CC BY
35
Вестник РУДН. Серия: МЕДИЦИНА
RUDN Journal of MEDICINE
2019 Vol. 23 No. 1 79—103
http://journals.rudn.ru/medicine
ОРИГИНАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ. ИММУНОЛОГИЯ. АЛЛЕРГОЛОГИЯ
ORIGINAL ARTICLE. IMMUNOLOGY. ALLERGOLOGY
DOI: 10.22363/2313-0245-2019-23-1-79-103
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ ВИЧ-ИНФЕКЦИИ С УЧЕТОМ ГОРМОНАЛЬНОЙ РЕГУЛЯЦИИ
А.А. Савинкова1, Р.С. Савинков1'2, Б.А. Бахметьев3, Г.А. Бочаров1
'Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт вычислительной математики имени Г.И. Марчука» Российской академии наук, г. Москва, Россия 2Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет дружбы народов», г. Москва, Россия
3Институт экологии и генетики микроорганизмов Федерального государственного бюджетного учреждения науки Пермского ФИЦ Уральского отделения Российской академии наук, г. Пермь, Россия
Цель. Проблема эффективного лечения ВИЧ-инфицированных пациентов является важной задачей клинической вирусологии и иммунологии из-за высокой стоимости препаратов, наличия побочных эффектов и необходимости строгого соблюдения расписания приема препаратов для пациентов. Поэтому актуальной является задача разработки новых подходов к оптимизации режимов применения антиретровирусной терапии для снижения стоимости лечения и для улучшения качества жизни пациентов. Поставленные задачи решаются для проверки гипотезы о том, что система терапевтических прерываний при лечении ВИЧ-инфекции может дать лучшие результаты (как продолжительность и комфорт жизни пациента, так и необходимость в меньшем количестве препаратов) в сравнении с регулярным приемом препаратов в стандартных дозах.
Методы. В данной работе проведено построение расширенной версии математической модели иммунного ответа при ВИЧ-инфекции (предложенной Hadjiandreou et al., 2009) для учета гормональной регуляции иммунного ответа и воздействия на течение болезни антиретровирусных препаратов, калибровка параметров полученной модели для соответствия реальным закономерностям течения заболевания и поиск оптимальной стратегии лечения. Модель сформулирована в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а оптимизация лечения моделировалась в рамках подхода на основе структурированных перерывов в терапии методами имитации отжига и симплекс-метода. Модель и методы оптимизации реализованы на языке C++.
Результаты. В работе показано, что при лечении ВИЧ-инфицированных можно существенно (до 3 раз) снизить общее количество медикаментов одновременно с увеличением продолжительности периода с высоким качеством жизни (уменьшить интенсивность побочных эффектов) на всем протяжении антиретровирусной терапии.
Выводы. Использование математических моделей и методов оптимизации открывает возможность для реализации персонализированных подходов к терапии ВИЧ-инфекции с учетом побочных эффектов, гормонального статуса пациентов и стоимости лекарств.
Ключевые слова: иммунология, математическое моделирование, ВИЧ, биоинформатика
Автор, ответственный за переписку: Бочаров Геннадий Алексеевич, д.ф.-м.н., в.н.с. Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Института вычислительной математики имени Г.И. Марчука» Российской академии наук. E-mail: bocharov@m.inm.ras.ru ORCID: 0000-0002-5049-0656
Для цитирования:
Савинкова А.А., Савинков Р.С., Бахметьев Б.А., Бочаров Г.А. Математическое моделирование и управление динамикой ВИЧ-инфекции с учетом гормональной регуляции // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Медицина. 2019. Т. 23. No 1. С. 79—103. DOI: 10.22363/2313-0245-2019-23-1-79-103.
For citation:
Savinkova A.A., Savinkov R.S., Bakhmetyev B.A., Bocharov G.A. (2019). Mathematical modeling and control of HIV infection dynamics taking into account hormonal regulation. RUDN Journal of Medicine, 23 (1), 79—103. DOI: 10.22363/2313-02452019-23-1-79-103.
Инфекция вирусами иммунодефицита человека первого типа (ВИЧ) представляет собой хроническое системное заболевание [1, 14]. Для исследования механизмов патогенеза и поиска эффективных методов лечения инфекции используются разнообразные подходы, включая экспериментальное и математическое моделирование. В основе математических моделей динамики ВИЧ-инфекции лежит рассмотрение взаимодействия ВИЧ и различных звеньев иммунитета [1]. В то же время патологические процессы, ассоциированные с ВИЧ-инфекцией, выходят за рамки иммунопатологических реакций, делая необходимым рассмотрение регуляторных связей с другими физиологическими системами. Поэтому актуальным является одновременное моделирование сразу нескольких подсистем организма с учетом их взаимодействия. В настоящей работе на основе модели иммунного ответа при ВИЧ-инфекции, учитывающей побочные эффекты действия антиретровирусных препаратов [2], разрабатывается обобщенная модель динамики гормональной регуляции иммунного ответа при ВИЧ-инфекции. В исходной модели описывается динамика неинфицированных и зараженных Т-клеток (CD4+ Т-лимфоцитов) и макрофагов, латентно-инфицированных CD4+ Т-клеток, Т-киллеров (CD8+ Т-лимфоцитов) и вирусных частиц двух конкурирующих типов — дикого типа и мутантов. В расширенной модели учитывается динамика тиреотропного гормона (ТТГ), тироксина (Т4) и трийодтиронина (Т3). Данные гормоны добавлены в систему уравнений, поскольку они оказывают существенное влияние на регуляцию процессов иммунного ответа [1]. Проведена калибровка модели по реальным данным [3]. Исследована чувствительность гормонального
блока модели к вариациям параметров. Показано, что расширенная модель позволяет разрабатывать оптимальные режимы антиретровирусной терапии с учетом эндокринной регуляции имму-нофизиологических процессов в организме человека при ВИЧ-инфекции.
ДИНАМИКА ВИЧ-ИНФЕКЦИИ
ВИЧ-инфекция — заболевание, связанное с инфицированием клеток иммунной системы, приводящее к развитию иммуносупрессии. Основной мишенью вируса ВИЧ являются CD4+ Т-клетки, обеспечивающие регуляцию иммунного ответа организма на многие как смертельно опасные, так и условно-патогенные инфекции. Жизненный цикл ВИЧ в сочетании с иммуно-патофизиологическими реакциями приводит к уменьшению количества этих клеток, развитию иммунодефицита и неспособности организма защитить себя против этих инфекций.
