CC BY
87
УДК 517.977.5+519.86+330.35:330.42
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОНКУРЕНТНОГО ЗАМЕЩЕНИЯ ПОКОЛЕНИЙ ИННОВАЦИОННОГО ТОВАРА
© 2014 г. Ю.А. Кузнецов, 1 С.Е. Маркова, 1 О.В. Мичасова1’2
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2НИУ «Высшая школа экономики», Н. Новгород
Поступила в редакцию 15.01.2014
Исследуется динамика рынка передачи данных на основе математического моделирования процесса диффузии инноваций. Математическая модель строится в предположении о том, что диффузия инноваций реализуется в рамках конкурентного взаимодействия двух последовательных поколений новой технологии и основывается на математической модели динамики взаимодействия двух биологических популяций Г илпина-Айала.
Ключевые слова: экономический рост, научно-технологический прогресс, механизмы диффузии инноваций, математическая модель, модель Г илпина-Айала.
Введение
В современной экономической теории научно-технологический прогресс (НТП) рассматривается как один из важнейших факторов долговременного экономического роста. Влияние НТП на отдельную отрасль экономики проявляется, в основном, в модификации (модернизации) производимой продукции или создании новой, которая имеет важные конкурентные преимущества перед уже существующей. Зачастую такая новая продукция основана и на новых (передовых) технологиях. Однако технологическое первенство требует своевременной модернизации производства и обучения персонала, то есть существенных финансовых и организационных вложений. В то же время отказ от перехода к инновационным технологиям может привести к ощутимым потерям рыночных позиций или даже к полному прекращению деятельности.
Например, в конце 90-х-начале 2000-х годов из всех продаваемых в Российской Федерации (РФ) новых автомобилей более 96.9% были отечественного производства [1, 2]. Доступность отечественной продукции по цене была решающим фактором выбора между автомобилями отечественного и зарубежного производства. Однако уже в конце 90-х годов можно наблюдать устойчивый тренд роста доли иномарок в общем объеме продаваемых новых автомобилей. Уже в 2006 г. доля продаж российских автомобилей в общем объеме составляла лишь 38%, а доля автомобилей иностранного производства выросла, соответственно, до 62% (см.
рис. 1). Примечательно, что именно в 2006 г. рынок новых автомобилей РФ показал максимальный на тот момент абсолютный и относительный годовой прирост - 28.6% (или 400 тыс. шт.). Абсолютный прирост объема продаж иномарок в 2006 г. составил 576 тыс. шт., а прирост объема продаж автомобилей российских марок был отрицательным и составил -176 тыс. шт. Таким образом, на сегмент иномарок пришелся не только весь объем годового прироста, но и часть объема продаж отечественных автомобилей по сравнению с 2005 г.
Целый ряд причин привел к тому, что выбор потенциальными автовладельами стал осуществляться не столько по ценовому фактору (цена автомобиля и стоимость обслуживания), сколько по признаку надежности и технической оснащенности. И выбор в пользу новых иномарок означал выбор товара, произведенного с учетом актуальных технологических достижений. Те темпы, которыми сегодня отечественные производители пытаются сокращать технологическое отставание от зарубежных автопромышленных концернов, недостаточны для укрепления их рыночных позиций. Например, в 2012 году крупнейший отечественный производитель «АвтоВАЗ» заявил о начале выпуска моделей автомобиля с автоматической коробкой передач, в то время как первую автоматическую коробку передач на автомобиль зарубежного производства производитель Mercedes-Benz установил еще в 1961 г. По итогам 2012 года доля продаж новых автомобилей отечественного производства составила 20.8% (самый
Рис. 1. Доля продаж иномарок и автомобилей российских марок
низкий показатель с 1996 г.). Ясно, что для наращивания доли отечественных автомобилей на внутреннем рынке необходима коренная модернизация производства.
