CC BY
17
Е. И. Моисеев, В. И. Дмитриев
ПРОБЛЕМЫ ИНФОРМАТИКИ И СОВРЕМЕННОСТЬ
Конец XX и начало XXI в. ознаменовались бурной компьютеризацией и информатизацией общества. Это требует все большего числа специалистов по прикладной математике и информатике, способных вести работу по эффективному использованию компьютеров в различных областях науки, техники, экономики и общества.
Существует очевидная связь между взрывным развитием возможностей вычислительной техники и методов обработки информации и тем объемом знаний, которым должен обладать специалист в области компьютерных наук. При этом необходим правильный выбор соотношения фундаментальной и прикладной составляющих компьютерного образования.
Одним из ведущих центров подготовки специалистов по прикладной математике и информатике в России является факультет вычислительной математики и кибернетики Московского университета им. М.В. Ломоносова. Факультет был создан в 1970 г. В это время начала ощущаться потребность общества в специалистах по компьютерной математике и информатике. Инициатором создания в университетах страны факультетов по подготовке специалистов данного профиля был академик А.Н. Тихонов, который стал первым деканом факультета ВМиК МГУ.
За 35 лет своего существования факультет ВМиК стал одним из ведущих факультетов Московского университета. В нем сформировались ведущие в России научные школы по таким фундаментальным разделам прикладной математики и информатики, как математическая физика, спектральная теория дифференциальных уравнений, теория некорректно поставленных задач, вычислительные методы, математическое моделирование, теория нелинейных динамических систем и процессов управления, оптимальное управление, системный анализ, теория игр и исследование операций, математическая кибернетика и математическая логика, теория вероятностей и математическая статистика, различные области теоретического и прикладного программирования. Факультет ВМиК МГУ готовит специалистов высокой квалификации по проблематике, связанной с применением вычислительной техники к решению задач различных отраслей науки.
На факультете широким фронтом ведутся исследования по современным проблемам вычислительной математики и информатики. Это позволяет готовить специалистов на высоком научном уровне, привлекая студентов и аспирантов к научной работе кафедр и лабораторий факультета.
В настоящее время факультет ведет научную работу по пяти приоритетным направлениям фундаментальных исследований:
• дифференциальные уравнения математической физики;
• теория вероятностей и математическая статистика;
• математическое моделирование и методы прикладной математики;
• математические методы исследования нелинейных управляющих систем и процессов;
• теория и методы системного программирования, программное и математическое обеспечение вычислительных машин и сетей.
Остановимся кратко на основных результатах исследований по этим научным направлениям, полученных в течение последних 5 лет.
1. Дифференциальные уравнения математической физики. Работы по первому научному направлению проводились на кафедрах общей математики и математической физики, а также в лабораториях математической физики и обратных задач [1, 2].
1.1. Изучена задача граничного управления процессами, описываемыми уравнением (ких)х — ии = = 0 с переменным коэффициентом к = к(х) и телеграфным уравнением. Для этих процессов в терминах обобщенного решения, допускающего существование конечной энергии, найден минимальный промежуток времени Т и найдены и предъявлены в явном аналитическом виде граничные управления, которые за этот промежуток времени переводят процесс из произвольного начального состояния в произвольно заданное финальное состояние.
Изучена спектральная задача для нагруженной струны со спектральным параметром в граничном условии. Специально рассмотрен случай, когда присутствуют присоединенные функции. Доказано,
что при удалении одной собственной функции система образует базис, а при удалении собственной функции, соответствующей присоединенной, базис образуется не при любом выборе присоединенной функции.
1.2. Исследованы обратные коэффициентные задачи для квазилинейных гиперболических уравнений и полулинейных гиперболических систем. Доказаны теоремы существования и единственности их решений, предложены и разработаны численные методы определения неизвестных коэффициентов. Изучена обратная задача для модели популяций, предложены итерационные методы ее решения. Доказаны теоремы единственности решения обратных задач для математических моделей ионообмена с внешнедиффузионным механизмом кинетики, продольной диффузией и нелинейной зависимостью пористости ионита от концентрации ионов. Создан итерационный метод решения обратных задач для квазилинейных гиперболических систем и нелинейных гиперболических уравнений. Изучены обратные задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с неизвестным коэффициентом, область определения которого тоже неизвестна.
Предложен метод решения многокритериальных задач разведочной геофизики для интерпретации данных измерений электромагнитных, электрических и сейсмических полей. Исследованы многомерные обратные задачи распространения упругих волн в методе вертикального сейсмопрофилирования. Разработан и реализован алгоритм численного решения обратных задач скважинной сейсморазведки.
Разработан новый метод диффузионной фильтрации изображений и развит метод регуляризации Тихонова для решения задачи определения контуров изображений. Разработан новый устойчивый метод решения обратной задачи реконструкции палеоклимата. Создана автоматизированная система обработки скважинных измерений температуры для реконструкции палеоклимата. На основе развитой теории решения этой задачи с неполными данными создана система анализа температурных измерений с целью определения теплофизических параметров среды.
Исследованы новые постановки обратных задач электромагнитных зондирований неоднородных сред, основанные на использовании синтезированных магнитных полей. Проведены методические исследования совместной интерпретации магнитовариационных и магнитотеллурических данных на основе синтеза магнитного поля по заданным импедансам и типперам.
Развиты новые итерационные методы решения интегральных уравнений первого рода применительно к обратным задачам электроразведки.
Предложена методика и реализованы алгоритмы поэтапного уточнения параметров математических моделей тонких многослойных пленок по данным рефлектометрии. Установлено, что средневзвешенная электронная плотность может быть оценена по рефлектометрической кривой. Разработан метод кратномасштабного анализа интенсивности диффузного рассеяния от кристаллов с нерегулярными дефектами, разработаны численные алгоритмы и проведены расчеты для модельных и реальных кристаллов с наноразмерными дефектами.