После заражения организма ВИЧ происходит быстрый рост вирусной нагрузки и сопутствующее снижение количества CD4+ Т-клеток. Иммунная система реагирует на ВИЧ-инфекцию уничтожением зараженных клеток и вирусных частиц, что приводит к уменьшению количества вирусных частиц и частичному восстановлению численности CD4+ Т-клеток. Все это происходит в течении первых 3—4-х недель заболевания. В последующие несколько лет (обычно около восьми) уровень CD4+ Т-клеток медленно понижается. Вирус заражает все больше CD4+ Т-кле-ток и макрофагов и, следовательно, его количество медленно увеличивается. Более того, часть зараженных CD4+ Т-клеток становится латентно-инфицированными клетками, которые потом, спустя длительное время, могут активироваться
и начать воспроизводить вирус. В итоге, когда иммунная система разрушается функционально и структурно, происходит стремительный рост вирусной популяции. Это связано со снижением численности незараженных СБ4+ Т-клеток ниже порога в 200 мм 3, отмечающего начало последней стадии заболевания — СПИДа. Продолжительность жизни пациентов, у которых диагностирован СПИД, может составить лишь около года (рис. 1).
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
1.1. Исходная модель ВИЧ-инфекции и Т-клеточного ответа
Рассмотрим исходную модель ВИЧ-инфекции, приведенную в статье «Планирование лечения ВИЧ на основе индивидуального подхода» [2]. В этой модели можно выделить три блока процессов:
1) заражение здоровых клеток и размножение вируса (рис. 2),
2) иммунный ответ организма (рис. 3),
3) мутации вирусов (рис. 4).
В целом, данную модель можно представить в виде схемы, изображенной на рисунке 5.
Переменные модели, описывающие динамику ВИЧ-инфекции
T — СБ4+ неинфицированные Т-клетки;
Т — СБ4+ Т-клетки, инфицированные вирусом дикого типа (чувствительным к лекарствам); Т2 — СБ4+ Т-клетки, инфицированные мутировавшим вирусом (устойчивым к лекарствам);
— латентно-инфицированные СБ4+ Т-клетки, зараженные вирусом дикого типа;
'П,2 — латентно-инфицированные СБ4+ Т-клетки, зараженные мутировавшим вирусом; У1 — вирус дикого типа (чувствительный к лекарствам); У2 — мутировавший вирус (устойчивый к лекарствам); М — неинфицированные макрофаги; М1 — макрофаги, инфицированные вирусом дикого типа;
М2 — макрофаги, инфицированные мутировавшим вирусом;
С'П, — СБ8+ Т лимфоциты (киллеры).
Параметры уравнений модели
я1, s2, s3 — скорость поступления новых СБ4+ Т-клеток, макрофагов и СБ8+ Т-киллеров, соответственно;
р1, р2 — скорость образования новых СБ4+ Т-клеток и макрофагов вследствие развития противовирусного иммунного ответа; 51, 52, 53 — скорость естественной смерти неинфицирован-ных, инфицированных и латентно-инфициро-ванных СБ4+ Т-клеток; к1, к2 — скорость заражения СБ4+ Т-клеток вирусом
и инфицированными макрофагами; Ттах — максимальная концентрация СБ4+ Т-клеток; Я — скорость деления СБ4+ Т-клеток;
¥ — доля зараженных СБ4+ Т-клеток, ставших
«активно»-инфицированной популяцией, остальные (1 - у) Т-клетки переходят в латентно-инфицированную популяцию; О) — скорость активации латентно-инфицирован-
ных СБ4+ Т-клеток; к3, к5 — скорость уничтожения инфицированных СБ4+
Т-клеток и макрофагов СБ8+ Т-клетками; к4 — скорость заражения макрофагов вирусом;
54, 55 — скорость естественной гибели неинфицирован-
ных и инфицированных макрофагов; к6, к7 — скорость пролиферации СБ 8+ Т-клеток пропорционально текущему количеству инфицированных СБ4+ Т-клеток и макрофагов; 56, 57 — скорость естественной гибели СБ8+ Т-клеток
и вирусных частиц; к8, к9 — скорость образования новых вирусов в инфицированных СБ4+ Т-клетках и макрофагах; ц — вероятность мутации вируса (из У1 в У2 и на-
оборот);
к10, к11 — скорость потери вирусных частиц вследствие гибели зараженных СБ4+ Т-клеток и макрофагов;
к12 — скорость уничтожения вируса макрофагами; ф — доля мутировавших вирусных частиц, способ-
ных к инфицированию и репликации; щ, и2 — эффективность ингибитора обратной транскрипции (ИОТ) и ингибитора протеазы (ИП); и^ и2 £ [0, 1];
/1, /2 — степень воздействия ИОТ и ИП на макрофаги.
Значения параметров приведены в таблице 1.
Рис. 1. Динамика ВИЧ-инфекции / Fig. 1. Dynamics of HIV infection
Источник/Source: Epstein F.H., Pantaleo G., Graziosi C., Fauci A.S. The Immunopathogenesis of Human Immunodeficiency Virus Infection // New England Journal of Medicine, 1993.
328 (5), 327-335
Рис. 2. Заражение клеток мишеней / Fig. 2. Infection of target cells
Рис. 3. Компоненты иммунного ответа / Fig. 3. Components of the immune response
Рис. 4. Мутация вируса и образование квазивидов / Fig. 4. Mutation of the virus and the formation of quasi-species
Рис. 5. Схематичное представление модели. i = 1, 2 / Fig. 5. Schematic representation of the model. i = 1, 2
Таблица 1 / Table 1 Значения параметров, используемых в модели [2] / Values of parameters in the model [2]
Параметр / Parameter Значение / Volume Единицы / 11п^
S1 10 клеток*мм-3день-1
s, 0.15 клеток*мм-3день-1
s3 5 клеток*мм-3день-1
pi 0.16 день-1
p, 0.15 день-1
S, 55.6 вирионов*мм-3
S, 188 вирионов*мм-3
k, 3.87-10-3 мм3вирионов-1день-1
k, 1-10"6 мм3клеток-1день-1
k 4.5-10-4 мм3клеток-1день-1
ki 5. „■Ю-4 мм3вирионов-1день-1
k 3-10-6 мм3клеток-1день-1
к 3.3^10-4 мм3клеток-1день-1
k7 6^10-9 мм3клеток-1день-1
k. 5.37^10-1 день-1
ka ,.85^10-1 день-1
k10 7.79-10-6 мм3клеток-1день-1
k,, 110-6 мм3клеток-1день-1
ki, 4^10-5 мм3клеток-1день-1
si 0.0, день-1
s, 0.,8 день-1
sa 0.05 день-1
s4 5^10-3 день-1
s5 5^10-3 день-1
sß 0.015 день-1
s7 ,.39 день-1
a0 3-10-4 день-1
v 0.97 -
0.9 -
r 0.03 день-1
1500 клеток*мм-3
Ц 0.001 -
f 0.34 -
1.2. Гормональный блок модели
К описанной в статье системе уравнений были добавлены уравнения динамики тирео-тропного гормона (ТТГ) и гормонов щитовидной железы (Т3, Т4), уравнение состояния щитовидной железы и уравнение динамики белка gp120. Схема гормонального блока модели приведена на рисунке 6.
