МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛУЧЕНИЯ МОЛОЧНОЙ КИСЛОТЫ: УСТОЙЧИВОСТЬ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья УДК 574.6.663.1

doi: 10.24143/1812-9498-2021-2-15-29

Математическое моделирование нестационарности биотехнологического получения молочной кислоты:

устойчивость

Юлия Львовна Гордеева1ш, Алексей Георгиевич Бородкин2, Елена Львовна Гордеева3,

Юрий Алексеевич Комиссаров4

1 Московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологии -МВА им. К. И. Скрябина, Москва, Россия, l.s.gordeev@yandex.ruM

2 3 4 Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева,

Москва, Россия

Аннотация. Приведены расчетные соотношения, определяющие показатели стационарных состояний процесса получения молочной кислоты. Определены три технологии, наиболее часто упоминаемые в научных публикациях: технология использования штаммов микроорганизмов для получения биомассы (крайне редко применяемая); технология использования штаммов микроорганизмов для получения молочной кислоты с потреблением основного субстрата, чаще всего глюкозы (достаточно распространенная); технология получения молочной кислоты с использованием (помимо основного субстрата) компонента, воспроизводящего основной субстрат в процессе синтеза (перспективная технология). Для каждой технологии приведены уравнения материального баланса для стационарных и нестационарных условий, обобщенное дифференциальное уравнение для нестационарных условий, характеристическое уравнение. Приведены расчетные формулы для оценки коэффициентов дифференциальных уравнений и коэффициентов характеристического уравнения. Уравнения для нестационарных условий по двум последним технологиям базируются на использовании разложения функций в ряд Тейлора с сохранением только первых членов разложения, т. е. отклонения от стационарности в малом. Характеристическое уравнение сформировано с использованием собственных чисел X. Рассматривается метод для всех трех технологий, позволяющий выполнить оценку устойчивости рассматриваемого стационарного состояния, - метод Гурвица. Для всех трех технологий получены численные результаты по оценке коэффициентов характеристических уравнений Pi. Даны табличные значения коэффициентов, по которым с использованием определителей по матрице Гурвица получены оценки устойчивости для скорости протока 0,1 ч-1, 0,2 ч-1, 0,3 ч-1. Приведены результаты численных оценок для устойчивости стационарных состояний для трех технологий. Оценки базировались на показателях, ранее опубликованных в научных исследованиях констант.

Ключевые слова: молочная кислота, уравнения нестационарных состояний, оценка устойчивости, матрица Гурвица, технология

Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева.

Для цитирования: Гордеева Ю. Л., Бородкин А. Г., Гордеева Е. Л., Комиссаров Ю. А. Математическое моделирование нестационарности биотехнологического получения молочной кислоты: устойчивость // Вестник Астраханского государственного технического университета. 2021. № 2 (72). С. 15-29. doi: 10.24143/1812-9498-2021-2-15-29.

© Гордеева Ю. Л., Бородкин А. Г., Гордеева Е. Л., Комиссаров Ю. А., 2021

Original article

Mathematical modeling nonstationarity of biotechnological production of lactic acid: stability

Yuliya L. Gordeeva13, Aleksey G. Borodkin2'3, Elena L. Gordeeva2'4, Yuriy A. Komissarov2'5

1 Moscow State Academy of Veterinary Medicine and Biotechnology -MVA by K. I. Skryabin, Moscow, Russia, l.s.gordeev@yandex.ruM

2Mendeleev University of Chemical Technology, Moscow, Russia

Abstract. The article presents the calculated ratios of indicators determining the stationary states of the lactic acid production process. Three technologies that are most often mentioned in scientific publications are identified: the technology of using strains of microorganisms to produce biomass is a technology that is extremely rarely used; the fairly common technology of using strains of microorganisms to produce lactic acid with the consumption of the main substrate (most often glucose); the promising technology of obtaining lactic acid using, in addition to the main substrate, a component that reproduces the main substrate in the synthesis process. For each technology, the equations of material balance for stationary and non-stationary conditions, a generalized differential equation for non-stationary conditions, and a characteristic equation are given. The formulas for estimating the coefficients of differential equations and the coefficients of the characteristic equation are also given. The equations for non-stationary conditions according to the last two technologies are based on the use of the Taylor series expansion of functions with the preservation of only the first terms of the expansion, i. e. deviations from stationarity in small. The characteristic equation is formed using the eigenvalues X. The methodology for all three technologies is given, which allows us to assess the stability of the considered stationary state - the Hurwitz method. For all three technologies, numerical results are obtained for estimating the coefficients of the characteristic equations Pi. Tabular values of the coefficients are given, according to which stability estimates for the dilution rate of 0.1 h-1, 0.2 h-1, 0.3 h-1 are obtained using determinants according to the Hurwitz matrix. The results of numerical estimates for the stability of stationary states for all three technologies are presented. The estimates were based on the indicators of constants published in scientific studies.

Keywords: lactic acid, equations of non-stationary states, stability estimation, Hurwitz matrix, technology

Acknowledgements: The work was carried out with the financial support of Mendeleev University of Chemical Technology.

For citation: Gordeeva Yu. L., Borodkin A. G., Gordeeva E. L., Komissarov Yu. A. Mathematical modeling nonstationarity of biotechnological production of lactic acid: stability. Vestnik of Astrakhan State Technical University. 2021;2 (72):15-29. (In Russ.) DOI: 10.24143/1812-94982021-2-15-29.

