CC BY
42
330 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 621.365.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕМНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В ВАННЕ РАСПЛАВА
ДППТ
© 2008 И.М.Ячиков,1 В.Н. Манагаров2
В статье предлагается математическая и компьютерная модель расчета распределения напряженности электрического и магнитного полей, а также объемных электромагнитных сил в токопроводящей ванне дуговой печи постоянного тока с одним и двумя подовыми электродами при различных токах, протекающих через них. Установлены закономерности распределения электромагнитных параметров, а также характер электровихревого течения расплава.
Ключевые слова: начально-краевая задача, линейное приближение, вязкость, сжимаемость, стратифицированная жидкость.
В настоящее время на дуговых печах постоянного тока (ДППТ) находит применение технология перемешивания расплава, основанная на установке двух асимметрично расположенных подовых электродов (АРПЭ) и управлении токами, протекающими через них [1]. Изменяя конфигурацию анодов и протекающих через них токов, можно воздействовать на перемешивание расплава, стремясь к созданию выгодных с технологической точки зрения гидродинамических режимов. Однако анализ имеющихся публикаций показал, что технология АРПЭ освещена недостаточно, отсутствуют теоретические исследования и рекомендации для более широкого ее практического использования.
Физической основой электровихревых течений (ЭВТ) является возбуждение объемных электромагнитных сил (ОЭМС), обусловленное взаимодействием электрического тока, подводимого к расплаву от стороннего источника ЭДС, с собственным магнитным полем. В связи с этим возникает необходимость проведения исследований электрических и магнитных полей, образующихся в ванне ДППТ при прохождении через нее электрического тока, распределения плотности тока и ОЭМС.
1 Ячиков Игорь Михайлович (jachikov@mail.ru), кафедра вычислительной техники и прикладной математики Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова, 445000, Россия, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 38.
2Манагаров Владимир Николаевич (vladmng@gmail.com), кафедра вычислительной техники и прикладной математики Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова, 445000, Россия, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 38.
Изучение распределения электромагнитных параметров и ОЭМС в реальных условиях отличается большой сложностью как с экономической, так и экспериментальной точек зрения. Выходом из данного положения является создание адекватной математической и компьютерной модели рассматриваемого объекта.
Хотя сама ванна и обладает осевой симметрией, исследуемые функции не являются осесимметричными из-за асимметрии расположения подовых электродов по подине печи (рис. 1).
Рис. 1. Основные размеры ванны: вид ванны сбоку (а) и сверху (б): АВ — область взаимодействия дуги с ванной расплава; ¿п — диаметр пятна дуги; СО — поверхность расплава; Ов — диаметр ванны; йв — диаметр подины; у — угол откоса ванны; НС(НС) — подина; ^сф — радиус сферической части печи; Н1 — высота сферической части; Н2 — высота конической части; Нв — высота ванны; Ьд — высота столба дуги; йа1 — диаметр первого анода; йа2 — диаметр второго анода; ха\ — расстояние от центра подины до центра первого анода; ха2 — расстояние от центра подины до центра второго анода; фа1 — угловая координата первого анода; фа2 — угловая координата второго анода
Для исследования распределения тока в массивных проводниках применяются методы, которые используются для расчета электромагнитных полей. В проводящих средах токами смещения можно пренебречь вследствие их незначительности по сравнению с токами проводимости. Для постоянного или медленно меняющегося во времени тока поверхностный эффект отсутствует, поэтому при описании поля электрических потенциалов и (г, ф, г) в ванне используем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах:
^ + + + ^ - о
дг2 г дг г2 дф2 дг2
Начало координат располагается на поверхности ванны по ее центру, ось г направлена вниз и совпадает с ее осью (см. рис. 1). В области пятна дуги задается нулевой потенциал (условие Дирихле), а на поверхности подовых электродов — значение нормальной составляющей плотности тока (условие
Неймана) и условие равенства нулю градиента потенциала на свободной поверхности ванны и на керамических границах ее стенок. Считаем также, что ток дуги равен полному току 1д, протекающему через ванну, или суммарному току через подовые электроды [2-4].
На свободной поверхности ванны (г = Нв, ф = 0... 2п, г = гп ... Яв)
ди
дг
= 0,
ББ АС
йп 0 Бв
где гп = —--радиус пятна дуги, лв = —--радиус ванны.
В области пятна дуги (г = Нв, ф = 0... 2п, г = 0... гп)
ди = _]_п дг аб о'
где о — удельная проводимость расплава, ]п — плотность тока на анодном пятне. Для сталеплавильных печей эта величина составляет 5-10 А/мм2,
Гь
что позволяет оценить радиус пятна дуги как гп = л -.