Уравнение динамики концентрации гормона ТТГ имеет вид:
dTSH dt
= s4 (1-
a1T 4 + a2T 3
Л
а1 max(T4 T4max ) + a2max(T3 T3max) у
- e1TSH.
В правой части уравнения слагаемое
(1)
1-
axT 4 + a 2T 3
v ax max (T 4, T 4m
:) +
a2 max(T3, T3
ma^; J
описывает скорость поступления ТТГ в организм, где 54 — константа скорости выработки ТТГ в гипофизе без учета влияния Т4 и Т3, а член а,Т 4 + а2Т 3
---1—--2---- описыва-
а1 тах(T4, Т4тах) + а2 тах(3, Т3тах)
ет ингибирование тиреотропного гормона гормонами Т4 и Т3; Т4тах, Т3тах — значения гормонов Т4 и Т3, при которых полностью подавляется выработка ТТГ [5]. Второе слагаемое Р17ХН описывает скорость выведения ТТГ из организма.
Уравнение динамики концентрации гор мона Т4:
dT 4
dt
= a3THR -a4T 4 -ß2T 4,
(2)
где a3THR описывает поступление Т4 из щитовидной железы, а4Т4 — расход Т4 на формирование Т3, р2Т4 — выведение гормона Т4 из организма.
Уравнение динамики концентрации гормона Т3:
dt
= a5THR + a4T 4 -ß3T 3
(3)
описывает поступление Т3 из щитовидной железы (а5ТНЯ), преобразование Т4 в Т3 (а4Т4), а слагаемое Р3Т3 — выведение гормона Т3 из организма.
Уравнение
dTHR
dt
= a
f TSH TSH
^ ^ norm
Л
THR
ß4V *THR
(4)
описывает состояние щитовидной железы, где значение 0 переменной ТНЯ соответствует полному отсутствию функций щитовидной железы, значение 1 — нормальному функционированию щитовидной железы. Слагаемое
(
a.
TSH TSH
^ ^ norm
THR
отражает гомеостатическую регуляцию, приводящую состояние к 1 при нормальном уровне ТТГ и при отсутствии внешних факторов, Р4 описывает процесс угнетения активности щитовидной железы белком ВИЧ gp120 [7—9].
Fig. 6. Scheme of the hormonal block model / Рис. 6. Схема гормонального блока модели
s
4
Уравнение dV *
dt
= a7§7 (V + V2 )-ß5V
(5)
dT_ dt
= * +
AV + V2)T
Vi + V2 + Si
1+-
T 4
T 4
norm J
-(1 - U1 ) ((V1 + k2M1 ) T - ф((V2 + ¿2M2 ) T
+
+rT
T+T1 + T2 + TL1 + TL 2 V
У
1 +-
T 4
T 4
-81T. (6)
norm J
dT
dt
= * +
AV + V2)T
A
V1+V2+S1
1+
T4
T4
norm J
-(1-u )(k1V1 + ¿2 M1 )T-ф(^ + ¿2 M 2 )T +
+rT
dT
r1-T+Tx + T2 + TL1 + Tl 2 V
V
У
1+-
T4
V
T 4
norm J
d- = (1 - u M^V + ¿2 M1 )T +
+ «oTl1 -82T1 -k3T1CTL
dT2 dt
= W(V2 + ¿2M2 )T
+
+ a0TL2 -S2T2 -kзT2CTL
dT
L1 _
dt
(1 - u )(1 -v)(V1 + ¿2 M1 )T-
a0TL1 ^3TL1
(8)
(9)
(10)
dT
L2
dt
(1 -vmw + ¿2 m2 )t ■
a0TL2 ^3TL 2
описывает концентрацию белка gp120, где слагаемое а757(К1 + ¥2) учитывает поступление новых молекул белка gp120 из разрушенных вирионов, а Р5К * — выведение gp120 из организма.
Гормон Т4 обладает иммуномодулирующим действием, поддерживая в крови уровень СБ4+ Т-клеток и усиливая их пролиферацию при появлении в организме чужеродных антигенов [6, 10]. С учетом этого уравнение динамики Т-клеток в модели можно обобщить в виде:
На рисунке 6 представлена схема взаимодействия компонентов гормонального блока модели.
Таким образом, полная система уравнений модели ВИЧ-инфекции с учетом гормональной регуляции имеет вид:
dM p2(V1 + V2) M . , Wt/j/
-= + -^--(1 - fu )k4VM -
dt 2 V1 + V2 + S2 v ^U41
- фк4^M - ô4M
(11)
(12)
dM1
dt dM. dt dCTL
= (1 -f1u1 )k4V1M -S5M1 -k5M1CTL (13)
dt
2 = ф^M - S5M2 -k5M2CTL = * + ¿6 (T1 + T2 )CTL +
+k7 (M1 + M2 )CTL - S6CTL
(14)
(15)
dV
dt
1
(1 - U2 )(1 - M)k8T1 + (1 - f2U2 )(1 - M-))M1 +
V dt
+ Цф^^ + ^k9M2 - (k10T + k11M) V1 -
- ^M-Ô7V1 (16)
= (1 - M) 4*k8T2 + (1 - M) 4*k9M2 + (1 - U2 ) ЦЗД +
+ (1 - f2U2 ) Mk9M1 - (k10T + k11M) V2 -
■k^M -Ô7V2
(17)
dTSH dt
= *4 (1-
a1T 4 + a 2T 3
a1max(T4, T4max ) + a2max(T3, T3max )
-S1T (7) dT!
dt
dT 3
dt dTHR
-ß1 TSH
= a3THR -a4T 4 -ß2T 4 = a5THR + a4T 4 -ß3T 3
dt dV *
= a
-THR
TSH
^ ^ norm У
ß4V * THR
dt
= a7§7 ( +V2 )-ß5V
(18)
(19)
(20) (21) (22)
По литературным данным можно оценить следующие постоянные (табл. 2) и зависящие от времени (рис. 7) параметры гормонального блока модели: я4; а^ а4; в2; а5 [3; 4].