Введение

При реализации синтеза молочной кислоты в процессе всегда происходят возмущения (отклонения показателей процесса от стационарного значения). Если эти отклонения не приводят к нарушению технологического процесса и с течением времени значения показателей возвращаются к первоначальным, стационарное состояние устойчиво. В противном случае для реализации процесса требуется внешнее управление.

Так как малых возмущений избежать практически не удается, то, если наблюдается нарушение технологического процесса, приводящее к невозможности обеспечения его функционального назначения, процесс считается неустойчивым в малом. Математический анализ такого рода устойчивости или неустойчивости в малом получил название «устойчивость первого приближения», оценка которой возможна по условиям Гурвица. Подробный математический анализ в доступной форме приведен в работах [1, 2].

Процессы микробиологического синтеза достаточно широко распространены. Однако в настоящем исследовании речь идет о промышленно значимых процессах получения целевых продуктов [3], в частности пищевых кислот [4].

Рассматриваемые процессы отвечают следующим условиям: в процессе синтеза производится биомасса X, получается целевой продукт P, расходуется основной субстрат S. Сущность процесса определяется кинетикой роста биомассы, основным показателем которой является удельная скорость роста ц, т. к. биомасса является продуцентом образования продукта.

Математически удельная скорость роста для рассматриваемого объекта является в общем случае нелинейной функцией X, S, P. Кроме того, в процессе ферментации удельная скорость роста в той или иной степени может быть ингибирована каждым из показателей X, S, P.

Отметим, что для отдельных штаммов микроорганизмов при ферментации кроме целевого продукта образуются побочные, иногда представляющие практическую ценность [5, 6]. Таких продуктов образуется, как правило, незначительное количество [7]. С другой стороны, поскольку сырье является наиболее расходной статьей процесса, имеется тенденция [5, 6] к использованию воспроизводимого сырья, что отмечено в работах [8-10].

Уравнения математических моделей

Нестационарные состояния оцениваются преимущественно с использованием математических моделей [5, 6, 11]. При этом имеет место большое разнообразие уравнений математических моделей, ориентированных, с одной стороны, на характеристики штаммов микроорганизмов, с другой стороны, согласно представлениям конкретных исследователей - на характер взаимоотношения компонентов в процессе синтеза. В достаточно полной мере эти позиции освещены в обзорах [5, 6, 11] и других публикациях. Таким образом, в общем виде сформировать единую систему уравнений не представляется возможным. В настоящей публикации представлены уравнения трех типов.

Первый тип отвечает условиям использования штамма, не воспроизводящего молочную кислоту, т. е. ориентирован только на получение биомассы [12]. Эта математическая модель содержит только два уравнения: уравнение баланса и уравнение для удельной скорости роста. Уравнения для стационарных условий имеют следующий вид:

цХ - DX = 0; (1)

D(So -S)- цХ = 0; (2)

YX/S

KtS

Ц = Цшах -Т, (3)

KmKt + KtS + S2

где ц - удельная скорость роста микроорганизмов, ч-1; D - величина протока, ч-1; X - концентрация биомассы, г/л; S - концентрация субстрата, г/л; YX/S - стехиометрический коэффициент, г/г; K - константа ингибирования, г/л; Km - константа насыщения субстрата, г/л; 0 - начальное значение; max - максимальное значение.

Второй тип уравнения отвечает условиям получения молочной кислоты при использовании основного субстрата, как правило глюкозы.

Математическая модель содержит следующие уравнения для стационарных условий:

-DX + = 0;

D(Sf -S)-^VX

YX/S

= 0;

ц = ц n

- DP + (ац + р) X = 0;

Гл P Л KiS 1--

P

max J m i

где P - концентрация продукта, г/л; а, в - константы.

KmKi + KiS + S2

Соотношения уравнений для моделирования наиболее часто используются для различных видов удельной скорости роста ц.

Третий тип уравнения используется достаточно редко (судя по публикациям), хотя в определенной степени он более привлекателен. Привлекательность заключается в том, что здесь расширяется сырьевая база и, как следствие, возрастает экономическая эффективность синтеза.

Данная технология, кроме основного субстрата, использует компонент Ы, воспроизводящий основной субстрат в процессе синтеза. Уравнения математической модели имеют вид:

-БX + цХ = 0; (4)

1 цХ + Б (^ - S) + ^Ы = 0; (5)

YX/S

(ац + ß)X - DP = 0; (6)

D (Mо - M)- kMM = 0, (7)

где

1 -

X

,0,5 . „ N0,5

X

1-

P

Pm

KS

max J \ max J '■"m^i

KmKi + KiS + S2

(8)

где ^ - константа, определяющая количество воспроизведенного субстрата, ч-1; Ы - концентрация сырья, дополнительно воспроизводящего субстрат, г/л.

Таким образом, обозначены уравнения математических моделей, которые используются в дальнейшем.

Нестационарные состояния. Устойчивость

Нестационарные состояния рассмотрены для трех условий организации технологического процесса. Первой технологии отвечает организация процесса, когда используется штамм микроорганизмов, предназначенных для получения только биомассы. Условия второй технологии предполагают использование для получения молочной кислоты только основного субстрата, потребляемого микроорганизмами, содержащегося в поступающем потоке (например, глюкозе).