2. Теория вероятностей и математическая статистика. Исследования по этому направлению проводились на кафедре математической статистики, а также в лабораториях математической статистики и статистического моделирования [3].
Получены явные формулы для асимптотических дефектов наиболее часто используемых статистических критериев. Разработан новый метод оценивания характеристических функций многомерных распределений и его применение в предельных теоремах теории вероятностей.
Найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости случайных сумм. Обобщен принцип инвариантности на случайные суммы. Найдены критерии сходимости в принципе инвариантности для статистик типа х~квадрат.
Построены адаптивные критерии в проблеме симметрии. Получены оценки скорости сходимости и асимптотические разложения для конечномерных распределений процессов Кокса. Получены асимптотические разложения и оценки для вероятности разорения в классических процессах риска.
Исследована задача определения вероятностных характеристик многомерных случайных функций по вероятностным характеристикам проекций. Получены предельные теоремы для длины очереди в системах с чередованием приоритетов и относительным динамическим приоритетом при критической загрузке. Разработаны новые методы восстановления вероятностных характеристик случайных функций по их проекциям.
Разработана стохастическая модель временной структуры корпоративных облигаций, представляющая собой модификацию модели Халла-Уайта. На ее основе созданы алгоритмы оценивания кре-
дитных свопов. Закончена разработка и реализация пакета ЭВРИСТА в рамках одной программно-статистической системы, предназначенной для статистического анализа случайных процессов.
Для сложного закона Пуассона, обобщенного биномиальным распределением, указаны явные представления моментных характеристик (обыкновенные и факториальные семиинварианты, начальные, факториальные, биномиальные и центральные моменты), доказаны рекуррентные соотношения для моментов в дифференциальной и конечно-разностной формах. Для сложного закона Пуассона, обобщенного пуассоновским же распределением, указаны явные представления моментных характеристик (обыкновенные и факториальные семиинварианты, начальные, факториальные, биномиальные и центральные моменты), доказаны различного рода рекуррентные соотношения на моменты в дифференциальной и конечно-разностной формах.
Решены вопросы устойчивого оценивания параметров в линейной регрессионной модели методами регуляризации, псевдообращения и байесовским методом с учетом корреляций и неточного задания исходных данных. Построены регуляризирующие алгоритмы, изучена их связь с квазиобращением, с байесовским подходом и с наилучшими линейными несмещенными оценками. Разработан прямой способ построения оценок методом наименьших расстояний для простой линейной конфлюэнтной модели со случайными пассивными ошибками измерений матрицы и правой части, а также рассчитан ряд имитационных экспериментов и получены результаты, показывающие несмещенность оценок метода наименьших расстояний и смещенность оценок метода наименьших квадратов для таких моделей.
3. Математическое моделирование и методы прикладной математики. Исследования по этому направлению ведут многие кафедры и лаборатории факультета.
3.1. На кафедре математической физики и в лабораториях математической физики, вычислительной электродинамики и моделирования процессов тепломассопереноса за последние 5 лет получены следующие основные результаты [2, 4, 5].
Предложен и реализован алгоритм численного анализа задач дифракции вблизи резонаторов для систем поверхностей вращения с отверстием. Разработана и реализована методика численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений для задач дифракции электромагнитных волн на экранах малых электрических размеров. На моделях двухслойного диэлектрического шара, однородного диска и тора изучены электродинамические характеристики линзовых антенн.
Созданы численные методы математического моделирования электромагнитных полей в трехмерных проводящих средах. Разработан итерационный метод расчета электромагнитных полей в трехмерных неоднородных средах. Построен специальный метод численного исследования электромагнитных полей в квазислоистых средах. На основе метода дискретных источников разработана и реализована компьютерная технология, позволяющая проводить эффективный численный анализ проблем рассеяния поляризованного излучения в задачах нанооптики и метрологии наноразмерных структур. Исследован процесс взаимного преобразования мод с изменением частоты в щелевых линиях передачи.
На основе метода интегральных уравнений построена двумерная математическая модель решения задачи дифракции электромагнитного поля на неоднородной границе раздела двух сред. Проведены вычислительные эксперименты для изучения поведения токов и полей в дальней зоне для широкого диапазона изменения электродинамических параметров. Исследованы математические модели решения задачи нестационарной дифракции на теле вращения в диэлектрической среде.
Разработаны вычислительные методы и параллельные алгоритмы для задач численного моделирования динамики вязких несжимаемых жидкостей в плоских каналах на основе модели Навье-Стокса. Осуществлен переход классического течения Пуазейля в течения с отрывными зонами, установлена возможность существования режима "запирания" канала. Проведены аналитическое и численное исследования устойчивости по начальным данным разностных схем с параметром для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. Методом частиц проведено моделирование движения водных, селевых и оползневых потоков по поверхностям с постоянным и переменным углом наклона.
Проведены численные исследования инжекции вязкой несжимаемой жидкости в плоский канал конечной длины, заполненный той же жидкостью, и прослежено развитие течения в канале и в следе за ним при малых числах Маха в набегающем потоке. Исследовано влияние на структуру течения пульсаций потока на входе в канал и режимы входа потока в канал под углом атаки. Установлены нестационарные несимметричные режимы течения. Разработаны параллельные вычислительные
методы решения краевых задач для уравнений Навье-Стокса и для системы нелинейных уравнений динамики вязких жидкостей и газов.