а3(г) = 0,1733 • T 4П0ПП^) (мЕд/(л- день)) а 4(t)=(вз • T 3noIm(t) -а5(t)) / T 4^) (1 / день) а5 (t) = 0,25а3 (t) (мЕд/(л • день))
в2(г) = 0,1733 - а4(г) (1 / день)
S4(t) =
= в • ™П0.Щ (г) • (а1Т 4тах + а 2 Т 3тах)
К(Т4тах - Т 4попт (г)) + а 2(Т3тах - Т3погт^ )))
(мЕд/(л^ день))
На рисунке 8 приведены нормальные значения гормонов, соответствующие медиане (красная линия) и краевым значениям синего диапазона.
На рисунке 9 представлены результаты расчетов модели по динамике показателей гормонального статуса в норме, а также при ВИЧ-инфекции без лечения и под действием анти-ретровирусной терапии с учетом изменения параметров гормонального блока в зависимости от возраста. Расчеты показывают, что при вирусной инфекции и отсутствии лечения уровень ТТГ повышен относительно нормального, в то время как уровни Т3 и Т4 понижены. После начала лечения с применением антиретровирусных препаратов уровни гормонов приближаются к их нормальным значениям. Полученные результаты показывают, что динамика изменений перемен-
Таблица 2 / Table 2
Значения параметров модели, не зависящих от возраста / Values of model parameters that are not dependent on age
Параметр (Parameter) Значение (Value) Единицы измерения (Units) Примечание (Notes)
а1, а2 1 — Требуется дальнейшее уточнение данных параметров
T4 max 26.50—61.75 мЕд/л Требуется дальнейшее уточнение данного параметра
T3 max 12.50—18.25 мЕд/л Требуется дальнейшее уточнение данного параметра
ß1 49.9 1/день По литературным данным, диапазон возможных значений составляет 66.5—49.9 1/день
ß3 0.370 1/день
а6 10 1/день
ß4 1 мм3/мЕд
а7 1 мЕд мм3/(вирионов л) Требуется дальнейшее уточнение данного параметра
ß5 1 1/день Требуется дальнейшее уточнение данного параметра
ных модели соответствует ожидаемой (при лечении параметры модели изменяются в сторону нормальных показателей), что говорит о корректном направлении развития модели.
Начальные условия, описывающие заражение здорового человека, из работы [2]
Д0) = 1000 клеток/мм3,
М(0) = 30 клеток/мм3,
СЩ0) = 333 клеток/мм3,
^(0) = 0.001 вирионов/мм3,
^(0) = 0 вирионов/мм3,
TL1 = 0 клеток/мм3,
TL2 = 0 клеток/мм3,
M1 = 0 клеток/мм3,
M2 = 0 клеток/мм3,
TSH = Зависит от возраста на момент г = 0 (рис. 8) [3], мЕд/л
Т4 = Зависит от возраста на момент г = 0 (рис. 8) [3], мЕд/л
Т3 = Зависит от возраста на момент г = 0 (рис. 8) [3],
мЕд/л ТНЯ = 1, V* = 0, мЕд/мм3
Рис. 7. Зависимость параметров гормонального гомеостаза модели от возраста и диапазоны их допустимых значений, распределенных по частоте появления в популяции: желтый диапазон — 50%, зеленый — 30%, синий — 15%
Fig. 7. The dependence of the parameters of the hormonal homeostasis of the model on the age and the ranges of their allowable values distributed by the frequency of appearance in the population: yellow range — 50%, green — 30%, blue — 15%
Рис. 8. Нормальные значения гормонов, соответствующие медиане и краевым значениям синего диапазона параметров (рис. 7)
Fig. 8. Normal values of hormones corresponding to the median and edge values of the blue range of parameters (Fig. 7)
Рис. 9. Результаты расчетов по динамике показателей гормонального статуса с помощью модели ВИЧ без лечения и при антиретровирусной терапии
Fig. 9. Results of calculations of indicators of hormonal status dynamics using HIV model without treatment and with antiretroviral therapy
1.3. Оценка чувствительности модели к параметрам уравнений гормонального блока
Важнейшим компонентом математического моделирования является исследование влияния различных параметров на динамику инфекции ВИЧ. Соответствующие характеристики исследуются в рамках задачи параметрической чувствительности модели. Для исследования чувствительности уравнения (7)—(22) можно представить в виде системы уравнений:
dt
= fi (k, y), i = 1,16,
где k = ..., ^) — параметры системы, у = (у1, у2,
..., У1б) — переменные модели (Т, M, CTL и т.д.).
Тогда абсолютные коэффициенты чувствительности (рис. 10—12)
ву , - = 1,16, 3 = 1,2,-, т (23)
можно получить решением системы уравнений: = - = 1,16, у = 1,2.....т.
dt дkj I=1 - дуг
Относительные коэффициенты чувствительности можно найти по формуле:
_ р..е*0 -
ву =ут, - = 1,16, У = 1,2,-, т, (24)
У-
где Щ — значения параметров использующиеся
0 г 0
в модели; — значения у1 при kj ; е — процентное отклонение значения параметра.