Третья технология относится к процессам, использующим кроме основного субстрата сырье, воспроизводящее основной субстрат в процессе синтеза (например, мальтозу).

Условия первой технологии.

Уравнения (1)-(3) записываются для нестационарных состояний:

/Х

— = (X, S) = цX - БХ; (9)

70 1

— = ^ (X, S) = Б (^ - S) - — цХ; (10)

аг

= KгS

Ц = Цтах К^К^К^.

Вводятся приращения по X и S от стационарных значений:

X=Хст + 81; S = $ст + 82, где Хст и Sст - значения X и S для конкретного стационарного состояния.

Уравнения (9) и (10) примут вид:

d(XCT +5!) = F (XCT +5!; SCT +S2);

d(Sot +52) = F2 (XCT + 5j; SCT +52).

Используя разложение Fi и F2 в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов ряда, получаем:

= аД + ЬД; (11)

dt

d 5

2 = а251 + b2 52, (12)

где

dt

а =| dF_| . b=idFL] . а =№] . b =№ a1 1 dX J ; b1 Usl ; 02 Uxl ; b2 Us

При этом F1(X, S)ст = F2(X, S)ст = 0. Уравнения (11), (12) преобразуются в одно дифференциальное уравнение второго порядка по 81. Получено:

^ - - P 5 = 0 dt2 P1 dt P2 51 = 0

где P1 = a1 + b2; P2 = b1a2 - b2a1.

Характеристическое уравнение:

r2 - P1r - P2 = 0.

Необходимое и достаточное условие устойчивости:

- Р1 > 0; -Р2 > 0.

В табл. 1 приведены формулы для вычисления констант (11) и (12): а1, Ь1, а2, Ь2.

Расчетные соотношения для вычисления a1, b1, a2, b2 Design ratios for calculating al5 b1, a2, b2

Таблица 1 Table 1

Обозначение коэффициента Расчетная формула

a1 ц K'SCT D ^ KmK, + KSct + SCT

b1 K (KmKi - SCT ) xct ЦтахKi , 2 ,2 (KmK+ k,.Sct + S2 )

a2 Цтах KiSCT YX/S KmKi + KiSct + SCT

b2 X (KmK - SCT) D X CT К V ' 2 YX/S (KmK + K,.Sct + Sc2T )

Пример численного расчета не приводится, т. к. использование штаммов, не производящих молочную кислоту, не представляет технологического интереса.

Условия второй технологии.

Уравнения математической модели процесса микробиологического синтеза в нестационарном состоянии в непрерывных условиях функционирования имеют следующий вид:

= - DX + цУ = F1 (X, 5, Р); (13)

70 1

— = D(^ -5)- — ЦУ = F2 (X, 5, Р), (14)

= -ОР + (ац + р)X = F3 (X, 5, Р) , (15)

где D = Q / V; V- объем заполнения реактора, м3; Q - объемная скорость поступающего потока, м3/ч; ц - удельная скорость роста биомассы, ч-1; УХ/5 - стехиометрический коэффициент, г/г; X, 5, Р - концентрация на выходе из реактора биомассы, субстрата и продукта соответственно, г/л; 5f - концентрация субстрата в потоке, поступающем в реактор, г/л; а, в - константы. Этот тип условий является наиболее распространенным в научных и технологических разработках.

Используются различные варианты удельной скорости роста. Часто эти варианты принимаются авторами без достаточного научного обоснования. Наиболее часто рассматриваются варианты с удельной скоростью роста, ингибируемой концентрацией продукта и концентрацией субстрата в виде соотношения

Л

Ц _ Цп ' ' Р

1-P

V P у

V max у

KS

ктк + KS + S2

где цтах - максимальная удельная скорость роста, ч-1; Ртах - константа насыщения продукта, г/л; К - константа ингибирования субстрата, г/л; Кт - константа насыщения субстрата, г/л.

Стационарные условия процесса (невозмущенное движение):

/X _ _ /р _ 0 Ж / ж

Координаты возмущенного движения представляются в виде суммы координат невозмущенного движения и приращения, являющегося функцией времени Так, для уравнений (13)-(15) координаты возмущенного движения: X=Xст + 51(^); 5 = 5ст + 52(0; Р = Рст + 53(0.

Уравнения (13)-(15) примут вид:

/ (XCT +51)_ Fl X +51; 5СТ +62; Рст +63);

/ (5ст +52)_ F2 (Xст +61; 5СТ +62; Рст +53);

/ (Рст +53 )_ Fз (Xст +61; 5ст +62; Рст +53).

Используется разложение F1, F2 и F3 в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов ряда, получим:

—1 _ а151 + Ь152 + с153; (16)

/

_ а251 + Ь252 + с253 ; (17)

Ж

d S

3 = a3S1 + b3S2 + c3S3. (18)

dt

Формулы расчета коэффициентов уравнений (16)-(18) приведены в табл. 2, где

' la?)„' ' las J„' ' la?J„

Частные производные в уравнениях вычисляются для стационарных состояний.

