CC BY
18УДК 539.3:629.01
С.Н. Царенко
Донецкий национальный технический университет, Донецк, 283001 e-mail: tzarenko@rambler.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ПЛАВУЧЕЙ ПЛАТФОРМЕ
В работе рассмотрено построение математической модели динамики стержневой конструкции на платформе. Стержневая конструкция рассматривается как упругий стержень с переменной изгибной жесткостью и линейной плотностью. Платформа рассматривается как жесткая инертная плита на упругом основании. Математическая модель динамического изгиба стержня представлена дифференциальным уравнением четвертого порядка с переменными коэффициентами в частных производных. Решение уравнения получено методом Фурье. Выполнено исследование влияния параметров механической системы на значение первой собственной частоты колебания. Получены расчетные зависимости для определения динамических прогибов, углов поворота и изгибающих моментов при импульсном воздействии на конструкцию. Приводится сравнение результатов расчета по предложенной модели с моделью малых колебаний системы твердых тел.
Ключевые слова: плавучая платформа, стержень переменного сечения, собственные колебания, метод Фурье, функции Бесселя.
S.N. Tsarenko
Donetsk National Technical University, Donetsk, 283001 e-mail: tzarenko@rambler.ru
MATHEMATICAL MODELING OF ROD STRUCTURE DYNAMICS ON A FLOATING PLATFORM
The problem of construction of mathematical models of rod structure dynamics on the platform is described in the article. The rod structure is considered as an elastic rod with variable bending stiffness and distributed mass. The platform is considered as a hard inert plate on an elastic base. The mathematical model of the dynamic bending of the rod is a differential equation with variable coefficients in partial derivatives. The solution of the equation by the Fourier method is obtained. Investigation of the influence on the mechanical parameters of the system the value of the first natural frequency of oscillation is satisfied. Dependencies for determining dynamic displacements, rotation angles, and bending moments under pulsed action on the structure are obtained. The equation for calculating the results of the model with the model of small oscillations of solids system is represented.
Key words: floating platform, rod of variable cross section, natural vibrations, Fourier method, Bessel functions.
Многие промышленные длинномерные стержневые сооружения и конструкции морского базирования устанавливаются на плавучих платформах и судах, к таким объектам можно отнести: морские буровые платформы, плавучие ветровые электростанции, плавкраны и т. п. В отличие от стационарных наземных сооружений данные объекты подвергаются более разнообразным и интенсивным динамическим воздействиям [1-3]. Вопросам динамики сооружений в целом и их отдельных конструктивных элементов посвящены как экспериментальные работы [4], так и теоретические исследования с применением средств моделирования на базе МКЭ [5] и классических методов математической физики [6-8].
Применение разных методов решения задач динамики имеет свои особенности, так при использовании МКЭ возникает проблема верификации результатов расчета, которая в основном решается за счет сопоставления с результатами, полученными альтернативными методами исследования. В работах [6-8], несмотря на то, что в предложенных моделях учитываются переменные жесткость и линейная плотность стержня, а также неупругие свойства материала, интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси выполняется численно, это затрудняет возможность оценить влияние отдельных параметров конструкции на динамические характеристики модели. Кроме того непосредственно для динамического расчета в [6, 8] использована упрощенная модель в одномодовом приближении без анализа степени влияния остальных собственных форм.
Разработка модели для исследования динамических процессов в конструкциях на плавучей платформе на основе аналитического решения уравнения изгиба упругого стержня позволяет проанализировать влияние параметров модели на динамические характеристики объекта, обосновать выбор упрощенных моделей, верифицировать результаты расчетов в программных комплексах на базе МКЭ.
Рассматривается упругий стержень (рис. 1) с переменной по длине линейной плотностью т и изгибной жесткостью Е/:
£
Г
у
то
Се
/о
т = yFzV
Е! = Ы2гу
■ = (1 - к) х + к,
к =
к
(1)
У х
Рис. 1. Расчетная схема стержневой конструкции на плавучей платформе
где у - плотность материала, Е - модуль упругости,
^ и !2 - площадь поперечного сечения и момент инерции площади нижнего основания стержня,
к и к2 - радиусы инерции торцевых сечений, I - длина стержня.