Исследованы процессы запуска и формирования струй, а также возникновения автоколебаний при взаимодействии струи с преградой и при свободном истечении, в том числе с учетом закрученно-сти струи. Исследован процесс истечения газа из гиперзвукового источника в движущуюся среду при различных скоростях. Исследовано влияние законов сохранения на эволюционные процессы в материальных средах, в частности влияние некоммутативности балансных законов сохранения на развитие термодинамической и газодинамической неустойчивости.
3.2. На кафедре вычислительных методов и в лабораториях разностных методов и математического моделирования в физике проведен большой цикл работ по развитию сеточных методов и их применению при решении различных прикладных задач [6, 7].
Доказано, что из устойчивости операторно-разностной схемы по начальным данным следует ее коэффициентная устойчивость. Доказаны критерии устойчивости по начальным данным разностных схем с переменными весовыми множителями, аппроксимирующих двумерное уравнение теплопроводности. Предложен и апробирован новый алгоритм численного построения границ устойчивости двумерных разностных схем. Рассмотрены новые классы разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. Построена норма, для которой необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным. Получен критерий устойчивости и построены оценки, выражающие устойчивость по начальным данным для разностных схем с весами, аппроксимирующих двумерное уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода по одной из переменных и нелокальными условиями — по другой.
Построен маршевый метод решения в регулярных областях сеточных аппроксимаций краевых задач для эллиптических уравнений с неулучшаемой оценкой вычислительной сложности, а также быстрые прямые методы решения сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации разностными схемами 2-го и 4-го порядков точности задачи Дирихле для неволнового уравнения Гельмгольца на структурированной треугольной сетке в прямоугольнике.
Для сингулярно возмущенных одномерных стационарных линейных и квазилинейных уравнений конвекции-диффузии проведено построение и исследование ряда равномерно по малому параметру сходящихся разностных схем. Для нахождения обобщенных, а также классических решений самосопряженных краевых задач для сингулярно возмущенных ОДУ 2-го и 4-го порядков разработан и реализован конечно-элементный метод на последовательности адаптивно измельчаемых и укрупняемых сеток, использующий кусочно-линейные и эрмитовы кусочно-кубические базисные функции.
Разработана и детально проанализирована минимальная модель бистабильной активной среды. Получены точные условия существования вынужденной нуклеации в гетерогенной активной среде и точные условия стабилизации метастабильных состояний. Предсказания математического моделирования подтверждены результатами лабораторного эксперимента в области гетерогенного катализа. Разработаны теоретические основы решения задач распознавания и классификации кластеров сверхструктур адсорбата на плоской двумерной решетке, моделирующей грань монокристаллической подложки. Предложен новый рекурсивный вычислительный алгоритм для распознавания и классификации кластеров сверхструктур. Предложены эффективные вычислительные алгоритмы для определения индивидуальных и коллективных характеристик кластеров, включая параметры их фрактальной размерности.
В рамках работ по математическому моделированию сердечно-сосудистой системы человека разработана методика представления графа системы сосудов. Установлены качественные закономерности интерференционной картины волн давления и скорости на графе сосудов и в окрестности точек бифуркации кровеносной системы с учетом внешних воздействий и пристеночной вязкости. Разработаны и апробированы математические модели переноса вещества по графу кровеносных сосудов с учетом прохождения фракций через сердце. Построена модифицированная точечная модель почки. Модель применена для моделирования случаев отклонения от нормы таких, как гипертензия и по-лиурия. Разработана модель взаимодействия церебрального кровообращения с кровообращением в большом круге кровеносной системы с детализацией топологии графа сосудов головного мозга и с учетом различных вариантов уравнения состояния и некоторых механизмов ауторегуляции (феномен Бейлиса, нейрорегуляция и др.). Изучены возможности построения и реализации математических моделей различного уровня сложности для исследования гравитационного воздействия на кровообращение человека. Рассчитано гемодинамическое течение в каротидном отделе виллизиева круга мозга,
в вертебро-базилярном отделе, в виллизиевом круге в целом и в артериальной части большого круга кровообращения.
В рамках комплекса программ, реализующего неявный свободно-лагранжевый метод на треугольной сетке переменной структуры для задач магнитной газовой динамики, построен метод адаптации сетки по решению и градиентам искомых функций. Разработаны и реализованы параллельные алгоритмы для численного моделирования задач плазменной аэродинамики на основе свободно-лагранжевого метода. Выполнено численное моделирование задачи о поджиге пропан-воздушной смеси струей плазмотрона с использованием адаптивного измельчения сетки на фронтах ударных волн и волн горения. Проведено математическое моделирование пространственного распределения параметров при плазмохимической кинетике возгорания потока топливной смеси конверс-газа с воздухом под воздействием поперечного цилиндрического электронного потока. Было проведено исследование обтекания гиперзвукового летательного аппарата и течения в прямоточном двигателе с применением принципиально новой системы вдува горючего с целью снижения тепловых нагрузок и лобового сопротивления.
Построены и обоснованы консервативные разностные схемы для задачи распространения фемто-секундного импульса в оптическом нелинейном волокне. Оно описывается нелинейным комбинированным уравнением Шредингера, содержащим производную по времени от нелинейного отклика среды. Описан новый способ формирования солитонов фазово-модулированных фемтосекундных импульсов при их распространении в кубично-нелинейном световоде. Солитоны формируются из импульсов любой начальной формы. Числом солитонов и их максимальной интенсивностью можно управлять.
Предложена консервативная разностная схема для задачи трехчастотного взаимодействия фемтосекундных импульсов в оптическом волноводе с учетом дисперсии нелинейного отклика. На основе оригинального подхода моделирования распространения оптического импульса в одномерном нелинейном фотонном кристалле построена консервативная разностная схема. Проведено сравнение развиваемого подхода с известными в литературе. Показаны существенные преимущества предложенных разностных схем: они обладают более высокой точностью, достигаемой на грубых сетках. На основе построенных схем предсказан эффект локализации световой энергии внутри фотонного кристалла.
