CC BY
42
H (1)( *, y, t0 ) = H 0 ( *, y ),
H(й+1)(*,y,tn) = H(n)(*,y,tn), n = 1,...,tf-1.
Член вида div(k (tn ) является при такой линеаризации известной функцией правой
части; граничные условия (5)-(11) предполагаются выполненными для всех промежутков времени
tn < t < tn+1 ,n = 0\,...,N -1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Леонтьев, И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. - М.: Геос., 2001. - 272 с.
2. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А., Шретер, С.А. Сравнение вычислительных эффективно-стей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2015. - Т. 16. - № 3. - С. 328338.
3. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А., Шретер, С.А. Сравнение трудоемкостей численной реализации явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / Известия ЮФУ. Технические науки. 2014. - № 12 (161). - С. 210-219.
4. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов / Математическое моделирование. 2013. - Т. 25. - № 12. - С. 65-82.
5. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs/ Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Т. 6. - № 4. - P. 351-363.
УДК 551.594
К.М. Рафаелян
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ С УЧЕТОМ ПЕРЕНОСА РАДИОАКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ
Аннотация. В работе построена нестационарная электродинамическая модель атмосферного турбулентного приземного слоя с учетом переноса радиоактивных веществ. Получены пространственно-временные распределения электродинамических характеристик в зависимости от степени турбулентного перемешивания, степени ионизации воздуха, напряженности электрического поля у поверхности земли.
Ключевые слова: приземный слой; ионы; турбулентное перемешивание; электродный эффект; электрическое поле; радиоактивность.
K.M. Rafaelyan
MATHEMATICAL MODELING OF ELECTRICAL PROCESSES IN THE ATMOSPHERIC SURFACE LAYER IN VIEW OF TRANSFER RADIOACTIVE SUBSTANCES
Abstract. The non-stationary electrodynamic model of the atmosphere turbulence surface layer in view of the transfer of radioactive substances. The spatio-temporal distributions of electrodynamic characteristics in dependence of turbulent mixing scale, air ionization rate, electric field near surface.
Key word: surface layer; ions; turbulent mixing; electrode effect; electric field; Radioactivity.
В общем случае математическая модель электрической структуры турбулентного приземного слоя в условиях незагрязненной атмосферы имеет вид [1 - 2]:
dni2, д/, дп ]
— ±— (¿>12'n,2'E)--DT(z)--— = q(z 1-е
dt dzV 1,2 1,2 ' dz T dz 4 w
v ,
I z |-an1n2,
Ж e , ,
^- = —(ni -n2). (!)
dz e0
Начальные и граничные условия задаются в виде:
"1 (2,* )|,=п = п2 (2, *)|,=п -
(2 - 2п) л
1 - е
Е (*)|,=<> = ЕП' П1 (2 *)|2=2 = П2 (2, *)|2
= п,
П1 (*)|2 = , = П2 (2 *)|2 = ; =№ , Е (^ * )\
= Е
где п12 - объемная концентрация легких ионов (аэроионов), Ь12 - их подвижность, Е - напряженность электрического поля, DT (2) - коэффициент турбулентной диффузии легких ионов, q (2) -интенсивность ионообразования, а - коэффициент рекомбинации аэроионов, Еп- значение напряженности электрического поля у поверхности земли, Lп - характерная толщина турбулентного электродного слоя, 2п - параметр шероховатости земной поверхности, I - верхняя граница электродного слоя.
При моделировании параметры системы (1) принимают следующе значения: Ь1 = 1,2 1П 4 м2В-1с-1, Ь2 = 1,4-1П-4 м2В-1с-1, а = 1,6-1П-12 м3с-1, Еп =-100 Вм-1, 2п = 2,5-1П-3 м, е = 1,6-1П-19 Кл, еп = 8,85 -Ш-12 Ф/м. Для функции интенсивности ионообразования q использовалось представление q(2) = + qпe /п'423м-3с-1 в соответствии с работой [1]. Коэффициент турбулентной диффузии задавался в виде: т>т (2) = Д 2, что соответствует нейтральной стратификации приземного слоя атмосферы.
Система уравнений, описывающих электродинамическую модель горизонтально-однородного турбулентного приземного слоя атмосферы с учетом аэрозольных частиц и радиоактивных веществ антропогенного происхождения, имеет вид [1,3]:
3п 3 3 I 3п Л
+ Ь1 —(Еп)-—I Dт (7^ I = q(z)+ql(z)-а П1П2 -
3п.