Показатель степени V зависит от типа конструкции. Стержень с принятыми параметрами может моделировать конструкции решетчатых башен V = 0, а также пирамидальные и конические стержни полого сечения - V = 1 и сплошного сечения -V = 2. Стержень жестко соединен с инертной плитой, которая расположена на упругом основании и может поворачиваться в плоскости ху относительно центра О. В результате монтажной операции или технологического воздействия сечения стержня получают импульс в виде линейно-распределенной по длине скорости (рис. 1). Для исследования поперечных колебаний стержня у(х, 0, если выбрать систему координат со стороны меньшего основания, нужно решить граничную задачу [9]:
г)2 ( г)2 V ^ д2 V
д Е!(х+ т(х)££ = 0 , К ' с>х2 , w дt2
гх
Е!(х)у"(х,,= 0; (Е!(х) у'(х, t)) = 0 ; у(/, t) = 0
с начальными условиями:
(2)
(3)
(4)
где св - жесткость упругого поворота,
! - момент инерции массы плиты относительно центра о,
0 - угол поворота плиты с учетом жесткой состыковки стержня с плитой е = у' | , 90 - начальная угловая скорость поворота плиты.
V
I
х=0
Уравнение (2) для принятых физико-механических характеристик стержня (1) приводится к виду
-v+2 y'''' + 2 (v + 2 ) zV+1 y"' + (v + 2 )(v +1) zv y" = -
yFJ4
EJ2 (1 - к)'
■г У,
(6)
здесь и далее штрихом обозначена производная по г. Решение уравнения (6) методом Фурье можно представить через начальные параметры в виде [10]:
у (z, t )=z-vz
y0n Zv Akc + u0n z v
2l
f
+^ z
EJ.
0n r-v-2 0 2
21
K (1 - к)
P
K (1 - к)
í
C.
к
2 (v +1)
K n Zo
B.
к
B; Z + Z
On f-v-1
'0
EJ
2l
Л (1 - к )
D
sin (&j + ^n),
(7)
где ^ = , Со = , У0п , u0n, M0n , Q0n - прогиб, угол поворота, изгибающий момент, поперечная сила в начале отсчета для п-й формы колебаний соответственно,
k =
16«2l4 yF2
- собственные значения,
]Ц1 - к) К/2
юп , цп - собственная частота и фаза п-й формы колебаний,
Л^, ВЛ(;, СЛ(;, .О^. - аналог функций Крылова для неоднородной балки [10]:
A^ = 1 ^ [ (IÁKZ ) K+1 (KnZo ) + K (K.Z ) I v+1 (K,Z0 ))-™(Jv (K.Z К+1 (K,Z0 )-Yv (K.Z ) Jv+1 (K,Z0 ))]
B^ = 1 KnCo [ (I v(K,Z ) Kv+1(KnZo ) + ^(K-Z ) I v+1(KnZ 0 )) + *( J v(KnZ )Yv+1 (KnZ 0 )-Yv(KnZ ) J v+1 (KnZo))]; C,= 1 [2 (I v (KnZ) Kv(KnZo )-Kv (KnZ) I v (K,Z0))-*(Jv (KnZ )Yv (k,Z0)-Yv (KnZ) Jv (K,Zo))];
DK= 1 [ (I v (KnZ ) K (KnZ0 )-Kv (K,Z ) Iv ))+*( Jv (KnZ )Yv (Kn^ )-Yv (KnZ ) Jv (K,Zo ))],
здесь J (z) и Yv (z) - функции Бесселя, Iv (z) и Kv (z) - модифицированные функции Бесселя.
Из первых двух граничных условий (3) следует М0и = 0, Qn = 0, удовлетворив третье условие (3), получим выражение для собственных функций:
У 0nZn = y0nZ Z 0
Ас a„
с.
к
2 (v +1)
KnZi
В,.
KC
nZ0 y y
(8)
где
a = -
K L A,
nд 0 K
2 (V +1) Вх •
Соответствующие производные собственной функции для определения углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил будут иметь вид:
K
Z"=y Z- v-1Z,
1y v
0
Ас ап
С.
к
2(v + 1)
KZ
в.
к
пЪ 0 yj
K 2
v+^^ff _ Kn Кv+2í*v
в 2(v + 1)j
D*. y JL y CC
АС, л ex АС, л
n
D.
w;
к Zn к с
n^ 0 п'э
w;
' V
n
( zv+2 Z"') =kl Zv+1Z,
В, y - a
AL, n
D.
к
2(v + 1)
k„z,
n^ V
К Z
n
-В.
