CC BY
37
УДК 543.4:544.2
Ф. Г. Ахмадиев, Р. Р. Фазылзянов, Р. А. Галимов ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТОНКОПЛЕНОЧНОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ ПО ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Ключевые слова: двухфазные среды, процесс фильтрации, ламинарное течение.
Процессы фильтрации двухфазных сред на фильтровальном оборудовании играют важную роль в различных отраслях промышленности. Значительную роль в процессе фильтрации играют условия на входе в аппарат, которые определяют основные параметры: профиль и значение скорости, градиенты давления, концентрации и дисперсии частиц осадка и т.д. Задача решается методом поверхностей равных расходов, проведены численные расчеты, которые показали влияние различных параметров на основные характеристики течения.
Keywords: Two-phase media, process of filtering, laminar flow.
Processes offiltering two-phase media in filtration devices play an important role in various industries. Significant role in the process offiltering is the initial section offlow, which defines the basic parameters: the profile and value of the velocity, pressure gradients, concentration and dispersion of sediment particles, etc.. The problem is solved by the method of surfaces of equal cost, the results enabled to establish the influence of the input section on the filtering process.
Введение
Во многих технологических процессах широко используются устройства, содержащие проницаемые поверхности. Проектирование и расчёт эффективности работы этих аппаратов связаны с описанием и решением внешних, внутренних и смешанных задач гидродинамики многофазного потока в их рабочих узлах, требуют знания гидродинамических характеристик потоков, учитывая зависимость реологических свойств среды от температуры. В этой работе рассматривается неизотермическое ламинарное тонкопленочное течение гетерогенной среды по проницаемой поверхности. Тонкопленочные неизотермические течения были рассмотрены в ряде работ[1,2]
Для описания реологического состояния среды, как частный случай, можно использовать модель Оствальда де Виля:
■п 1
л/2/T
B
ij
(1)
где Tj - тензор напряжения; Bj - тензор скоростей
интенсивность скоростей
деформаций;
деформации.
Целью данной работы является построение математической модели неизотермического тонкопленочного течения двухфазных сред и построение численной схемы, реализующей данную модель.
Теоретическая часть
Течение рассматривается в ортогональной системе координат, у которой координатная поверхность х2=соті совпадает с поверхностью течения, а координатные линии (поверхности) Х]=соті составляет семейство нормалей к ней.
С учетом проведенного анализа значимости членов упрощенные размерные уравнения сохранения массы и движения дисперсной смеси и энергии для случая двухфазного пленочного течения примут вид [3,4].
д(Н гН з P1U1) д(ННз P1V1)
дх1
дх2
= 0,
P1
Н1 дх1 а1 дР Н1 дх1
Н2 дХ 2
Н1Н 2 дХ 2 У
+ Г12 — F12 X1 +p1F1,
P1
P1Cp
u1 h.
1
а
P
HH
1r72
H 2 X
2 A2
F12 X2 + P1F2,
U141+V1=—
H1H3 . _n
H2 ^ x2
(Н2Нз p2U2)
(H1H3 P2V2) = 0 X2 ,
Рг
U2 u2 v2 U
H1 X1 H 2
2 + U2V2
H1H2 X2
H1 _
a 2
P
= U „ + F12 X, + P2F1,
Р2
H1 x. U|
H1 _ a 2
H1H2 P2Cp2 U2 "
H2 X'
+ F1
12 X -
+ V2
'2 _
H-
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
где для простоты “вязкостный” член обозначен как
1
12 Н2Н2Н3 Х2
Н2Н3 m
Н1
U1
Нг X- Н1
Н1
U1
Н- X— Н1
здесь ср1 - удельная теплоемкость I — ой фазы; F(F1,
Fз) - вектор массовых сил и его компоненты в направлении координат х1, х2, х3; F^2 - вектор силы межфазного взаимодействия; Н - коэффициенты Ляме; т(Т/,а2) эффективная динамическая вяз-
кость; п - коэффициент нелинейности; Р - давление, Па; Т1 - температура / ой фазы; и,■ - компонента
скорости по оси Х1; V/ - компонента скорости по оси х2; -координата,м; а/ - объемная концентра-
1O1
X
2
2
2
+
X
+
X
2
X
2
2
2
2
X
X
X
X
2
2
2
n1
(10.1)
(10.2)
(10.3)
ция / ой фазы; Д - коэффициент теплопроводности I — ой фазы; Р1 - приведенная плотность / ой фазы, кг/м3.
