CC BY
13
УДК: 631.362
А.В. Фоминых
ОЦЕНКА МЕТОДОВ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ В РАСЧЁТАХ
КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ В АПК
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т.С. МАЛЬЦЕВА», КУРГАН, РОССИЯ
A.V. Fominykh
METHOD ESTIMATION OF INITIAL PARAMETERS IN ROD VIBRATION CALCULATIONS IN
THE AGRO-INDUSTRIAL COMPLEX FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION «KURGAN STATE AGRICULTURAL ACADEMY BYT.S. MALTSEV», KURGAN, RUSSIA
Александр Васильевич Фоминых
Alexander Vasilyevich Fominykh доктор технических наук, профессор prof_fav@mail.ru
Аннотация. Как показывает практика, для расчёта колебаний сельскохозяйственных машин можно рекомендовать метод начальных параметров в различных его модификациях, метод динамических жесткостей и однотипный с ним метод динамических податливостей. Разработка алгоритмов расчёта, отражающих подробности устройства систем, привели к возникновению математических моделей колебательных систем, которые позволяют проводить теоретические исследования колебаний и изучение влияния на них различных элементов конструкции и их параметров. Проведён сравнительный анализ точности расчёта собственных частот изгибных колебаний стержня, полученных решением дифференциального уравнения собственных изгибных колебаний стержня и для двух реализации метода начальных параметров. Рассмотрена задача о собственных изгибных колебаниях однородного стержня длиной два метра. При расчётах по методам Майклстеда Н.О. и Миля М.Л. стержень делили на равные участки. Для «плавающего стержня» массы участков разнесены по их концам, для стержня с шарнир-но опёртыми концами массы сосредоточиваем в середине участков. Нами разработаны алгоритмы расчёта и компьютерные программы, в которых реализованы рассматриваемые математические модели. Получены зависимости точности расчёта первых пяти собственных частот изгибных колебаний стержня от числа участков при условии «плавающий стержень» методами
Майклстеда Н.О. и Миля М.Л. Исследования проведены в диапазоне от восьми до сорока участков, т. к. при сорока участках отклонения значения первых пяти собственные частот изгибных колебаний стержня, полученных при расчетах с использованием рассматриваемых модификаций метода начальных параметров от точных значении не превышают 1-3%, т. е. достигается точность, достаточная для инженерных расчётов.
Ключевые слова: колебания машин, стержень, дифференциальное уравнение, собственная частота, точность.
Abstract. Practice shows that the method of initial parameters in its various modifications, the method of dynamic stiffness and the method of dynamic abilities of the same type with it can be recommended for calculating the vibrations of agricultural machines. The development of calculation algorithms reflecting the details of the system design led to the emergence of mathematical models of oscillatory systems, which allow theoretical studies of vibrations and the study of the influence on them of various structural elements and their parameters. A comparative analysis of the calculation accuracy of the natural frequencies of rod bending vibrations obtained by solving the differential equation of the natural bending vibrations of the rod and for two implementations of initial parameters method is carried out. The problem of natural bending vibrations of a homogeneous rod with a length of two meters is considered. Calculating the methods of Michaelsted N.O. and Mil M.L. the rod was divided into equal sections. For a "floating rod" the masses of the sections are spaced apart at their ends; for a rod with hingly supported ends we concentrate the masses in the middle of the sections. We have developed calculation algorithms and computer programs that implement the mathematical models under consideration. The dependences of calculating accuracy the first five natural frequencies of bending vibrations of a rod on the number of sections are obtained under the condition of a «floating rod» N. Michaelsted and M.L. Mil's methods. Studies conducted in the range of eight to forty sites because with forty sections of the value deviation of the first five eigenfrequency of rod bending vibrations obtained by the calculations using the considered modifications of the initial parameters method from the exact values don't exceed 1 -3% that means the sufficient accuracy is achieved for engineering calculations.
Keywords: machine vibrations, rod, differential equation, natural frequency, accuracy.
