CC BY
66
УДК 517.958:[536.2+539.219.3]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА ПО ГРАФУ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ ПРИ НАЛИЧИИ ДИФФУЗИИ
© А.С. Волкова
Ключевые слова: граф кровеносных сосудов; гемодинамика; начально-краевая задача; распределенные параметры на графе.
Представлена математическая модель переноса веществ по графу кровеносных сосудов при наличии диффузии. Обобщенное решение начально-краевой задачи, которая описывает такую математическую модель, определяется с помощью интегральных тождеств, заменяющих собой уравнение, начальное и краевое условия. Приводятся условия однозначной разрешимости такой задачи.
ВВЕДЕНИЕ
Система кровообращения человека представляет собой сеть эластичных сосудов разных типов (граф сосудов), по которым протекает кровь, поступающая в различные органы. Кровь нагнетается сердцем в разветвляющуюся систему артериальной части сосудов. Сосуды в свою очередь могут соединяться с тканями или другими органами. После прохождения тканей, кровь по венозной части сосудистой системы вновь поступает в сердце. Такая система представляет собой граф, ребрами которого являются сосуды, а узлами (вершинами) - сердце, узлы ветвления, ткани.
Течение крови по сердечно-сосудистой системе (ССС) или ее части описывается в квазиодномерном приближении уравнениями гемодинамики на графе [1, 2]:
5^ duS q
dt дх .
aJL + Л (НІ) +1£р — р +р
at +з*( 2 ) + pax ґтР + Ге.
5 — S(p).
(1)
(2)
(3)
здесь S - площадь поперечного сечения сосуда; и(х. t) -скорость движения крови вдоль сосуда; p(x.t) - плотность крови (р — const).
Сила трения крови о стенки сосуда полагается равной Fmp — —Qnvu/S, где v - коэффициент кинематической вязкости, а через Fe обозначены другие внешние силы.
Соотношение (3) в системе (1)-(3) представляет собой эмпирическую связь между сечением сосуда и давлением крови внутри него. В данном случае предполагается, что зависимость (З) удовлетворяет услови-
^('Р') ^ $min
при р ^ pmin ; Smin, Smax - минимально и максимально возможные сечения сосуда. В простейшем случае уравнение определяется формулой:
S(p) —
ям d^p > 0. S(p) ^ Smax при р ^ Pmax
^max
при р > Pmax . <P-Pmin) ПРИ Pmin <V<Vm $min при P < Pmin -
Параметры 5тЫ, 5тах, ртЫ, ртах для разных сосудов могут иметь различные числовые значения.
Математическое моделирование гемодинамики на графе зачастую требует необходимости расчета переноса разнообразных веществ потоком крови. Это, прежде всего, перенос кровью кислорода, различных гормонов, солей и т. п. Такого же сорта задачи возникают, например, при анализе распространения лекарственных препаратов. Кроме того, характер распространения химических соединений в артериальном русле оказывает влияние на эластические свойства сосудов, и, в свою очередь, на характер гемодинамики в целом.
Рассмотрим граф эластичных сосудов [2]. Будем предполагать, что в каждый момент времени скорость движения крови в любой точке сосуда известна, и обозначим ик = ик (х, Ь) - скорость течения крови в к-м сосуде графа. Сечение каждого сосуда также является известной величиной Бк = 5к(х, £). Течение крови в каждом сосуде описывается системой уравнений гемодинамики (1)-(3).
Пусть в каждом сосуде находятся вещества с массовой концентрацией С{ = ^ (I = 1, 1С), где т{ - масса 1-го вещества, т - масса крови. Концентрация 1-го вещества С1 с учетом переноса кровью удовлетворяет дифференциальному уравнению = 0.