Система уравнений (2) - (9) должна решаться при следующих граничных и начальных условиях при х2 = 0 : Р = Рв, и1 = 0,
при х2 = Л(х1): Р = Ра,т12 = 0;
Д (Л) Тв ] ,
х2
ПРИ Х1 = Х1ЮЧ : а2 = а2нач , и! = и!нач (х2^
\/ = V (х2); Т= Т (Х2), / =12, Л = Н,
1 1нач 2/’ 1 1 нач' 2/’ ’ ’ ’
здесь р - коэффициент теплоотдачи.
Уравнения движения (2) - (9) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые в квадратурах не интегрируется. В данной работе эта система решается с помощью метода поверхностей равных расхо-дов[5]. В соответствии с этим методом в поле течения суспензии введем линии тока
Ук = У к (х1)= х2к' (х1) и представим компоненты скорости 1-ой фазы для к-ого слоя в виде ик = и ; [Х1,Ук (Х1)], Vк = V [1, Ук (Х1)]. Здесь к = 1, N , N - число введенных линий тока. При этом линия У совпадает с поверхностью течения, а
последняя линия ум со свободной поверхностью. Сведем задачу о развитии течения слоя суспензии к численному определению полей скоростей и линии тока.
Обозначим величину изменения расхода первой фазы между к-ой и (к+1)-ой линиями тока через Ф^ (х1). В случае непроницаемой поверхности Ф1( х1) = 0. По определению
б Ук+1
/а-^иНг^г = Ф? (х-).
(11)
Н1бх1 у?
При отсутствии массообмена изменение расхода сплошной фазы будет определяться фильтрацией жидкости через пористую проницаемую поверхность. Систему координат выбираем таким образом, чтобы величины а}, д, к, и, V не зависели от координаты х3 и обозначим 2=И3(х3к-х3п). Тогда
интегральное условие сохранения количества сплошной фазы для произвольного сечения можно записать в виде:
Л х1
^^и-НгбХг + Ха-о^|^оН-бх- — О-н .
0 хін
Продифференцируем данное соотношение по х1 и после сравнения с результатом дифференцирования (11) получим
(12)
Ф? (х-) — а-о 2Уо б?,
к = 1, N 1.
Применяя правило Лейбница, с учетом уравнения (2) вычислим интеграл (11)
Ф? — о12 V? и?Н^ +1 и?+1 HcУk+1
1 Н1бх1
Н1бх1
Отсюда, с учетом кинематического условия на свободной поверхности и соотношений (12), получим
а1г V1k ик Н]С[Ук = Фк 5к, к = Ш (13) 1 1 1 Н1бх1 11
Производные по независимой переменной х1 имеют вид
(СО = © + © Н2СУк
■ (14)
Н(х1 Н1 х1 Н2 Ук Н1Сх1
Заменив частную производную ди1 / дх1 согласно (14) с учетом соотношений (13) запишем уравнение (3) для к слоя
рик си1 _
Н1 бх1
(15)
1 ?
Н- х- НН х?
Интегрируем сумму уравнений (4) и (8) на интервале [ Ук, Ук+1 ]
ри- + рги2 Н-
Рк+1 Рк = Мк, к = 1, N 1,
где
Ук+1
Мк(х1)= Жхьх2)сСх>Дх1,х2) = Н2РР2 Н х .