Продемонстрирована принципиальная возможность компенсации влияния самовоздействия волн на эффективность ГВГ фемтосекундных импульсов. В результате этого предложен способ достижения высокой эффективности преобразования энергии основной волны в энергию волны второй гармоники. Обнаружен солитоноподобный режим двухволнового распространения фемтосекундных импульсов в условиях ГВГ. Он заключается в существовании некоторой области светового импульса, в пределах которой интенсивность волн остается неизменной вдоль среды.
На основе решения системы нелинейных уравнений Максвелла обнаружена гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса от его амплитуды при его прохождении нелинейного слоя. Предсказан эффект формирования высокочастотных субимпульсов при распространении фемтосекундного импульса в среде с насыщающимся потенциалом. Субимпульсы обладают свойствами солитонов.
Предложена и обоснована математическая модель оптической бистабильности на основе светоин-дуцированного электрического поля. Обоснование проведено на основе квантово-механического рассмотрения энергетических спектров водородоподобного атома в поле высокоинтенсивного фемтосекундного импульса. Предложена абсорбционная оптически бистабильная схема с дополнительными боковыми петлями связи, обладающая свойствами мультистабильности. На основе компьютерного моделирования продемонстрировано переключение системы лазерное излучение-полупроводник во все состояния. Предложенная схема требует на порядок меньших значений интенсивности переключения системы из одного состояния в другое.
Методом Монте-Карло продолжено исследование явлений пространственно-временной самоорганизации в ходе реакции СО + О2 на катализаторах платиновой группы. Разработана согласованная система математических моделей, включающая стохастические модели микро- и мезоуровней и точечную детерминистическую модель. Проведено исследование принципиально различных механизмов колебательного поведения реакционной системы на микроуровне, роли внутренних флуктуаций и ограниченной подвижности адсорбированных частиц.
Построена математическая модель колебаний скорости реакции окисления СО на цепочке Рс1 частиц, внедренных в матрицу цеолита. Модель учитывает особенности сорбции цеолитом реагирующих веществ, диффузии газов в поре цеолита и кинетические колебания на каждой частице. Показано, что
хаотические колебания наблюдаются в большом интервале изменения СО при наличии градиента концентрации между крайними и внутренними частицами в цепи. Как и в экспериментальных исследованиях, полученный в модели хаос имеет большую размерность. Выяснены условия возникновения автоколебаний на катализаторах малого размера на примере реакции СО + О2 на платине.
3.3. На кафедре автоматизации научных исследований проведен большой цикл исследований нелинейных многомерных математических моделей плазменных процессов [8].
Создан комплекс программ для моделирования процесса трансформации структурно-неустойчивых векторных трехмерных магнитных конфигураций в структурно-устойчивые. Получены условия формирования токового слоя в трехмерных магнитных конфигурациях в зависимости от симметрии граничных условий. Разработан эффективный трехмерный код на основе метода частиц для моделирования взаимодействия сверхкоротких и сверхсильных лазерных импульсов с электронами и ионами плазмы. Изучены особенности эволюции лазерного импульса, особенности процесса ускорения ионов, а также образование солитонов в среде.
Исследовано возмущение распределения дейтерия, вызванное рассеянием на большие углы при кулоновских столкновениях с инжектированными ионами водорода высокой энергии. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными данными, полученными на установке MAST.
Создана эволюционная дипольная модель, описывающая пространственно-временное поведение электрического потенциала на поверхности головы (данные электроэнцефалографии (ЭЭГ)). Предложен подход к решению прямой трехмерной задачи ЭЭГ (нахождение индуцированного поля), в основе которого лежит поиск решения задачи в виде полуаналитического представления приближенного решения по сферическим функциям с неопределенными коэффициентами. Коэффициенты определяются в среднеквадратичном смысле. Метод работает в случае произвольной (несферической) формы граничных поверхностей, неограниченных областей, конечной проводимости вне головы и сложной пространственной зависимости электропроводности.
3.4. На кафедрах исследования операций [9] и математических методов прогнозирования получены новые научные результаты.
Разработаны общие принципы моделирования сложных систем принятия решений и общая методология математического моделирования при решении задач автоматизированного проектирования. С помощью этих принципов моделирования поставлен и решен ряд задач проектирования заказов на поставки технических систем для решения ряда государственных задач, а также некоторые задачи в области социологии. Создана математическая модель оценки эффективности системы вихревого прогноза для самолетов. Было проведено исследование влияния погодных условий на величину пропускной способности аэропорта.
Исследована равновесная многокритериальная модель маршрутизации в сетях передачи данных с виртуальными каналами. Построены математические модели аукционов функций предложения применительно к локальному и сетевому рынкам.
Исследована математическая задача расчета результатов двустороннего аукциона электроэнергии. Разработаны алгоритмы решения задач оптимизации с большим и бесконечным числом ограничений, теория локальной чувствительности для анормальных задач оптимизации с общими ограничениями, ньютоновские методы решения задач условной оптимизации, обладающие сверхлинейной скоростью сходимости.
Получены оценки скорости сходимости методов штрафных функций, оценки расстояния до решения для методов модифицированных функций Лагранжа и двойственных методов, а также обоснование методов релаксации для задач оптимизации с комплементарными ограничениями. Найдено решение задачи синтеза для иерархической сети управления. Разработана математическая модель оптимального выбора ставок для налогообложения предприятий с учетом возможного уклонения от налогов.
