CC BY
18
© Р.К. Халкечев, К.В. Халкечев, 2016
Р.К. Халкечев, К.В. Халкечев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОГО ПОЛЯ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ГЕОМАТЕРИАЛАХ
Построены математические модели упругого поля контактных напряжений в поликристаллических геоматериалах при их взаимодействии через поверхность раздела. Не нарушая общности, в качестве взаимодействующих геоматериалов выбрано множество структурных блоков, образованных в породном массиве в результате пересечения разнонаправленных трещин. Обосновано наличие большого трения между структурными блоками на основе фрактального происхождения поверхностей взаимодействующих отдельностей. Исследование разработанных математических моделей с привлечением метода самосогласованного поля позволило получить выражения для подсчета контактных напряжений на возможных структурных уровнях. Проведен компьютерный эксперимент по определению контактного напряжения между блоками в породном массиве. Используя одну из разработанных математических моделей, решена задача, как частный случай, о напряженном состоянии пятна контакта колеса и рельса. Проведенный компьютерный эксперимент показал, что область контактного напряжения всестороннего сжатия уменьшается при реализации трения скольжения при торможении, что увеличивает износ. Ключевые слова: математическая модель, контактные напряжения, фрактальность поверхности, блочная структура, пятно контакта, колесо и рельс.
К теории контактных напряжений сводятся задачи по определению упругого поля напряжений в породных массивах блочной структуры, имеющие большое значение в геомеханике. При этом важнейшее свойство математических моделей этих геомеханических процессов — их универсальность, т.е. их приложимости к объектам различной природы. Так на основе разработанных моделей, применяя метод аналогий, можно определить поле контактных напряжений при взаимодействии деталей машин. К примеру, появляется возможность исследова-
УДК 004.9;
004.41; 51-74; 622
ния контактного напряжения колеса и рельса. Данный признак универсальности демонстрирует фундаментальность исследований по математическому моделированию геомеханических процессов в массиве пород блочной структуры.
При классической постановке, которую можно считать первым приближением, эти задачи решаются в предположении, что поверхности контактирующих тел являются гладкими однородными, во втором приближении — они идеально-гладкие, но микронеоднородные, обусловленные границей раздела между зернами [1]; в рамках данных предположений в зоне контакта имеют место только упругие деформации, силы давления нормальны к поверхности касания, трением на контакте, возникающим в процессе приложения нагрузки, пренебрегают. В то время как реальные поверхности структурных блоков породных массивов и деталей машин без смазки, в частности пятна контакта колес и рельсов, далеки от идеально-гладких поверхностей, на которых может быть реализовано пренебрежимо малое трение. Это объясняется следующим образом.
Определяющим фактором при формировании блочной структуры породного массива является особого вида трещиноватость. Блочную структуру формируют разнонаправленные трещины, которые пересекаются таким образом, что породный массив оказывается расчлененным на множество структурных блоков. Таким образом, поверхности соприкосновения структурных блоков — это проявления макроразрушения породных массивов в виде вновь образованных поверхностей, которые имеют фрактальный характер. Отсюда следует, что при взаимодействии сила трения между блоками может достигать больших величин. Причем к неоднородностям, предопределенными первичными особенностями структуры — горные породы, слагающие породный массив, минералы, слагающие горные породы, зерна, слагающие минералы, отличающиеся друг от друга упругими характеристиками, присоединяются вновь образованные неоднородности, обусловленные наличием поверхностей раздела нарушающих целостность породного массива. Последний вид неоднородности в отличие от других является непреодолимым препятствием для внутри полевого взаимодействия — один из взаимодействующих блоков по отношению другому является источником формирования внешнего поля напряжений. В связи с этим необходимо отметить, что рассматривать породный массив как упругое едино целое тело не представляется возможным, и, что знание только упругих характеристик блоков составляющих массив не дают нам
представления об упругих характеристиках массива. Мало того, не всегда можно определить упругие характеристики отдельных блоков, что обусловлено связью масштаба неоднородности с размерами блоков. Данную связь никак не учитывает принятая в настоящее время классификация блоков по размерам, что, конечно же, говорит не в ее пользу. Исходя из размеров образуемых структурных блоков, в существующих инженерно-геологических и горнотехнических классификациях выделяют четыре порядка структурных неоднородностей [2]. При такой классификации размеры блоков не привязаны к структуре породного массива.