Введение. Как показывает практика, для расчёта колебаний сельскохозяйственных машин можно рекомендовать метод начальных параметров в различных его модификациях, метод динамических жесткостей и однотипный с ним метод динамических податливостей [1-5]. Разработка алгоритмов расчёта, отражающих подробности устройства систем, привели к возникновению математических моделей колебательных систем, которые позволяют проводить теоретические исследования колебаний и изучение влияния на них различных элементов конструкции и их параметров [6-9].
Методика. На основе результатов прямых численных расчётов стержня со свободными и шарнирно опертыми концами, проведём сравнительный анализ точности расчёта собственных частот изгибных колебаний стержня, полученных решением соответствующего дифференциального уравнения [10] для двух вариантов реализации метода начальных параметров, изложенных в работах.
Рассмотрим задачу о собственных изгибных колебаниях однородного стержня длиной 2 метра, с постоянной погонной массой р=6 кг/м и изгибной жесткостью Еи=104Н*м2.
Значение частоты, полученное решением дифференциального уравнения собственных изгибных колебаний стержня:
д4у(х,Г) д2у(х,1) п
Ь// — ,у =0, (1)
EJ-
дхА
определяется по формуле
dt1
а'
EJ
0.25L2 V И
(2)
где wT - собственная частота изгибных колебаний стержня, с1; а - корень уравнения частот; L - длина стержня, м. Это уравнение частот собственных изгибных колебаний стержня со свободными концами (плавающий стержень) имеет вид:
cha eos а - 1 = 0.
Для стержня, шарнирно опёртого по концам: sin а = 0.
Для расчёта собственных изгибных колебаний рассматриваемого стержня со свободными концами формулы, приведенные в работе, принимают вид:
Научный журнал
Вестник Курганской ГСХА
У к = Ак + СкУо о,
(3)
Мк +С?-где ук, Ок- прогиб и угол поворота в к-ом сечении, Ук, Мк - поперечная сила и изгибающий момент. Коэффициенты рассчитываются по формулам
'■к "-к ' ^ к У о + »
4=4-> +
4е
= 4е ,
2(Е^к_1 к-1
(М
/Iм +
/
6(К/)к 1
+4
4 е
£-1'
и
2(Ю)к -1
Л''
Д(ю) =
и
см
а:
ди
= о,
(4)
Рисунок 1 - Зависимость точности расчёта первых пяти собственных частот изгибных колебаний стержня от числа участков при условии «плавающий стержень» методами Майкпстеда Н.О. и Миля М.Л.
По оси абсцисс откладываем число участков п, на которое разбивается стержень. По оси ординат - отклонение б частоты ш в процентах, определенной методом начальных параметров по сравнению со значением шт, полученного решением дифференциального уравнения (1): (О - со т
8 = -
-100%
ащк -1
4 =4-1
дМ _ дМ^ + ]к хАк
где 1к1 - длина участка, соединяющего (к-1)-ю и к-ю массы; (Е^ - изгибная жесткость этого участка.
Остальные коэффициенты ^к-^к и т. д. определяются по аналогичным формулам. Собственные частоты стержня могут быть найдены из главного определителя:
системы уравнений для правого свободного конца стержня (к=п), отражающих условие резонанса:
[4:+Сл+АГО0=0.
Расчётные формулы метода Майкпстеда Н.О. используем без изменений.
При расчётах по методам Майкпстеда Н.О. и Миля М.Л. стержень разбиваем на равные участки. Для «плавающего стержня» массы участков разносим по их концам, для стержня с шарнирно опёртыми концами массы сосредоточиваем в середине участков.
Результаты. Нами разработаны алгоритмы расчёта и компьютерные программы, в которых реализованы рассматриваемые математические модели. Собственные частоты ш определялись с точностью Аш = Ю3сг1. Результаты расчётов частот представлены на рисунке 1.