Рис. 10. Динамика абсолютных коэффициентов чувствительности уравнений (18)—(22) к параметрам s., T3 , T4 , TSH
^ ^ 4' max' max' norm
Fig. 10. Dynamics of absolute sensitivity coefficients of equations ( 18)—(22)
to parameters ^ T3max, T4max, TSHnorm
Рис. 11. Динамика абсолютных коэффициентов чувствительности уравнений (18)—(22) к параметрам а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7. Чувствительность к параметрам а6 и а7 вычислена при наличии вирусной нагрузки, но без лечения. Для остальных параметров чувствительность посчитана для здорового организма
Fig. 11. Dynamics of absolute sensitivity coefficients of equations (18)—(22) to the parameters а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7. Sensitivity to the parameters а6 and а7 was calculated in the presence of viral load, but without treatment. For the remaining parameters, the sensitivity is calculated for a healthy body
Рис. 12. Динамика абсолютных коэффициентов чувствительности уравнений (18)—(22) к параметрам Р1, Р2, Р3, Р4, р. Чувствительность к параметрам Р4 и Р5 вычислена при наличии вирусной нагрузки, но без лечения. Для остальных параметров чувствительность посчитана для здорового организма
Fig. 12. Dynamics of the absolute sensitivity coefficients of equations (18)—(22) to the parameters P1, P2, P3, P4, P5. Sensitivity to the parameters P4 and P5 was calculated in the presence of viral load, but without treatment. For the remaining parameters, the sensitivity is calculated for a healthy body
Рис. 13. Динамика относительных коэффициентов чувствительности уравнений (18)—(22) к параметрам s4, T3max, T4max, TSHnorm. £ = 10%
Fig. 13. Dynamics of the relative sensitivity coefficients of equations (18)—(22) to the parameters s4, T3max, T4max, TSHnorm. £ = 10%
Из графиков, представленных на рисунках 13—15, видно, что модель наиболее чувствительна к следующим параметрам гормональной регуляции — в2, в3, в4 и в5; достаточно чувствительна к параметрам а1, а4 и а7; и почти не чувствительна к параметрам s4, Т3 а2, а3, а5, а6 и р1.
T4 ТТГ
max' max' norm'
вляется по аналогии с работой [2] через функции и1 и и2, зависящие от концентрации и эффективности антиретровирусных препаратов следующим образом:
ЩИ ) =
1.4. Управление динамикой ВИЧ-инфекции
Математические модели открывают возможность построения оптимальных режимов лечения динамикой ВИЧ-инфекции путем решения задачи оптимального управления. Управление осущест-
( )//Q, ) + (Сз/ /С53о )
1 + ( C*2 (t )//C20 ) + (Сз/ /с3о) U2(t ) = C1(t)
(25)
(26)
С^) + /с!о
где и1(г), и2(0 е [0, 1] — эффективности ингибитора обратной транскриптазы (ИОТ) и ингибитора протеазы (ИП) соответственно, С() и 1С'5 0 — концентрация в плазме и пороговая (полумаксимального ингибирования) концентрация препаратов соответственно [11].
Рис. 14. Динамика относительных коэффициентов чувствительности уравнений (12)—(16) к параметрам а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7. £ = 10%. Чувствительность к параметрам а6 и а7 посчитана при наличии вирусной нагрузки, но без лечения. Для остальных параметров чувствительность посчитана для здорового организма Fig. 14. The dynamics of the relative sensitivity coefficients of equations (12)—( 16) to the parameters а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7. £ = 10%. Sensitivity to the parameters а6 and а7 was calculated in the presence of viral load, but without treatment. For the remaining parameters, the sensitivity is calculated for a healthy body
Рис. 15. Динамика относительных коэффициентов чувствительности уравнений (12)—(16) к параметрам Р1, р,, в3, в4, в5. £ = 10%. Чувствительность к параметрам в4 и в5 посчитана при наличии вирусной нагрузки, но без лечения. Для остальных параметров чувствительность посчитана для здорового организма
Fig. 15. Dynamics of the relative sensitivity coefficients of equations (12)—(16) to the parameters P1, в,, в3, P„, P5. e = 10%. Sensitivity to the parameters в4 and в5 was calculated in the presence of viral load, but without treatment. For the remaining parameters, the sensitivity is calculated for a healthy body
Рассмотрим три препарата:
♦ ИП: КОУ (равидасвир)
♦ ИОТ: 3ТС и 7БУ (зидовудин и ламивудин) В соответствии с фармакокинетической моделью их концентрации, в свою очередь, зависят от дозы следующим образом:
C (t ) = C (tl )e
- kl(t-11 )
+
+-
FD k
VC ka _ ke
a le ke (t-tl ) _ e~k'a (t-tl )
i e N, l e n, t, < t < t, + j
(27)
где г — индекс препарата, — время введения дозы В,, С— объемная скорость выведения препарата г, УС — объем распределения препарата г, Г, — абсолютная биологическая доступность препарата г, к1е = С1г / У^ — константа скорости выведения препарата г, к'а — константа скорости абсорбции препарата г, С1 (г0) = 0, С11, Угс, к'а > 0, г+1 - г = т—время между введениями препаратов.
Значения фармакокинетических параметров приведены в таблице 3 [2].
2. ИНДЕКС ПОБОЧНОГО ДЕЙСТВИЯ ПРЕПАРАТОВ
Оптимальная стратегия лечения включает в себя успешный контроль уровня вирусной нагрузки и СБ4+ Т-лимфоцитов. Не менее важной характеристикой является интенсивность побочных эффектов лекарств, и пренебрежение ими может существенно сказаться на состоянии пациента. Этот аспект антиретровирусной тера-
пии был детально изучен и математически параметризован в работе, результаты которой мы используем ниже [2]. В таблице 4, показаны побочные эффекты трех наиболее распространенных препаратов: ЯБУ, 3ТС и 7БУ. В этой таблице также указаны частота появления побочного эффекта среди пациентов и его относительная величина («нежелательность»).
Индекс побочного действия препаратов можно представить как функцию от времени, зависящую также от концентраций используемых препаратов, относительных величин побочных эффектов и их частот появления в популяции в соответствии с работой [2]:
^е «) = ±ёС ( )
i=1
Ci
i e N,
max(ei )
ieN
et = S ( qj • hij) i e N,
jeJ,
(28)
(29)
(30)
где 5е(г) — индекс побочного действия препаратов, Ji — набор побочных эффектов, относящихся к препарату г, Сг(0 — концентрация препарата г в момент времени г, Сг — средняя концентрация препарата г в стационарном состоянии при стандартной дозе, е1 (ег) — величина (нормализованная величина) побочного действия препарата г при стандартной дозе, Ну — частота появления в популяции побочного эффекта у при приеме препарата г: 0, 0.05, 0.15, 0.6 — не зарегистрирован, < 5%, 5— 15%, > 15%; Цу — относительная величина побочного эффекта, т.е его «нежелательность»: 0.1, 0.2, 0.3 — слабо нежелателен, нежелателен, сильно нежелателен.