к
пЪ О yy
Ас
(9) ; (Ю) (11)
nb 0 yy
n=1
V
Определение функций В... С... /). . дано в работе [10], между данными функциями и представленными ранее выполняются следующие соотношения:
' А 'А ' А 'А
(¿ГА,) (Г**) (ГА<)
Анализ влияния параметров конструкции на частотные характеристики. Из условия (4) следует частотное уравнение:
( ( г*+2
г
х
здесь введены следующие обозначения: г =
2 (1 - к)
сЛ
- 4
п (1 - к)
96
г'
п
; J
= 0,
(12)
Е•
относительная жесткость упругого поворота,
т3
относительный момент инерции массы плиты.
Введем обозначение Хп = '/.п (1 —/2. тогда зависимость для нахождения собственных частот можно привести к виду, аналогичному случаю однородных стержней:
А,2 ЕЛ
=
I ^ У^2
Если рассматривать стержень и плиту как систему твердых тел, совершающих малые колебания относительно центра О, то уравнение движения такой системы будет
•Л
у^/
3 I
Л
г" (1 - г)2 dz
е+сие = о.
Используя ранее принятые обозначения, уравнение (13) приводится к виду
14ЛЛ
е+-
¡4 уК
-9 = 0,
где Х =
37(1-к) (V+1)(у + 2)(V + 3)
(13)
(14)
(15)
4 £(1 - к )3 (у + 1)(у+2)( V + 3) + 3((1 - к )(V + 2)( V + 3)-2(1 - Г+2 )(v+l)(v + 3) + (1 - Г+3 )(v+1)^ + 2)) '
На графике рис. 2 представлены зависимости первого собственного числа А^ от относительной жесткости % для упругих стержней, моделирующих конструкции решетчатых башен (V = 0) с параметрами поперечного размера к = 0,01 и к = 0,99, найденные численно из решения уравнения (12) без учета локальной инерционной нагрузки (£, = 0). Пунктиром показаны значения А, по зависимости (15), штрихпунктирными линиями показаны значения первого собственного числа для соответствующих консольных конструкций с жесткой заделкой [10]: А,1 =1,873 (к = 0,99), А,1 =1,604 {к = 0,01). Из анализа полученных зависимостей следует, что при % < 0,5 значения /.
при любом значении к отличаются от А, не более чем на 5%, таким образом, для описания динамики конструкции подойдет модель (14). При значениях % > 25 можно использовать модель консоли с жесткой заделкой. Наличие инерционной нагрузки приводит к уменьшению расхождения значений первого собственного числа А,1 из уравнения (12) и А, по формуле (15).
¿г-ПОО
-
/ —1 к = 0,01
4 = 0 V = 0
0 5 10 15 % 2
Рис. 2. Зависимость собственного числа X от параметра относительной жесткости %
Исследование параметров динамического изгиба конструкции. Из первого начального условия (5) получим = 0, из второго начального условия (5) следует зависимость:
тЩу. АХИ^О-)
(16)
Прогибы уоп ищем с учетом свойства ортогональности функции 2п с функцией 2т (: Ф п),
которая в случае наличия локальной моментной инерционной нагрузки будет принимать вид [9]:
_ 1 ' 2Я (г) = г*2Я (г)--(1 - к)3 §(2: (г)5(г -1)) ,
где 5( г) - дельта-функция Дирака.
Помножив обе части равенства (16) на функцию 2т и проинтегрировав по длине, а также учитывая граничное условие (4), получим выражение для определения прогибов уоп:
_ 649/^; (1)
(1-к)4х6Х)1
уК
где А и - квадрат нормы собственных функций для рассматриваемых граничных условий определяется зависимостью [9]:
А- =
3 ^
2
^ВД + ^(г^)2 --62'п (г^2П)' + §Й— (7,)
-I - г-2,2
Выражения для прогибов углов поворота и изгибающих моментов примут вид:
" 7' (1 С
у^) = -улХ(1-к)\-Т^-^- Лс-а
-1 п I
п=1 п п \
хс х £
эт X х ;
п '
7' (Л\( (
|(С,т) = ~иАх{^)2Г-Х1ТШ Ас"«
-1 П у
«=1 п п \
пЪО уу
Ад л у АС,
у у
этА, х;
п '
м(с,х) = -млХ(\-к)2 -
=1 п п V яЬ
-а.
