Математическое моделирование электрической структуры приземного слоя атмосферы в условиях аэрозольного загрязнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что при решении обратной задачи происходит локализации области, где предположительно изначально было распределено загрязняющее вещество (локализация предположительной области выброса загрязняющих веществ). Следует отметить, что точность восстановления исходной концентрации загрязняющих веществ зависит от структуры течения и расчетного временного интервала, а также значения регуляризи-рующего параметра [9-10].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дегтярева, Е.Е., Чистяков, А.Е. Моделирование транспорта наносов по данным экспериментальных исследований в Азовском море // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. № 2 (127). - С. 112-118.

2. Сухинов, А.И., Дегтярева, Е.Е., Чистяков, А.Е. Математическое моделирование транспорта донных отложений с учетом гидродинамических процессов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. № 6 (131). -С. 57-62.

3. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. - № 12.- С. 65-82.

4. Сухинов, А. И., Чистяков, А. Е., Проценко, Е. А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование . - 2014. - Т. 15. - № 4. - 610-620.

5. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно- треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 1. - С. 3-20.

6. Никитина, А.В., Чистяков, А.Е., Фоменко, Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т.20 .- № 2. - С. 335-339.

7. Дегтярева, Е.Е., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т. 23. - № 42 (23). - С. 30.

8. Кажаров, Х.А., Ляпунова, И.А. Анализ эффективности параллельного алгоритма для одной модели таксиса// NovaInfo.Ru. - 2015. - Т. 1. - № 34. - С. 1-4.

9. Сухинов, А.И., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е., Шретер, С.А. Сравнение вычислительных эффективно-стей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т 16. - № 3. - С. 328-338.

10. Лапин, Д.В., Чистяков, А.Е., Сухинов, А.А. Численное решение прямых и обратных задач диффузии-конвекции на многопроцессорных системах для прогноза и ретроспективного анализа водных экосистем // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014. - № 12 (161). - С. 230 - 242.

УДК 551.594

Л.А. Николаева

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ АТМОСФЕРЫ В УСЛОВИЯХ АЭРОЗОЛЬНОГО ЗАГРЯЗНЕНИЯ

Аннотация. В работе построена нестационарная электродинамическая модель атмосферного турбулентного приземного слоя с учетом многократно заряженных аэрозольных частиц. Получены пространственно-временные распределения электродинамических характеристик в зависимости от концентрации аэрозольных частиц, степени турбулентного перемешивания, степени ионизации воздуха, напряженности электрического поля у поверхности земли, размера аэрозольных частиц, количества зарядов на аэрозольной частице.

Ключевые слова: приземный слой; аэрозоль; ионы; турбулентное перемешивание; электродный эффект; электрическое поле.

L.A. Nikolaeva

MATHEMATICAL MODELING OF THE ELECTRODYNAMIC PROCESSES IN THE SURFACE LAYER WITH AEROSOL PARTICLES

Abstrakt. The non-stationary electrodynamic model of the atmosphere turbulence surface layer with multi-charged aerosol particles is developed in this work. The spatio-temporal distributions of electrodynamic characteristics in dependence of aerosol particles concentration, turbulent mixing scale, air ionization rate, electric field near surface aerosol particles size, number of charges on the aerosol particles were calculated.

Key word: surface layer; aerosol; ions; turbulent mixing; electrode effect; electric field.

Для исследования электродинамической структуры приземного слоя атмосферы применяются различные математические модели, позволяющие получать пространственно-временные распределения атмосферно-электрических параметров [1,2].

В случае аэрозольного загрязнения атмосферы используется следующая система уравнений [1, 2, 3]:

m m

N0+Z Nf '+Z N?) = N=const,

dN(k) __d_ d dz

dN(k) d

(

% ( z,t)

dN(k) dz

dt dz

dn, —1 + dt -(b dz

dn2 ~dT -0 dz

dE = dz £0 (

v

r / ч dN2k)

% (z,t)-dN"

_d_ dz

= «1^1(1k_1)N1(k_1) _пр)N(k) + np+1)Njk+1) _n^fN®,

= n2P2(2k_1)N(2k_1) _n2P2(2k)N2k) + n1P1(2k+1)N2k+1) _n1P1(2k)N2k),

dn1 dz

dn,,

dz

k=0 m _1

~(b2En2)_dz|DT (z,t| = q(z,t)-a n^ _»2£H^Nf _»2£P»

(1)

Первое уравнение системы (1) - условие равновесия для тяжелых ионов; второе и третье -уравнения переноса положительных и отрицательных тяжелых ионов; четвертое и пятое - иониза-ционно-рекомбинационные уравнения для легких ионов; шестое - уравнение для напряжённости электрического поля.

Влияние ионизации вблизи земной поверхности на электрическую структуру приземного слоя учитывается функцией интенсивности ионообразования, построенной на основе экспериментальных данных [1]:

д(г) = (д + Чйе ^)-106 м-3 с-1, (2)

где д1 определяется космическим излучением, а д0 определяется действием радиоактивных эма-наций, основную роль в которых играет радон и продукты его распада.