Рассмотрим уравнение о переносе вещества в системе эластичных сосудов при наличии диффузии. Плотность потока веществ за счет разности величин
,лг г*ЗС
концентрации определяется выражением WD = —О—, где О - коэффициент диффузии. Тогда закон сохранения массы вещества на отрезке [х, х + Дх\ и интервале времени [£, £ + Д£\ в интегральной форме без учета внешних источников и химических реакций записывается в следующем виде:
jx +Д^с5р Ц+ДЫх +
+ ^(cSup — DS^p) |
*+lixdt — 0-
S — V
^max Jmm
V • +
umm 1
Pmax —P
В дифференциальной форме записи это уравнение
дВС ,
при постоянной плотности р принимает вид + + -^(5Си — 50^) = 0. Отсюда, учитывая уравнение неразрывности (1) и предполагая постоянным коэффициент диффузии, получаем уравнение — + и — — -^■^(5^) = 0. Преобразуем третье слагаемое, а
S дх ( dxj дх2 (5 dpj (p дх) дх-
(4)
Заметим, что = Дг, где С - скорость распространения малых возмущений. В предположении квазистационарности течения из уравнения (2) следует, что 1 — * —8nv-. Тогда последнее слагаемое в (4)
р дх S
_ п /р dS\ (1др\дС
может быть приведено к виду: Dl-—Jl—-J—*
V.S др/ \р дх/ дх
* —8nvD -7= —8nvD — М—, где М - число Маха,
с2 S дх Sc дх’
которое в гемодинамических течениях мало (М « 1), а величина сечения S всегда ограничена снизу. Поэтому для расчета диффузии в гемодинамических течениях можно
дС р. д2С дС -
воспользоваться уравнением — — D — + и — = 0.
дх2
дх
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВ ПО ГРАФУ СОСУДОВ
Введем математическое описание графа ССС. Пусть Г - связный компактный граф-дерево с корнем £„, множеством узлов V = {£0,^1, —,(т} и множеством ребер X = {у0, у1, ... ,ут}; длина каждого ребра равна 1. Здесь и ниже мы придерживаемся обозначений, принятых в [3, 4]. Узел называется граничным, если он принадлежит только одному ребру (граничное ребро), все остальные узлы и ребра - внутренние; множество граничных узлов обозначим через ЗГ, /(Г) - множество внутренних узлов: V = ЗГи/(Г). Объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, обозначим через Г0: Г0 = Г^; под Г0 понимается несвязное объединение всех ребер - замкнутых отрезков. Для каждого внутреннего узла ^ обозначим через й(^) множество ребер, выходящих из , через ( ) обозначим множество ребер, входящих в узел ^. Для любого узла ^ Є V длина пути, соединяющего корень 0 с , является целым неотрицательным числом, обозначим его через |у| и назовем порядком узла ^. Пусть V(l') = {^ Є V: |^| = V} - множество узлов порядка V. Занумеруем узлы графа Г следующим образом: ЗГ = {^,£1,...,£р}, £р+і Є Vм, а ^, У > р + 1, занумерованы в порядке возрастания |, /(Г) = {^р +1,^р +2, ...,^т}. Аналогично занумерованы ребра: ук ,к = р -0-1 - граничные ребра (ур+1 = =(0,(р+1,ук=(к/,(к к=р+2,т,к'<к - внутренние ребра. Каждое ребро у Є Я параметризуется отрезком [0,1].
Введем необходимые пространства [4, 5]. Обозначим через 12 (Г) пространство функций, интегрируемых с квадратом на графе Г, через И21 (Г) - пространство функций из Ь2(Г), имеющих обобщенную производную 1-го порядка также из Ь2(Г). Аналогично вводятся пространства 12 (ГТ) и (ГТ).
Через И1,0 (Гг) обозначим пространство функций и(х, £) из 12(ГТ), имеющих производную первого порядка по х, принадлежащую 12(ГТ); норма в И,1,0(ГТ) определяется скалярным произведением
(и,*0и21'°(Г7.) = $гт (ир + іЗи^)йхй1; ^(Г^ - множество функций и(х, £) Є И1,0 (Гг), имеющих конечную норму
ди I
L2(Гт)
,0 < t <T (5)
и непрерывных по £ в норме Ь2(Г), т. е. таких, что ||м(х, £ + Д£) — и(х, £) У^(г) —— 0 при Д£ —— 0 равномерно на [0, Т\.
Рассмотрим билинейную форму Ь(и,г]) = = / т[а(х)^ц'(х) + Ь(х)м(х)^(х)] dx при х, изменяющихся внутри каждого ребра ук с Г (х0 е Г); коэффициенты а(х),Ь(х) - измеримые ограниченные на Г функции. Форме (и, п) соответствует дифференциальное выражение (£м)(х) = — — (а(х)—) +
ах \ ах/
+ Ь(х)и(х), если а(х) имеет ограниченную обобщенную производную первого порядка, а и(х) - обобщенные производные на Г0 до второго порядка включительно. Из теоремы о соотношениях во внутренних узлах графа [4] следует, что в пространстве W2l (Г) есть множество П функции и(х) е С(Г) (С(Г) - пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющие соотношениям
du (0)y
du(1)y.
