Математическое моделирование течения неньютоновских сред в цилиндрических каналах произвольного поперченного сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:532.5;66.021.1 Ф. Г. Ахмадиев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ СРЕД В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КАНАЛАХ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЧЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Ключевые слова: математическое моделирование, неньютоновская среда, разностная схема переменных направлений.

Предлагается математическое описание и численный расчет течения неньютоновских сред в каналах и трубах произвольного поперечного сечения. Построен итерационный подход решения нелинейного дифференциального уравнения для определения продольной скорости с использованием схемы переменных направлений. Проведены численные расчеты для различных труб и реологических характеристик среды.

Keywords: mathematical modeling, non-Newtonian environment, difference scheme of alternating directions.

A mathematical description and numerical calculation of the flow of non-Newtonian environments in channels and pipes of arbitrary cross section are proposed. An iterative approach to the solution of a nonlinear differential equation for determining the longitudinal velocity is constructed using a scheme of alternating directions. Numerical calculations for various pipes and rheological characteristics of the medium have been carried out.

Введение

Цилиндрические трубы и каналы различной формы часто используются в качестве рабочих узлов аппаратов в различных технологических процессах, например, в формовочных устройствах, эксрудерах и т.п. Значение и правильный расчет гидродинамической обстановки в этих устройствах важны для разработки новых аппаратов и совершенствования уже имеющихся. При выполнении гидродинамических расчетов таких аппаратов необходимо учитывать влияние изменения давления, реологических свойств среды, температуры и конфигурации канала на характер процесса.

В данной работе рассматривается математическая модель течения неньютоновских сред в цилиндрических каналах (трубах) произвольного поперечного сечения и проведены численные расчеты на основе построенной модели.

Течение неньютоновских сред описывается различными реологическим уравнениями. В данной работе, не нарушая общности, используется степенное реологическое соотношение (модель Освальда де Виля) [1]:

-дР д

I I-I"-1

= 2mU 2I2 • ea

(1)

где Ту - тензор напряжений, е^ - тензор скоростей

3

деформации, /2 = ^ е;, • е у - второй инвариант

I, у=1

тензора скоростей деформации.

Целью работы является построение математической модели течения неньютоновских сред в цилиндрических трубах произвольного поперечного сечения, численной схемы расчета и проведение вычислительного эксперимента.

Рассматривается одномерное стационарное ламинарное течение неньютоновских сред в цилиндрических трубах произвольного поперечного сечения D с границей D в ортогональной системе координат х1, х2, х3 = z . Тогда упрощенные уравнения сохранения массы, импульса и энергии могут быть представлены в виде:

,dVz

д

+dX1 Г2 ^ )+дХ2 Г2 )аХТ ^ = 0

. dVz

¡¡PVzdD = q.

pcV dL=A

p dz dxj Vz\-D = 0

(

idL

dXj

Л

dx2

I

дТ дх.

2 У

(2)

(4)

(5)

где q - массовый расход; Ср,ТVЛ,p,Fz,Р -

соответственно удельная теплоемкость, температура, скорость, коэффициент теплопроводности, плотность среды, проекция массовой силы на ось 2 и давление. Уравнение (2) является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных, решение которого представляет собой трудную математическую задачу.

В дальнейшем для простоты рассмотрим изотермические течения. Сначала рассмотрим решение уравнения (2) для ньютоновской среды. При постоянном перепаде давления решение уравнения (2) можно свести к следующей краевой задаче

Д¥ = 0, (6.1)

Ч( *1. *2>| D = ¿(-^ + pfz 1( х12 + х22)

где

4^ dz

Ч= Vz + + PF )(X2 + )■

(6.2)

Решение уравнения Лапласа (6.1) известно для канонических областей [2]. Зная эти решения и функцию д = f (2), конформно отображающую

область D на каноническую область, и 2 = f 1 (д), поле скоростей У2 определяется для произвольного сечения трубы Б. При этом целесообразно отобразить область течения на круг или на верхнюю полуплоскость итд > 0 , если Б односвязная, и на

кольцо, если она двухсвязная. В настоящее время методы конформных отображений достаточно хорошо разработаны, например, [3, 4]. Практически для любой области Б можно построить приближенные конформно отображающие функции.