Таблица 3 / Table 3
Значения параметров фармакокинетической и фармакодинамической модели (25)—(27) [2] / Parameter values PK/PD model (25)—(27) [2]
Параметр (Parameter) RDV, C1 3TC, C2 ZDV, C3
D [мг] 600 150 300
ka [день1] 2.4 12 12
Cl [л ■ день1] 1.48 ■ 104 5.6 ■ 102 2.69 ■ 103
Vc [л] 28.7 91 112
F 1.0 0.86 0.64
т [день] 1/2 1/2 1/2
IC50 [мг ■ л-1] 0.11 0.34 0.13
Таблица 4 / Table 4
Побочные эффекты препаратов RDV, 3TC, ZDV / Side effects of drugs RDV, 3TC, ZDV
Побочный эффект (Side effect) RDV 3TC ZDV Нежелательность (Undesirability)
Анемия X **
Лейкопения X **
Нейтропения □ X **
Тромбоцитопения **
Т Щелочной фосфатазы + + **
Т Амилазы (поджелудочная железа) + **
Т Билирубина (печень) **
Т Холестерола X + + ***
Т Креатинина(почки) □ + + **
Т Глюкозы (сахар в крови) + + + ***
Т Работы печени □ X **
Т Триглицеридов X + + **
Боль в животе □ □ X **
Изменение вкуса X + □ *
Анорексия □ □ X **
Боль в суставах □ X **
Озноб □ X *
Запор + *
Депрессия □ *
Диарея X X X ***
Головокружение □ □ □ **
Усталость X X □ **
Жар □ X **
Головная боль □ X X **
Бессонница □ □ *
Недомогание □ X X **
Нарушение менструального цикла X + + *
Миалгия (боль в мышцах) □ □ X **
Тошнота X X X ***
Почечнокаменная болезнь + + + **
Неврологические симптомы □ ***
Невропатия □ **
Панкреатит □ + ***
Парестезия X + **
Сыпь □ X ***
Судороги + + + *
Рвота X □ □ ***
Примечание: Побочный эффект наблюдается более чем у 15% пациентов (х), у 5—15% (•), меньше чем у 5% пациентов (□), не зарегистрирован вовсе (+). Побочный эффект считается сильно нежелательным (***), нежелательным (**), слабо нежелательным (*).
Note: A side effect is observed in more than 15% of patients (x), in 5—15% (•), less than in 5% of patients (□), not registered at all (+). A side effect is considered highly undesirable (***), undesirable (**), slightly undesirable (*).
3. СТРУКТУРИРОВАННЫЕ ТЕРАПЕВТИЧЕСКИЕ ПРЕРЫВАНИЯ
Одна из проблем, которая имеет место при лечении ВИЧ-инфекции, состоит в том, что наряду с вирусом, изначально попавшим в организм (вирус дикого типа) и поддающимся лечению, вследствие мутаций также образуется некоторое количество вируса, устойчивого к лекарствам. В результате при подавлении лекарствами популяции вируса дикого типа устойчивые к лекарствам вирусы-мутанты начинают более эффек-
тивно размножаться, нивелируя эффект от терапии. Решить эту проблему отчасти помогает особый режим лечения, так называемые структурированные терапевтические прерывания (СТП), когда на протяжении всего лечения чередуются периоды приема (ON) и «неприема» (OFF) лекарств. При правильном подборе длительности каждого отдельно взятого периода можно держать под контролем не только вирусы дикого типа, но и мутировавшие, устойчивые к лекарствам, вирусы.
4. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМА ЛЕЧЕНИЯ
Теперь можно поставить задачу о подборе оптимального режима лечения, т.е. такого режима введения трех антиретровирусных препаратов, при котором
♦ не будет наступать СПИД в течении длительного времени после начала заболевания,
♦ количество незараженных СБ4+ Т-клеток в организме будет как можно больше,
♦ побочное воздействие лекарств будет минимальным.
Математически задачу можно сформулировать по аналогии с [2] следующим образом:
3 {(/, *ОпО//, С1, С2, С3), (31)
тах
.¿к fik fik fik OnOff , C1 , C2 , C3
J (tf, tonOff, C1, C2, C3 ) = \]Г ((T (t ) - A2 Se (t ) )dt,
Щ > ТСПИд,
где Оф = (Оо® 1, Оожъ Оожз) — 3 вектора, которые содержат начало и конец каждого периода приема соответствующего лекарства (вектора ОК/ОБЕ-периодов). СД г = 1, 2, 3 — средние концентрации, соответствующие к-му вектору ОК/ОББ-периодов г0 — время начала лечения, ф — время окончания лечения, Т(г) — количество неинфицированных Т-клеток в момент времени г; находится из системы уравнений (7)—(22); $,(/) — индекс побочного действия препаратов в момент времени г (уравнение (28)); Тспид — пороговое количество СБ4+ Т-клеток в крови, при котором ВИЧ-инфекция переходит в терминальную фазу СПИД.
Обозначим через А1, А2 веса для уравнивания шкал Т-клеток и индекса побочного действия; поскольку, как показывают характерные данные, Т(г) имеет порядок 102—103, а $е(г) — примерно 10 то А1 = 1 мм3/клетку и А2 = 1000 (т.е. оптимизируемый функционал является безразмерной величиной).
Основные предложения, используемые при оптимизации терапии
♦ Лечение начинается на 2500 день после начала инфекции, при Т ~ 600 клеток мм-3 и продолжается до 8000-го дня заболевания.
♦ Средняя концентрация Сг принимает некоторое фиксированное значение во время ОК-
периодов (одинаковое для всех периодов) и Сг = 0 во время ОББ-периодов, г = 1, 2, 3.
♦ Каждый ОК/ОББ-период длится от 10 до 150 дней.
Поиск оптимального режима лечения осуществляется через подбор оптимального вектора ОК/ОББ-периодов. Численная реализация задачи осуществлялась с использованием языка С++. При решении системы уравнений (7)—(22) использовался метод Хойна второго порядка точности [12]. Оптимизация по вектору ОК/ОББ-периодов выполнялась с помощью метода имитации отжига [13].