В настоящее время одним из важных примеров рынков, для которых характерно вытеснение одних продуктов другими, более привлекательными с технологической точки зрения, является рынок услуг передачи данных. Первоначально для передачи данных использовалась технология коммутируемого удаленного доступа (dial-up) с применением модема и телефонной сети общего пользования (КД). На смену ей пришла технология широкополосного доступа (ШПД) с использованием проводных и оптоволоконных линий связи различных типов. Преимущества технологии ШПД (высокая скорость передачи данных, высвобождение телефонных линий, непрерывность сеансов связи и др.) обеспечили достаточно быстрый переход пользователей на новую технологию доступа в Интернет. Перед большинством поставщиков услуг по передаче данных уже встает вопрос о степени насыщения рынка и перспективах его развития; этот вопрос актуален также в свете появления новых технологий мобильной передачи данных (см., например, [3, 4]).
Целью данной работы является исследование динамики рынка передачи данных на основе математического и эконометрического моделирования процесса диффузии инноваций. При построении математической модели используется предположение о том, что диффузия инноваций реализуется в рамках взаимодействия двух последовательных поколений новой технологии, причем динамика такого взаимодействия сходна с динамикой взаимодействия двух биологических популяций, существующих в одном ареале обитания и конкурирующих между собой. В качестве базовой математической
модели динамики взаимодействия двух биологических популяций в работе использована модель Гилпина-Айала [5-7], являющаяся обобщением известной модели Лотки-Вольтерра. В рамках данного исследования использовались пакеты прикладных программ MS Excel, MatLab и WInSet 3 [8-12].
Математическая модель процесса диффузии инноваций
В настоящее время во многих работах, посвященных моделированию процесса распространения нововведений (диффузии инноваций), используются математические модели динамики роста и конкурентного взаимодействия биологических популяций (см., например, [13-15] и др.). Особенно часто привлекаются модели типа Лотки-Вольтерра, в которых «внутривидовое» взаимодействие элементов популяции описывается моделью Ферхюльста-Пирла-Рида (см., например, [16-19] и др.). Можно сказать, что, в определенном смысле, модели этого типа в настоящее время занимают доминирующее положение. Однако имеются факты, свидетельствующие о том, что модели типа Лотки-Вольтер, далеко не всегда адекватно описывают реальные данные. Поэтому в последнее время в задачах моделирования диффузии инноваций всё чаще делаются попытки использования других «базовых» математических моделей динамики роста и взаимодействия биологических популяций.
Значительный интерес в исследованиях в указанной области может представлять применение модели Гилпина-Айалы (Gilpin M.E., Ayala F.J.), введенной в рассмотрение в работах [5-7]1. Она содержит дополнительные параметры, служащие характеристикой взаимодействия биологических популяций, и, тем самым, рас-
ширяет возможности сопоставления теоретических исследований и экспериментальных данных. В частности, модель Г илпина-Айалы включает в себя как частный случай и хорошо известную модель Лотки-Вольтерра. Исследованию различных вариантов данной модели посвящены многочисленные работы (см., например, [20-23] и др.). Отметим, впрочем, что модель Гилпина-Айала также может трактоваться как частный вариант математических моделей ещё более общего вида (см., например, [24, 25]).
Математическая модель Г илпина-Айалы динамики конкурентного взаимодействия двух биологических популяций может быть записана следующим образом:
Л
=
ж
Л
- = Г2 ^2
1 -
1 -
^ 91 *1
-8
N
1 К
V к 2 )
-8
(1)
ния первой и второй популяций, а при е1 е (1,да), е2 е (0,1) модель Лотки-Вольтерра описывает динамику конкурентного вытеснения первой популяции второй популяцией. Поскольку речь идет о динамике процесса замещения поколений инновационного товара (услуги), то естественно рассмотреть именно такой набор ограничений и в общем случае. Кроме того, естественно считать, что 0,. е (0,1), i = 1,2 (такой случай представляет интерес в многочисленных приложениях3). Поэтому в настоящей работе мы ограничимся описанием основных качественных особенностей фазового портрета системы (1) только в случае 0, е (0,1), / = 1,2, и е1 е (1, да), е 2 е (0,1).