Расчетные соотношения для вычисления коэффициентов уравнений (16)-(18) Design ratios for calculating the coefficients of equations (16)-(18)

Таблица 2 Table 2

Обозначение коэффициента Расчетная формула

ai 0

bi Y DlPmax KmKi _ SCT ст P _ P M K S 2 1 max 1 ст H-max KiS ст

Ci X ct p _ p ct max ст

ai D YXjS

b2 D Xct D2Pmax KmKi _ SCT YX/S Pmax _ Pct Mmax KiSст

ci DX ct YX/S (Pmax _ Pct )

a3 aD + p

Ьз aXct D2p"ax KmKi _ ^ ст P _ P M K S 2 1 max 1 ст г1 max KiS ст

Сз -d _ ad x ct p _ p ct max ст

Оценка условий устойчивости стационарного состояния возможна по одному из двух вариантов. Приведем формулировку обоих.

Согласно первому варианту необходимо использовать уравнения (16)-(18), сформировав из трех уравнений первого порядка единственное уравнение третьего порядка.

В соответствии с качественной теорией дифференциальных уравнений три уравнения (16)-(18) приводятся к дифференциальному уравнению третьего порядка:

pd% + + pd8^ + p S = 0 Po dt3 Pl dt2 P2 dt PA = 0"

(19)

где Р0 = Ь1; Р1 = - (а1Ь1 + М2) - (съ\ - с1Ь3); Р2 = - (М1Ь1 - М2а1) - Ь3 (а1с1 + М3) + с3 (а1Ь1 + М2); Р3 = -а3 А - Ь3 (М1с1 - М3а1) + с3 (М1Ь1 - М2а1) ; М1 = Ь1а2 + с1а3; М2 = Ь1Ь2 + с1Ь3; М3 = Ь1с2 + с1с3; А = М3Ь1 - М 2с1.

Необходимое и достаточное условие устойчивости для дифференциальных уравнений третьего порядка получено И. А. Вышнеградским, а также К. И. Максвеллом [13]. Формируется определитель с использованием матрицы Гурвица

(20)

P Po 0

P P P

0 0 P

Необходимое и достаточное условие устойчивости - положительность главных миноров определителя (20), т. е.

Ai = P > 0; А2 =

P Po

Рз P

> 0; Аз =

P Po 0

Pз P2 P > 0

0 0 Pз

(21)

Раскрывая А3по последней строке, получаем:

А 4 = Рз; А 2 = Рз

P Po

Рз Р2

> 0 .

(22)

Согласно второму варианту формируется характеристическое уравнение с использованием собственных чисел Я. Приведем последовательность формирования характеристического уравнения. Используя константы, приведем определитель, содержащий собственные числа Я:

а1 -Я Ь с1 а2 Ь2 - Я с2 а3 Ь3 с3 - Я

Раскрывая определитель, получаем следующие соотношения, по которым формируется характеристическое уравнение:

(ai -X)

b2 - X п2

Ьз

c3 - X

- b a2 С2 +c а2 b2 - X

1 аз сз - X 1 аз Ьз

Характеристическое уравнение:

- P0X3 + P1X2 + P2X + P3,

где Po = -1,0; Pi = ax + b2 + C3; P2 = (ba + с^з) - (ac + a^) - (Ь2Сз - С2Ьз); P3 = (Ь:С2аз - Ь^Сз) + + (cia2b3 - cab?) + (aib2C3 - а2С2Ьз).

Раскрыв обозначения в (19), получим значения P0, P1, P2, P3, аналогичные приведенным. Оценка устойчивости проведена по первому варианту, т. е. с использованием соотношения (19). Для численной оценки выбрано следующее стационарное состояние: D = 0,15 ч-1; Sf = 25 г/л; SCT = 5,89 г/л; = 7,64 г/л; PCT = 27 г/л; gp = 4,05 г/(л-ч).

Для численного моделирования использованы данные кинетических исследований анаэробного процесса микробиологического синтеза (табл. 3).

Таблица 3 Table 3

Численные значения констант* Numerical values of constants

-^maxi г/ л Km, Г/Л Ki, г/л Кет, г/г а, г/г Р, ч-1

0,48 50 1,2 22 0,4 2,2 0,2

* Составлено по [2, 3].

Согласно табл. 2 для принятого стационарного состояния рассчитаны коэффициенты уравнений (16)-(18):

а! = 0,0; Ь1 = -0,00846; с1 = -0,04982; а2 = -0,375; Ь2 = -0,1288; с2 = -0,1246; а3 = 0,53; Ь3 = -0,0186; с2 = -0,2596.

Используя значения ai, bi, ci, вычислены следующие показатели к уравнению (19): Mi = -0,02323; M2 = 0,0020164; M3 = 0,01188; A = -3,565 ■ 10-8.

Далее вычисляются коэффициенты уравнения (19):

P0 = -0,00846; Pj = -0,003286; P2 = -0,000106; P3 = -0,00002948.

Таким образом, уравнение (19) получилось с отрицательными коэффициентами. Для дальнейших вычислений умножаем (19) на (-1), получаем следующие значения: P0 = 0,00846; P1 = 0,003286; P2 = 0,000106; P3 = 0,00002948.

Далее следует, что все коэффициенты положительны. Согласно (21):

Д1 = P1 = 0,003286 > 0;

Л2 = 0,003286 ■ 0,000106 - 0,00846 ■ 0,00002948 > 0;

Д3 = 0,00002948 ■ 0,99 ■ 10-7 > 0;

Д4 = 0,00002948 ■ (0,003286 ■ 0,000106 - 0,00846 ■ 0,00002948) > 0 (согласно (22)).