Разработаны новые методы поиска информативных фрагментов признаковых описаний объектов и приведены оценки вычислительной сложности новых методов решения задачи распознавания образов. Предложены новые подходы к обработке и анализу цифровых массивов на основе разложений по системам полиномов и функций дискретного аргумента и вейвлет-преобразования. Разработан комплекс алгоритмов и программ анализа цифровых массивов на основе разложений по системам полиномов и функций дискретного аргумента. Построены процедуры оптимизации выбора базиса в классе сигналов магнитной энцефалографии и вычисления базисных функций по рекуррентным формулам.
Предложена теория статистических решений, устойчивых к отклонениям от модельных предположений. Доказана асимптотическая независимость межточечных расстояний и разностей в точечном
поле, что дало возможность интерполировать и экстраполировать такие поля, в частности прогнозировать землетрясения. Предложен и обоснован принцип согласованности для конкретизации априорных распределений для решения статистических задач. Построены примеры дескриптивных алгебр изображений (ДАИ) с одним кольцом над моделями изображений; исследованы примеры ДАИ с одним кольцом на предмет интерпретируемости используемых в них операций; исследована возможность применения стандартной алгебры изображений при построении ДАИ с одним кольцом.
4. Математические методы исследования нелинейных управляющих систем и процессов. В разработке этого научного направления принимают участие кафедры оптимального управления, нелинейных динамических систем и процессов управления, а также системного анализа [10]. За последние 5 лет в этом направлении получены следующие результаты.
Найдены достаточные условия разрешимости нелинейных динамических игр многих лиц в случае одного и двух убегающих объектов. Предложены алгоритмы вычисления гарантированного времени окончания игры и позиционных стратегий игроков, гарантирующих ее окончание. Для одной задачи оптимального управления с разрывным функционалом на основе метода сглаживания получены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина без априорных предположений о характере поведения оптимальной траектории.
Изложено доказательство принципа максимума в общей задаче с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями. С помощью теорем о накрытии установлена выпуклость образа малого шара при нелинейном отображении. Доказана сходимость модифицированного метода Ньютона в банаховом пространстве. Получены условия для равномерного накрытия семейства линейных операторов.
Для различных классов билинейных систем рассматривается задание соответствующих множеств достижимости моментами переключения некоторых кусочно-постоянных управлений. Число переключений ограничено при этом величиной, связанной с размерностью фазового пространства исследуемых систем. Для задач граничного управления моментами сил и перерезывающими силами в процессах поперечных колебаний балок и стержней, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка по времени и четвертого порядка по пространству, а также двойственных к ним задач наблюдения, исследованы вопросы управляемости и наблюдаемости.
Выделены новые методы, сочетающие элементы динамического программирования и многозначного анализа, нацеленные на решение задач коррекции движения, задач синтеза управлений, достижимости и гарантированного оценивания при неопределенности в условиях полной и неполной информации о параметрах моделей и движений. Установлены связи методов Л. С. Понтрягина и Гамильтона-Якоби для таких задач в линейных системах в форме, позволяющей реализовать решения до конца. В том числе рассмотрены задачи с управлениями и возмущениями из неодинаковых классов функций, задачи с двойными и комбинированными ограничениями на управления и возмущения, системы со стохастическими возмущениями, зависящими от управлений.
На основе развитого ранее эллипсоидального исчисления построены эффективные алгоритмы решения для новых классов задач достижимости и синтеза управлений. Приведены основы теории программного и позиционного управления трубками траекторий, имеющие актуальные приложения. Построены регуляризированные рекуррентные решения некорректных задач наблюдения — гарантированного оценивания ("фильтрации") по результатам конечномерных наблюдений для параболических и гиперболических уравнений.
Получены эффективные оценки снизу для вещественного радиуса робастной устойчивости непрерывных и дискретных систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Предложен новый подход к исследованию вариационных задач математической физики и теории колебаний, базирующийся на общем принципе существования критических точек седлового типа у гладких функционалов, определенных на гильбертовых пространствах. Получен эффективный критерий существования общей функции Ляпунова для семейства динамических систем. Предложен алгоритм численного решения задач математического программирования большой размерности, в которых доминируют переменные, участвующие лишь в линейных ограничениях.
Развита теория робастного обращения нелинейных динамических систем (НДС), основанная на методах стабилизации неопределенных систем; разработаны методы синтеза наблюдателей состояния НДС при неопределенности. Получены новые методы построения асимптотических наблюдателей для неопределенных динамических систем.
Получены достаточные условия построения асимптотических наблюдателей для систем с числом выходов, превосходящим размерность внешнего возмущения. Разработаны методы построения функциональных наблюдателей для неопределенных управляемых линейных систем минимального порядка. Предложен ряд алгоритмов построения асимптотических наблюдателей для различных классов билинейных управляемых систем. Предложены методы синтеза робастной обратной связи, стабилизирующей по выходу многосвязные нелинейные объекты при неопределенности. Разработаны методы и алгоритмы робастного обращения линейных и нелинейных динамических систем для решения задач идентификации и управления. Получены достаточные условия стабилизации билинейных систем на плоскости в классе кусочно-постоянных управлений. Получены достаточные условия равномерной по управлению наблюдаемости билинейных систем. Получены новые робастные методы обращения дискретных управляемых динамических систем, разработаны как позиционные алгоритмы обращения, так и алгоритмы обращения по измеряемому выходу системы.
Разработан метод стабилизации периодических траекторий хаотических динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработан метод управления диффузионным хаосом для систем уравнений типа реакция-диффузия. Разработан метод стабилизации неподвижных точек и периодических траекторий хаотических динамических систем, описываемых уравнениями в частных производных и уравнениями с запаздывающим аргументом. Показано, что переход к хаосу в системе Лоренца осуществляется через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций.