Вводя в рассмотрение нормированные переменные и1 (:) = Ni (:)/К1, / = 1,2, преобразуем систему (1) к следующей «безразмерной» форме:
Здесь, как обычно, N и N - численности популяций, К1 и к2 - емкости их экологических ниш, г1 и г2 — темпы роста численности популяций при малых численностях популяций (когда внутри- и межвидовой борьбой можно пренебречь), 01 и 02 - характеристики внутривидовой, а 81 > 0 и 8 2 > 0 - межвидовой конкуренции. В рассматриваемой ситуации, когда исследуется динамика процесса замещения одного поколения инновационного товара (услуги) другим его поколением, может быть использована следующая трактовка переменных и параметров модели (1): N - численность пользователей технологии коммутируемого доступа, N - численность пользователей технологии
ёи]
Л
Ли2
Л
1 = Г1и11 - и101 -81и2 ],
/2^1 — и2 2 —82^ ].
(2)
Легко видеть, что система (2) имеет на границе множества R+ три состояния равновесия -0(0,0), 51 (1,0) и S2 (0,1). Вычисляя характеристические числа линеаризованной в этих точках системы (2), получаем, что 0(0,0) является неустойчивым узлом (Х1 = г1 > 0, X2 = г2 > 0 ), S1 (1,0) - седлом (Х1 = -г101 < 0, X2 = г2(1 -82) > 0), а S2 (0,1) - устойчивым узлом (Х1 = -г202 < 0, X2 = г1(1 -81) < 0 ). Вопрос о существовании состояний равновесия внутри первого квадранта (множество R++, (2)) решается на основе рас-
широкополосного доступа, К1 и К2 - емкости смотрения графиков горизонтальной (1 - и202 -
рынков соответствующей технологии, г1 и г2 — темпы роста количества пользователей (при малых численностях), 01, 02 и 81 , 82 - соответственно характеристики конкуренции в рамках одной технологии и между ними. Понятно, что естественным фазовым пространством системы (1) является множество R + (см. примечание2).
Заметим, что при 0і = 1, і = 1,2 , из модели (1) получается традиционная модель Лотки-Вольтерра. В математической теории биологических популяций проведено достаточно подробное исследование этой модели (см., например, [13-15] и др.). Установлено, что при 8і є (0,1), і = 1,2 , модель Лотки-Вольтерра описывает динамику конкурентного сосуществова-
—е 2и1 = 0) и вертикальной (1 - м1 1 -е1и2 = 0) изоклин системы (2) и определения количества и расположения их точек пересечения и легко сводится к исследованию количества и расположения
корней функции F(v) = 1 — е 2V — ((1 — V01)/е1 )02,
V е [0,1]. Можно показать, что на промежутке [0,1] график функции w = Г(V) имеет точку перегиба V*=((1 — 0;)/(1 — 0102 ))®1 е (0,1), Г"(V*) = = 0. При этом Г"(V) < 0, V е (0,V*); Г"(V) > 0,
V е (V* ,1). При условии Г'(V*) < 0 существуют точки е (0, V*) и е (V* ,1), в которых функция Г (V) достигает локального максимума и локального минимума соответственно. Не-
трудно показать, что справедливы следующие утверждения (ср. [23]).
1. Пусть выполнено одно из следующих двух условий: (а) Г'(V*) > 0; (Ь) Г'(V*) < 0 , Г^тп) > 0 . Тогда внутри первого квадранта не существует состояний равновесия.
2. Пусть Г'(V*) < 0 и Г^тп) = 0. Тогда
внутри первого квадранта существует единст-
/ * * \
венное состояние равновесия О-^, и2), отвечающее единственному (двойному) корню функции Г(V) на промежутке (0,1) .
3. Пусть Г'(V*) < 0 и Г^тп) < 0. Тогда внутри первого квадранта существуют два состояния равновесия Оь (и^,и2) и О? (и?,и?), причем 0 < и1 < и? < 1.
