CC BY
41
УДК 517.958
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В ЖИДКИХ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕДАХ
© Н. А. Игизьянова
Филиал Южно-Уральского государственного университета в г. Златоуст Россия, 456209 г. Златоуст, ул. Тургенева, 16.
Тел.: +7 (3513) 66 58 44.
E-mail: nadine-66@mail.ru
Целью данной работы является исследование электромагнитного поля в жидких неметаллических токопроводящих средах - электролитах, характерным представителем которых является, например, шлаковый расплав при высоких температурах. Автора интересует распределение объемных электромагнитных сил в такого рода жидкостях. С этой целью была создана математическая модель распределения электромагнитных сил в жидкой неметаллической высокотемпературной среде, произведена оценка этих сил. Теоретический эксперимент показал, что результатом их воздействия на цилиндрическую ванну с жидкостью является потеря ею горизонтального положения и устойчивого состояния.
Ключевые слова: жидкие неметаллические среды, электромагнитные процессы, объемные силы, математическая модель.
Мировая наука достигла больших успехов в изучении электромагнетизма в целом. Применительно к разным объектам исследования этот прогресс наблюдается в той или иной мере. Что же касается жидких неметаллических сред, находящихся под воздействием электрического тока, то им незаслуженно уделяется минимум внимания.
На практике такие среды имеют большое применение. Например, ввиду необходимости снижения энергоемкости некоторые промышленные, в частности, металлургические процессы эффективнее проводить на постоянном токе. Однако при этом происходит дестабилизация жидкой токопроводящей шлаковой зоны, что обусловлено влиянием электромагнитных сил, возникающих в электромагнитном поле постоянного тока [1]. В данной работе рассматриваются некоторые этапы разрешения этой актуальной проблемы.
Рис. 1. Модель жидкой неметаллической ванны с с токоподводом l.
Перспективным методом изучения электромагнитных процессов в жидких неметаллических высокотемпературных средах является математическое моделирование с применением компьютерных технологий.
Ниже рассматривается оценка анизотропии энергетического поля в жидком неметаллическом пространстве с с поверхностью й. На него воздействует источник постоянного тока I в замкнутой системе цилиндрической формы (рис. 1). Так как энергия процесса генерируется в исследуемой среде электрическим током, то за основу были взяты фундаментальные уравнения электромагнитной гидродинамики, которые являются совокупностью уравнений Максвелла для электромагнитного поля, гидродинамических уравнений движения, термодинамических уравнений состояния среды и уравнения закона сохранения энергии. Вводятся следующие допущения: теплообмен жидкой среды с окружающими средами незначителен по сравнению с общей энергетикой процесса; электромагнитные силы пренебрегаемы по сравнению с инерционными, а индуцированное магнитное поле - по сравнению с внешним полем; электродинамический процесс считается неосесимметричным и установившимся:
гогИ = j, МуИ = 0,
— дА — ,
гогЕ = ———, йыЕ = 0 д г
где И - напряженность магнитного поля; j - объемная плотность тока, Е - напряженность электрического поля; А - векторный потенциал магнитного поля (с допущением о стационарности процесса, также о том, что плотностью токов смещения можно пренебречь по сравнению с плотностью токов проводимости).
К этим уравнениям следует добавить уравнение объемной плотности электромагнитных сил (ОЭМС):
/ = j X И . (1)
Дальнейшая реализация математической модели позволяет вычислить величину и направленность объемных электромагнитных сил в любой интересующей точке жидкой среды.
В предположении об изотропности проводимости и отсутствии намагниченности жидкости для сред с ионной проводимостью задача описания электромагнитных явлений состоит в определении потенциала электрического поля и:
Аи = 0 . (2)
Граничные условия были приняты в виде:
• на свободной поверхности
жидкости:
ди
U\d = 0, Л
d dz
= 0 при z = d, r = гэ...R ,
где гэ, Я - радиусы токоподвода и жидкой ванны
соответственно, м;
• в области контакта токоподвода с
жидкой средой:
ди
U = I ■ Rэ
ээ
dz
= j, при z = d, r = 0...гэ,
а
где I - сила постоянного тока, А; Я э - сопротивление тока в источнике, Ом; jэ - плотность тока в
области контакта, кА/м2; У - удельная электропроводность, (Ом • м)-1.