V п1п
йв
На боковой поверхности ванны (г = 0... Яв, ф = 0... 2л, г = — + г \|/)
дЦ_
ди
сое \|/ н--
во т дг
СН'
8Ш Ш = 0.
БС' т
СН'
На поверхности:—первого подового электрода (г = 0, г2 - 2гха\ со8(ф -" Фа1) + х2! < ^
дУ _ 4/д1 дг пй2 о'
а1
— второго подового электрода (г = 0, г2 - 2гха2 сов(ф - фа2) + х22 ^ г^)
ди 41а2
дг кй~22 о'
В области дна ванны (г = 0, ф = 0...2п, г = 0...Я,
г2 - 2гха1 С08(ф - фа1) + ха1 > А^, г2 - 2гХа2 СОв(ф - фа2) + ха2 > г^)
тг
дг Н'О'
Имея поле потенциалов и (г, ф, г), можно определить значения градиента потенциала (напряженность электрического поля) в каждой точке ванны
ди ди ди ди
Е — -, Ег —--, Кг —--, £ф —--, |Е| — л1Еу + +
дп дг дг гдф > ^
и плотность тока I = оЕ.
Напряженность магнитного поля в произвольной точке А определялась по уравнению Био—Савара—Лапласа
, . йУ н А= —-=-[1хК],
Г 1 йУ
У
где К — радиус-вектор, проведенный от элемента тока J к точке A. Элемент объема в цилиндрической системе координат (рис. 2)
¿V = rdфdrdz. (2)
Рис. 2. К расчету напряженности магнитного поля
По принципу суперпозиции напряженность в произвольной точке равна векторной сумме элементарных полей, создаваемых всеми элементами объема, где протекает ток.
Найдем поле от тока, протекающего в элементе объема dV, имеющего координаты M(r, ф, z). Переходя к декартовой системе, получим координаты точек:
A(xo, yo, zo), где xo = rocosфо, yo = rosinфо, z = zo;
M(x, y, z), где x = r cos ф, y = r sin ф, z = z.
Модуль вектора расстояния между точками A и M есть
|R| = cos ф - r0 cos фо)2 + (r sin ф - r0 sin фо)2 + (z - zo)2. Запишем координаты векторов R и J в декартовой системе:
R = (Rx, Ry, Rz), J = (Jx, Jy, Jz),
Rx = xo - x, Jx = Jr cos ф - X Jф sin ф, Ry = yo - y, Jy = Jr sin ф - X Jф cos ф, Rz = zo - z, Jz = Jz,
1, для I и III координатной плоскости;
(3)
(4)
X=
-1, для II и IV координатной плоскости.
Векторное произведение определяется согласно следующему выраже-
нию:
h = J X R = (JyRz - JzRy)ei + (JR - JxRz>2 + (JxRy - JyRx)вэ.
(5)
Суммарную проекцию напряженности магнитного поля на ось OX найдем,
Нх = I " " y/dV =
решая совместно уравнения (1-5), получим (JyRz - JzRy)
1W
V
Rb 2п Яв
[(Jr sin ф + x/ф cos ф)(го - z) - Jz(r0 sin фо - r sin
" f'
4л J
4л///'
[(r cos ф - r0 cos ф0)2 + (r sin ф - r0 sin ф0)2 + (z - z0)2]3/2 ооо
Обозначая
П =
[(r cos ф - r0 cos ф0)2 + (r sin ф - r0 sin ф0)2 + (z - z0)2]3/2' окончательно получим R 2п Я
Hx = / / /sin ^ + cos ~ sin фо - A" sin сp)]j]drd(pdz.
000
Аналогично находятся проекции векторов Яу и .
Зная связь между декартовыми и цилиндрическими координатами вектора
Ях = Яг cos ф0 - Яф sin ф0, Яу = Яг sin ф0 + Яф cos ф0, Яz = Яг,
получаем координаты вектора H = (Яг, Яф, Яz) в цилиндрической системе координат
Яг = Яу sin ф0 - Ях cos ф0, Яф = Яу cos ф0 - Ях sin ф0, Яz = Яг.
Объемная электромагнитная сила, действующая на единицу токонесущего объема жидкости в произвольной точке A(r, ф, z), где определены поле H и плотность тока J:
fA = J X B = М X H,
где [i0 — магнитная постоянная.
Распишем векторное произведение плотности тока и напряженности магнитного поля:
J X H = (JyЯz - JzЯy)el + (JzBx - J,flz)e2 + ЦхЯу - JyЯx)eз
или отдельные его проекции:
fx = ^0(#z(Jr sin ф + x Jcp cos ф) - Яу J) fy = J^x - Яz( Jr cos ф - xJф sin ф)); fz = ^0(Яу(Jr cos ф - xJq> sin ф) - Яx(Jr sin ф + XJcp cos ф)).