Заметим, что возможно вполне элементарное графическое исследование состояний равновесия, основанное на взаимном расположении горизонтальной и вертикальной изоклин системы (2) (ср., например, [26, р. 350]). Оно показывает, что, в случае утверждения 3, Оь (и2, и 2 ) -седло, а О? (и? ,и?) - устойчивый узел, так что фазовый портрет системы (2) имеет вид, представленный на рис. 2 (фазовый портрет построен с помощью пакета WInSet [10, 11] для следующих значений параметров системы (2): ?! = 1, ? = 1.1, 01 = 0.95, 02 = 0.17, е1 = 1.1605, е 2 = 0.3371). При изменении параметров системы (2) (например - в рассматриваемой здесь ситуации - при возрастании параметра 02 ) происходит бифуркация слияния седла и узла, в результате чего рождается сложное состояние равновесия типа «седло-узел» (см. [27-29]). Эта ситуация описывается утверждением 2. Дальнейшее изменение параметров системы (2) приводит к исчезновению состояния равновесия
типа «седло-узел»; в этой ситуации (утверждение 1) система (2) не имеет состояний равновесия внутри И + , при этом для любых начальных условий из И++ траектории системы (2) сходятся к глобально асимптотически устойчивому состоянию равновесия S2(0,1).
Таким образом, системы (1), (2) качественно правильно описывают динамику конкурентного взаимодействия двух последовательных поколений новой технологии (допуская как ситуацию сосуществования этих поколений, так и ситуацию полного вытеснения).
Построение эконометрической модели, идентификация параметров математической модели и анализ её свойств
Будем исходить из приведенной выше трактовки модели (1) и опишем её некоторое преобразование, позволяющее провести идентификацию параметров на основе сопоставления данной модели с соответствующими «экспериментальными» временными рядами N, N, где / є Z* с Z, Z - множество целых чисел. Понятно, что данным временным рядам соответствует некоторый шаг А/ «реального физического времени», принимаемый за единицу, так что величины N , N отвечают моментам /0 + /А/ , / є Z*, «физического времени». Запишем систему уравнений (1) в следующей форме:
Л 1п N1
Л/
(
\
V К1 )
N1 -
V К2 )
Л 1п N2
Л/
= Г -
02
V К2 )
02
N0 -
К1
N
N1
= г1 -
Г
Г2 2
2
Обозначим значения функций N = ) и
М2 = М2(;) - решений системы (1) в моменты t0 + tДt, t е Z,, «физического времени» - символами N1 = М (t0 + tДt) и N2 = М2 (t0 + tДt) соответственно. Далее, полагая М‘ = 1п N1,
2' = (м' )9, , = 1,2 , t е Z,, записывая с использованием введенных обозначений систему уравнений (3) в «конечно-разностном» виде, можно получить следующую систему рекуррентных соотношений:
М1+1 = М[ + А1 + Б12‘1 + С1 N2 + ю м, (4)
м 2+1 = м 2 + а2 + б2 г 2 + с2 М+ю 2,;, (5)
А, = гД, Б, =-А,К , С1 =-81 А,/К2,
С, = -^, / = 1,2 . 2 K1 ’ 5 -
А, > 0, / = 1,2 , позволяет определить параметры Г = А^Дt (см. (6)).
Для параметров К 1 и 8,, / = 1,2 , имеют место формулы
CiK 2
A
С K
8 2 =- . (9)
(6)
где Дt и ю,; — соответственно шаг и ошибка аппроксимации, ю, 1 ^ 0, Дt ^ 0, , = 1,2 .
Система уравнений (4), (5) позволяет построить эконометрическую модель для описания заданных временных рядов N1, N2, t е Z^.