• на боковой
ванны:
ди
поверхности жидкои
dn
=0,
где П - нормаль к боковой поверхности ванны.
По известному электрическому потенциалу
E
электрического
определяется напряженность
поля: Е = —УЦ = — ^^, плотность тока і = оЕ , дп _
векторный магнитный потенциал А : АЛ = — ] , напряженность магнитного поля: Н = твїА .
Граничные условия для векторного магнитного потенциала и для напряженности магнитного поля формулировались следующим образом:
А = 0 при г = d, г = гэ...Я и Н = 0 при
г = d, г = Я.
По вычисленным значениям плотности тока и напряженности магнитного поля значения объемной плотности электромагнитных сил определялись по формуле (1).
Совокупность основных уравнений и граничных условий составляет математическое описание рассматриваемого стационарного процесса элек-
тромагнитного взаимодействия на постоянном токе.
На практике положение источника тока в некоторой степени изменяется, что может быть обусловлено его температурной деформацией и воздействием внешних сил. В результате чего происходит отклонение токоподвода от центральной оси. Подобная несоосность системы приводит к необходимости постановки задачи в несимметричной форме. Ввиду этого задача рассматривается в трехмерной системе координат - с переменными г - по радиусу, ^ - по высоте, ф - по углу. Уравнение потенциала (2) примет вид:
д 2и 1 ди 1 д 2и д 2и п
2 Л 2 + 1Т^ = 0
дг г дг г дф дz
с соответствующими граничными условиями.
В численном решении краевой задачи был применен метод конечных разностей. Дифференциальная задача определялась в области S, которая задана следующими условиями 0 < г < Я,
0 < ф < 2п, 0.95 < г < 1. При этом токопроводящая жидкая зона аппроксимировалась разностной сеткой с шагами г = 0.015 м, ф = п/4 радиан, г = 0.005 м. Число узлов зависит от шага разбиения по соответствующим направлениям.
Предположим, что решение и (г, ф, г) в области S существует и единственно. Нахождение его по методу конечных разностей предполагает переход от исходной непрерывной задачи к разностной дискретной схеме. Для этого область S заменили разностной сеткой с узлами и перешли к сеточным функциям, определенным в узлах. В итоге, исходная дифференциальная задача (3) сведена к разностной задаче
Ur+1 — 2U г + UJ—L +1 Ur+, — Ur—, +
2h
(4)
+ ± Ц,+і — 2Ц,+ Ц,—і + Пг+1 — 2Пг + Пг—, = 0
2 / 2 / 2
г К
с граничными условиями также в разностной форме:
Ц (гэ ...Я,0...2п, zd) = 0;
U(r ...R,0...2n, zd) — U(r ...R,0...2n, zd — hz) h
U(0...гэ ,0...2п,0) = I ■ Rэ;
U (0... гэ ,0...2n, z э) — U (0... гэ ,0...2n, z э — hz) js
= 0;
(5)
hz
U (R,p, z) — U (R — hr ,p, z) h
а
= 0,
или в операторном виде: Е^и = /н. При замене
дифференциальной задачи разностной неизменно появляется погрешность аппроксимации
§н = Екин — /н. Для оценки величины бк ис-
d
э
r
пользовали
Ц
гф,г
=тахг
наиболее Ц
і&і<
к
12
тах
+ тах г2 12
г ,Ф,г д 4Ц Эг4
д 4Ц
простую норму метрики и оценили 3 как
+-----------г— тах
6(п — 1)
д3Ц дг3
Н2
дф 12
тах
Э 4П
Эг4
В работе [2] была доказана устойчивость полученной разностной схемы в случае 0 < Н^< 1 и
~К 2~
0 < Нг < 1. Если эти условия выполнены, то при
Нг ^ 0, Нф ^ 0 и Нг ^ 0 ошибки при счете не возрастают с увеличением числа шагов вдоль осей ОЯ, Оф и 02. Более того, при уменьшении Нг, Нф
и нг решение разностной задачи приближается к
точному решению исходной задачи. Таким образом доказали сформулированную ниже теорему.