Разработан метод возвращения на одномерное неустойчивое многообразие для нахождения неустойчивых циклов, лежащих внутри странных аттракторов хаотических динамических систем. Разработаны основы теории динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.
Разработаны основы теории многозначных задач, в отношении которых получена широкая база понятий равновесия, позволившая утверждать не только существование решения в любой многозначной конфликтной задаче, но и единственность решения в большинстве из них.
В первом приближении завершена теория конфликтных равновесий, представляющая собой совершенно новую область знания, позволившую, в частности, получить единую теорию игр, давшую возможность находить удовлетворяющие любым запросам практики решения любых игровых задач, в отличие от классической теории игр (и особенно теории кооперативных игр). Благодаря этой теории отпала необходимость делить игры на классы (например, антагонистические, кооперативные, бескоалиционные, коалиционные и др.), поскольку предложенная общая теория решает любые игровые задачи с единых позиций, на базе единого подхода. Найдена итерационная процедура математического конструирования новых понятий равновесия на основе любой исходной базовой системы равновесий, включающей обязательно наиболее слабое понятие равновесия и любое число более сильных равновесий, что существенно приблизило решение проблемы нахождения единственного решения (наисильнейшего равновесия) в любой конфликтной задаче.
5. Теория и методы системного программирования, программное и математическое обеспечение вычислительных машин и сетей. Научные исследования в области теории и методов системного программирования, обработки информационных данных и методов защиты информации активно развиваются на кафедрах системного программирования, автоматизации систем вычислительных комплексов, квантовой информатики, алгоритмических языков, математической кибернетики, автоматизации научных исследований, в лабораториях вычислительных комплексов, технологий программирования, компьютерной графики и мультимедиа, вычислительного практикума и информационных систем, математических проблем компьютерной безопасности, научно-исследовательской лаборатории ЭВМ [8, 11-13].
5.1. На кафедре автоматизации научных исследований разработана эволюционная модель потоков данных для оптимизации параллельных вычислительных систем с модульной ассоциативной памятью. Создана нейросетевая модель предсказания многомерных временных рядов. Модель использована для предсказания временного хода экономических индексов 20 стран мира. Проведено сравнение байесовских сетей, скрытых марковских моделей, нейросетей для задач идентификации и верификации сигналов. Проведено исследование методов сепарации источников звука в реальных условиях единовременного разговора нескольких человек. На основе генетических алгоритмов разработана эволюционная модель распределения потоков данных в модульной ассоциативной памяти.
Разработаны алгоритмы и программы устойчивой идентификации спикера и исследованы вопросы устойчивости алгоритмов к наличию помех при регистрации речи. Для пассивных помех разработаны алгоритмы их устранения. Для активных помех показано существование неустранимой ошибки идентификации, которую необходимо учитывать в автоматическом распознавании. Предложена система идентификации источника сигнала на основе байесовских сетей. Показано, что использование байесовских сетей значительно повышает устойчивость распознавания. На основе скрытых марковских моделей созданы алгоритмы, позволяющие в реальном времени различать простейшие речевые команды на русском языке.
5.2. На кафедре математической кибернетики ведутся исследования дискретных структур и алгоритмов в теории управляющих систем.
Исследована задача обфускации (маскировки) программ. Предложены новые критерии оценки стойкости обфускирующих преобразований. Предложен новый метод обфускации программ с указателями, способный наиболее эффективно противодействовать алгоритмам статистического анализа. Разработан новый оптимальный по времени алгоритм антиунификации термов. Установлена асимптотика площади плоской прямоугольной решетки, допускающей гомеоморфные вложения полных двоичных и троичных деревьев с расположением листьев дерева на границе прямоугольника.
Разработан новый способ построения схем малой сложности, распознающих принадлежность схем инвариантным классам, — метод разложения. Установлена асимптотика функции Шеннона длины диагностических тестов относительно произвольных перестановок входов булевых функций. Получена асимптотика логарифма числа функций, сохраняющих двухместный предикат, истинный на разнозначных наборах, и уточнена нижняя оценка асимптотики логарифма количества метрических функций. Установлен порядок функции Шеннона для задачи о тестировании бесповторных функций.
Разработан новый метод верификации параметризованных симметричных асинхронных систем взаимодействующих процессов. Разработано новое формальное определение стойкости обфускирующих (маскирующих) преобразований программ и предложен новый метод построения доказуемо стойких обфускирующих преобразований программ, снабженных схемой идентификации пользователей. Разработан новый подход к построению обфускирующих преобразований, противодействующих алгоритмам статистического анализа программ, проведена оценка их стойкости и эффективности. Разработан новый формальный метод проверки свойств конфиденциальности и целостности криптографических протоколов, описанных средствами врьисчисления.
5.3. На кафедре квантовой информатики рассматривались вопросы разработки квантовых каналов передачи информации. Доказаны максимально сильные нижние оценки квантовой сложности для квантового моделирования классических вычислений большой длины, а также нижняя оценка для квантового моделирования произвольных классических вычислений — как квадратный корень из классического времени. Доказана массовая нижняя оценка для задачи квантового перебора. Предложена схема полностью защищенной квантовой базы данных, основанная на модификации гроверовского алгоритма.
Построен квантовый алгоритм распознавания спектральных свойств объектов типа молекул и структур наноэлектронных устройств; квантовый алгоритм распознавания истинности логики предикатов с произвольной кванторной приставкой. Разработана реалистическая схема универсального квантового компьютера с однокубитным управлением, а также фермионного компьютера, управляемого только туннелированием.
Предложена конструкция универсального квантового двухкубитного гейта на зарядовых состояниях электронов в твердотельных квантовых точках. Предложен метод релятивистской квантовой криптографии и разработаны релятивистские квантовые протоколы передачи данных. Исследованы возможности массовой атаки на ключ при передаче по квантовым каналам связи и доказана безусловная секретность релятивистских квантовых протоколов. Получено обобщение теоремы Котельникова об отсчетах на квантовый случай.