3
3
37
37
3п
-Ь^(ЕП2)—I Dт (7| = q(z)+q1(z)-а пА -ВШ
(3)
3Е е , ч
& = Г'(П1- п2),
где N - концентрации аэрозольных частиц, q - фоновая интенсивность ионообразования, вызванная естественными источниками (галактические космические лучи, поверхностные радиоактивные источники), q1 - искусственная ионизация, обусловленная антропогенными процессами.
Начальные и граничные условия формулируются в виде [1,3]: для легких ионов:
п1а(Г = П) =
-BN + ((BN )2 + 4aq)ь
(
2а
(2-2п) Л
1-е
"1,2 (2 = ¿п) = П, "1,2 (2 = I) =
для электрического поля:
- BN + (^ )2 + 4аq) 2а
/ 1/2
= П) = Вк
(
3^2) -2
\
= п, щ>(2 = I) = Вк, Е(* = П) = Еп, Е( 2 = 2п) = Еп.
(4)
(5)
Таким образом, система уравнений (3) с учетом начальных и граничных условий (4) и (5) представляет собой корректно поставленную задачу и может использоваться для моделирования электродинамической структуры приземного слоя в условиях аэрозольного и радиоактивного загрязнений атмосферы, если определить функцию q1(z) из системы уравнений (3).
Для этого к системе уравнений (3) добавляется уравнение, описывающее распределение концентрации радиоактивных веществ в приземном слое атмосферы, обусловленных антропогенными процессами:
? 41 Вт (7)3?!=
«3
31 37
Начальные и граничные условия задаются в виде:
I
22
2
L
22
37п
( 2 - 2о)
= бо •« 21 = 20 = бо> 61=,=0
где 6 - концентрация радиоактивных веществ, К1 =--постоянная полураспада, величина об-
т1
Е
ратная к периоду полураспада, q1 = —— 6 - связь интенсивности источника радиоактивных ве-
атц
ществ с концентрацией радиоактивных веществ, Е1 - энергия альфа-частиц для соответствующего радиоактивного элемента, а - энергия, необходимая для образования одной пары ионов из молекул воздуха.
Значения параметров модели: 60 = 40 Бк/м3 или 60 = 40 • 0,2 106 п.и./м3с; Е1 = 5,49 МэВ -энергия альфа-частиц для радона; а = 33 Эв; т1 = 3,8 дней.
Для аппроксимации уравнений системы (3) и (6) в точке (2, ^) вводится шести точечный
шаблон. Тогда, в уравнениях систем уравнений (3) и (6) с учетом начальных и граничных условий (4), (5) и (7) заменяем непрерывные операторы на их конечно-разностные аналоги [4].
Введем произвольные действительные параметры ст1 е [0,1]. Причем, при ст1 = 0 получим явную схему, при ст1 = 1 - неявную схему и при ст1 = 1/2 - симметричную схему [4].
(еX -(6X
( (
+ СТ,
б^1
((611-(6):
1+1 Л
( (
+(1 -Ст1)
Б1
I 'V
'(6 )1+1 -(6 г
-Б1 +1
1--
2
((6 )1+1 -(611ЛЛ
V V 2 V (п1 )1+1 -(п1)1
- Б1
'(6 )1 -(6 Л
Е+1 (П1 )1+ - Е-+1 (П1 1
2h
Б1 +;
1+-
+к -(6 )1+1)+
+к-(6 )1 ) = ^+1 +(1 ) 411. (п1 )1++11 -(п1)1
-Б1+11
(/ \1+1 / V+1Л Л (п1-(п1 ),-1
+ «•(П1 )Г •(П2)1+1 +(п)1+1 • ВЫ) +
+ (1 -СТ1)
¿1
Е+ (П1 )1+1 - Е-1 (п 1
2h
( ( Б 1
(п1 )1+1 -(п1)1
-Б 1
Г( п1)1-( п1Л
+«•( П1 )1 •( П2 )1 +(П1 )1 • ВЫ ) = СТ1 ( 41+1 + 411+1 ) + (1 -Ст1)( 41 + ),
Е1+1 - Е£ _ е(, ,1+1
И
(( П1 )Г -( П2 )Г ).