D

9

Поэтому данный метод решения уравнений (2)-(3) можно считать универсальным.

Для течения между эксцентрически расположенными круглыми цилиндрическими трубами радиуса R1 и R2 (R1 > R2) функция, отображающая область течения на кольцо, имеет вид д = ^(х + /у) = (z - aR2)/(az - R2),

(z = Г -1(# + ¡п) = R2(g- а)/(ад-1)),

где

а =

(R22 + ХцХ12 )+А/(я2ГГХ1)(я2-Х2)

/( х11 + Х12 ) R2

х11, х12 - координаты точки пересечения внутренней окружности с осью абсцисс.

Решение данной задачи совпадает с приведенным в работе [1] и имеет вид

V =-!- [-дР + РР2 ^ - Г 2 )+ ^ - ^ |п [-1 z 4/ \ д2 22 ' ln(R2 / R1) {R2

Результаты расчета показали большое увеличение расхода смеси через трубу с ростом расстояния d между центрами труб при прочих равных условиях. Например, соответствующим значениям d: 0; 0,02; 0,05; 0,07; 0.09 (м) соответствуют значения q:

Я = д|й=0; я = 1,09 д^; я = 1,38 д^; я = 1,69 д|й=0;

Я = 2,0Ч=0.

(R2 = 0,15м; R1 = 0,05м; / = 1,4Н • с / м2).

Следует отметить, что при построении отображающих функций для многоугольных областей можно воспользоваться формулой Кристоффеля-Шварца [2].

При расчете течения неньютоновских сред задача существенно усложняется. В этом случае нелинейное уравнение (2) необходимо решать с учетом реологического закона состояния среды, т.е. зависимости /(12). Для решения уравнения (2) предлагается следующий алгоритм.

1) Решение уравнения (2) можно провести итерационным методом переменных параметров упругости [5]. Если вязкость смеси постоянная величина, то задача (2) решается, например, методом конформных отображений. Поэтому, если поле скоростей, найденное подобным образом, принять за нулевое (начальное) приближение и по нему определить эффективную вязкость /(12)1 = /(х1, х2)1, то она превращается в известную функцию координат. Тогда уравнение (2) можно записать в виде

_д_ дх1

(

д^

Л

/( Х1, Х2 ^

дх1 У

д дх2

(

дV,

/( Х1, Х2 ^

дХ2 У

+ ^ = 0 (8)

Др дР

где — = рг2--, т.е. в результате такого подхода

/ д2

нелинейное уравнение удается заменить линейным.

2) Для решения уравнения (8) можно использовать

метод установления [6]. Согласно этому методу

вместо стационарной задачи (8) можно решать

нестационарную задачу до момента времени пока ее

решение перестанет меняется в пределах

интересующей нас точности. Причем, при решении новой нестационарной задачи целесообразнее применение метода установления, использующего схему переменных направлений (метод Писмена-Рекфорда) [6]. В результате решения этой задачи определяется новое поле скоростей, которое затем принимается в качестве первого приближения, а по нему вычисляется эффективная вязкость /(12)2 = /(х1, х2)2. Далее весь процесс решения уравнения (8) с новой вязкостью повторятся по пункту 2. Поле скоростей уточняется по методу переменных параметров упругости до тех пор, пока не

станет

|/(|2)/+1 -/(|2)^ <8 :

(9)

где 8 - заданная точность решения задачи. Тогда ьое приближение скорости принимается за истинное решение задачи (2).

Используя уравнения (2)-(3) были рассчитаны течения среды со степенным реологическим законом в эллиптической трубе и между эксцентрически расположенными круглыми цилиндрическими трубами. При этом новая нестационарная задача, которая принимала форму

д^ д

дf дх1

. дУ,

д

-а-—ИХ1Х2\+дХг\и(х,х2)^(8')

дх1 У дх.