6'
сот
Исследования проведены до п = 40,т.к. при этом числе участков отклонения значения пяти первых собственные частот изгибных колебаний стержня, полученных при расчетах с использованием рассматриваемых модификаций метода начальных параметров от точных значении не превышают 1-3%, т.е. достигается точность, достаточная для инженерных расчётов.
Метод, изложенный Милем М.Л., позволяет получить значения первых пяти упругих форм колебаний плавающего стержня, разбитого на двадцать участков, отличающиеся от значений соответствующих частот, полученных решением дифференциального уравнения колебаний этого стержня с распределенной массой не более, чем на 2,5%. При разбиении на сорок участков эта разность не превышает 1%. При числе участков меньше десяти точность расчетов резко понижается. В отличие от метода Миля М.Л. частоты, рассчитанные по методу Майкпстеда Н.О., имеют завышенные значения.
При расчётах по Майклстеду Н.О. кривая первой собственной частоты пересекает ось абсцисс при п=20, кривая третьей собственной частоты пересекает ось абсцисс при п = 32, и определяются при этих значениях п с наивысшей точностью. Частоты симметричных форм колебаний, кривые 1,2, 5, рассчитываемые из условия равенства нулю в среднем сечении стержня поперечной силы, имеют меньше отклонения от точного значения по сравнению с частотами кососим-метричных форм, кривые 2,4, рассчитываемые из условия равенства нулю в среднем сечении изгибающего момента.
Зависимость точности расчета по методу Майкпстеда Н.О. собственных частот стержня с шарнирно опертыми концами от числа участков показана на рисунке 2.
\1 --Мадк/?стедН.О.
р' / 5
III/
Рисунок 2 - Зависимость точности расчёта первых пяти собственных частот изгибных колебаний стержня на жёстких опорах от числа участков методом Майкпстеда Н.О.
Эти кривые имеют экстремум и пересекаются с осью абсцисс. При числе участков п больше 10 частоты высших форм колебаний оцениваются точнее низших, с ростом числа участков точность расчетов повышается, и при п = 40 отклонение не превышает 2,5%. Некоторые собственные
частоты могут быть определены с высокой точностью при числе участков меньше десяти. Например, значение частоты третьей собственной формы колебаний стержня при п=7 отличается от точного значения на 0,5%, при этом отклонения первой и второй частот составляют 15% и 10% соответственно.
На рисунке 3 показаны первые пять упругих форм колебаний стержня со свободными концами, рассчитанных по методам, изложенным в работах (56), (83) с числом участков п = 20.
аш
ЩЙ4)
Tq/32) Û,SÛÛ SÏV4. â.sûo
(â,SÛâ) //
Рисунок 3 - Первые пять форм колебаний стержня
со свободными концами, рассчитанные методами Майкпстеда Н.О. и Миля М.Л с числом участков п = 20
По методу Миля М.Л. расчёт ведется слева направо, по Майкпстеду Н.О. расчёт ведется справа налево до середины стержня. Формы нормированы относительно амплитуд первых точек. В левой части рисунка проставлены координаты узлов форм собственных изгибных колебаний «плавающего стержня», рассчитанных по Милю М.Л. В скобках даны точные значения координат. В правой части рисунка - координаты форм, рассчитанных по Майкпстеду И.О. При расчёте форм по методу Майкпстеда Н.О. амплитуда второй точки незначительно отличается от амплитуды первой точки.
Выводы
1. Исследования проведены до п = 40, т. к. при этом числе участков отклонения значения пяти первых собственных частот изгибных колебаний стержня, полученных при расчетах с использованием рассматриваемых модификаций метода начальных параметров, не превышают 1-3% от точных значений, т. е. достигается точность, достаточная для инженерных расчётов.
2. Метод, изложенный Милем М.Л., позволяет получить значения первых пяти упругих форм колебаний плавающего стержня, разбитого на двадцать участков, отличающиеся от значений соответствующих частот, полученных решением дифференциального уравнения колебаний этого стержня с распределенной массой не более, чем на 2,5%. При разбиении на сорок участков эта разность не превышает 1%. При числе участков меньше десяти точность расчетов резко понижается. В отличие от метода Миля М.Л.