Для приведения в соответствие данных порядков с размерами блоков обратимся к классификации трещин, привязанных к масштабам неоднородности структурных уровней. Методы расчета масштабов однородности приведены в работе [4]. Решенная задача синтеза на основании требований к масштабам однородности [5] обосновывает целесообразность выделения следующих уровней: уровень кристаллической структуры; незавершенный структурный уровень, образованный совокупностью взаимодействующих зерен, характерный размер которой меньше характерного размера масштаба однородности структурного уровня; структурный уровень образован совокупностью взаимодействующих зерен, характерный размер которой равен или больше характерного размера масштаба однородности структурного уровня, но меньше или равен характерным размерам минералов как составных частей полиминеральных горных пород; незавершенный текстурный уровень образован совокупностью взаимодействующих минералов, характерный размер которой меньше характерного размера масштаба однородности текстурного уровня; текстурный уровень образован совокупностью взаимодействующих минералов, характерный размер которой больше характерного размера масштаба однородности текстурного уровня, но меньше характерных размеров горных пород как составных частей породного массива; незавершенный породно — массивный уровень образован совокупностью взаимодействующих горных пород, характерный размер которой меньше характерного размера масштаба однородности породно — массивного уровня; породно — массивный уровень образован совокупностью взаимодействующих горных пород, характерный размер которой равен или больше характерного размера масштаба однородности этого уровня, но меньше или равен характерным размерам породного массива.
Предлагаются следующие масштабы трещиноватости [6]: 1) кристаллически незавершенный масштаб, имеет характерный линейный размер, превосходящий 2—3 межатомных расстояния, и меньше расстояния до ближайшего поверхностного дефекта. Дефект такого масштаба не может считаться трещиной в полном смысле этого слова, так как он не является иерархически организованной системой — находится на одном уровне. При этом необходимо отметить, что он ближе к трещине, чем любые другие дефекты. Поэтому целесообразно такие дефекты считать незавершенными трещинами; 2) кристаллически завершенный масштаб имеет характерный линейный размер, сравнимый или меньше характерного размера зерна; 3) структурно незавершенный масштаб имеет характерный линейный размер, больше характерного размера отдельного зерна и меньше характерного размера масштаба однородности структурного уровня минерала; 4) структурно завершенный масштаб имеет характерный линейный размер, равный или больше характерного линейного размера масштаба однородности структурного уровня и меньше или равный характерному линейному размеру минералов; 5) текстурно незавершенный масштаб размеры его велики по сравнению с характерным линейным размером минералов и меньше характерного линейного размера масштаба однородности текстурного уровня; 6) текстурно завершенный имеет характерный линейный размер, равный или больше характерного линейного размера масштаба однородности текстурного уровня и равный или меньше характерного линейного размера горных пород; 7) породно-массивный незавершенный масштаб имеет характерный размер, больше характерного линейного размера отдельно взятой горной породы в массиве и меньше характерного линейного размера масштаба однородности породно-массивного уровня; 8) породно-массивный завершенный масштаб, имеет характерный линейный размер, равный или больше характерного линейного размера масштаба однородности породн-массивного уровня и меньше или равный характерному линейному размеру породного массива.
Если теперь структурные блоки образованы системой трещин, представленных трещинами незавершенного масштаба, то размеры породных блоков будут такими, что невозможно определить их макроскопические упругие свойства, и, как следствие, станет невозможным определение поля напряжений в них. Достаточно одной такой трещины, участвующей при образовании породного блока, и мы придем к тому же результату.