Заключение: рассмотренное стационарное состояние устойчиво.

Условия третьей технологии.

Данная технология пока не получила столь большого распространения, как предыдущая, однако она более приближена к практическим условиям реализации. Дело в том, что технологический процесс при синтезе молочной кислоты использует как основной субстрат (чаще всего глюкозу), так и сырье, образующее основной субстрат в процессе синтеза. Примером такого сырья является мальтоза [6, 7].

Математическая модель рассматриваемого объекта в нестационарных условиях имеет вид:

f = М s ,X, р,M );

= F2 (S, X, P, M);

f=F(s.X, p,M);

= F4 ( S, X, P, M ).

Значения нестационарных переменных запишем в виде суммы стационарного значения и малого приращения, т. е.

X = Хст + 51; S = SCT + 52; P = PCT + 53; M = Mgt + S4.

Используя разложение функций F1, F2, F3 и F4 в ряд Тейлора для нестационарных условий, получим:

^-(f) 1+(f) ^ + (£) 63 ^ (23)

\ У ст V У ст V У ст V У ст

Аналогично уравнению (23) записываются значения функций F2, F3 и F4.

Материальный баланс для стационарных условий приведен в (4)-(8).

Стационарные значения F^t, F2cT, F3ot, F4cT в разложении функций F1, F2, F3 и F4 в ряд Тейлора равны нулю, и в результате получаем следующие дифференциальные уравнения:

d g

—1 - a151 + b152 + c153 + d154; (24)

— = a25j + b252 + с253 + d254 ;

— = a35j + b352 + c353 + d354 ;

= a45j + b452 + c453 + d454 .

(25)

(26) (27)

Оценка устойчивости так же, как и для условий второй технологии, возможна по одному из двух вариантов.

Для дальнейшего анализа по первому варианту уравнения (24)-(27) преобразуются в одно уравнение четвертого порядка, в данном анализе относительно 81:

^ + Pi ^ + Р2 ^ + Рз ^ + Р4 0 dt4 dt3 2 dt2 3 dt 4

(28)

где

Р = Ь2; Р1 = -[й (N1 + А) + d4b? ]; Р2 = -[(К4 - Ш1) - dAЪl (N1 + А)];

Рз =-[(N5 - ЛН2)-d4 (N4 - АН,)]; Р4 = d4 (N5 - ЛН2);

М, = Ъ1а2 + с1а3; М2 = Ъ1Ъ2 + с,Ъ3; М3 = Ъ1с2 + с1с3;

N = а1Ъ1 + М2; М2 = М1Ъ1 - а1М2; N = М3Ъ1 - М2с,;

N = + N3b3; N = N3 (а3Ъ1 - Ъ3а1); А = с3Ъ1 - Ъ3с1 .

Первым условием - тривиальным - является положительность коэффициентов уравнения (28). Если хотя бы один из коэффициентов меньше нуля - система неустойчива. Если один из коэффициентов равен нулю - система на грани устойчивости (следует принять, что неустойчива). Далее формируется определитель матрицы Гурвица [1, 2]:

(29)

Необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность первых диагональных миноров определителя (29) [1, 2], т. е.

Pi Р0 0 0

Рз Р2 Р Р0

0 Р4 Рз Р2

0 0 0 Р4

Ai = Pi > 0; А2 =

Р Р

Р1 Р0

РР

т3 2

> 0; А,

Р Р0 0

Рз Р2 Р > 0,

0 Р4 Рз

(30)

и, наконец, определитель Д4 по (29) также больше нуля. Отметим, что последнее условие при раскрытии определителя (29) приводит к последнему соотношению (30) и именно это условие является нетривиальным.

Таким образом, получили условия оценки устойчивости рассматриваемого стационарного состояния (отметим, оценка в малом, т. е. при малых отклонениях от стационарности).

Для формирования соотношений для оценки Р0, Р1, Р2, Р3, Р4 используются нижеследующие таблицы. В табл. 4 приведены расчетные соотношения для вычисления коэффициентов уравнений (24)-(27).

Таблица 4 Table 4

Расчетные соотношения для вычисления коэффициентов уравнений (24)-(27) Design ratios for calculating the coefficients of equations (24)-(27)

Обозначение коэффициента Расчетная формула

ai D n1X ст X - X max ст

bi D2Xст (KmKi - S2a )

^maxKiScr (1 - Xст 1Xmax ) 1 (l - Pa 1 Pmxx ) 2

ci -d "2X<* p - p max ст

d1 0,0

a2 D Xст - Xmax - niXст YX/S X max - X ст

b2 D2 Xст (KmKi - 5с2т ) D M™axKAt (1 - Xст/Xmax ) 1 (1 -P:VPmax ) 2

c2 D n,X„ Y , P - P 1 X/S 1 max 1 ст

d2 км

a3 aDXmax "Xст " n1Xст + R X — X max ст

b3 „2 Xст (KmKi - 5ст ) --n—-- M™axKiSa (1 - Xст /Xmax ) 1 (1 - Pn 1 Pmax ) 2

c3 D Pmax +an2X ст - P<r P - P max ст

d3 0,0

a4 0,0

b4 0,0

c4 0,0

d4 -( d + км )

Ввиду громоздкости вывода последовательность преобразования уравнений (24)-(27) в одно дифференциальное уравнение четвертого порядка не приводится.