частоты, рассчитанные по методу Майкпстеда Н.О., имеют завышенные значения.
Список литературы
1 Косилов Н.И., Фоминых А.В. Фракционные технологии для сепарирования зернового вороха: монография. Куртамыш, 2006. 153 с.
2 Фоминых А.В., Фомина С.В., Мекшун Ю.Н. Решетный стан с переменной амплитудой // Сельский механизатор.
2005. № 8. С. 28.
3 Фоминых А.В., Фомина С.В., Мекшун Ю.Н. Решетный стан, совершающий колебания в своей плоскости с переменной амплитудой по длине решета // Вестник КрасГАУ научно-технический журнал. Красноярск. 2005. № 9. С. 201-205.
4 Косилов Н.И., Фоминых А.В., Чумаков В.Г Семена по ранжиру в строй! // Сельский механизатор. 2006. № 2. С. 14-15.
5 Фоминых А.В. Расчёт колебаний машин//Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2006. № 12. С. 35.
6 Фоминых А.В., Чумаков В.Г Алгоритм расчета процесса сепарации на решетных устройствах // Аграрный вестник Урала. Екатеринбург: Изд-во Уральской ГСХА. 2010. № 7. С. 77-79.
7ФоминыхА.В., ЧумаковВ.Г, Шевцов И.В., Косовских AM. Методика расчета процесса просеивания проходовых частиц в круглые отверстия решёт//Аграрный вестник Урала. Екатеринбург: Изд-во Уральской ГСХА. 2010. № 7. С. 80-81.
8 Фоминых А.В. Расчёт просеваемости решётных сепараторов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2006. № 9. С. 35.
9 Фоминых А.В., Чумаков В.Г., Родионова С.И. Оптимизация процесса сепарирования на колосовых решётах// Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2011. № 9. С. 26-27.
10 Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 480 с.
List of references
1 Kosilov N.I., FominykhA.V. Fractional technologies forthe separation of grain heap: a monograph. Kurtamysh, 2006.153 p.
2 FominykhA.V., Fomina S.V., Mekshun Yu.N. Sieve mill with variable amplitude // Rural mechanizer. 2005. № 8. 28 p.
3 FominykhA.V., Fomina S.V., Mekshun Yu.N. Sieve mill making oscillations in its plane with a variable amplitude along the length of the sieve. // Vestnik KrasSAU scientific and technical journal. Krasnoyarsk. 2005. № 9. Pp. 201-205.
4 Kosilov N.I., Fominykh A.V., Chumakov V.G. Seeds! Build in rank// Rural mechanizer. 2006. № 2. Pp. 14-15.
5 Fominyh A.V. Calculation of machine vibrations // Mechanization and electrification of agriculture. 2006. № 12. 35 p.
6 Fominykh A.V., Chumakov V.G. Algorithm for calculating the separation process on the sieve devices //Agrarian Vestnik of the Urals. Ekaterinburg: Publishing House of the Ural State Agricultural Academy. 2010. №7. Pp. 77-79.
7 Fominykh A.V., Chumakov V.G., Shevtsov I.V., Kosovskih A.M. Method of calculating the sifting process of passage particles into the round holes of a sieve // Agrarian Vestnik of the Urals. Ekaterinburg: Publishing House of the Ural State Agricultural Academy. 2010. № 7. Pp. 80-81.
8 Fominyh A.V. Calculation of screening abilityof lattice separators // Mechanization and electrification of agriculture.
2006. № 9. 35 p.
9 Fominykh AV, Chumakov V.G., Rodionova S.I. Optimization of the separation process on spike sieves//Mechanization and electrification of agriculture. 2011. № 9. Pp. 26-27.
10 Biderman V.L. Theory of mechanical vibrations. M.: Higher School, 1980. 480 p.