Отсюда у породного массива блочной структуры с указанными блоками, для которых упругие свойства не определимы в принципе, выделить общее упругое свойство не удается. В принципе невозможно также определить упругое поле напряжений в таких породных массивах блочной структуры.
Если же породные блоки оконтурены трещинами завершенного масштаба, то появляется принципиальная возможность по определению упругих свойств и упругого поля напряжений в каждом из блоков. Упругое поле напряжений в каждом из структурных блоков формируется при их деформировании и под воздействием друг на друга отдельностей через поверхность соприкосновения — так называемые контактные напряжения. Эти поверхности соприкосновения являются к тому же поверхностями раздела, препятствующими внутреннему упруго полевому взаимодействию между структурными блоками.
Изложенное позволяет представить схему строения массива горных пород блочной структуры в виде некоторой пространственной конструкции, состоящую из плотно прилегающих друг к другу блоков с различной степенью связи между ними; причем размеры блоков равны или больше масштабов однородности соответствующих структурных уровней, что позволяет в принципе определить упругое поле напряжений в них.
Для построения математической модели неоднородного упругого поля напряжений в породном массиве, согласно общей схеме применения математики, обратимся к содержательной модели, предположения которой имеют вид: механизм деформирования породного массива блочной структуры заключается в деформировании самих блоков, плотно прилегающих друг к другу, и, кроме того, в их взаимном контактном взаимодействии; деформации упругие; структурные блоки оконтурены трещинами завершенного масштаба, чем обеспечивается принципиальная возможность по определению упругих свойств и упругого поля напряжений в каждом из блоков; геоматериал неоднородный и анизотропный на каждом из структурных уровней; каждая структурная неоднородность (зерно, минерал, горная порода) испытывает влияние остальных структурных неоднородностей на каждом из уровней внутри породного блока через упругое поле; упругое поле напряжений у поверхностей блоков есть суперпозиция упругих полей напряжений в каждом из структурных блоков, которая формируется при их деформировании под воздействием друг на друга отдельностей как источников внешних усилий и контактных напряжений;
упругие свойства зерен и внешнее поле напряжений считаем известными; неизвестным считается поле напряжений внутри структурных неоднородностей, которое не поддается непосредственному измерению, различным контактным напряжениям соответствуют различные степеням связи между структурными блоками: 1) при идеально-гладком контактировании (взаимное скольжение при пренебрежимо малом трении) контактные напряжения отсутствуют, 2) при отсутствии скольжения (наличие трения покоя) реализуется максимальное контактное напряжение; 3) наличие трения скольжения обеспечивает промежуточное контактное напряжение. Первый случай контакта, при котором взаимное скольжение происходит при пренебрежимо малом трении, что в реальных условиях может быть реализовано при наличии смазки на поверхностях соприкосновения, рассмотрено в работе [1].
На основе этой содержательной модели переходим к следующей математической модели упругого поля напряжений на структурном уровне в блоках: неограниченная упругая трехмерная анизотропная среда, которую назовем основной с не-однородностями в эллипсоидальных областях V(x), где x(x1, x2, x3) — точка среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам поликристаллических геоматериалов. Пусть C — тензор упругих модулей зерна, значения которого определены экспериментально, а C0 — постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна <C>, C0 + C1 — то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностя-ми можно представить в виде кусочно-постоянной функции C(x) = C0 + C1V(x), где V(x) — характеристическая функция области, занятой неоднородностями, т.е. V(x) = 1, x е V и V(x) = 0 при x € V. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда x е V, а значит V(x) = 1. Будем иметь в виду, что C1 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно C1 — случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через s0(x) непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при C1 = 0 в однородной основной среде при заданных внешних силах и через s(x) — кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.