Теорема: конечно-разностная схема (4)-(5) аппроксимирует дифференциальную задачу на ее точном решении и (г,ф, г), обладающем ограниченными третьими и четвертыми производными по Нг, Нф и Н., со вторым порядком относительно
этих величин. Краевые условия и правая часть дифференциальной задачи не влияют на величину невязки.
Разностные аналоги других дифференциальных уравнений и граничных условий, образующих поставленную задачу, аналогичны вышеприведенным, что позволяет решать их аналогичным способом при выполнении условий гладкости и достаточном количестве производных.
Полученная в результате численных экспериментов оценка электромагнитных сил позволяет выяснить распределение ОЭМС в жидкой неметаллической ванне под воздействием постоянного тока. Это даст возможность в перспективе при рассмотрении в динамике определять ее положение в любой момент времени и установить противодействующие силы, обеспечивающие его стабилизацию.
Для вычисления распределения электромагнитных сил при несоосном расположении источника тока, было сделано теоретическое «смещение» его относительно центра на 0.01 м вдоль оси ОЯ и 0.02 м вдоль оси О2. Геометро-физические параметры эксперимента приняты близкими к реально действующему технологическому процессу - постоянный ток силой 2 кА, сопротивление источника постоянного тока - 0.000001 Ом, диаметр токопод-вода - 0.3 м и токопроводящей жидкой неметаллической ванны - 0.52 м.
Разработанная по заданному алгоритму программа произвела согласно формулам перехода перерасчет параметров смещения из декартовых координат в цилиндрические. Граничные условия были изменены в соответствии со смещенным положением торца токоподвода на поверхности жидкой ванны. Далее программа осуществила расчет основных электромагнитных характеристик при допущении, что токоподвод касается своим нижним торцом поверхности жидкости. Полученные результаты приведены на рис. 2-7.
В частности, на рис. 2 заметно преобладание максимальных амплитуд потенциала электрического поля в центре смещенного пятна токоподвода, что характерно для несоосной задачи. На периферии этого пятна тоже наблюдаются ненулевые значения потенциала. Но они по модулю порой на несколько порядков меньше экстремумов и не оказывают существенного влияния на положение жидкой ванны.
Аналогия поведения прослеживается и в остальных электромагнитных характеристиках, формирующих поле в рассматриваемой зоне.
На рис. 3 приведено распределение плотности электрического тока в двух верхних слоях жидкой ванны. На графике видно, что оно равномерное по всей поверхности за исключением центра и границы раздела «источник тока - жидкая ванна».
И
£
0.2
20
15 1
Л
д V'
55 0.165 0.075 0.015 0 1 05 0 .195
-10
-15 -20 -
Радиус м
Рис. 2. Распределение потенциала электрического поля в трех нижних слоях жидкой ванны.
1800000
1600000
400000
200000
О
т“/¥*‘ІГІ 1
1
1
1 1 спой 1 - - - -СП0Й2
1 1
1 і ■
Л'
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24
радиус, м
Рис. 3. Распределение абсолютных значений векторов плотности электрического тока (система центрирована).
+
Рис. 4. Угловая составляющая напряженности магнитного поля в верхних слоях жидкой зоны (система центрирована).
Напряженность магнитного поля представлена на рис. 4. Пик напряженности наблюдается лишь в центре системы с резким падением до нуля по мере удаления от него.
