А. Бистабильный режим ГВГ фемтосекундных импульсов / / ЖТФ. 2001. 71. № 11. С. 53-58.
41. Абакумов М.В., Мухин С. И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование неравновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 1995. № 33.
42. Абакумов М.В., Мухин С. И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование неравновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра // Астрономический журнал. 1996. 73. № 3. С. 211-218.
43. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Стационарные дисковые структуры около гравитирующих компактных объектов // Астрономический журнал. 1996. 73. № 3. С. 407-418.
44. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М., Попов С.Б. Особенности схемы Roe при расчете задач обтекания. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1996. № 46.
45. Луговский А.Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Численные методы для моделирования развития турбулентности в аккреционных дисках. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2003.
46. Абакумов М. В., Мухин С. И., Попов Ю. П., Чечеткин В.М. Математическое моделирование процессов в аккреционном диске двойной системы. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 1996. № 82.
47. Абакумов М.В., Мухин С. И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Газодинамические процессы в аккреционном диске двойной звездной системы // Матем. моделир. 1998. 10. № 5. С. 35-46.
48. Abakumov M.V., Mukhin S. I., Popov Yu.P., Chechetkin V.M. Gas dynamic processes in the accretion disk of the bynary star system // Abstracts of Joint European and National Astronomical Meeting (JENAM). May 29-June 3. Moscow, 2000. P. 70.
49. Абакумов M. В., Мухин С. И., Попов Ю. П., Чечеткин В.М. Математическое моделирование структуры аккреционных дисков в двойных звездных системах // Астрофизический журнал. 2001. 78. № 5 С. 505-513.
50. Abakumov M.V., Mukhin S. I., Popov Yu.P., Chechetkin V.M. Comparison between two-and three-dimensional modeling of the structure of an accretion disk in a binary system // Astronomy Reports. 2003. 47. N 1. P. 11-19.
51. Абакумов M.B., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Сравнение результатов математического моделирования структуры аккреционного диска двойной звездной системы в двумерном и трехмерном приближении // Астрофизический журнал. 2003. 80. № 1. С. 14-22.
52. Абакумов М.В., Жданов А.А., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Аккреционные диски в двойной звездной системе с переменным расстоянием между компонентами. Математическое моделирование. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2003. № 65.
53. Абакумов М.В., Мухин С. П., Попов Ю.П. О некоторых задачах гравитационной газовой динамики // Матем. моделир. 2000. 12. № 3. С. 110-120.
Поступила в редакцию 20.06.04
Д. П. Костомаров
ОТ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ К МОДЕЛИРОВАНИЮ РЕАЛЬНОГО МИРА
(кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМиК)
1. Введение. Первые работы, посвященные компьютерному моделированию различных физических явлений, относятся к началу 50-х гг., когда военная наука потребовала быстрого решения однотипных вычислительных задач, относящихся, как правило, к математической физике. Потребности практики стимулировали, с одной стороны, развитие теории дифференциальных уравнений, с другой — создание вычислительных алгоритмов, ориентированных на компьютерные расчеты. Важное значение приобрела "сертификация" моделей, степень соответствия результатов расчета экспериментальным данным. Так в науке появились новое направление — вычислительная физика и новый термин — "вычислительный эксперимент".
На первом этапе своего развития вычислительная физика рассматривалась как раздел вычислительной математики, в котором основное внимание уделялось численному решению различных задач для уравнений математической физики. При этом, поскольку компьютеры обладали весьма низкой производительностью, исследователи обычно ограничивались решением одномерных задач на довольно грубых сетках. Это привело к распространению точки зрения, что вычислительная физика лишь позволяет уточнить результаты, полученные аналитическими методами для упрощенных моделей. В некотором смысле вычислительная физика рассматривалась как служанка теоретиков без права на собственное мнение. Но даже в рамках такого ограниченного подхода были получены впечатляющие результаты. В качестве примера можно привести предсказание существования Т-слоя в высокопрово-дящей жидкости, сделанное Тихоновым и Самарским и их учениками. Отметим еще один интересный факт. Вычислительная практика стала существенно опережать математическую теорию вычислительных алгоритмов. Не умаляя достижений теоретической вычислительной математики, следует признать, что реально используемые и доказавшие на практике свою высокую эффективность алгоритмы строгое теоретическое обоснование либо получили с опозданием, либо не получили вовсе. Буквально на глазах одного поколения исследователей вычислительная физика стала в значительной степени экспериментальной наукой.
Тем временем компьютеры развивались в соответствии с законом Мура. Вычислительные машины все больше и больше превращались из "вычислительных мельниц" в универсальные устройства обработки информации самого общего характера, не только числовой, но и графической, текстовой и т.д. Это открыло блестящие перспективы и перед вычислительной физикой, которая из Золушки превратилась в Принцессу. Бурное развитие компьютеров поставило на повестку дня совершенно новые и часто даже неожиданные задачи. Во-первых, стало ясно, что можно моделировать окружающий мир исходя из первичных принципов, а не ограничиваться численными решениями дифференциальных уравнений, которые сами были получены в рамках достаточно существенных ограничений. Фактически мы можем рассматривать некоторую искусственную "компьютерную" материю, поведение которой удается проследить достаточно точно и подробно. Именно сейчас мы можем проводить настоящий вычислительный эксперимент и сравнивать его результаты как с теоретическими представлениями, так и с данными реального опыта. При этом возникает очень важная методологическая и практическая проблема интерпретации результатов вычислительного эксперимента. Во-вторых, потребовалось развить саму технологию проведения вычислительного эксперимента. В частности, это