Рассмотрим второй метод формирования характеристического уравнения для выражений (24)-(27). Метод использует понятие собственных чисел [13].

Матрица для формирования характеристического уравнения, включающая собственные числа X:

a - X h

b2 -X

0

c3 - X 0 0 d4 - X

= ( ai - X )

b2 - X

a3 c3 - X 0

00

+ c1

c3 - X 0d

a2 b2 - X

4 - X 0 0 d4 - X

0

-X

Последовательно раскрываем определители. Первый определитель х(a1 - X) :

c

c

2

2

a

c

2

2

2

b

3

b

a

3

3

0

0

0

a

c

2

2

2

2

b

0

a

3

3

(a1b2c3d4 -a1c2b3d4)-(a1b2c3 + a1b2d4 + a1c3d4 -a1c2b3 + b2c3d4 -c2b3d4)X + +(a1c3 + a1d4 + a1b2 + b2c3 + b2d4 + c3d4 - c2b3) X2 - (c3 + d4 + b2 + a1) X3 + X4.

Второй определитель x(-bj):

(bjc2a3d4 - bja2c3d4 ) + (bja2c3 + bja2d4 - bjc2a3) X - bJa2X2. Третий определитель xcj:

(cja2b3d4 - cja3b2d4 ) + (cjb2a3 + cjd4a3 - cja2b3) X - cJa3X2. Характеристическое уравнение имеет вид:

P0X4 + pX3 + P2X2 + P3X + P4 = 0, (31)

где

' Po = 1,0;

P1 = -( c3 + d4 + b2 + a1);

P2 =(a1c3 + a1d4 + a1b2 + b2c3 + b2d4 + c3d4 -c2b3 -b1a2 -c1a3);

(32)

P3 = (b1a2c3 + b1a2d4 - b1c2 a3 + c1b2a3 + c1a3 d4 - c1a2b3 - a1b2c3 --a1b2d4 - a1c3d4 + a1c2b3 -b2c3d4 + c2b3d4);

P4 = (a1b2c3d4 - a1c2b3d4 ) + (b1c2a3d4 - b1a2c3d4 ) + (c1a2b3d4 - c1b2a3d4 ). Для оценки устойчивости используются соотношения (29), (30).

Числовой расчет выполнен для трех стационарных состояний, которые определяются значением величины протока, т. е. для Б = 0,1 ч-1; Б = 0,2 ч-1; Б = 0,3 ч-1.

Исходными данными являются уравнения математической модели для стационарного состояния (4)-(8), концентрация компонентов в поступающем потоке согласно [14]: 50 = 60 г/л; М0 = 20 г/л. Численные значения констант для уравнений (31), (32) приведены в табл. 5 на основе [15].

Таблица 5 Table 5

Численные значения констант для базового варианта Numerical values of constants for the basic version

Km, Г/Л K, г/л Дтах? ч Xmax? г/ л Pmax? г/л П1 П2 Yx/s, г/г км, ч 1 а, г/г в, ч1

1,2 164 0,48 30 98,0 0,5 0,5 0,4 0,035 2,2 0,02

Показатели для трех стационарных состояний приведены в табл. 6, в ней же дана оценка величины продуктивности для каждого стационарного состояния.

Таблица 6 Table 6

Результаты моделирования процесса для трех показателей D Results of process modeling for three indicators D

Показатели процесса X, г/л P, г/л S, г/л M, г/л Qp, г/(л*ч)

Di = 0,1 ч-1 24,41 58,58 4,16 14,81 5,86

D2 = 0,2 ч-1 17,67 40,64 18,8 17,02 8,13

D, = 0,3 ч-1 6,48 14,69 45,89 17,91 4,40

Численные значения коэффициентов уравнений (24)-(27) приведены в табл. 7.

Таблица 7 Table 7

Расчет для трех стационарных состояний по D1 = 0,1 ч 1; D2 = 0,2 ч 1; D3 = 0,3 ч 1

для уравнений (24)-(27) Coefficients of equations (24)-(27) calculated for three stationary states at D1 = 0.1 h"1; D2 = 0.2 h"1; D3 = 0.3 h"1

Обозначение коэффициента Di = 0,1 ч1 D2 = 0,2 ч1 D3 = 0,3 ч1

ai -0,21833 -0,1433 -0,04132

bi 0,11747 -0,00697 -0,008226

Ci -0,03096 -0,0308 -0,01166

di 0 0 0

ai 0,7958 0,8582 0,8533

b2 -0,39369 0,02028 0,02056

Ci 0,0774 0,07701 0,02916

di 0,035 0,035 0,035

a3 -0,26033 0,14472 0,5891

Ьз 0,25845 -0,017848 -0,0181

Сз -0,1681 -0,2678 -0,3256

d3 0 0 0

a4 0 0 0

b4 0 0 0

C4 0 0 0

d4 -0,135 -0,235 -0,335

Вычисление констант a, b,, c,, d, произведено по табл. 2. Значения показателей в поступающем потоке [10]: S0 = 60 г/л; M0 = 20 г/л. Для вычисления значений a,, b, c,, d использованы показатели стационарных состояний (табл. 6).