«=1 п п
Г
2(у + 1) , 2(у + 1)Г- 2(у + 1)
XI,
DхZ + ^ ЛяZ ^^^
(17)
(18)
(19)
~ВГГ
8тА,их,
здесь введены следующие обозначения х = — —- - безразмерное время, все размерные вели-
I V
чины в выражениях (17-19) приведены к параметрам уА =0ОI* I ' 2 ; м^ = 9012
ЬР2 .
ЬР2 .
Ея12
мА =^Це.1{!1<: .
Если рассматривать модель колебания твердых тел, то решение уравнения (13) для начальных условий (5) будет иметь вид
^ ' х2
(20)
На графиках рис. 3 и 4 представлены зависимости безразмерного прогиба верхнего торца конструкции Утгк{^) = УА и моментов: 1 - изгибающий момент в нижнем основании
стержня М(т}=М(\.,т)1Ма, 2 - восстанавливающий момент на упругой опоре М(т} = и(\,т}с61МА, пунктирными линиями обозначены зависимости по функции (20) -
м(х)=е(х)се/м,.
Рис. 4. Безразмерные прогибы и моменты при относительной жесткости % = 10
Как видно из графиков рис. 3, при небольшой относительной жесткости % и наличии локальной инерционной нагрузки определяющее влияние на НДС конструкции оказывает 1-я форма колебаний, следовательно, применение упрощенной одномодовой модели в этом случае является обоснованным. При значительной относительной жесткости % (рис. 4) существенно различаются не только амплитудные значения параметров НДС двух моделей, но также и периоды колебаний.
Результаты, полученные с использованием разработанной математической модели НДС стержневой конструкции при импульсном воздействии, можно использовать:
- для оценочного определения параметров НДС некоторых конструкций;
- при исследовании влияния физико-механических параметров на амплитудно-частотные характеристики конструкции;
- в проверке адекватности тестовых примеров в программных комплексах имитационного моделирования;
- для обоснования выбора упрощенных моделей и методов расчета.
В качестве перспективного направления можно рассматривать применение разработанной методики для решения задач динамики стержневых конструкций на подвижной платформе при собственных и вынужденных колебаниях в результате приложения нагрузок, в том числе периодических, а также при движении платформы по заданному закону.
Литература
1. Халфин И.Ш. Воздействие волн на морские нефтегозопромысловые сооружения / И.Ш. Халфин. - М.: Недра, 1990. - 312 с.
2. Правила классификации, постройки и оборудования плавучих буровых установок и морских стационарных платформ. - СПб.: ФАУ «Российский морской регистр судоходства», 2014. - 484 с.
3. Савинов В.Н. Океанотехника: Учеб. пособие / В.Н. Савинов. - Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева. - Н. Новгород, 2017. - 276 с.
4. Платонов В.Г. Экспериментальное изучение поведения морской плавучей ветровой электростанции на интенсивном волнении / В.Г. Платонов, М.С. Труб // Труды ЦНИИ им. акад. А Н. Крылова. - 2009. - № 48 (332). - С. 59-64.
5. Крыжевич Г.Б. Анализ собственных частот и форм колебаний самоподъемных плавучих буровых установок с учетом упругих свойств грунта / Г.Б. Крыжевич, Т.Р. Рыбалко // Морские интеллектуальные технологии. - 2018. - Т. 1, № 4 (42). - С. 25-31.
6. Товстик П.Е. Математические модели динамики морских стационарных платформ. Одиночная консоль // П.Е. Товстик, В.А. Шеховцов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2005. - Вып. 2. -С.129-143.
7. Товстик П.Е. Морская стационарная платформа под действием ледовой нагрузки // П.Е. Товстик, В.А. Шеховцов, А.С. Шеховцов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2012. - Вып. 1. -С.107-116.
8. Товстик П.Е. О влиянии формы спектральной плотности случайного волнения на колебания морской стационарной платформы // П.Е. Товстик, Т.М. Товстик, В.А. Шеховцов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2012. - Вып. 2. - С. 61-68.
9. Улитин Г.М. Изгибные колебания стержня с переменной жесткостью и распределенной массой / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Прикладная математика и механика. - 2015. - Т. 79, вып. 6. - С. 817-823.
10. Царенко С.Н. Динамика изгибных колебаний конструкций с осевой неоднородностью геометрических характеристик / С.Н. Царенко // Строительная механика и расчет сооружений. -2018. - № 3 (278). - С. 48-54.