В цилиндрической системе координат получаем проекции ОЭМС: fr = fy sin ф0 - fx cos ф0; fф = fy cos ф0 - fx sin ф0; fz = fz.
На основе созданной модели разработан программный продукт "Электромагнитные процессы в ванне ДППТ" [5]. Он позволяет производить компьютерные расчеты распределения поля потенциалов, напряженностей электрического и магнитного полей и ОЭМС по области ванны при произвольных значениях геометрических и технологических параметров ДППТ.
r
Адекватность созданных моделей проверялась на экспериментальных установках по изучению электровихревых течений с использованием расплава олова. Исследования проводились на двух ваннах: первая имела форму вертикального цилиндра и позволяла наблюдать течение расплава на ее свободной поверхности; вторая — имела форму горизонтального полуцилиндра. Она позволяет наблюдать схемы движения расплава в меридиальной плоскости (в плоскости, проходящей через ось ванны и электрода).
Основные размеры второй ванны совпадали с первой. Ванна лабораторной печи имеет следующие геометрические характеристики: диаметр по свободной поверхности жидкого металла совпадает с диаметром подины Dв = = dв = 250 мм; высота ванны Hв = 40 мм; диаметр анодов da = 15 мм, токоподвод от катода к расплаву осуществлялся медным цилиндрическим электродом диаметром dк мм. Для получения расплава олова зажигалась дуга между графитированным электродом и поверхностью ванны (ток дуги ^ = 300 А, напряжение U = 150 В). Для наблюдения ЭВТ на электроды подавался ток от силового источника питания с параметрами: U = 5 В, ^ = 500 - 1000 А.
При одинаковых условиях проведения исследований сравнивались результаты, полученные посредством компьютерного и физического моделирования. Установлено, что:
— эквипотенциальные линии концентрируются вблизи зоны контакта с дугой (рис. 3, а), затем расходятся и вновь сосредотачиваются вблизи поверхности анода;
— модуль вектора напряженности электрического поля |Е| увеличивается при приближении к пятну дуги и анодам;
— азимутальная проекция плотности тока Цф| существенно меньше двух других компонент Цг | и Цг|;
— большая часть тока протекает через усеченный конус, основания которого лежат в области пятна дуги и области анодов;
— при удалении от линии соединяющей центры пятна дуги и анода(ов), |Е| резко падает и на периферии ванны ослабляется в несколько тысяч раз, при этом напряженность магнитного поля ослабляется всего на порядок (рис. 3 ^ в);
— максимальные ОЭМС |Р| концентрируются в областях пятна дуги и анодов, достигая своих экстремальных значений на их краях, и стремятся к нулю в центре;
— радиальная Fr и азимутальная Fф составляющие ОЭМС стягивают расплав к области пятна дуги и анодов, при этом осевая составляющая Fz увлекает расплав от их поверхностей.
При расположении единственного подового электрода по центру подины в ванне расплава наблюдается симметричная картина распределения всех электромагнитных параметров относительно оси ванны, при этом = Hr = = Hz = Fф = 0, что согласуется с результатами работы [6]. Как следствие, в ванне расплава отсутствует азимутальное движение. Радиальная компонен-
0,55..0,6 0,45..0,5 О..0,05
Рис. 3. Распределение поля потенциалов (а), осевой (б) и радиальной (в) составляющих магнитного поля в безразмерном виде в плоскости, проходящей через оси анода и ванны при ха = 80 мм
та ОЭМС стягивает расплав к областям токоподвода (рис. 4, а), а осевая уводит расплав в глубь ванны (рис. 4, б). Течение идет лишь в мериди-альной плоскости (рис. 4, в), и оно осесимметричное.
анод
Рис. 4. Распределение осевой (а) и радиальной ¥г (б) составляющих ОЭМС и схема течения расплава (в) при осесимметричном расположении анода
При других вариантах расположения анода(ов), как результат асимметричного растекания тока относительно оси ванны, в расплаве присутствуют все составляющие напряженности электрического и магнитного полей и ОЭМС (рис. 5, а-в). Отсюда движение расплава будет более сложным (рис. 5, г, д).
Рис. 5. Распределение осевой Fz (а), радиальной Fr (б) и азимутальной Fф (в) составляющих ОЭМС, схема течения расплава на поверхности ванны (г) в плоскости, проходящей через оси ванны и анода, и схема течения расплава на поверхности ванны (д) при ассиметричном расположении подового анода и xa = 80 мм, плотный точечный заполнитель — область активного затягивания расплава в глубь ванны, редкий точечный заполнитель — область активного всплытия расплава
При расположении анодов, когда выполняются условия ха1 = ха2, йа1 = = ^2, Аф = |фа2 - фа1 | = п/2 и одинаковых токах через них /а1 = /а2 в ванне расплава будет наблюдаться симметричная картина распределения ОЭМС относительно плоскости АА, перпендикулярной прямой, соединяющей центры анодов и проходящей через ось ванны (рис. 6, б). С учетом азимутальной координаты плоскости АА 0 = (фа2 + фа1)/2 установлены следующие закономерности распределения ОЭМС (рис. 6, а):
Fr(0 - а) = Fr(0 + а), Fz(0 - а) = Fz(0 + а), Fф(0 - а) = -Fф(0 + а),
где 0° < а < 180°.