£yjeRg) a(1) d* 1 — £y*R(O a(0^ dx
(6)
во всех узлах ^ е /(Г); замыкание в норме ^21(Г) множества функций из П, равных нулю во всех узлах ^ е ЗГ, обозначим через Ж210(а, Г).
Далее введем подпространство пространства Ж21'0(ГТ). Обозначим через П0(а, ГТ) множество функций и(х, £) е У2 (ГТ) с И^1,0(ГТ), чьи следы определена: на сечениях области ГТ плоскостью £ = £0 как функции класса W210(a,Г), т. е. для каждого элемента и е П0(а, ГТ) при фиксированном £ е [0,Т\ существует последовательность {ип} функций ип(х,£) е П, сходящаяся в норме ^(Г) к следу V, при этом ип(х,£) равны нулю во всех узлах ^ е ЗГ, непрерывны на Г и удовлетворяют аналогичным (6) соотношениям
3и(0,£)у.
' для всех
ди(1, t )y.
£yjeSCO a(1) —— £yjCr(0 a(0) gx
узлов <; е/(Г). Замыкание множества П0(а, Гт)по норме (5) обозначим через У2Ь(а, Гт):^2о (а, Гт) с ^1,0(Гт). ' '
Для получения математической модели переноса веществ и(х, £) е К21'00(а, ГТ) по графу сосудов при наличии диффузии к уравнению
ди(х .£) д
dt
— i7(a(x)^) + b(x^u(x. О —
0
добавляются начальное и(х.0) — (р(х), х Є Г и краевое условие
(7)
и\аГ = 0, 0 <Ь<Т, (9)
здесь (р(х) е Ь2(Г), коэффициенты а(х), Ь(х) - измеримые ограниченные функции на Г:
0 < а* < а(х) < а*, \Ь(х)\ <Ь,х е Г. (10)
Определение. Обобщенным решением класса И^0(ГТ) начально-краевой задачи (7)-(9) называется функция и(х, £) е (я, ГТ), удовлетворяющая инте-
гральному тождеству
/гм(х, £)^(х, Ь)йх +
, [ , , _лдт^(х,0 ди(х,Ь)дч(х,Ь)
+ ^ (—и!,.0-^- + «М-^—^ +
+Ь(х)и(х, 1)г)(х, t))dxdt = /г^(х)^(х, 0)ах
при любых £ е [0,Т\ и при любой ^(х, £) е Ж210(а, ГТ) (замыкание множества функций и(х, £) е ^г21 (ГТ), которые при фиксированном е [0, Т\ принадлежит классу Ж2^0(а, Г)).
Приведем условия однозначной разрешимости начально-краевой задачи (7)-(9).
Теорема. Для любой (р(х) е 12 (Г) при выполнении предположений (10) начально-краевая задача (7)-(9) однозначно разрешима в пространстве У^'д0 (а, Г Т). Полное доказательство теоремы представлено в [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математические модели квази-одномерной гемодинамики. М.: МАКС-Пресс, 2002. 88 с.
2. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин, Фаворский А.П. Вычислительный эксперимент в гемодинамике // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 920-935.
3. Волкова А.С., Гнилицкая Ю.А., Провоторов В.В. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе // Системы управления и информационные технологии. 2013. № 1 (51). С. 11-15.
4. Провоторов В.В., Волкова А.С. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе. Воронеж, 2014. 188 с.
5. Provotorov V. V Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph // Mathematics: Sbornik. 2008. T. 199. № 10. C. 15231545.
Поступила в редакцию 10 декабря 2013 г.
Volkova A.S. MATHEMATICAL MODEL OF TRANSFER OF MATTER THROUGH THE GRAPH OF BLOOD VESSELS IN THE PRESENCE OF DIFFUSION
The work presents a mathematical model of transfer of substances on the count of blood vessels in the presence of diffusion. Generalized solution of the initial-boundary value problem that describes this mathematical model is determined by the integral identities, substituting equation, initial and boundary conditions. The conditions for the unique solvability of such a task are given.
Key words: count of blood vessels; hemodynamics; initial boundary problem; distributed parameters on graph.
Волкова Анна Сергеевна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант, кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей, e-mail: [email protected]
Volkova Anna Sergeyevna, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Post-graduate Student, Partial Differential Equations and Theory of Probabilities Department, e-mail: [email protected]