Коэффициенты турбулентного переноса для случая нейтральной стратификации приземного слоя могут быть представлены в виде:

Вт (г) = Д7, х(г, t)= В,7,, (3)

где В12 - множители в коэффициентах турбулентной диффузии для легких ионов и тяжелых ионов соответственно.

Основные параметры, входящие в систему (1), приведены в таблице 1.

Основные параметры уравнений системы

Таблица 1

n

n

T

2

+

n

2

Параметры Название Характерные значения

E напряженность электрического поля ~ 102 В м-1

b1,2 подвижность положительных и отрицательных легких ионов соответственно 1,2 -10_4 м2В'1 с'1

1,4 -10_4 м2В'1 с'1

р) коэффициенты взаимодействия легких ионов с k раз заряженными аэрозольными частицами Приведены в работе [4]

a коэффициент рекомбинации легких ионов 1,6 -10_12 mV

e элементарный заряд 1,6-10_19 Кл

S0 электрическая постоянная 8,85 -10_12 Ф/м

N общая концентрация аэрозольных частиц ~ (108 -1010) м-

к число элементарных зарядов на аэрозольной частице 1-5

т максимально возможное число элементарных зарядов на аэрозольной частице 1-5

«1,2 объемные концентрации положительных и отрицательных легких ионов соответственно

N0,№£),^к) объемная концентрация нейтральных (^0) = ^ = N1,), положительных и отрицательных тяжелых ионов соответственно

0Т (г, t) коэффициент турбулентной диффузии легких ионов

Х( г, () коэффициент турбулентной диффузии тяжелых ионов

Я (г, 1) интенсивность ионообразования

Система уравнений (1) решалась численно при соответствующих начальных и граничных

условиях:

для легких ионов:

«12^ = 0) =

-BN + ((ВЖ )2 + 4aq)h

2а

(г - 20 ) Л

1 - е

(4)

Пц(г = го) = 0, пхг(г = I) =

- BN + ((BN )2 + 4aq)1'

для тяжелых ионов и электрического поля:

2а

N1^ = 0) = Вк, = 0,

дг

(5)

N£4 г = I) = Вк,

= 0) = £0, Е( г = = Е0,

где L0 =1 м - характерный масштаб электродного слоя, г0 = 2,5 -10-3 м - параметр шероховатости земной поверхности, I - верхняя граница электродного слоя, т. е. высота, на которой выполняют-

дщ дщ М,(к> ся следующие условия:--> 0,--> 0,-

дг дг дг

м2к) 0, 2

дг

0, Вк - параметр, зависящий от коэф-

фициентов взаимодействия легких ионов и к раз заряженных тяжелых ионов. При выводе граничных условий учтено, что щ (7 = I) = п2 (7 = I) = п. Асимптотические условия для тяжелых и легких

ионов получены из стационарных решений соответствующих уравнений системы (1).

Предположим, что радиусы аэрозольных частиц не превышают 0,5 мкм. Это одновременно предполагает и то, что можно пренебречь скоростями седиментации и считать коэффициенты обмена для легких ионов и тяжелых ионов равными (D2 = D1) [1 - 3].

Таким образом, система уравнений (1) с учетом начальных и граничных условий (4) и (5) представляет собой корректно поставленную задачу и может использоваться для моделирования электродинамической структуры приземного слоя в условиях аэрозольного загрязнения атмосферы.

Для построения разностных схем введем равномерную сетку в области изменения независимых переменных:

ткт = тк хюг = 121 =' • и, tj = у -т, 1 = 0..Ы2,у = 0..N,И • Ы2 = I, Ыт -т = т

где 1,у - индексы по направлениям г,? соответственно; И,т - шаги по направлениям г,? соответственно; , Ыт - количество узлов сетки по направлениям г, ? соответственно; I, Т - толщина электродного слоя и время протекания электродинамических процессов соответственно.

Для аппроксимации уравнений системы (1) в точке (г, ^) вводится шеститочечный шаблон. Тогда в уравнениях системы (1) с учетом начальных и граничных условий (2) - (3) заменяем непрерывные операторы на их конечно-разностные аналоги [5].

L

' г=г.

Введем произвольные действительные параметры о1 е [0,1]. Причем при о1 = 0 получим явную схему, при о1 = 1 - неявную схему и при о1 = 1/2 - симметричную схему [5].