Ук Н1 х2
Преобразуем результирующее соотношение в более удобную форму и дифференцируя по продольной координате, получим
Сх- А—к Сх-
? — 1, N 1.
(16)
Заменив в уравнении (15)
Р
дх.
согласно
(14) с учетом (16), и используя сумму уравнений (4) и (8), для определения поля скоростей сплошной фазы получим систему уравнений
р-и? би? — о- лм СМА + о /(х
+0/(х1,
Н1 бх1 Н1 А—? бх
х?)
бУ? Н1бх1
р1и^11< Н1 ? ? ----
------ + т-? р^1, ? — 2, N.
(17)
Н1Н2 х2
Аналогично можно получить уравнения для дисперсной фазы. Отпуская промежуточные выводы, приведем окончательное выражение для распределения скоростей ик
р?и? би? — о?мм+о /(х
Н1 бх1 Н1 /—? бх1 2 1,
, хг )
бУ?
Н1бх
ргU2kVгk Н Н-Н?
(18)
- + Р? х- + Рг^г, ? — 2, N.
Если размеры включений невелики и разность плотностей фаз незначительны, относительное движение фаз может оказаться незначительным. Тогда можно использовать квазигомогенную модель течения двухфазных сред. В квазигомогенном приближении линии тока вводятся вполне однозначно для некоторой эффективной среды с переменными
по продольной координате характеристиками р(а 2( х1)), у(а 2( х1)). Преобразованное уравнение движения эффективной среды можно получить сложением уравнений (17) и (18)
риы =±'УМ + х хг)-^
Н1 бх1 Н1 Д=к 1 Н1бх1
ри^ Н, т„ с <19)
Тутнт ^х;г+Т +^
Уравнения для поверхностей равного расхода определим из (11). ля чего представим интеграл по одной из формул численного интегрирования, затем продифференцируем полученную разностную формулу по хь Если проинтегрировать (11) по формуле трапеций, то уравнение для определения поверхности имеет вид
(Ук+1 = (У± , 2Н1Ф1 У к+1 Ук СЛ к к = 2_'-
Сх1 Сх1 Лк Лк Сх1
11 к к 1 (20)
(Ут = 0;
где Лк = (а1Н2^и1)к + (а1Н2^и1)к+1 .
Для вычисления “вязкостного” члена сеточные решения записывались в виде разложения в ряд по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям (10)
N
и = у4у (хои^). (21)
У=1
Систему базисных функций можно выбрать в виде [5]
У + 1 I
ику(х1)= — П к Пк,
где пк (х1)=УУ^; у^ к=ш
Систему базисных функций для температуры можно выбрать в виде:
Тук (х1) = (/к (х1)У
Потребуем, чтобы скорость и температура, определяемые из (21а), совпали с ик (х1) и Тк (х1)
на линиях У к (х1) . Тогда для определения коэффициентов А у (х1) и АуТ (х1) получим системы алгебраических уравнений
^ (Х1)и^Ук (Х1)] = Uk (Х1),
j=1
N ____
Tk (х1)= IX-T (x1)Tjk (х1), k = 1, N.
j=1
(21а)
Определив значения А у (х-) из системы
12
уравнений, можно вычислить вязкостный член Т-на соответствующих линиях тока. Определив значения АуТ (х-), используя разложение (21а) можно
вычислить значения температуры Т на соответствующих линиях тока. Система (2) - (9), (19) - (20) и граничные условия (10) представляют замкнутую систему уравнений, решение которых при извест-
ных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В уравнениях движения (17) - (19), записанных для любой поверхности равных расходов ук,
а, V dMA
присутствует слагаемое — 2^ ——, которое со-
H1 A=k dx-i
держит неопределенную величину dyN / dx-. В то
же время производные dyk / dx- определяются с помощью рекуррентных соотношений (20) снизу вверх, начиная с dy1 / dx-. Поэтому для вычисления правых частей системы (17) - (19) необходимо использовать прогонку. Нахождения явных выражений прогоночных коэффициентов целесообразно выполнить после конкретизации области течения и определения коэффициентов Ляме Hi, H2, H3.
Рассмотрим реализацию схемы решения задачи (2) - (10) для неизотермического течения по плоской поверхности.
Пусть слой гетерогенной среды стекает по наклонной плоскости. Выберем декартову систему координат x1 = x, x2 = у, x3 = z с коэффициентами Ляме H1=1, H2=1, H3=1. Тогда F1= gsin , F2 = gcos , J(x,y) = pF2,
Mk (x) = pF2(yk+i yk), Z = 1.
Здесь g - ускорение свободного падения, м/с2; р-угол наклона плоскости.
Дифференциальные уравнения (9), (19) -(20) для плоскости единичной толщины (Z = 1) имеют вид
dUk
do dyN
pU __ = дС°^ (yN yk) _ + p. dx
+ m-
У
У
dyk+1 = dyk ,
dx dx
yk+1 Ук
+ pgSinq),
2VAk a1(Uk + Uk+1)
d
a1(Uk + Uk+1) dx
T(Uk + Uk+1)].
Tk Tk 2Tk
Uk-T- + Vk — = а- 1
х У У
Здесь а - коэффициент температуропроводности.
Введем безразмерные переменные для данной системы с помощью подстановки
_ _ - U -
х = НReх,у = Hy,U, = U U.,V0 = — V0,
7 i p 0 Re 0’ (22)
k = Hk,P PB = p0u2P,Re = HnU2 npH ImH,
Указанная система в безразмерных переменных примет вид (черточки опущены)
+
n
и?
би?
бх
ч Ар бог бул Сов
(Ул у?)—~сх?+~сх рТ
V 2 и? Ре Біп
УН У --д
бУ? — бУ? 1 , ^об?
бх бх о1(и? + и? -)
У? У? 1 б[о-Ц? + и?-)]
о1(и? + и? -)
бх
и
- + V?
Т? Ре гТ?
х У Ре У2 ’
Здесь ЕГ) = Vj.flР1I2 - число Фруда, определяемое компонентом массовой силы, направленной по координате х1; Ре = VI2 /а -число Пекле;
Ре = р0V1I2/т -числа Рейнольдса; 11 - размер области течения в направлении х1;
Для вычисления правых частей методом прогонки первые два уравнения полученной системы приведем к виду
У'к У к 1 + $ки'к 1 + $ки'к = Ек, и к = О + СкУ N,
_Ук У к 1
Б? — ■
и? + и
Ои —
1
Ар у^у* о2 Совф + Р Ргд
(23)
и? V______________
Vн У
и_
У
Ре Біп ф
~^гд
С — Сов ф Е — С? - иКРгя ■ Е? —
2Vоб1k Л о?
о-(ик + и? -)+(У? + У? -) о-
Здесь и далее номера поверхностей расходов, в обозначениях скорости, для удобства написаны в виде нижнего индекса, а штрихи означают производные по безразмерной продольной координате.
Представим искомую функцию У к в виде прогоночного соотношения
Ук = + Вк, (24)
и подставим в уравнение (23). После несложных преобразований получим явные выражения прого-ночных коэффициентов в виде следующих рекуррентных соотношений
А? — А? 1
Б?С? 1 Б?С?,
В? — В? - 1
ЗкОк + Ек, к = 2, N (25)
А2 = Э2С2, В2 = Е2 32О.
При к = N из (24) получим УN = BN /(1 AN). Далее, обратной прогонкой вычисляются значения правых частей системы дифференциальных уравнений (23).
В качестве примера рассмотрим решение данной задачи в квазигомогенном приближении, когда и1 ^и2 = и, V1 ^\/2 = V, Т1 «=Т"2 = Т систе-
ма уравнений (2)-(9) в случае течения по наклонной плоскости запишется в виде:
(ри) +_(рЮ —0
х.
(26)
2
и и Р
р и--------+ V-------- — о-----+ Т- + рР, (27)
х1 х2 х1 1
о-----+ рР — 0,
х2
рср и^ + V^T-х1 х2
- А -Т.
х2 х2
(28)
(29)
(30.3)
Система (26) - (29) решается при следующих граничных и начальных условиях: при х2 — 0: Р —Рв, и —0 , (30.1)
при х2 — Л(х1): Р — РА, т12 — 0;
А ~х- — в° (Л) Таг] , (30 2)
х2
при х- — х-^ч : о — онач, и — инач (х? ),
V — VнаЧ (х?); т — ТнаЧ (х?) Л — Н.
Для данного примера была разработана программа и выполнены численные расчеты, результаты которых приведены ниже.
Результаты вычислительного эксперимента
Были рассчитаны процессы обогрева и охлаждения среды как со стороны стенки, так и со стороны свободной поверхности пленки с учетом фильтрации твердой фазы через проницаемую поверхность.
На рис. 1 представлены изменения температуры на линиях тока при движении среды по “горячей” стенке. Изменение температуры начинается с нижнего слоя и передается снизу вверх. После достижения теплового пограничного слоя свободной
Рис. 1 - Профили температуры на линиях поверхностей равного расхода при Лнач =10 2 м, инач =10 2м/с,Реп =0.16 , Тж =30°С ,
Тст = 400С , Тв =30°С , к = 1,27 10 12
поверхности происходит изменение температуры на свободной поверхности пленки. Фильтрация сплошной фазы через проницаемую поверхность приводит к уменьшению толщины слоя гетерогенной среды. Это приводит к изменению положения линий
+
+
п
+
поверхностей равных расходов. На рис. 2 представлены изменения температуры на линиях тока при течении гетерогенной среды по непроницаемой поверхности.
Рис. 2 - Профили температуры на линиях поверхностей равного расхода при Лнач =10 2 м, инач =10 2 м / с, Реп =0.16, Тж = 300 С,
Тст = 400С, Тв = 300С, к = 0
Заключение
Проведена адаптация метода поверхностей равных расходов для процессов фильтрования двухфазной среды по проницаемой поверхности в неизотермических условиях, численные расчеты
выполнены в квазигомогенном приближении. Построенная математическая модель позволяет рассчитать процессы неизотермического течения двухфазной среды по проницаемой поверхности при различных тепловых режимах.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки России, проект 14.B37.21.0644.
Литература
1. Давыдов А.В. Гидродинамика тонкопленочного центробежного теплообменника /А.В. Давыдов, В.В. Брон-ская, Н.Х. Зиннатуллин //Вестник Казан. технол. ун-та. -Казань, 2012. - №23. - с. 145-148.
2. Кадыйров А.И. Математическая модель стационарного теплообмена и гидродинамики при ламинарном течении вязких реологически сложных сред в изогнутых каналах с закручивателем потока /А.И. Кадыйров, Е.К. Вачагина //Вестник Казан.технол. ун-та. - Казань, 2012. - №19. -с. 49-53.
3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., Москва, 1987, 464 с.
4. Ахмадиев Ф.Г., Фазылзянов Р.Р., Галимов Р.А. Математическое моделирование тонкослойного неизотермического течения двухфазных сред по проницаемым поверхностям. - ТОХТ, 46, 6, 620-630(2012).
5. Холпанов Л.П., Шкадов В.Я. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела. Наука, Москва, 1990, 270 с.
© Ф. Г. Ахмадиев - д-р техн. наук, проф., зав. каф. прикладной математики КГАСУ, [email protected]; Р. Р. Фазылзянов - канд. техн. наук, доцент той же кафедры; Р. А. Галимов - асс. той же кафедры.