(8)
Для приближенного решения всех уравнений системы (8), кроме последнего, применяется схема предиктор-корректор второго порядка точности [4]. Для решения последнего уравнений применялся метод «бегущего счета».
В работе [3] доказывается, что поскольку на главной диагонали стоят коэффициенты больше нуля, оператор положительно определенный. Разностная схема с несамосопряженным, положительно определенным оператором А является абсолютно устойчивой ко входным данным при ст1 > 0,5 . В работах [3,4] также доказывается общая устойчивость схемы предиктор-корректор.
Трехдиагональный вид полученной системы линейных алгебраических уравнений и выполнение условия диагонального преобладания позволяет решать их методом прогонки [4].
В качестве параметров моделирования выбираем значение шага дискретизации по пространству И1 = 0,1 м и шага по времени т = 0,1 с.
Результаты численного эксперимента приведены на рисунках 1 - 2.
2
И
т
2
2
И
И
1 +
ь
2
И
т
2
2
И
2
+
2
2
И
И
2
2
б, Бк/м3
Рис. 1. Пространственные профиль концентрации радиоактивных веществ антропогенного происхождения
-Е,В/м -Е,В/м
95 100
,, ■ 10' ионов! мъ
-Е,В/м 100 150
1 2 3
ЛГ^-иЛ ионов/и1
б
1 2
ионов/м'
в
а
Рис. 2. Электрическая структура приземного слоя при сильной ионизации и слабом турбулентном перемешивании:
a - N = 108 м-3; б - N = 109 м-3; е - N = 1010 м-3
Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ [1] и [3].
Вывод. Построена математическая модель переноса радиоактивных примесей в приземном слое атмосферы. Полученные результаты согласуются с известными. Построенная модель может использоваться для моделирования электрической структуры приземного слоя в условиях радиоактивного и аэрозольного загрязнений атмосферы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Морозов, В.Н., Куповых, Г.В. Теория электрических явлений в атмосфере: монография. Saarbruken: Lambert Academic Publishing, 2012. - 332 с.
2. Куповых, Г.В. Электродинамические процессы в приземном слое атмосферы. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. - 114 с.
3. Редин, А.А., Куповых, Г.В., Клово, А.Г., Болдырев, А.С. Математическое моделирование электродинамических процессов в приземном слое в условиях аэрозольного загрязнения атмосферы // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск "Актуальные задачи математического моделирования". 2011. - № 8 (121). - С. 111-121.
4. Самарский, А.А., Гулин, А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. - 316 с.
УДК 516.9 ББК 22.151
А.С. Рыпалов
АППРОКСИМАЦИЯ 3-Й КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СХЕМАМИ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТА ВЕЩЕСТВ
Аннотация. Работа посвящена исследованию аппроксимации 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности. Получены аппроксимации оператора конвективного и диффузионного переноса разностной схемой, обладающей четвертым порядком погрешности аппроксимации. Был рассмотрен дискретный оператор диффузионного переноса в случае отсутствия влияния границы области. Было установлено, что построенная схема повышенного порядка точности аппроксимирует оператор диффузионного переноса в приграничных узлах в случае граничных условий третьего рода со вторым порядком точности.
Ключевые слова: схемы повышенного порядка точности, диффузия, диффузионный перенос, дискретный оператор, аппроксимация, граничные условия, краевая задача, разностная схема.
A.S. Rypalov
APPROXIMATION OF THE THIRD BOUNDARY VALUE PROBLEM OF SCHEMES OF HIGHER ORDER ACCURACY FOR SOLVING THE PROBLEM OF TRANSPORT
MATERIALS
Annotation. The work deals with the approximation of the third boundary value problem of schemes of high order. Obtain an approximation of the operator of the convective and diffusive transport difference scheme, which has the fourth-order approximation error. He was considered a discrete operator diffusive transport in the absence of the influence of the boundary. It was found that the construction of schemes of higher order accuracy approximates the operator diffusive transport in the border nodes in the case of boundary conditions of the third kind with the second order of accuracy.
Key words: schemes of high order, diffusion, diffusion transfer, discrete operator, approximation, boundary conditions, boundary value problem, finite-difference scheme.
Задача транспорта веществ может быть представлена уравнением диффузии-конвекции-реакции [1, 2]:
c't + uc'x + vc; = (^cx)'x )' ; + f,
с граничными условиями:
