CC BY
14
© Р.К. Халкечев, К.В. Халкечев, 2016
Р.К. Халкечев, К.В. Халкечев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ДЕФОРМИРОВАНИЮ И РАЗРУШЕНИЮ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ГЕОМАТЕРИАЛОВ В ОПЫТАХ НАД МАКРООБРАЗЦАМИ ПРИ ОДНООСНОМ СЖАТИИ
Обоснована необходимость математического моделирования эксперимента по деформированию и разрушению макрообразцов поликристаллического геоматериала. Построена эта модель при проведении эксперимента на одноосное сжатие. Исследования математической модели, которые сводятся к системе уравнений в частных производных, позволили разрешить парадокс Бриджме-на, заключающегося в том, что при одноосном сжатии разрушение происходит путем распространения трещин вдоль оси сжатия, противоречащий выводам классической теории механики сплошных сред. Проведенные компьютерные исследования позволили дать исчерпывающие объяснения характеру разрушения при смазанных и несмазанных торцах испытываемых макрообразцов, и получить относительную разницу в пределах прочности. Ключевые слова: математическое моделирование, эксперимент, деформирование, разрушение, поликристаллический геоматериал, макрообразцы, одноосное сжатие.
УДК 004.9;
004.41; 51-74; 622
При проведении экспериментов по деформированию и разрушению над сложными объектами, какими являются геоматериалы, нет должного понимания и интерпретации полученных результатов. Эта связано с тем, что прочностные свойства и многие другие физико-механические свойства геоматериалов, изучают в опытах над макрообразцами. При этом к свойствам геоматериала можно отнести лишь те, которые присущи всем образцам, изготовленным из изучаемого геоматериала. Вместе с тем результаты макроопытов сложным образом зави-
сят от геометрических размеров и форм образца, способов изготовления и обработки его поверхности и условий эксперимента, что бывает трудно однозначно выделить общее, присущее всем образцам, свойство геоматериала. И поэтому становится целесообразным построение математической модели самого процесса проведения макроопытов, используя достоверные результаты экспериментальных опытов над макрообразцами, которые легко наблюдаемы. К достоверным результатам в этом случае следует отнести наблюдаемый характер разрушения, и относительную разницу величин предела прочности на одноосное сжатие при полном и пренебрежимо малом сцеплении на контактах образца с пластинами испытательной машины.
Из этих опытов известно [1, 2, 3 и др.], что характер разрушения и величины прочности на сжатие зависят от условий на контактах образца с пластинами испытательной машины. Если торцевые поверхности сжимаемых образцов находятся в состоянии полного сцепления с пластинами испытательной машины, разрушение происходит по поверхности конуса, ось которого совпадает с осью образца — «коническое» разрушение, или происходит «косое» разрушение. Установлено, что в испытаниях на одноосное сжатие «косое» и «коническое» разрушение встречается с одинаковой частотой, а иногда происходит фактически одновременно для образцов с отношением высоты к диаметру, равным двум. Для образцов с отношением высоты к диаметру, равным единице, обычно поверхность разрушения расположена по диагонали образца. Если же торцы образца тщательно смазать, тем самым обеспечив отсутствие сцепления на контактах, то образец разрушается вследствие «раскалывания» по осевой поверхности. Этот эффект носит название парадокса Бриджмена: при одноосном сжатии образец раскалывается по направлению действия нагрузки, т.е. вдоль поверхности, в которой в рамках традиционной механики однородных сплошных сред напряжения равны нулю.
По данным Г.И. Кузнецова и Б. Поля [1, 3] величина прочности на одноосное сжатие при смазанных торцах меньше, чем при несмазанных для некоторых горных пород на 30—50%. Обычно разница в прочности лежит в пределах от 10—20%, Причина такого поведения образцов не получила исчерпывающего объяснения, хотя это широко обсуждалось в литературе.
Разработаем математическую модель проведения макроопытов на одноосное сжатие при смазанных торцах образца поликристаллического геоматериала. Согласно общей схемы
применения математики построим для начала содержательную модель. Размеры образцов больше или равны размерам элементарного объема [4, 5]. При смазанных пластинах испытательной машины, между которыми зажимается образец, касательные напряжения на торцах образца, обусловленные трением, будут пренебрежимо малы, по сравнению с пределом прочности на растяжение зерен любой ориентации. Поэтому влияние границы не ощутимо при деформировании и разрушении, и как следствие при моделировании образец можно считать бесконечной средой. Поскольку образец трехмерный, режим нагружения такой, что проявляются упругие свойства, способ изготовления и обработка его поверхности не нарушает сплошности, то моделирующая среда к тому же должна быть трехмерной, упругой и сплошной. И наконец, она должна быть еще и неоднородной — при переходе через границу между зернами поликристалла упругие свойства меняются, причем это изменение происходит скачком. В свою очередь сами неоднородности обязаны быть анизотропными, так как они соответствуют зернам, упругие свойства которых отличаются по различным направлениям. На основе данной содержательной модели перейдем к математической модели.