Для поиска оптимального решения были использованы два метода оптимизации: метод имитации отжига и симплекс-метод. Для метода отжига были выполнены 1000 итераций, для симплекс-метода — 3000 итераций (6000 решений). Время вычислений составило, соответственно, 30 минут и 3 часа. Метод отжига нашел решение, при котором фаза СПИДа наступает после 7500 дней, в то время как решение симплекс-метода показало результат в 4858 дней. Данные результаты свидетельствуют о существенном преимуществе метода имитации отжига перед симплекс-методом.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Результаты оптимизации времен введения антиретровирусных препаратов приведены на рисунках 16—18.
Было также проведено построение оптимального режима лечения без применения структурных терапевтических прерываний. Для этого, весь расчетный период, начиная с 2500-го дня, был разбит на отрезки по 0.5 года. Для каждого отрезка стохастически выполнялся поиск оптимальных доз используемых препаратов. Критерий оптимизации был скорректирован следующим образом: целевой функционал имел вид,
тах(Т1твт>300 + А1Тауа^е - А^егазеХ
где ТгтеТ > 300 — срок, в течение которого уровень СБ4+ Т-клеток превышает пороговое значение, Тжега&, — среднее арифметическое число здоровых Т-клеток, — среднее арифметическое значение побочных эффектов.
Незараженные Т-клетки (uninfected T-cells)
О 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
АНИ (days)
Рис. 16. Динамика численности здоровых CD4+ Т-клеток при оптимальном лечении, непрерывном лечении и при отсутствии лечения
Fig. 16. Dynamics of healthy CD4 + T cells with optimal treatment, continuous treatment and no treatment
Рис. 17. Динамика популяции вирусных частиц, соответствующая популяциям CD4+ Т-клеток на рисунке 16: V1 — вирус дикого типа (чувствительный к моделируемым препаратам), V2 — мутировавший вирус (устойчивый к медикаментозному воздействию)
Fig. 17. Dynamics of the population of viral particles corresponding to populations of CD4 + T cells in Figure 16:
V1 is a wild-type virus (sensitive to simulated drugs), V2 is a mutated virus (resistant to medication effects)
5000
ДНИ (days)
Рис. 18. Профили концентраций антиретровирусных препаратов С,, C2, C3 при оптимальном режиме введения Fig. 18. Profiles of concentrations of antiretroviral drugs С,, C2, C3 with optimal administration.
Рис. 19. Динамика Т-клеток, оптимальные профили дозирования RDV, 3TC и ZDV и изменение вирусной нагрузки при оптимальном режиме введения препаратов Fig. 19. T-cell dynamics, optimal dosage profiles of RDV, 3TC and ZDV viral load dynamics for optimal dosage regimen
Такая целевая функция соответствует следующим требованиям: максимизация продолжительности жизни пациента и балансировка качества жизни и нагрузки на организм в виде побочных эффектов. На рисунке 19 приведен график изменения численности здоровых Т-кле-ток, доз антиретровирусных препаратов и вирусной нагрузки при найденном оптимальном режиме терапии. Заметим, что для найденного режима
уровень CD4+ Т-клеток не опускается на всем протяжении лечения ниже 700 клеток на мм3; использование препаратов на единицу времени сокращено на ~70% для RDV, ~90% для 3ТС, а препарат ZDV был использован в количествах менее 1% от стандартной дозы; уровень побочных эффектов был снижен до ~0.22 (по отношению к самому «вредному» препарату при стандартной дозе).
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Как видно из рисунков 16, 17, структурированные терапевтические прерывания позволяют эффективно контролировать и чувствительный, и устойчивые к лекарствам вирусы, снижая на два порядка уровень вирусной нагрузки, продлевая в два раза длительность хронической фазы инфекции. Кроме того, СТП снижают негативную нагрузку лекарств на организм, что позволяет пациенту легче переносить терапию подобными препаратами.
ВЫВОДЫ
В результате исследования нами была построена расширенная модель иммунного ответа на ВИЧ-инфекцию, учитывающая влияние заболевания на динамику некоторых (ТТГ, Т3, Т4) гормонов и, соответственно, влияние этих гормонов на иммунный ответ, а также оценены некоторые параметры соответствующих уравнений. Проведена оценка чувствительности модели к параметрам гормонального блока.
Показана возможность построения оптимального режима лечения ВИЧ-инфекции с помощью трех антиретровирусных препаратов, при котором не допускается перехода ВИЧ-инфекции в СПИД в течение заданного периода времени после начала заболевания. При этом режиме суммарная величина побочных эффектов минимальна, а количество незараженных СБ4+ Т-клеток поддерживается на как можно большем уровне.
Разработанный алгоритм оптимизации режима введения антиретровирусных препаратов можно применять к поиску режимов лечения не только на основе антиретровирусной терапии, но и в комбинации с иммуномодулирующими препаратами. Это открывает возможность реализации персонализированных подходов к терапии ВИЧ-инфекции с учетом побочных эффектов и стоимости лекарств.
Конфликт интересов. Конфликт интересов отсутствует.
Шш&т
Финансирование. Исследования в данной работе проводились при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 17-01-00636) и Министерства образования и науки РФ по Программе повышения конкурентоспособности РУДН «5-100» среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2016—2020 гг.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Черешнев В.А., Бочаров Г.А., Ким А.В., Бажан С.И., Гайнова И.А., Красовский А.Н., Шмагель Н.Г., Иванов А.В., Сафронов М.А., Третьякова Р.М. Введение в задачи моделирования и управления динамикой ВИЧ-инфекции. М.—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2016. 230 с.
2. Marios M. Hadjiandreou, Raul Conejeros, Ian Wilson. HIV treatment planning on a case-by-case basis. World Academy of Science, Engineering and Technology. Vol. 3. 2009-08-25.
3. Klaus Kapelari, Christine Kirchlechner, Wolfgang Hogler, Katharina Schweitzer, Irene Virgolini, Roy Moncayo. Pediatric reference intervals for thyroid hormone levels from birth to adulthood: a retrospective study // BMC Endocrine Disorders 27 November 2008.
4. Розен В.Б. Основы эндокринологии: Учебник. 3-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1994. 384 с.
5. Кеттайл В.М., Арки Р.А. Патофизиология эндокринной системы. Пер с англ. СПб.—М.: Невский диалект; Издательство «БИНОМ», 2001. 336 с.
6. Усова Н.Н. Йодсодержащие тиреоидные гормоны и их влияние на нервную систему // Медицинские новости. 2012. № 4.