Далее вычисляются показатели P0, Pi, P2, P3, P4 по формуле (32). Значения приведены в табл. 8, т. е. использован второй вариант по собственным числам X.

Таблица 8 Table 8

Значения показателей Pi Values of Pi indicators

D Po P1 P2 P3 P4

0,1 1,0 0,12774 0,1726 0,00903 0,0

0,2 1,0 0,5258 0,09456 0,01172 0,060319

0,3 1,0 0,48136 0,0683 0,00855 0,0007

Оценка устойчивости по соотношениям (21), (22) подтвердила, что стационарные состояния для D = 0,2 ч-1 и D = 0,3 ч-1 устойчивы. Состояние D = 0,1 ч-1, предположительно, находится на грани устойчивости, т. к. Д4 имеет порядок 10-9.

Заключение

Представленная в настоящем исследовании методология является достаточно общей и может быть использована и для других видов кинетических соотношений, в том числе и для процесса, в котором не используется компонент, воспроизводящий основной субстрат в процессе синтеза. Единственным ограничением является то, что анализ базируется на условиях первого приближения, т. е. при малых возмущающих воздействиях. В рамках данного анализа не рассматривается возможность судить об устойчивости при больших возмущающих воздействиях.

СПИСОК ИСТО ЧНИКОВ

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1998. 480 с.

2. Жукова Г. С., Митрохин С. И., Дарсалия В. Ш. Дифференциальные уравнения. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 1999. 366 с.

3. Бирюков В. В. Основы промышленной биотехнологии. М.: Колосс, Химия, 2004. 296 с.

4. Смирнов В. А. Пищевые кислоты. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1983. 240 с.

5. Гордеев Л. С., Кознов А. В., Скичко А. С., Гордеева Ю. Л. Неструктурированные математические модели кинетики биосинтеза молочной кислоты. Обзор // Теорет. основы хим. технологии. 2017. Т. 51. № 2. С. 8-25.

6. Гордеева Ю. Л., Рудаковская Е. Л., Гордеева Е. Л., Бородкин А. Г. Математическое моделирование биотехнологического процесса периодической ферментации получения молочной кислоты. Обзор // Теорет. основы хим. технологии. 2017. Т. 51. № 3. С. 1-18.

7. Vazquez J. A., Murado M. A. Unstructured mathematical model for biomass, lactic and bacteriocin productions by lactic acid bacteria in batch fermentation // Journal Chemical Technology Biotechnology. 2008. Vol. 83. P. 91-96.

8. Akerberg C., Hofvendahl K., Zacchi G., Hahn-Hagerdal B. Modelling the influence of pH, temperature, glucose and lactic acid concentrations on the kinetics of lactic acid production by Lactococcus lactis ssp. lactis ATCC 19435 in whole-wheat flour // Applied Microbiology and Biotechnology. 1998. Vol. 49. N. 6. P. 682-690.

9. Hofvendahl K., Hahn-Hagerdal B. L-lactic acid production from whole wheat flour hydrolysate using strains of Lactobacilli and Lactococci // Enzyme and Microbial Technology. 1997. Vol. 20. N. 4. P. 301.

10. Gonzales K., Tebbano S., Lapes F., Thorigne A., Givry S., Dumar D., Pareau D. Modeling the continuous lactic acid production process from wheat flour // Applied Microbiology and Biotechnology. 2016. Vol. 100. N. 1. P. 147-159.

11. Гордеева Ю. Л., Бородкин А. Г., Гордеева Е. Л., Рудаковская Е. Г. Математическое моделирование ферментативного процесса получения молочной кислоты. Обобщенная модель // Теорет. основы хим. технологии. 2019. Т. 53. № 1. С. 46-53.

12. Edwards V. H., Wilke C. R. Mathematical representation of batch culture date // Biotechnology Bioengineering. 1968. N. 10. P. 205-232.

13. Фельдбаум А. А., Дудыкин А. Д., Мановцев А. П., МиролюбовН. Н. Теоретические основы связи и управления. М.: Физматгиз, 1963. 932 с.

14. Wee Y. J., Kim J. N., Ryu H. W. Biotechnological production of lactic acid and its recent applications // Food Technology and Biotechnology. 2006. Vol. 44. N. 2. P. 163-172.

15. Гордеева Ю. Л., Бородкин А. Г., Гордеев Л. С. Оптимальные технологические показатели получения молочной кислоты непрерывной ферментацией // Теорет. основы хим. технологии. 2018. Т. 52. № 3. С. 334-340.

REFERENCES

1. Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti [Lectures on mathematical theory of stability]. Moscow, Izd-vo Moskovskogo universiteta, 1998. 480 p.

2. Zhukova G. S., Mitrokhin S. I., Darsaliia V. Sh. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations]. Moscow, Izd-vo RKhTU im. D. I. Mendeleeva, 1999. 366 p.

3. Biriukov V. V. Osnovypromyshlennoi biotekhnologii [Fundamentals of industrial biotechnology]. Moscow, Koloss, Khimiia Publ., 2004. 296 p.

4. Smirnov V. A. Pishchevye kisloty [Food acids]. Moscow, Legkaia i pishchevaia promyshlennost' Publ., 1983. 240 p.

5. Gordeev L. S., Koznov A. V., Skichko A. S., Gordeeva Iu. L. Nestrukturirovannye matematicheskie modeli kinetiki biosinteza molochnoi kisloty. Obzor [Unstructured mathematical models of kinetics of biosynthesis of lactic acid. Overview]. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii, 2017, vol. 51, no. 2, pp. 8-25.

6. Gordeeva Iu. L., Rudakovskaia E. L., Gordeeva E. L., Borodkin A. G. Matematicheskoe modelirovanie biotekhnologicheskogo protsessa periodicheskoi fermentatsii polucheniia molochnoi kisloty. Obzor [Mathematical modeling of biotechnological process of periodic fermentation of lactic acid production. Overview]. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii, 2017, vol. 51, no. 3, pp. 1-18.

7. Vazquez J. A., Murado M. A. Unstructured mathematical model for biomass, lactic and bacteriocin productions by lactic acid bacteria in batch fermentation. Journal Chemical Technology Biotechnology, 2008, vol. 83, pp. 91-96.

8. Akerberg C., Hofvendahl K., Zacchi G., Hahn-Hagerdal B. Modelling the influence of pH, temperature, glucose and lactic acid concentrations on the kinetics of lactic acid production by Lactococcus lactis ssp. lactis ATCC 19435 in whole-wheat flour. Applied Microbiology and Biotechnology, 1998, vol. 49, no. 6, pp. 682-690.

9. Hofvendahl K., Hahn-Hagerdal B. L-lactic acid production from whole wheat flour hydrolysate using strains of Lactobacilli and Lactococci. Enzyme and Microbial Technology, 1997, vol. 20, no. 4, p. 301.

10. Gonzales K., Tebbano S., Lapes F., Thorigne A., Givry S., Dumar D., Pareau D. Modeling the continuous lactic acid production process from wheat flour. Applied Microbiology and Biotechnology, 2016, vol. 100, no. 1, pp. 147-159.

11. Gordeeva Iu. L., Borodkin A. G., Gordeeva E. L., Rudakovskaia E. G. Matematicheskoe modelirovanie fermentativnogo protsessa polucheniia molochnoi kisloty. Obobshchennaia model' [Mathematical modeling

of enzymatic process of obtaining lactic acid. Generalized model]. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii, 2019, vol. 53, no. 1, pp. 46-53.

12. Edwards V. H., Wilke C. R. Mathematical representation of batch culture date. Biotechnology Bioengineering, 1968, no. 10, pp. 205-232.

13. Fel'dbaum A. A., Dudykin A. D., Manovtsev A. P., Miroliubov N. N. Teoreticheskie osnovy sviazi i up-ravleniia [Theoretical foundations of communication and management]. Moscow, Fizmatgiz, 1963. 932 p.

14. Wee Y. J., Kim J. N., Ryu H. W. Biotechnological production of lactic acid and its recent applications. Food Technology and Biotechnology, 2006, vol. 44, no. 2, p. 163-172.

15. Gordeeva Iu. L., Borodkin A. G., Gordeev L. S. Optimal'nye tekhnologicheskie pokazateli polucheniia molochnoi kisloty nepreryvnoi fermentatsiei [Optimal technological parameters for production of lactic acid by continuous fermentation]. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii, 2018, vol. 52, no. 3, pp. 334-340.

Статья поступила в редакцию 06.08.2021; одобрена после рецензирования 27.09.2021; принята к публикации 29.09.2021.

The article was submitted 06.08.2021; approved after reviewing 27.09.2021; acceptedfor publication 29.09.2021.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Юлия Львовна Гордеева - кандидат технических наук, доцент; доцент кафедры информационных технологий, математики и физики; Московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологии - МВА им. К. И. Скрябина; 109472, Москва, ул. Академика Скрябина, 23; l.s.gordeev@yandex.ru

Алексей Георгиевич Бородкин - доцент кафедры процессов и аппаратов химической технологии; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; 125047, Москва, Миусская пл., 9; axbeard@list.ru

Елена Львовна Гордеева - кандидат технических наук, доцент; доцент кафедры высшей математики; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; 125047, Москва, Миусская пл., 9; Elena.Gordeeva311@yandex.ru

Юрий Алексеевич Комиссаров - доктор технических наук, профессор; профессор кафедры процессов и аппаратов химической технологии; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; 125047, Москва, Миусская пл., 9; komiss@muctr.ru

INFORMA TION ABOUT THE A UTHORS

Yuliya L. Gordeeva - Candidate of Technical Science, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Information Technologies, Mathematics and Physics; Moscow State Academy of Veterinary Medicine and Biotechnology - MVA by K. I. Skryabin; 109472, Moscow; Academician Scriabin St., 23; l.s.gordeev@yandex.ru

Aleksey G. Borodkin - Assistant Professor of the Department of Processes and Apparatus for Chemical Technology; Mendeleev University of Chemical Technology; 125047, Moscow, Miusskaya Square, 9; axbeard@list.ru

Elena L. Gordeeva - Candidate of Technical Science, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Mathematics; Mendeleev University of Chemical Technology; 125047, Moscow, Miusskaya Square, 9; Elena.Gordeeva311@yandex.ru

Yuriy A. Komissarov - Doctor of Technical Science, Professor; Professor of the Department of Processes and Apparatus for Chemical Technology; Mendeleev University of Chemical Technology; 125047, Moscow, Miusskaya Square, 9; komiss@muctr.ru