Деформация в этой среде с неоднородностями в произвольной аффинной системе координат удовлетворяет уравнению:
4 (х) + | (х - х')С?тпг{тп (х')йх' =
V
= -! К* (х - х')С1тпг0тПйх' '
V
где оператор К0 = -ёв(О0ёв( имеет ядро
- г) = -[с1{с1;011(г - гО]^ , (2)
^ 1 — функция Грина основной среды. Оператор является псевдодифференциальным оператором с однородным символом КД) е О о . В рамках псевдодифференциальных уравнений и предположений метода самосогласованного поля уравнение (1) допускает решение. В результате получаем общее выражение для определения тензорного поля напряжений а в неоднородности при известном внешнем тензорном поле а0:
а = С(1 + ВС, )-1 < С(1 + ЛВ, )-1 >-1 ао, (3)
где «< >» — знак усреднения по ансамблю полей неоднородно-стей; В — среднее значение на единичной сфере Фурье-образа тензорной функции Грина основной среды.
Уравнение для определения неоднородного поля напряжений на текстурном уровне, и его решение соответственно имеет
вид: , '
в, (г) + | Кэ (г - г )С13в1 (г ) = - [ Кэ (г - г )С13в0 (г )йт, (4)
V V
а = Сэ (I + ВС)-1 < С (I + ВС)-1 >-1 ао, (5)
где оператор Кэ = -йв(Оэйв( ; Gэ — тензорная функция Грина основной среды, соответствующей структурному уровню; Сэ — тензор эффективных упругих модулей структурного уровня.
Аналогичное уравнение для породно-массивного уровня, и его решение соответственно имеют вид:
В1 (г) + | Кэф (г - г' )СЭФВ1 (г') = -1 Кэф (г - г' )СЭФВо (г' )йт , (6)
а = Сэф (I + ВС )-1 < Сэф (I + ВС )-1 >-1 ао, (7)
' Кэф = ¿в( ; Gэф - тензор
еды, соответствующей текстурн эффективные свойства текстурного уровня.
где оператор Кэф = -йв(0Эфйв( ; Gэф — тензорная функция Грина основной среды, соответствующей текстурному уровню; Сэф —
Таким образом, построена математическая модель неоднородного упругого поля напряжений породного массива блочной структуры и как частный случай в области контакта колес и рельсов.
Используя соотношение (3), (5) и (7) можно найти значения тензора напряжений ст(ф, 0, у) при различных углах Эйлера — Ф, 0, у которые определяют ориентацию неоднородностей в пространстве. Компьютерные эксперименты по определению тензора напряжений ст(ф, 0, у) — в зернах структурных блоков контактирующих с большим трением, не допускающим взаимное скольжение, показали: не может быть реализовано только одноосное сжатие от источника внешних напряжений, какими являются одни блоки по отношению к другим; внешнее поле напряжений есть суперпозиция одноосного вертикального напряжения, которое индуцирует поле напряжений внутрь зерен по всему объему структурных блоков (в том числе и растягивающих в некоторых зернах), и контактного напряжения всестороннего сжатия (компенсирующего растягивающие напряжения в этих зернах), обусловленного трением и, как следствие, сосредоточенного у поверхности соприкосновения; в конических областях с основанием площадью равным поверхности соприкосновения структурных блоков все зерна испытывают только всесторонние сжимающие напряжения.
Применение метода аналогий для определения тензора напряжений ст(ф, 0, у) в зернах области контакта колес и рельсов при отсутствии взаимного скольжения достаточно соотношения (3) так как они металлические, имеющие только структурный уровень. При этом необходимо отметить, что характерный размер пятна контакта колеса и рельса должен быть не меньше чем масштаб однородности структурного уровня. Компьютерные эксперименты по определению тензора напряжений в зернах у контакта колес и рельса показали: при полном сцеплении в каждый фиксированный момент времени в конических областях с основанием площадью пятна контакта все зерна испытывают только всесторонние сжимающие напряжения, в то время как за их пределами отдельные зерна могут испытывать растягивающие напряжения. В режиме торможения, когда в контактной поверхности реализуется трение скольжения, конические области всестороннего сжатия уменьшаются в размерах, что увеличивает износ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Халкечев К.В. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния при идеально-гладком контактировании поликристаллических материалов // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2015. — № 3. — С. 323—326.