Тогда от непрерывного вида задачи (1) переходим к дискретному, который в индексной форме записывается следующим образом [3]:

(N0)/+1 + £ (Ж®)/+1 + £ (Ж®)/+1 = N=const,

(^))/+1 -());

( {

+о

(,

хп1

г +—

2

V V V

(^) / -(^))

/+1А

+02(*) •())/+1 •(«2)/+1 ) + (1 -01)

(

к2

(

-хЧ

г — 2

(N1*) /-(^) та АА

h2

1

(^))г+-(^))

//

V V V

X* 1

'( Ní*))/-( N1*) ^ А

h2

//

+02*) •(N1*))/ •(«)/) = 01 •(ДГ •(N2*-1))/+1 •(«/ ) + (1 -01)• (01(*-1) •(N1*-1))/ • («)/),

(«1 )/+1 -(«1 X

+ о

Г — -+1 ( ((«1 / -(«1 / А

Е+1 («1 / - Е-+1 («1 /

2к

DJ +1

-D/+11

(/ /1 г У+1АА

( «1 )г -( «1 )г-1

•( «1 / ^ )/+1 +(«1 )/+1 • •( N1*) )/+1 +(«1 )/+1 •Л 0* •( N2*) /)

//

+ (1 -01)

Ь1

Щ+1 («1 )/+1 - Щ-1 («1 )/-1

2к

(

1

(«1 )/+1 -(«1X

^ 1

Г( «1)/-(«1А

к

+

+а •( п.

//

(«1)/ •( «2)/ +(«1)/ • £ ) •( N1*))/ +(«1)/ • £ 01*) •( N2*))/ ) = о19/+1 +(1 -01) ч/

Е+1 - Е£ е 1( п^/+1

к

(( «1)/+1 -( «2)/+1 +1 * ( N1*))/+1 -1 * ( N2*))/+1).

(8)

Для приближенного решения второго - пятого уравнений системы (8) применяется схема предиктор-корректор второго порядка точности [1].

В работе [5] доказывается, что, поскольку на главной диагонали стоят коэффициенты больше нуля, оператор положительно определенный. Разностная схема с несамосопряженным, положительно определенным оператором А является абсолютно устойчивой ко входным данным при о > 0,5. В работе [5] также доказывается общая устойчивость схемы предиктор-корректор.

Трехдиагональный вид полученной системы линейных алгебраических уравнений и выполнение условия диагонального преобладания позволяет решать их методом прогонки [5].

В качестве параметров моделирования выбираем значение шага дискретизации по расстоянию к = 0,1 м и шага по времени т = 0,1 с.

Результаты моделирования показали (Рисунок 1), что наличие аэрозольных частиц в приземном слое атмосферы приводит к уменьшению толщины электродного слоя и увеличению времени установления стационарного режима, при этом наблюдается уменьшение электродного эффекта во всем электродном слое приблизительно на 10% и масштаба распределения объемных концентраций легких ионов в 2 раза. Однако в несколько раз увеличивается масштаб распределения объемных концентраций тяжелых ионов. Значения плотности тока проводимости и плотности объемного заряда уменьшаются в несколько раз.

+

т

+

2

к

2

2

2

к

т

2

+

2

к

г-

2

2

к

2

2

-Е,В/м

40 60 80 100

Е

v

\ / »1

\ /

N У

А

к // \

1 2 N12,nll -109, ионовIм3

б

Рис. 1. Электрическая структура приземного слоя при слабой ионизации и слабом турбулентном перемешивании (а - N = 108 м-3; б - N = 1010 м-3)

а

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Морозов, В.Н., Куповых, Г.В. Теория электрических явлений в атмосфере: Монография. - Saarbruken: Lambert Academic Publishing, 2012. - 332 с.

2. Куповых, Г.В. Электродинамические процессы в приземном слое атмосферы. - Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2009. - 114 с.

3. Редин, А.А., Куповых, Г.В., Клово, А.Г., Болдырев, А.С. Математическое моделирование электродинамических процессов в приземном слое в условиях аэрозольного загрязнения атмосферы // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск "Актуальные задачи математического моделирования". - Таганрог: ТТИ ЮФУ, - 2011. - № 8 (121). - С. 111-121.

4. Hoppel, William A. and Frick, Glendon M. Ion-Aerosol Attachment Coefficients and the Steady-State Charge Distribution on Aerosols in a Bipolar Ion Environment. Aerosol Science and Technology. - 1986. № 5 (1), p. 121.

5. Самарский, А.А., Гулин, А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. - 316 с.

УДК 519.6

С.В. Проценко, А. А. Сухинов

УТОЧНЕННАЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНАЯ ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

Аннотация. Задачи транспорта донных отложений имеют большое значение для прогнозирования рельефа дна и береговой линии в прибрежной зоне морей. Такой прогноз актуален как в задачах оценки экологического состояния прибрежных зон, так и для задач обеспечения безопасности судоходства. В экстремальных случаях задачи намыва-размыва береговых склонов, связанные с проблемами транспорта наносов, связаны с прогнозом состояния сооружений и зданий, располагающихся вблизи берега. Ранее использовались одномерные модели транспорта наносов [1], а также пространственно-двумерные модели [2], для которых не были указаны граничные условия, в случае ограниченности области по обеим осям координат. Данная работа устраняет указанный пробел и содержит корректную постановку начально-граничной задачи для двумерного уравнения транспорта наносов.

Ключевые слова: двумерное уравнение транспорта наносов, корректная постановка начально-граничной задачи.