5.4. На кафедре системного программирования проведены исследования проблемы сопровождения наследуемого программного обеспечения (ПО) и инструментальных средств для его анализа и поддержки. На основании проведенных исследований предложена модель среды для автоматизации процессов прямой и обратной инженерии, возникающих при сопровождении наследуемого ПО. Выполнено проектирование и осуществлена прототипная реализация расширенного набора (с включением средств анализа динамических свойств программ, повторного использования компонент) инструментальных средств поддержки процессов реинженерии.
Предложена и обоснована новая методика маскировки программ, устойчивая к существующим методам статического и полустатического анализа, основанная на разрушении структурности графа потока управления функции и внесении в функцию несущественных операций, объединяемых с основными операциями с помощью тождеств. Проведены исследования в рамках решения фундаментальной проблемы программирования, связанной с созданием систем искусственного интеллекта на основе эффективного сочетания процедурных и непроцедурных подходов к моделированию целенаправленной деятельности. Проведены анализ и характеристика монотонных и динамических предметных областей, моделирование их на основе процедурных и непроцедурных средств. Дано уточнение общей структуры систем планирования целенаправленной деятельности и сформулированы принципы построения модели планирования целенаправленной деятельности. Определены характеристики процедурных и декларативных элементов для представления объектов предметной области и их взаимосвязей в задачах планирования целенаправленной деятельности. Выполнен анализ методов формализации проблемно-ориентированных приемов планирования и решений.
5.5. На кафедре алгоритмических языков и в лаборатории вычислительного практикума и информационных систем получены следующие результаты. Разработаны новые технологии автоматизированного формирования и сопровождения больших лингвистических баз знаний для задач информационного поиска и веб-аналитики; сформированы компьютерные словари и тезаурусы русского и английского языков для нескольких прикладных областей; разработаны новые методы контент-анализа текстовых документов в глобальной сети Интернет. Разработаны новые алгоритмы решения в символьном виде ряда задач компьютерной алгебры: решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов; десингуляризация линейных разностных уравнений.
Разработан автоматизированный практикум (АП) по нелинейной динамике (синергетике). Для пользователя АП организован в виде учебно-исследовательской среды для проведения вычислительных экспериментов с нелинейными математическими моделями из различных областей естествознания. Разработан программный инструментарий для наполнения банков моделей и эталонных примеров, идентификации типов, визуализации и анимации самоорганизующихся во времени численных решений. Наборы заданий для моделей и эталонные решения в графической форме приведены в учебном пособии.
5.6. Вопросы создания новых технологий обработки данных в неоднородных вычислительных средах разрабатываются на кафедре автоматизации систем вычислительных комплексов, в лабораториях вычислительных комплексов, технологий программирования и компьютерной графики. Здесь выполнены работы по созданию системы определения наиболее вероятного авторства фрагментов музыкальных произведений с использованием нейросетевого подхода и байесовских сетей. Разработан алгоритм для системы определения нестандартных ситуаций во взаимодействии с сетью Интернет на основе анализа статистики обращений к сайтам. Проведены вычислительные эксперименты по преобразованию речевых символов к виду, позволяющему упростить процедуру распознавания пароля. Разработан и реализован метод автоматизированного конструирования процедур анализа изображений с использованием генетических алгоритмов. Предложены алгоритмы и методы реализации динамического распределения процессов по процессорам в кластерных вычислительных системах.
Развиты методы исследования динамики информационных процессов в неоднородных вычислительных средах. Разработана и реализована инструментальная система DYANA для анализа поведения программ в распределенных средах, для разработки и отладки параллельных программ.
Созданы средства для построения моделей встроенных вычислительных систем, функционирующих в режиме жесткого реального времени, и созданы средства полунатурного моделирования вычислительных систем жесткого реального времени. Разработаны методика и инструментальные средства построения генетических алгоритмов для решения задач структурного синтеза вычислительных систем реального времени.
На основе новых интеллектуальных методов обнаружения спама, которые основаны на статистических алгоритмах и алгоритмах машинного обучения, разработано решение, которое предлагает быстрый и точный алгоритм, качество классификации которого выше, чем у наиболее распространенного в настоящее время метода Байеса. Благодаря использованию мультиагентной архитектуры, которая позволяет легко масштабировать систему, решается проблема производительности, свойственной интеллектуальным методам, а также предоставляется возможность построения единой корпоративной интеллектуальной системы фильтрации спама в масштабах предприятия, объединяющей различные
почтовые системы, работающие в компании. Пилотная программная реализация предложенного подхода, а также ее экспериментальная проверка как на эталонных наборах данных, так и на реальных потоках почты показала, что предложенный подход превосходит существующие интеллектуальные и традиционные методы фильтрации спама, что позволяет рассматривать его как перспективную платформу для построения систем фильтрации спама масштаба предприятия. Проведены исследования механизма контрольных точек (КТ) в современных высокопроизводительных вычислительных средах и разработана библиотека контрольных точек для параллельных задач, использующих библиотеку MPI в коммуникационных средах: разделяемая память (SMP-узлы) и сеть Myrinet (используется при построении многих кластерных систем, в частности в МВС-1000М). Проведено тестирование библиотеки на вычислительной задаче из области газодинамики, которое показало, что применение механизма контрольных точек приводит к незначительным издержкам (под издержками понимается увеличение времени выполнения задачи), но обеспечивает отказоустойчивость задачи к сбоям в вычислителе, а также позволяет осуществить прерывание выполнения задачи на длительный срок и переместить задачу при восстановлении на другой набор узлов кластерной системы.
Проведены работы по созданию алгоритмов синтеза, редактирования и интерактивной визуализации трехмерных моделей статических и анимированных объектов с использованием представлений, основанных на изображениях. Разработаны новые алгоритмы прогрессивной и адаптивной клиент-серверной передачи трехмерных сцен, представление больших трехмерных сцен при помощи иерархических ячеек. Разработан новый алгоритм отслеживания точечных особенностей в видеопоследовательностях с изменениями резкости. Предложен новый метод деблокинга изображений. Разработаны новые методы изменения разрешения статических изображений и видеоинформации. Создан метод деинтерлейсинга видеоданных.
Активная работа ученых факультета по решению актуальных проблем прикладной математики и информатики позволяет им участвовать в выполнении большого числа различных проектов Российского фонда фундаментальных исследований, программ "Университеты России" и других государственных программ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Моисеев Е.И., Ломов И. С. Спектральные разложения и граничное управление в задачах математической физики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 77-85.
2. Денисов А. М., Дмитриев В. И. Обратные и некорректно поставленные задачи // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 23-30.
3. Прохоров Ю. В., Королев В.Ю.,Бенинг В. Е. Аналитические методы математической теории риска, основанные на смешанных гауссовских моделях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 94-112.
4. Захаров Е.В., Ильинский A.C. Компьютерные методы анализа моделей прикладной электродинамики и нелинейной оптики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 30-39.
5. Пасконов В.М., Лебедев М.Г. Развитие моделей и методов вычислительной аэрогидродинамики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 1. С. 5-17.
6. Андреев В. Б., Гулин A.B., Николаев Е.С., Четверушкин Б.Н. Теория численных методов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 39-52.
7. Еленин Г. Г., Попов Ю.П., Трофимов В. А., Фаворский А.П. Математическое моделирование прикладных задач // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 52-62.
8. Костомаров Д. П. От численного решения классических задач математической физики к моделированию реального мира // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 62-77.
9. В ас и н А. А., Д е н и с о в Д. В., М о р о зо в В. В., Федоров В. В. Школа исследования операций в МГУ // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 85-94.
10. Куржанский А. Б. О задачах синтеза управлений по реально доступной информации // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 113-122.
11. Иванников В. П. О работах в области системного программирования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 122-131.
12. Королев Л.Н. О научных направлениях и разработках в области программного обеспечения вычислительных машин и систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. Спец. вып. С. 132-140.
13. Валиев К. А. Квантовые компьютеры: смена парадигмы вычислений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 2. С. 3-16.
Поступила в редакцию 11.01.05
Е. А. Григорьев
ФАКУЛЬТЕТ ВМиК МГУ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ
Основанный в 1970 г. по инициативе и благодаря усилиям одного из крупнейших российских ученых XX в. академика А. Н. Тихонова факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова является ведущим учебно-научным центром России по подготовке высококвалифицированных специалистов по прикладной математике, вычислительным технологиям и информатике, а также по проведению фундаментальных научных исследований в различных областях знаний.
Факультет был организован на основе кафедры вычислительной математики механико-математического факультета и Вычислительного центра МГУ. Кадровую поддержку он получил со стороны кафедры математики физического факультета МГУ, а также институтов АН СССР: Института прикладной математики и Математического института им. В.А. Стеклова.
1. Страницы истории факультета. Истоки. Начальные шаги, связанные с постановкой обучения специалистов-математиков, способных создавать и использовать численные методы, работать с вычислительной техникой, относятся ко времени появления первых вычислительных машин в нашей стране. В 1949 г. на механико-математическом факультете МГУ была создана кафедра вычислительной математики, которую до 1952 г. возглавлял профессор Б.М. Щиголев, специалист в области небесной механики, занимавшийся также и вычислительной математикой.
Первый выпуск кафедры вычислительной математики состоялся в 1950 г. Многие из выпускников первых лет (1950-1957) стали впоследствии известными учеными — это академики Н.С. Бахвалов, В. В. Воеводин, С. К. Годунов, А. А. Гончар, А. П. Ершов, Ю. И. Журавлев, M. М. Лаврентьев; члены-корреспонденты Л.Н. Большев, О. В. Бесов; профессора Е.А. Волков, Е.А. Жоголев, И. Б. Задыхай-ло, В. Г. Карманов, В. И. Лебедев, С. А. Ломов, Э.З. Любимский, Р. И. Подловченко, Г. С. Росляков, Н.П. Трифонов, B.C. Штаркман и др. Первыми из выпускников аспирантуры кандидатские диссертации в 1954 г. защитили В.Г. Карманов и Н.П. Трифонов.
Б.М. Щиголев много сделал для организации работы новой кафедры, однако формирование содержания учебного процесса произошло позднее, когда новым заведующим кафедрой стал один из крупнейших математиков XX в. академик С. Л. Соболев. Он руководил кафедрой с 1952 по 1960 г. В это время были заложены основы тех направлений научных исследований и подготовки специалистов, которые реализовались впоследствии в целом ряде фундаментальных областей современной вычислительной математики. К преподаванию были привлечены известные ученые A.A. Ляпунов, М.В. Келдыш, Л. А. Люстерник, Б.Н. Делоне, М.Р. Шура-Бура, К. А. Семендяев, М.А. Карцев, а также И. С. Березин, Н. П. Жидков. В середине 50-х гг. на кафедре кроме упомянутых выше преподавали С.М. Никольский, C.B. Яблонский, В. А. Успенский, В. В. Русанов, А. Д. Горбунов, Л. А. Чудов и др. В 1955 г. начал свою работу знаменитый научно-исследовательский семинар по кибернетике под руководством А. А. Ляпунова.