Исходя из симметричного распределения ОЭМС схема течения распла-
Рис. 6. Характер поведения составляющих ОЭМС в зависимости от азимутальной координаты (а) при наличии двух электродов на подине ванны (б) при фа1 = 180°, фа2 = 270°, z = 30 мм, r = 70 мм, и схема движения расплава на поверхности ванны (в): плотный точечный заполнитель — область активного затягивания расплава в глубь ванны, редкий точечный заполнитель — область активного всплытия расплава
ва в ванне ДППТ будет также симметрична относительно плоскости (рис. 6, в), что подтверждается лабораторными экспериментами.
Выводы: создана математическая модель расчета распределения поля потенциалов, напряженности электрического и магнитного полей, а также поля ОЭМС в токопроводящей ванне ДППТ с одним и двумя подовыми электродами при различных токах, протекающих через них. Установлены закономерности распределения электромагнитных параметров, а также характер течения расплава. Проведено сопоставление схем течения расплава, полученных в результате обработки расчетов распределения ОЭМС, с результатами экспериментов, что позволяет говорить об адекватности созданной математической и компьютерной модели. В дальнейшем разработанную математическую модель можно применять для расчета ОЭМС с целью выявления схем движения расплава и поиска наиболее оптимальной конфигурации ванны и анодов с точки зрения эффективного перемешивания расплава и минимального размытия футеровки ванны.
Литература
[1] Результаты первого этапа освоения дугового плавильного агрегата постоянного тока нового поколения на ОАО "Курганмашзавод" /
A.В.Афонаскин, И.Д.Андреев, Н.С.Власов [и др]. // Электрометаллургия. - 2002. - №4. - С. 16-19.
[2] Ячиков, И.М. Моделирование электромагнитных процессов, протекающих в ванне расплава ДППТ. Сообщение 1 / И.М. Ячиков, И.В. Портнова // Изв. вузов. Черная металлургия. - 2005. - №7. -С. 27-29.
[3] Ячиков, И.М. Моделирование электромагнитных процессов, протекающих в ванне расплава ДППТ. Сообщение 2. Электрические характеристики ванны ДППТ с двумя подовыми электродами. Сообщение 2 / И.М. Ячиков, И.В. Портнова, В.Н. Манагаров // Изв. вуз. Черная металлургия. - 2006. - №11. - С. 23-26.
[4] Ячиков И.М. Моделирование электромагнитных процессов, протекающих в ванне расплава ДППТ. Сообщение 3. Особенности распределения напряженности электрического и магнитного полей при наличии одного или двух подовых электродов / И.М. Ячиков, Ю.Н.Смолин,
B.Н. Манагаров, И.В. Портнова // Изв. вуз. Черная металлургия. -2008. - №3. - С. 29-33.
[5] Ячиков, И.М., Портнова, И.В., Манагаров, В.Н. Электромагнитные процессы в ванне дуговой печи: пакет программ. №ГР 50200501270. зарег. 31.08.2005.
[6] Моделирование электровихревых течений в ванне дуговой печи постоянного тока / И.М. Ячиков, О.И. Карандаева, Т.П. Ларина [и др.] -Магнитогорск: МГТУ, 2008. - 234 с.
Поступила в редакцию 29/ VIII/2008; в окончательном варианте — 29/^11/2008.
MODELING OF VOLUMETRIC ELECTROMAGNETIC FORCES IN THE BATH MELT AT DC ARC FURNACE
© 2008 I.M.Yachikov? V.N. Managarov4
The paper deals with a mathematical and computer model for calculating the distribution of tension electric and magnetic fields, as well as volumetric electromagnetic forces in the bath melt at DC arc furnace with two or one bottom electrodes with different currents flows through it. The laws of distribution of electromagnetic parameters, as well as the flow pattern of liquid melt are found.
Keywords and phrases: initial boundary-value problem, linear approximation, viscosity, compressibility, stratified fluid.
Paper received 29/VIII/2008. Paper accepted 29/VIII/2008.
3Yachikov Igor Mihailovich (jachikov@mail.ru), Dept. of Computer Engineering and Applied Mathematics, G.I. Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, 455000, Russia.
4Managarov Vladimir Nikolaevich (vladmng@gmail.com), Dept. of Computer Engineering and Applied Mathematics, G.I. Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, 455000, Russia.