Рассмотрим неограниченную упругую трехмерную анизотропную среду, которую назовем основной с неоднородностя-ми в эллипсоидальных областях У(х), где х(хр х2, х3) — точка среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам поликристаллических геоматериалов. Пусть С — тензор упругих модулей зерна, значения которого определены экспериментально, а С0 — постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осреднен-ным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна <С>, С0 + С1 — то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции С(х) = С0 + С1¥(х), где У(х) — характеристическая функция области, занятой неоднородностями, т.е. У(х) = 1, х е Vи У(х) = 0 при х € V. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда х е V, а значит ^х) = 1. Будем иметь в виду, что С1 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно С1 — случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через непрерывное
в0(х) внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С1 = 0 в однородной основной среде при заданных внешних силах и через в(х) — кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.
Теперь выпишем соответствующую систему уравнений:
ду[С1]Ы(х)дки1(х)] = -р(х), щ(х) ^ и0(х) , при х ^ да .
сч (х) = Сцы (х)% (х) (1)
= 1
41 = 2
Л» / / ^
дик + дщ
дх1 дхк
Она понимается в смысле обобщенных функций. Внешние силы/(.х) — не содержат сингулярности типа простого и двойного слоев в силу предположения о непрерывности внешнего поля деформаций.
Функция Грина позволяет преобразовать первое уравнение системы в интегральное уравнение. Для этого применим к обеим частям последнего оператор defG0. В результате имеем
г1 (х) + | К0и (х - х')С?1т"г1п (х')йх' =
У , (2)
= -{ К0Н (х - х'Ю^е^х'
V
где оператор К0 = -йв(О0йв( имеет ядро
К1,(Т - Г) = -[дд;С11(Г - , (3)
круглые скобки (у), (И) обозначают симметризацию по индексам у и соответственно; О° — функция Грина основной среды. Оператор является псевдодифференциальным оператором с однородным символом К0(О е 0„ . В рамках псевдодифференциальных уравнений и предположений метода самосогласованного поля система уравнений (1) допускает решение. В результате получаем общее выражение для определения поля напряжений а в неоднородности при известном внешнем поле ст0:
с = С(1 + АС1 )-1 < С(1 + АС1 )-1 >-1 а0. (4)
Для проведения компьютерного эксперимента по определению значения тензора напряжений а(ф, 0, у) при различных углах Эйлера — ф, 0, у, которые определяют ориентацию неоднородности в пространстве, (4) представим в компонентной форме:
_ = с (т + а с1 V1 < с (т + А С1 У1 а0
' к!тп Ырд рдтп' тпрд^- рдЫ рдц 'Ы ' Ы (5)
где i, j, k, I, т, = 1, 2, 3.
Тем самым, возвращаясь к исходному объекту исследования согласно указаниям заключительного этапа математического моделирования для интерпретации результатов, мы получим значения тензора напряжений ст(ф, 0, у) в зернах поликристаллических геоматериалов в зависимости от их ориентации в пространстве при известном внешнем поле напряжений. Исходными данными в данном выражении являются С(0, 0, 0) — тензор модулей упругости отдельного зерна в лабораторной системе координат и внешнее тензорное поле напряжений ст0, которое меняется от 0 до стсж — предела прочности на сжатие. Поскольку в данном случае реализуется одноосное сжатие, то в тензоре отлично от нуля только одна компонента ст33. Причем для принятого правила знаков положительные значения соответствуют напряжениям сжатия, а отрицательные — напряжениям растяжения. В результате компьютерный эксперимент показал, что процесс деформирования и разрушения образца геоматериала поликристаллической структуры при одноосном сжатии и смазанных торцах позволяет зафиксировать три стадии. На первой стадии, которую назовем стадией упругого деформирования, формируется микронеоднородное поле напряжений — в зернах различной ориентации наблюдаются разные значения напряжений. Причем некоторые из зерен наряду со сжимающими напряжениями ст33 > 0 испытывают растягивающие —сти, — ст22. Под влиянием этого сложнонапряженного состояния данная стадия сопровождается зарождением и развитием микродефектов. Характерно, что в этот «инкубационный» по разрушению период поврежденность трудно обнаружить в чисто механическом эксперименте. Завершается первая стадия тем, что под действием растягивающих напряжений — сти и —ст22, индуцированных внешним одноосным сжатием ст33 в зернах образца возникают микротрещины, слиянием которых образуются зародыши макротрещин преимущественной ориентации параллельной направлению действия внешней нагрузки ст33. Имеющиеся трещины произвольной ориентации дают ответвления, ориентация которых также будет параллельна ст33. Рост трещин и их объединение до образования магистральных макротрещин, выстроенных вдоль оси образца, представляет собой вторую стадию процесса разрушения. Неустойчивое распространение магистральных макротрещин при с = а , при-
водящее к разрушению типа «раскалывания», — третьей стадии разрушения. Это есть объяснение парадокса Бриджмена.