7. Забелина В.Д. [и др.] // Проблемы эндокринологии. 2000. Т. 45, No 4. С. 10—14.
8. Семененя И.Н. // Успехи физиол. наук. 2004. Т. 35, No 2. С. 41—56.
9. Болезни щитовидной железы / под ред. Л.И. Брамер-мана. М.: Медицина, 2000. 432 с.
10. Васильева Е.М., Баканов М.И. // Биомед. химия. 2005. Т. 51. Вып. 6. С. 581—602.
11. Panos Macheras, Athanassios Iliadis. Modeling in Bio-pharmaceutics, Pharmacokinetics, and Pharmacodyna-mics. Springer, Heidelberg, 2006.
12. Suli Endre, Mayers David. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press, 2003.
13. Kirkpatrick S., Gelatt Jr. C.D., Vecchi M.P. Optimization by Simulated Annealing // Science. 1983. 220 (4598): 671—680.
14. Славянская Т.А., Сепиашвили Р.И. Роль цитокинов в иммунопатологии. Аллергология и иммунология. 2005. Т. 6. № 2. С. 42.
Поступила 16.01.2019 Принята 14.03.2019
© Савинкова А.А., Савинков Р.С., Бахметьев Б.А., Бочаров Г.А., 2019 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
DOI: 10.22363/2313-0245-2019-23-1-79-103
MATHEMATICAL MODELING AND CONTROL OF HIV INFECTION DYNAMICS TAKING INTO ACCOUNT HORMONAL REGULATION
A.A. Savinkova1, R.S. Savinkov1'2, B.A. Bakhmetyev3, G.A. Bocharov1
'Marchuk Institute of Numerical Mathematics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia 2Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education "Peoples' Friendship University of Russia", Moscow, Russia 3Department of Immunology, Institute of Ecology and Genetics of Microorganisms of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russia
Abstract. Aims: The problem of effective treatment of HIV-infected patients is an important task of clinical virology and immunology due to the high cost of drugs, the presence of side effects and the need for strict adherence to the schedule of drug intake for patients. Therefore, the urgent task is to develop new approaches to optimize the use of antiretroviral therapy to reduce the cost of treatment and to improve the quality of life for patients. The tasks are addressed to test the hypothesis that the system of therapeutic interruptions in the treatment of HIV infection can give better results (both the duration and comfort of the patient's life, and the need for fewer drugs) compared with regular medication in standard doses.
Methods: In this work, an extended version of the mathematical model of the immune response in HIV infection (proposed in Hadjiandreou et al., 2009) was constructed to take into account the hormonal regulation of the immune response and the impact of antiretroviral drugs on the course of the disease, the calibration of the parameters of the resulting model to match the actual trends of the disease and the search for an optimal treatment strategy. The model is formulated as a system of ordinary differential equations. The therapy optimization is modeled following the structured treatment interruptionapproach using the methods of simulated annealing and the simplex method. The mathematical model and optimization methods are implemented in C ++.
Results: It has been shown that in treating HIV-infected patients, it is possible to significantly (up to 3 times) reduce the total amount of required medications simultaneously with an increase in the duration of the period with a high quality of life (due to reducing the intensity of side effects) during antiretroviral therapy.
Conclusion: The use of mathematical models and optimization methods opens up the possibility for the implementation of personalized approaches to the treatment of HIV infection, taking into account the side effects, the hormonal status of patients and the cost of drugs.
Key words: immunology, mathematical modeling, HIV, bioinformatics
Corresponding author: Bocharov Gennady Alekseevich, Doctor Institute of Numerical Mathematics of RAS, Moscow, Russia E-mail: bocharov@m.inm.ras.ru ORCID: 0000-0002-5049-0656
REFERENCES
1. Chereshnev V.A., Bocharov G.A., Kim A.V., Bazhan S.I., Gaynova I.A., Krasovsky A.N., Shmagel N.G., Iva-nov A.V., Safronov M.A., Tretyakov R.M. Introduction to the tasks of modeling and managing the dynamics of HIV infection. Moscow; Izhevsk: Institute for Computer Studies, 2016.
2. Marios M. Hadjiandreou, Raul Conejeros, Ian Wilson. HIV treatment planning on a case-by-case basis. World Academy of Science, Engineering and Technology. Vol. 3. 2009-08-25.
of Physics and Mathematics, Leading Researcher, Marchuk
3. Klaus Kapelari, Christine Kirchlechner, Wolfgang Högler, Katharina Schweitzer, Irene Virgolini, Roy Moncayo. Pediatric reference intervals for thyroid hormone levels from birth to adulthood: a retrospective study. BMC Endocrine Disorders 27 November 2008.
4. Rosen V.B. Basics of Endocrinology: Textbook. 3rd ed. Moscow: Publishing House of Moscow State University, 1994. 384 p.
5. William M. Kettayl, Ronald A. Arches. Pathophysiology of the endocrine system. Per from English. SPb.; M.: Nevsky dialect; Publishing house "BINOM", 2001. 336 p.
6. Usova N.N. Iodine-containing thyroid hormones and their effect on the nervous system. Medical news. 2012. № 4.
7. Zabelina V.D. [and others]. Problems of endocrinology. 2000. Vol. 45, No 4. P. 10—14.
8. Semenyenya I.N. Successes fiziol. sciences. 2004. V. 35, No 2. P. 41—56.
9. Diseases of the thyroid gland. Ed. L.I. Bramerman. Moscow: Medicine, 2000. 432 p.
10. Vasilyeva E.M., Bakanov M.I. Biomed. chemistry. 2005. Vol. 51, No. 6. P. 581—602.
11. Panos Macheras, Athanassios Iliadis. Modeling in Bio-pharmaceutics, Pharmacokinetics, and Pharmacodyna-mics. Springer, Heidelberg, 2006.
12. Suli Endre, Mayers David (2003). Cambridge University Press.
13. Kirkpatrick S., Gelatt Jr C.D., Vecchi M.P. (1983). Optimization by Simulated Annealing. Science. 220 (4598): 671—680.
14. Slavyanskaya T.A., Sepiashvili R.I. Role of Cytokines in Immunopathology. Allergology and Immunology. 2005. Vol. 6, No 2. P. 42.
© A.A. Savinkova, R.S. Savinkov, B.A. Bakhmetyev, G.A. Bocharov, 2019 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
Received 16.01.2019 Accepted 14.03.2019