дУ2 ] Др

/

была представлена по схеме переменных направлений в виде [6]

^ ^ =АХ1Х1 (V,)'* +АХ2Х2 +(ДР]„ , (10)

0,5т

ч: + %

^^ = ЛХ1Х1 (V, )Г/2 +ЛХ2 Х2 (V, )Г +Щ (11)

При численном решении уравнений (10)-(11) был использован метод прогонки [6]. В качестве начального распределения скорости V, в методе установления в каждом шаге было взято распределение скорости, полученное в результате предыдущей итерации по методу переменных параметров упругости. Численные расчеты на ЭВМ были проведены в цилиндрической системе координат.

Результаты численных расчетов показаны на рис. 1-2. При надлежащем подборе величины т стационарное состояние достигалось на 10 - 15 итераций. Число итераций по методу переменных параметров упругости сильно зависит от реологических свойств смесей (рис. 3).

На рис. 3 показана зависимость этого числа от индекса течения «п». С уменьшением степени аномальности число итераций сокращается.

Здесь следует отметить, что для описания подобных течений могут быть применены и другие методы (вариационные методы, метод конечных элементов, вариационно-разностный метод Л.В. Канторовича и т.п.). При использовании вариационных методов возникает определенная трудность, связанная с построением координатных (пробных) функций и решением системы нелинейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующей функции.

предполагается обязательное подключение одного из вышеперечисленных методов (или какого-то их аналога).

Рис. 1 - Профили скоростей при течении среды, подчиняющейся степенному реологическому закону, в эллиптической трубе

(b /a = 0,5;K = 4,6Нсп /м2;n = 0,837): 1 - р = 1,57 ; 2 -

р = 1,1; 3 -р = 0,78 ; 4 -р = 0,47 ; 5-р = 0,157 ; 6 -р = 0,157; n=1 (-dP / dz + pgz = const,р - в радианах)

"t

м/с

0№

0,03

Ц01

-i П'Ц8—- ___ n.Q6—

/V /с л sX.

/' \\ Р —\ 2 ---- vX \ .......

ВУ/ \ \ м

о 0,0г 0.0^ 0,06 0,0« 0,10 0,12(г-К,),м

Рис. 2 - Профили скоростей при течении среды, подчиняющейся степенному реологическому закону, между эксцентрически расположенными круглыми цилиндрическими трубами

(-dP / dz + pgz = const): 1 -р = W16; 2 -р = л/2; 3 -р = 15W16

Своего рода «усиливающим блоком», позволяющим на аналитическом уровне точно учесть содержащуюся в постановке краевой задачи геометрическую информацию и решить ее, может служить метод R-функции [7] - эффективный метод решения краевых задач для уравнений с частыми производными. При этом возможен учет различного рода априорной информации об искомом решении, что приводит к повышению «качества» структурных формул. В структурном методе (метод R-функции)

© Ф. Г. Ахмадиев - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики КГАСУ, Akhmadiev@kgasu.ru.

© F. G. Ahmadiev - doctor of technical sciences, professor, head of the department Applied Mathematics KSUAE, Akhmadiev@kgasu.ru.

Рис. 3 - Зависимость числа итераций в методе переменных параметров упругости от значения п при расчете течения среды, подчиняющейся степенному реологическому закону, в цилиндрических трубах: 1 - сечение трубы эллипс; 2 - сечение - эксцентрически расположенные окружности

Заключение

Применение численных методов в сочетании с методами переменных параметров упругости и конформных отображений позволяет рассчитывать по построенной математической модели течение неньютоновских сред в цилиндрических каналах (трубах) произвольного поперечного сечения.

Литература

1. Дж. Хаппель, Г. Бреннер. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. Мир, Москва, 1976. 630 с.

2. Л.В. Канторович, В.И. Крылов Приближенные методы высшего анализа. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва-Ленинград, 1962. 708 с.

3. П.Ф. Фильчаков. Приближенные методы конформных отображений. Науково думка, Киев,1964. 536 с.

4. Б.И. Рабинович, Ю.В. Тюрин. ДАН СССР, т 273, №3, 1983. С. 532-535.

5. И.Н. Малинин. Прикладная теория пластичности и ползучести. Машиностроение, Москва, 1975. 400 с.

6. С.К. Годунов, В.С. Рябенький. Разностные схемы. Наука, Москва, 1973. 400 с.

7. В.Л. Рвачев, А.П. Слесаренко. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. Науково думка, Киев, 1976. 288 с.