Иначе обстоит дело, если испытания на одноосное сжатие проводятся при несмазанных торцах. Трение на торцах развивает некоторые поперечные сжимающие напряжения а11 и а22. Эти поперечные напряжения индуцируют внутрь зерен, находящихся в этих областях, напряжения, все компоненты которых отличны от нуля. Направление действия последних противоположно направлению действия, компонент напряжения в зернах, обусловленных сжимающим напряжением с33. Отсюда поперечные напряжения а11 и а22 уменьшают напряжения, воспринимаемые зернами в приторцевых областях. Если напряжения —с11 и —с22 по величине равны пределу прочности на растяжение ср, то в зернах растягивающие напряжения, индуцированные поперечными сжимающими напряжениями а11 и а22 будут полностью компенсированы. Также на незначительную величину уменьшаются в некоторых зернах сжимающие напряжения а33, ибо поперечные напряжения а11 и а22 индуцируют растягивающие напряжения в направлении, противоположном а33.
В результате получается, что в приторцевых областях образца поликристаллических геоматериалов зерна испытывают только сжимающие напряжения. Так как при наличии трения поперечным стеснением охвачены зерна, расположенные в приторцевых областях, то по мере продвижения по торцам образца от краев к середине стеснением охватываются все больше и больше зерен. Действительно, зерна, расположенные на границе боковой и торцевой поверхностей, испытывают поперечное стеснение только лишь за счет трения их поверхности с пластинами испытательной машины и поэтому их влияние в смысле стеснения минимально на зерна, лежащие ниже (выше) поверхности верхнего (нижнего) торца. Следующие к середине зерна испытывают стеснение как за счет трения их поверхностей о пластины испытательной машины, так и под влиянием крайних зерен, и поэтому их влияние на зерна, лежащие под (над) ними у верхнего (нижнего) торца, больше. И так по мере продвижения к середине влияние верхних (нижних) зерен на нижние (на верхние) у верхнего (нижнего) торца увеличивается. Следовательно, и глубина (от торцов к центру) влияния увеличивается по мере продвижения к середине образца и достигает максимума в середине его. В связи с изложенным, можно считать, что приторцевые области имеют форму конусов.
Компьютерный эксперимент показал, что процесс деформирования и разрушения образца геоматериала поликристаллической структуры при одноосном сжатии и несмазанных торцах позволяет зафиксировать следующие стадии деформирования и разрушения. При испытании на одноосное сжатие (а33 > 0) формируется микронеоднородное и макроскопическое поле напряжений в образце. Микроскопическое неоднородное поле напряжений обусловлено различными упругими свойствами зерен, а макроскопическое — образованием вблизи торцов конических областей, в которых возникают только сжимающие напряжения, что нельзя сказать об остальной части образца. Начальное разрушение происходит в центре образца вне указанных конических областей, как и случае смазанных торцов и проходит все стадии разрушения кроме последнего. В последней стадии разрушения, распространению магистральных трещин препятствуют приторцевые конические области. Поскольку в этих областях действуют только сжимающие напряжения, магистральные трещины не могут проникнуть в конические области и полное разрушение происходит вдоль линий, более или менее близких к диагоналям образца. Эти линии, вдоль которых может происходить распространение магистральных трещин, проходят по границе приторцевых конических поверхностей. Действительно, магистральные трещины пытаются в каждой точке принять ориентацию оси образца, а в свою очередь этому препятствуют приторцевые конические области. Поэтому трещинам ничего не остается делать, кроме как распространяться по боковой поверхности приторцевых конических областей. Причем, если магистральная трещина при своем распространении упрется в вершины обоих приторцевых конусов, то можно ожидать разрушение в целом по поверхности конусов, т.е. «коническое». Если магистральная трещина одним концом упрется в вершину конуса, например, верхнего, а другим в боковую поверхность нижнего конуса, то можно ожидать смешанное разрушение типов «конического» с «косым». Если магистральная трещина обоими концами упрется в боковые поверхности приторцевых конусов, то можно ожидать «косое» разрушение.