Значения электромагнитных сил приводятся на рис. 5 - в вертикальном сечении поверхности жидкой ванны, которое проходит через центр пятна токоподвода под углом 45° к оси ОЯ. Полученные величины сил не являются максимальной оценкой по сравнению с результатами, вычисленными вдоль других вертикальных сечений.
На рис. 6 приведены значения объемной плотности электромагнитных сил в вертикальном сечении жидкой ванны, проведенном под углом ^=135° к оси радиусов и проходящем через вертикальную ось ванны и пятно источника тока на поверхности жидкости. Как показали численные эксперименты, азимутальная составляющая превосходит по абсолютному значению другие компоненты вектора силы - радиальную и осевую.
Следует отметить смещение максимальных амплитуд ОЭМС в противоположную сторону от смещения пятна токоподвода. Так же как и в случае с электрическим потенциалом на периферии пятна тоже наблюдаются ненулевые значения ОЭМС. Они по модулю значительно меньше экстремальных и не оказывают существенного влияния.
Вдоль других вертикальных осевых сечений распределение электромагнитных сил по слоям имеет подобный характер.
Результаты расчетов позволяют сделать вывод о том, что распределение сил и по радиусу, и по высоте происходит неравномерно, и на поверхности жидкости, а также в следующем слое дает максимальный всплеск амплитуды именно в центральной зоне пятна токоподвода. Рис. 7 и 8 в объемном изображении наглядно подтверждают это.
С целью более полного представления особенностей распределения сил в токопроводящей жидкой среде в работе [3] были проведены исследования по варьированию отдельных параметров, входящих в систему уравнений электромагнетизма.
0.255 0.12 0.015 0.15
Рис. 5. Радиальные распределения ам плитуды объемных электромагнитных сил для четырех слоев вертикального сечения жидкой ванны.
§
2.5E+24 2E+24 1.5E+24 33 1E+24 Й 5E+23 “ 0
-0'255-0-120.015
Слой 1
0.15 Радиус, м
Рис. 6. Распределение ОЭМС в вертикальном сечении жидкой ванны - амплитуда азимутальной составляющей.
Рис. 7. Амплитуда плотности объемных сил в верхнем слое жидкой ванны.
Рис. 8. Амплитуда плотности объемных сил во втором сверху слое жидкой ванны.
В итоге проведенных исследований получена математическая модель распределения электромагнитных сил в жидкой неметаллической высокотемпературной среде. Исследование результатов численных экспериментов для осесимметричной и не осесимметричной задач дало возможность получить достаточно полную пространственную картину распределения объемных электромагнитных сил в исследуемой зоне.
Произведена оценка этих сил. Выяснено, что результатом их воздействия на жидкую ванну является потеря ею горизонтального положения и устойчивого состояния.
Как показал теоретический эксперимент, даже малейшее отклонение источника постоянного тока приводит к появлению мощной азимутальной компоненты вектора ОЭМС. Эти силы и являются основной причиной нестабильного пространственного положения жидкой ванны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хазиев Т. Р., Игизьянова Н. А., Потапов В. И. Оценка электромагнитных сил при электрошлаковой технологии методами математического и физического моделирования // Математическое моделирование в образовании, науке и производстве: Тезисы V Международной конференции. Тирасполь: Изд. Приднестровского университета, 2007. С. 55-56.
2. Игизьянова Н. А., Потапов В. И. Об устойчивости конечноразностной схемы уравнений магнитной гидродинамики в электрошлаковом переплаве // Создание и внедрение корпоративных информационных систем (КИС) на промышленных предприятиях России. Вып.2: Сборник трудов Международной научно-технической конференции. // Под ред. Девятова Д. Х. Магнитогорск: ИПЦ ООО Проф-принт, 2007. С. 263-268.
3. Игизьянова, Н. А. Потапов В. И. Объемные электромагнитные силы в токонесущем шлаковом расплаве при ЭШП // XIV Международная научная конференция «Современные проблемы электрометаллургии стали», г. Сат-ка, 2010 г.
Поступила в редакцию 08.01.2012 г. После доработки - 29.11.2012 г.