2. Турчанинов И.А., Иофис М.А., Каспарьян Э.В. Основы механики горных пород. — СПб.: Недра, 1997. — 503 с.
3. Халкечев К.В. Иерархия случайно-фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — т. 13. — Вып. 3. — С. 409—433.
4. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2012. — № 2. — С. 38-41.
5. Халкечев К.В. Математическая модель задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. — 2006 — № 4. — С. 15-18.
6. Халкечев К.В. Алгоритм решения задачи синтеза для совокупности дефектов и трещиноватости на основании требований к иерархичности // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. — 2006 —№ 4. — С. 24—26.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Халкечев Кемал Владимирович — доктор физико-математических наук, доктор технических наук, профессор, e-mail: h_kemal@mail.ru, Халкечев Руслан Кемалович — кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: syrus@list.ru, НИТУ «МИСиС».
udc 004.9; r.k. Khalkechev, K.V. Khalkechev
004.41;
51-74; 622 MATHEMATICAL MODELING ELASTIC FIELDS OF THE CONTACT STRESSES IN POLYCRYSTALLINE GEOMATERIALS
Mathematical models of elastic contact stress field in polycrystalline geomaterials at their interaction using the surface of section. Without violating the generality, as interactive of geomaterials selected set of structural blocks formed in the rock massif at the intersection of multi-directional cracks. It justifies the presence of a large friction between the structural units on the basis of fractal origin of the interacting surfaces of separateness. The study developed mathematical models involving self-consistent field method allowed us to obtain expressions for calculating the contact stresses on possible structural levels. A computer experiment to determine the contact stresses between blocks in the rock massif. Using one of the mathematical models, solved the problem, as a particular case, about the stress state of the contact wheel and rail. Computer experiment showed that the area of the contact stresses of all-round com-
pression is reduced when implementing the sliding friction when braking, which increases the wear.
Key words: mathematical model, contact stress, surface fractality, block structure, the contact patch, the wheel and the rail.
AUTHORS
Khalkechev K.V.1, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: h_kemal@mail.ru, Khalkechev R.K.1, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, e-mail: syrus@list.ru,
1 National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
REFERENCES
1. Khalkechev K.V. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2015, no 3, pp. 323-326.
2. Turchaninov I.A., Iofis M.A., Kaspar'yan E.V. Osnovy mekhaniki gornykh porod (Fundamentals of rock mechanics), Saint-Petersburg, Nedra, 1997, 503 p.
3. Khalkechev K.V. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki. 2006, vol. 13, issue 3, pp. 409-433.
4. Khalkechev R.K. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN. 2012, no 2, pp. 38-41.
5. Khalkechev K.V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Severo-Kavkazsskiy region. Tekhnicheskie nauki. 2006, no 4, pp. 15-18.
6. Khalkechev K.V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Severo-Kavkazsskiy region. Tekhnicheskie nauki. 2006, no 4, pp. 24-26.
НОВИНКИ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ГОРНАЯ КНИГА»
Геодезия и маркшейдерия
В.Н. Попов, В.А. Букринский, П.Н. Бруевич и др. Год: 2007, 2015 Страниц: 453
ISBN: 978-5-98672-179-8 (в пер.)
• теоретические основы геодезии и маркшейдерии;
• опыт производства работ при проектировании, строительстве и эксплуатации горно-рудных предприятий, наземных и подземных сооружений различного назначения;
• особенности создания геодезических и маркшейдерских сетей;
• методы геодезических и маркшейдерских съемок с описанием приборов для измерения угловых и линейных величин на местности и в выработках;
• методы геометризации и подсчета запасов месторождений полезных ископаемых;
• сведения о сдвижении горных пород и земной поверхности под влиянием горных выработок и охране сооружений от их вредного воздействия;
• об устойчивости бортов карьеров и отвалов.