Преимущественное разрушение по диагонали, образцов с отношением высоты к диаметру, равным I, можно объяснить тем, что приторцевые конические области касаются друг друга. Действительно, в этом случае, не может образоваться магистральная трещина, один конец которой упирался бы в вершину
одного конуса, а другой — в вершину другого конуса. Любая магистральная трещина, которая образуется в центре образца, вне конических областей, при своем распространении упрется концами в боковые поверхности конусов и, следовательно, разрушение будет «косым» по диагонали образца. Упругие поля сжатия могут останавливать трещины с любыми скоростями, и поэтому приторцевые конические области тормозят до полной остановки магистральные трещины, которые распространяются вдоль оси образца. Дальнейшее распространение магистральных трещин происходит вдоль фиксированных линий, которые, как указывалось, лежат на границе приторцевых конических поверхностей. На этих фиксированных линиях с равной вероятностью могут оказаться зерна любой ориентации. Поэтому для распространения магистральных трещин необходимо увеличить внешнюю нагрузку до такой величины, чтобы на этой линии все зерна испытали напряжения — сти и/или — ст22, равные пределу прочности на растяжение. Расчеты для образцов из сильвинита и каменной соли показали, что для распространения магистральных трещин необходимо увеличить внешнюю нагрузку на 51% для образца сильвинита и на 24% — из каменной соли. Отсюда предел прочности образцов каменной соли и сильвинита при смазанных торцах ниже, чем при несмазанных — на 24 и 51% соответственно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тедер Р.И., Ватолин Е.С. Свойства горных пород и методы их определения. — М.: Недра, 1969, 304 с.
2. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. — М.: Угле-техиздат. —1947. — 300 с.
3. Разрушение / Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1975. —Т. 2. — 560 с.
4. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2012. — № 2. — С. 38-41.
5. Халкечев К.В. Масштаб статистической неоднородности мономинеральных горных пород // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - т. 11. - Вып. 4. - С. 953. fïT^
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Халкечев Кемал Владимирович - доктор физико-математических наук, доктор технических наук, профессор, e-mail: h_kemal@mail.ru,
Халкечев Руслан Кемалович - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: syrus@list.ru, НИТУ «МИСиС».
R.K. Khalkechev, K.V. Khalkechev
MATHEMATICAL MODELING OF THE EXPERIMENT ON THE DEFORMATION AND FRACTURE OF POLYCRYSTALLINE GEOMATERIALS IN THE EXPERIMENTS ON MICROBRASSERIE UNDER UNIAXIAL COMPRESSION
In this article, the necessity of mathematical modeling of the experiment on the deformation and fracture of polycrystalline microabrasive geotextiles. Built this model in the experiment in uniaxial compression. Research of mathematical models that are reduced to the system of equations enabled us to solve the paradox of Bridgman consists in the fact that under uniaxial compression failure occurs by propagation of cracks along the compression axis, contrary to the conclusions of the classical theory of continuum mechanics. Conducted computer research enabled to give a full explanation of the nature of the fracture in lubricated and unlubricated ends microabrasion test, and to get the relative difference in the strength limits.
Key words: mathematical modeling, experiment, deformation, destruction, polycrystalline geomaterial, macroarray, uniaxial compression.
AUTHORS
Khalkechev K.V.1, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: h_kemal@mail.ru,
Khalkechev R.K.1, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, e-mail: syrus@list.ru, 1 National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
REFERENCES
1. Teder R.I., Vatolin E.S. Svoystvagornykh porod i metody ikh opredeleniya (Properties of rocks and the determination methods), Moscow, Nedra, 1969, 304 p.
2. Kuznetsov G.N. Mekhanicheskie svoystva gornykh porod (Mechanical properties of rocks), Moscow, Ugletekhizdat, 1947, 300 p.
3. Razrushenie. Pod red. G. Libovitsa (Разрушение. Libovits G. (Ed.)), Moscow, Mir, 1975, vol. 2, 560 p.
4. Khalkechev R.K. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN. 2012, no 2, pp. 38-41.
5. Khalkechev K.V. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki. 2004, vol. 11, issue 4, pp. 953.
A_
UDC 004.9;
004.41; 51-74; 622
