Математическое моделирование и оптимизация процесса фильтрования суспензии в неизотермических условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 517.958:531.12;66.021.1

Ф. Г. Ахмадиев, Р. А. Галимов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА

ФИЛЬТРОВАНИЯ СУСПЕНЗИИ В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Ключевые слова: математическое моделирование, неизотермическое течение, двухфазные среды, фильтрование,

оптимизация.

Построена математическая модель неизотермических тонкопленочных течений двухфазных неньютоновских сред по проницаемым поверхностям и проведены расчеты построенной модели. На основе полученных результатов расчетов сформулирована и решена задача многокритериальной оптимизации процесса фильтрования неньютоновских сред в неизотермических условиях работы аппарата. Полученные численные результаты решения поставленной задач оптимизации могут быть использованы на практике при оптимальном оформлении соответствующих процессов.

Keywords: mathematical modeling, nonisothermal flow, two-phase medium, filtering, optimization.

A mathematical model of non-isothermal two-phase thin-film flows of non-Newtonian environment on permeable surfaces are constructed and constructed model calculations conducted. Based on the result of the calculation the problem of multi-criteria optimization of the filtration process of non-Newtonian fluids in non-isothermal conditions of the device is formulated and solved. The obtained numerical results of the solution of optimization problems in practice at the optimal design of appropriate processes can be used.

Введение

Процессы пленочных течений гетерогенных сред по различным проницаемым поверхностям применяются как составляющая часть многих технологических процессов. Знание и правильный расчет гидродинамической обстановки,

возникающей в пленочных аппаратах, очень важны для разработки новых аппаратов и совершенствования уже имеющихся. При выполнении гидродинамических расчетов таких аппаратов необходимо учитывать влияние изменения давления, концентрации и толщины слоя пленки, реологических свойств среды, температуры на характер процесса. В данной работе рассматривается математическая модель неизотермического пленочного течения

неньютоновских гетерогенной среды по проницаемой рабочей поверхности и на основе построенной модели решается задача оптимального оформления рабочих элементов фильтровального оборудования.

Течение неньютоновских смесей описывается различными реологическими уравнениями [1]. В данной работе рассматриваются жидкости подчиняющиеся степенному

реологическому соотношению (модель Оствальда де Виля):

т. = 2m

n-1

где т.. - тензор напряжении; e.

У У

(1)

тензор скоростей

деформации; -^212 - интенсивность скоростей

деформации.

Целью работы является построение математической модели неизотермического

пленочного течения неньютоновских гетерогенных сред, построение численной схемы расчета и разработка рекомендаций по оптимизации рабочих узлов фильтровального оборудования на основе приведенных расчетов.

Теоретическая часть

Рассматривается неизотермическое плоское или осесимметрическое пленочное течение двухфазной среды со сложным реологическим законом состояния по проницаемым поверхностям в ортогональной системе координат, у которой координатная поверхность х}=сот1 совпадает с поверхностью течения, а координатные линии (поверхности) х2=сот1 составляет семейство нормалей к ней. Тогда упрощенные размерные уравнения сохранения массы и движения дисперсной смеси и энергии для случая двухфазной среды примут вид [2, 3]:

д(ныъР1и1) , д(н1ИзР1у1)

дх1

U ди1 А' Н, дх

дх,,

= 0,

V dU1

H дх

UlVl дН1 дх

а1 дР Н дх,

Pi

U2 дН1 Н1Н2 дх2

U дт

а1 дР Н2 дх. V дТ

- F12 X, +P F2 ,

pc I -:--- +

1 pi , Н, дх, Н 2 дх2

1

Н,Н2Н3 дх2

Н1Н3 дТ Н2 дх2

д(Н 2 Нргиг) д(Н1 Нрг¥г)

дх.

дх,

(2)

(3)

(4)

(5)

Р2

Я, дх,

V2 dU2 Я2 дх2

U2V2 дЯ, Я,Я2 дх2

« йР_

Я, дх,

Р2

U22 дЯ, Я,Я2 дх2

а2 дР Я2 дх2

Р 2Ср-

UL +дТ

, Я, дх, Я „ дх2

F + p F L 12т AV 2 ;

д ( Я,Я,

дТ

(7)

(8)

(9)

НН 2Н 3 сХ, I Н, 2

а1 +а2 = 1 , (Ю)

где для упрощения записи член, учитывающий вязкостные свойства, для закона (3) обозначен как

!

Я,2Я, m

Я д

Я 2 дх2

Я, д

Я 2 дх2

(И)

Я^Я дх2

где F = fl2 («2, , d) (( - V) - сила межфазного

взаимодействия, q..

j-ой

/-ой

- контактный приток тепла от фазы; Cp, Т ,U, V,аД, p -

соответственно удельная теплоемкость,

температура, компоненты скорости, объемная концентрация, коэффициент теплопроводности,

приведенная плотность I — ой фазы; ¥(¥ ¥2, ¥3)-вектор массовых сил и его компоненты в направлении координат х1,х2,х3.

Уравнения (2)-(10) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение которой вызывает большие математические трудности. В данной работе эта система в общем случае решается с помощью метода поверхностей равных расходов [4], который модифицирован для расчета неизотермических пленочных течений [2, 3]. При малых числах Рейнольдса (медленные течения) можно использовать другие приближенные методы, в частности, метод Слезкина [5]. Уравнения (2)-(10) решаются при соответствующих граничных условиях [2, 3].

Метод поверхностей равных расходов позволяет свести решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение системы проводится численными методами и определяются поля скоростей, температуры, концентрации твердой фазы на линиях (поверхностях) равных расходов и их положения. Подобное моделирование процесса разделения суспензий в трубчатых фильтрах рассмотрено в [6].

На основе анализа полученных закономерностей процесса фильтрования для различных элементов оборудования можно сформулировать задачу оптимизации по определению параметров рабочих узлов фильтровального оборудования.

Задачи принятия решений (оптимального проектирования) содержат различного типа неопределенности, отражающие тот факт, что знания исследователя относительны и неточны и представляют собой задачи многокритериальной

оптимизации [7]. Обычно различают три типа неопределенностей:

L неопределенность обстановки, в которой необходимо принять решение;

2. неопределенность цели, которой должна достигнуть система;

3. неопределенность (случайность) самого решения.

Неопределенности обстановки и цели обычно приводят к многокритериальным задачам оптимизации. Многокритериальность обусловлена стремлением оценить качество решения с различных точек зрения, а также неопределенностью условий и параметров, динамикой и многоэтапностью процессов, сложностью и иерархичностью оптимизируемых систем. Математически задачу оптимального проектирования объектов сложной природы можно представить в виде [7]:

Найти max(min) F(z) (,2)

при усл°виях: y(z)= I0, Zmin ^ Z ^ Zmax , (,3)

где F=F(/*,/2*,..., /*)- набор целевых функций, у = (у1,у2,...,ук) - вектор-функция

функционального оператора проектируемого объекта (математическая модель), представляющие ограничения поставленной оптимизационной задачи, z - вектор варьируемых переменных (параметры оптимизации).

Задача оптимального проектирования (,2) -(,3) является задачей многокритериальной оптимизации. Для ее постановки центральным моментом является построение математической

модели исследуемого объекта y(z) 0, и критериев оптимизации F (z), которые для рассматриваемой задачи фильтрования строятся на основе решения задачи (2) - (,0) при соответствующих граничных условиях.

Рассмотрим задачу оптимизации для случая процесса фильтрования при течении двухфазной неньютоновской среды по наклонной проницаемой поверхности без образования осадка на ней.

В качестве критериев оптимизации могут быть выбраны: достижение максимальной производительности по фильтрату (max Q,) и требуемой максимальной степени разделения ( max а (/)), минимальная длина аппарата (min (/)), с учетом неизотермических условий работы аппарата. Учет неизотермичности важен для высоковязких суспензий.

В качестве параметров оптимизации выбраны: перепад давлений между атмосферным давлением - Ратм и давлением за фильтрующей

Р - Р

перегородкой

Р

то

есть АР:

Р

температура стенки - Тст ; поперечный характерный

размер Н ; длина аппарата I, режимные параметры 1 , угол наклона ¡5, который входит в выражение

к

массовых сил F .

Тогда задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать в следующем виде:

max Qi,

тт „ max а , Наити: 2

^min l

при ограничениях:

(14)

APmn <AP < APmax T < T < T

— — i-*L > ст ст ст ,

ßmm <ß< ßmax,

l min < i < i max 1ШП < H < H ^

r-^min _ r-, ^max

Z < Z < Z , (15)

a2 (l ) > a2 t (l ) > T

2 V опт / 2кон ? ср.кон V кон ' ~ ср.зад

Задача (14), (15) представляет собой задачу многокритериальной оптимизации. Один из широко распространенных и наиболее употребительных методов решения задачи - выбор главного критерия. При этом второстепенные критерии переходят в ограничения.

В силу того, что для задачи оптимизации процесса фильтрования неизотермических тонкопленочных течений для критериев оптимизации отсутствуют аналитические

зависимости и значения этих критериев являются результатом сложных расчетов по построенным математическим моделям на основе построенного комплекса специальных программ на ЭВМ для решения задачи (14) - (15) был выбран адаптивный подход оптимизации [7]. Данный подход предполагает человеко-машинные процедуры для выявления предпочтений лица принимающего решение (ЛПР) одновременно с исследованием множества альтернатив, на основе математической модели исследуемого процесса.

В таблице 1 приведены некоторые полученные значения фильтрата

Q1(АР,ио)• 10"6м3 /с , необходимой длины аппарата (показывающей необходимое реальное значение длины аппарата, и отличающееся от предполагаемой длины Ь ), начальной скорости смеси на входе - ио

м/с, начального значения числа Яе при Т т = 450.

Таблица 1

AP 0.025 (Re=10) 0.03 (Re=12) 0.035 (Re=14) 0.04 (Re=16) 0.045 (Re=18)

0.1 Qi=5.65 L=0.072 Q1=6.14 L=0.086 Q1=9.12 L=0.101 Q1=8.58 L=0.115 Q1=8.3 L=0.13

0.15 Q1=6.56 L=0.048 Q1=6.87 L=0.057 Q1=7.13 L=0.067 Q1=10.2 L=0.076 Q1=9.5 L=0.086

0.2 Q1=8.05 L=0.036 Q1=7.23 L=0.043 Q1=7.61 L=0.050 Q1=11.5 L=0.057 Q1=12.3 L=0.064

0.25 Q1=7.96 L=0.03 Q1=8.92 L=0.036 Q1=8.93 L=0.042 Q1=13.9 L=0.048 Q1=13.8 L=0.054

0.3 Q1=9.67 L=0.024 Q1=9.53 L=0.028 Q1=9.73 L=0.033 Q1=14.5 L=0.038 Q1=15.1 L=0.043

Как видно из таблицы, одни и те же значения фильтрата Q1(АP,U0) можно получать при различных значениях управляющих параметров, например,

£(0.25,0.04) и £(0.25,0.045) и £(0.3,0.04) и 14 -Ю"6 м3 / с

Эти расчеты проводились для различных значений Тст, угла наклона поверхности фильтра р , толщины пленки течения Н. Увеличение температуры стенки приводит к уменьшению вязкости суспензии, что способствует увеличению скорости течения пленки жидкости и увеличению рабочей длины фильтровального оборудования. Увеличение угла наклона поверхности фильтра приводит к увеличению скорости течения и также к увеличению рабочей длины аппарата. В зависимости от типа фильтровального оборудования построенная модель позволяет подобрать оптимальные параметры процесса разделения суспензий. Окончательный выбор всегда остается за ЛПР.

Заключение

На основе механики гетерогенных сред построена математическая модель

неизотермического тонкослойного течения неньютоновских жидкостей по проницаемым поверхностям, подчиняющихся степенному реологическому уравнению состояния. Проведены численные расчеты по построенной модели модифицированным методом поверхностей равных расходов. На основе расчетов поставлена и решена задача оптимального аппаратурного оформления рабочих элементов фильтровального оборудования для неизотермических тонкопленочных течений суспензий.

Литература

1. Р.И. Нигматулин Динамика многофазных сред. Ч. I, Наука, Москва, 1987.

2. Ф.Г. Ахмадиев, Р.Р. Фазылзянов, Р.А. Галимов, ТОХТ 46, 6, 620-630 (2012).

3. Ф.Г. Ахмадиев, Р.Р. Фазылзянов, Р.А. Галимов, Вестник КГТУ, ,6, М, ЮЫ05 (20,3).

4. Л.П. Холпанов, В.Я. Шкадов, Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела, Наука, Москва, Ш0.

5. С.М. Тарг, Основные задачи теории ламинарных течений. Государственное издание технико-теоретической литературы, Москва, ,95,

6. Ч.Х. Исянов, Ф.Г. Ахмадиев, М.И. Фарахов, И.Г. Бекбулатов, Вестник КГТУ, Щ , 309-3,4 (20,5).

7. Ф.Г. Ахмадиев, ТОХТ, 48, 5, 5,8-526 (20,4).

© Ф. Г. Ахмадиев - д-р техн. наук, проф., зав. каф. прикладной математики КГАСУ, Akhmadiev@ksaba.ru; Р. А. Галимов -асп. каф. прикладной математики КГАСУ, iplan@list.ru.

© F. G. Akhmadiev - Head of the department of applied mathematics, doktor of technical sciences, professor of Kazan State University of Architecture and Engineering, Akhmadiev@ksaba.ru; R. A. Galimov - graduate student of the department of applied mathematics, Kazan State University of Architecture and Engineering, iplan@list.ru.