Определение электромагнитных сил в шлаковой ванне с несоосно расположенным электродом методами математического моделирования Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1 ' 2009. ^Информатика. Телекоммуникации. Управление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. I а.шикни Е. Б. Не исключено, что нас ждет пессимистический сценарий развития Интернета // Интернет-маркетинг. 2007. № 1(37). С. 10-25.

2. Дс.ншмн Л. Л., Засурскин И. И. Состояние российского Интернета на сегодняшний день // Маркетинг в России и за рубежом. 2003. № 2. С. 80-86.

3. Количество российских пользователей интернета выросло в 2007 году на 29%. http://a-ib.ru/ node/5

4. Юрииа Э. А., Делицын Л. Л. "Эпидемиологические" модели распространения мобильной связи и Интернета в России / Интернет-маркетинг. 2008. .М-1 (43). С.2-15.

5. Mahajan V. "New-product diffusion models: from theory to practice". International series in quantitative marketing. 2000. Vol. 11. P. 3-26.

6. Вентцель E. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

7. Делицмн Л. Л. Кумулятивные кривые охвата и проблема динамики аудитории российского Интернета // Интернет-Маркетинг. 2008. № 5. С. 280-292.

8. Jupiter Communications. Accurate web site visitor measurement crippled by cookie blocking and deletion. Jupiter research finds // http://www.jupitermedia. com/corporate/releases/05.03.14-newj u prescarch. htm 1

9. Кепман M. АИБ ищет россиян среди кукисов // http://telnews.ru/Mihail_Kepman/c37571

H.A. Игизьянова, В.И. Потапов Определение электромагнитных сил

в шлаковой ванне с несоосно расположенным электродом методами математического моделирования

Работа посвящена созданию математической модели электромагнитных и тепловых процессов, происходящих при электрошлаковом переплаве (ЭШП) в печи ЭШП. которая представляет собой установку по переплаву металлов для получения высококачественных сталей и сплавов (рис. 1).

При этом процедура ЭШП определяется совокупностью теплофизических, химических, электродинамических и других процессов. Следовательно, исследование и управление столь сложным процессом невозможны без применения современных методов информационно-математических. а также вычислительных технологий.

В одном агрегате (печи ЭШП) осуществляется вся технология получения качественного металла (плавление, рафинирование, направленная кристаллизация) в отливке сложной формы. При разработке математической модели генерации электромагнитных сил. тепловой энергии во всех зонах печи была принята цилиндрическая система координат (г. ф. г).

А t

Ч- *-тг -1

Рис. 1. Схема установки по переплаву металлов

На первом этапе математическая модель взаимодействия исследуемой системы (шлаковой ванны) с электромагнитными полями представляет собой алгоритмическую структуру дифференциальных электромагнитных уравнений для стационарного процесса ЭШП, основой которых являются уравнения Максвелла для электромагнитного поля [1]:

Д(У = 0: Е = -VI/; ,/' = а£: АА = -у"; Я = гоЫ; /= х Я;

АГ (1)

гк /=1

дА

гоЫ = /; Л\\Н = 0; го1£ = —; &\\Е = 0,(2)

д1

где и, Е— потенциал и напряженность электрического поля: /— плотность электрического тока; а — удельная электропроводность: А. Н — векторный потенциал и напряженность магнитного поля;цц магнитная постоянная; / — объемная электромагнитная сила (ОЭМС): Д7" — среднеинтегральная разность температур; / — время.

В предположениях об изотропности проводимости и отсутствии намагниченности жидкости для сред с ионной проводимостью задача описания электромагнитных явлений состоит в определении потенциала электрического поля V по уравнению А £7 = 0.

Граничные условия были приняты в виде

ди

— = 0 (0 < <р < 2я);

дп

|приг€[0,гэ] и фб|0,2я| и = /&,;

[приге[гэ,Л| и <ре[0,2л] и = 0 ~ на поверхности шлаковой ванны:

д С/ /

— |э= —- (0 < ф < 2л) — скорость измене-

дг а

ння потенциала на поверхности электрода;

дИ

-= 0 (0 < ф < 2л) — скорость изменения

дг

потенциала на свободной поверхности с] шлаковой ванны.

где п — нормаль к боковой поверхности ванны; гу Я — радиусы электрода и кристаллизатора соответственно; / — сила постоянного тока; — сопротивление тока в электроде; / — плотность тока на пятне электрода.

Граничные условия для векторного магнитного потенциала и напряженности магнитного поля формулировались следующим образом:

А(г, ф, г) = 0 и Я(г, ф, г) = 0 при г = /?, г = d и 0 < ф < 2л.

В работе [2] процесс электромагнитного взаимодействия при ЭШП был рассмотрен в осесимметричном варианте. На практике осевая центровка расходуемого электрода в процессе переплава может в некоторой степени нарушаться по причине температурной деформации и воздействия внешних сил. Подобная несоосность системы приводит к необходимости постановки задачи в несимметричной форме и трехмерной системе координат — с переменными г. ф. г (по радиусу, углу и высоте). Уравнение для потенциала из системы (1) примет вид

d2U 1 dU 1 дги d2U . —г + -—+ ——г +—— = 0 (3) дг2 г дг г- ду2 dz2

с соответствующими граничными условиями.

В численном решении краевой задачи был применен метод конечных разностей. При этом шлаковая зона аппроксимировалась разностной сеткой с шагами г = 0.015 м, ф = = л/4. г = 0.005 м. Таким образом, в численном эксперименте число узлов разбиения по радиусу было равно 18. по высоте — 11. по углу — 8. В общем случае число узлов зависит от величин шагов разбиения по соответствующим координатам. Дифференциальная задача определялась в области 5, которая задана следующими условиями: 0 </< Л. 0 < ф < 2л. 0.95 < г <1.

Предположим, что решение Щг, ф, :) в области 5 существует и единственно. Нахождение его по методу конечных разностей предполагает переход от исходной непрерывной задачи к разностной дискретной схеме. Для этого область 5 мы заменили разностной сеткой с узлами. Функции, определенные в узлах, называются сеточными.

Таким образом, исходная дифференциальная задача(3)сведена к разностной:

угА-гиг+игЛ ; \ игЛ-иГ | (

h; г 21,г

v * и\

с граничными условиями также в разностной форме:

U(rt, ...,/?. 0.....2л, -J = 0:

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2009. ^Информатика. Телекоммуникации. Управление

U{r,.....R. 0.....2я, zd)~

-----X

hz

-U(r,,.... R. О, .... 2я,Zd~hz) п.

х-— U 1

hz

U(0,..., гз,..., 2гс, О) = /Л; i/(0....,/-v0.....2л, г )-

-----X

К

rU(о.....Г,....,0.....2в, Zd-hz) j,

h.

U( R,y>,z)-U(R -hr,<p.z)

0,

или. в операторном виде,

Щ =/„■ (4)

При замене дифференциальной задачи разностной неизменно появляется погрешность аппроксимации 6Л = /А. Для оценки ве-

личины 5Л мы использовали наиболее простую норму метрики \иг = тахШг ф, и оценили

/•.ф.г 1

8а как

д4и

Иг

Ч

х—max 12

Br4

a4i/

6(л-1)

-max

а3 и 1

дг3

cr

' 12

-max

d4U

дГ

Мы показали, что конечно-разностная схема действительно аппроксимирует дифференциальную задачу на ее точном решении Щг, Ф, г), обладающем ограниченными третьими и четвертыми производными по Аг. А , А.. При этом имеет место второй порядок относительно

этих величин. Краевые условия и правая часть дифференциальной задачи не влияют на величину невязки.

В работе [3] была доказана устойчивость

А.2

полученной разностной схемы для 0<^-<1

Иг

А? с

и 0<-^-<1 . Если эти условия выполнены, то

К

при Аг 0. Лр —> 0 и Ая -> 0 ошибки при счете не возрастают с увеличением числа шагов вдоль осей Ог. Оф и Ог. Более того, при уменьшении Лг, А , А решение разностной задачи приближается к точному решению исходной задачи. Разностные аналоги других дифференциальных уравнений и граничных условий, образующих поставленную задачу, аналогичны вышеприведенным. что позволяет решать их аналогичным способом.

Параметры ЭШП нами приняты близкими к реально действующему технологическому процессу переплава: постоянный ток переплава — 2 кА. сопротивление электрода — 1 мкОм, диаметры электрода кристаллизатора — 0.3 и 0.52 м.

Для вычисления распределения электромагнитных сил при несоосном расположении электрода было сделано его виртуальное смещение относительно начала декартовой системы координат на 0.01 м по оси х и на 0,02 м вдоль оси у. Согласно заданному алгоритму компьютерная программа произвела перерасчет данных смещения из декартовых координат в цилиндрические согласно формулам перехода.

7Е+22

Слой 10 6Е+22

А 5Е+22

/ \ 4Е+22

/ \ ЗЕ+22

/ \ 2Е+22

СлОЙ£/\,\ 1Е+22

СролЖ -. М}^ 7 , , ^

0,255 0,120 0,015 0,150 г, М

Рис. 2. Радиальные распределения амплитуды объемных электромагнитных сил для четырех слоев разбиения в вертикальном сечении шлаковой ванны при ф = 45° (слои 7-10).

400

i 350 i

300 А

250

200

150

•А А \

/ ш \ \

—i-1 ■'—i— i V i \

u j v -1-!-1-1-1-1-1-ffc! ! ! 1

i

0,26 0,20 0,14 0,08 0,02 0,05 0,11 0,17 г, м

Рис. 3. Радиальное распределение среднеинтегральной разности температур в шлаковой ванне для пятого слоя разбиения

Граничные условия были изменены в соответствии с новым положением торца электрода на поверхности шлаковой ванны. Далее программа по заданному алгоритму осуществила расчет основных электромагнитных характеристик процесса ЭШП. в том числе, расчет объемных электромагнитных сил. влияние которых на данный процесс особенно ощутимо при несоосном расположении электрода. Некоторые из полученных результатов приведены на рис. 2 и 3.

В частности, на рис. 2 приведены значения ОЭМС в вергикальном сечении шлаковой ванны при ф = 45°. которое проходит через пятно электрода на поверхности шлаковой ванны. Заметен явный сдвиг максимальных амплитуд ОЭМС в сторону, противоположную смещению пятна электрода, что. впрочем, и ожидалось в несоос-ной постановке задачи. При этом в окрестности пятна тоже наблюдаются ненулевые значения ОЭМС, но они по модулю на несколько порядков меньше экстремальных. Именно поэтому такие величины кажутся близкими к нулю и, очевидно, не оказывают существенного влияния на положение шлаковой ванны. Однако стоит

отметить, что их влияние на соответствующий участок все же распространяется.

Вдоль вертикального осевого сечения под углом 135еС к оси радиусов распределение электромагнитных сил по слоям, на первый взгляд, имеет точно такой же характер. Однако при детальном изучении результатов расчетов выясняется. что в этом случае значения ОЭМС все же меньше, что обусловлено удалением границ электрода от стенок кристаллизатора.

Интересно, что тенденция смещения прослеживается только в распределении магнитных характеристик поля вдоль диаметра, чего нельзя сказать в отношении его электрических и температурных характеристик (рис. 3).

В результате проведенных исследований получена математическая модель распределения ОЭМС и температур в шлаковой ванне при несоосном расположении электрода. Произведена оценка этих характеристик, которая послужит основой для контроля и центровки расходуемого электрода, управления сложным процессом ЭШП на постоянном токе и получения в итоге качественного металла.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Л ифипш ü.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 2001. 656 с.

2.1 lo i ¿шоп В.И. Электродинамические процессы при ЭШП на постоянном токе и их математическое моделирование / В.И. Потапов. H.A. Игизьянова, И.В. Чуманов. Д. А. Пятыгин // Современные проблемы электрометаллургии стали: Мат. XIII Между-нар. конф. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. 2007. 216 с.

3. Игизьянова H.A., Потапов В.И. Об устойчивости конечноразностной схемы уравнений магнитной гидродинамики в электрошлаковом переплаве // Создание и внедрение корпоративных информационных систем (КИС) на промышленных предприятиях России: Сб. тр. Междунар. науч.-техн. конф. Вып. 2 Магнитогорск: ИПЦООО Профпринт, 2007. С. 263-268.