Пусть М = 1п ~ = (~)9, , = 1,2 , t е Z., -временные ряды, формируемые на основе рядов N1, N2. Здесь 9, - неизвестные пока параметры модели, подлежащие определению, , = 1,2 . Для прогнозных значений переменных примем
обозначения N, N2, М‘ = 1п N‘, 2\ = (М‘) ‘ , , = 1,2 , t е Z^. Запишем эконометрическую
Заметим, что в случае модели Лотки-Вольтерра (9, = 1, , = 1,2) все параметры (9) определяются однозначно. В общем же случае требуются некоторые дополнительные построения для определения параметров 9,, , = 1,2 . Например, можно воспользоваться следующей процедурой. Пусть для некоторого набора параметров (91,92) е R+ построена эконометрическая модель (7), (8) и определены её коэффициенты А1 (91,92), Б1 (91,92), С1 (91,92), , = 1,2. В соответствии с формулами (9) определяются параметры К1 (91,92) и 8,(91,92), , = 1,2. Затем вычисляется решение N 1 (t) = N 1(;; 91,92),
, = 1,2 , системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1), после чего определяются значения этих функций в моменты времени t0 + tДt, t е Z.: N1 (91,92) = Ni(t0 + tДt;91,92),
, = 1,2 . Для сравнения этих «вычисленных» временных рядов с соответствующими «экспериментальными» временными рядами N1, t е Z.c Z, , = 1,2 , можно ввести в рассмотрение какую-либо оценку ошибки (рассогласования), например, функционал следующего вида:
модель в виде
М[+1 = М + А1 + Б1^1' + С1N2 + 8и , (7)
М+1 = М + а2 + б2 ^2 + с2 М+8 2,(, (8)
где коэффициенты модели (7), (8) определены в (6), а остатки 8,;, , = 1,2 , предполагаются удовлетворяющими традиционным для такого рода моделей условиям (подробнее см., например, [30, 31]). Заметим, что если определены все коэффициенты модели (7), (8), то возможно восстановление и параметров «исходной» системы уравнений (1). Это позволяет использовать в интересах прогноза динамики не только соотношения (7), (8), но также и систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Заметим, что в соответствии с (6) должны быть справедливы неравенства А > 0, Б,, < 0, С, < 0, , = 1,2 . При вычислении параметров системы уравнений (1) следует иметь в виду, что шаг Д; «реального физического времени», принимаемый за единицу, является заданной величиной. Таким образом, определение коэффициентов
J=z|zk (0i,0,) - N/ N.
(10)
Теперь может быть поставлена задача о поиске такого набора (0^,в,) е R+, который минимизирует функционал (10). Для её решения могут быть привлечены хорошо известные классические методы теории экстремальных задач (см., например, [32, 33]).
Исследование динамики рынка передачи данных проводилось на основе статистических данных по количеству пользователей соответствующих технологий с 2002 по 2012 год (по полугодиям). Все расчеты выполнялись в программах MatLab и MS Excel. Для оценивания коэффициентов модели (7), (8) как системы одновременных уравнений применялся косвенный метод наименьших квадратов (МНК) (см., например, [34]). Оценивались модели Лотки-Вольтерра и Гилпина-Айалы.
Результаты регрессионного анализа модели Лотки-Вольтерра (модели Гилпина-Айалы в случае 01 = 02 = 1) представлены в таблице 1.
2
Таблица 1
Коммутируемый Широкополосный
доступ (уравнение 1) доступ (уравнение 2)
Константа 0.5393 1.3895
(6.0778) * (3.6637) *
Количество абонентов -0.1987 -0.2131
коммутируемого доступа (-4.9041) * (-1.5654)
Количество абонентов -0.0630 -0.1169
широкополосного доступа (-7.9864) * (-4.0945) *
Коэффициент детерминации R2 0.7804 0.8229
F-критерий 31.9883 30.1994
Наблюдения 21 16
Статистика Дарбина-Уотсона DW 1.7518** 2.2628*
В скобках приведены ^статистики: * - 1% уровень значимости, ** - 5% уровень значимости.
N2
На основе оцененных коэффициентов регрессии были рассчитаны параметры модели (1) в случае 0! =02 = 1: гх = 0.5393; К = 2.7141;
8! = 1.3889; г = 1.3895 ; К2 = 11.8870; е2 = = 0.4163. На рис. 3 представлен фазовый портрет модели Лотки-Вольтерра для рассчитанных значений параметров (при его построении использован пакет WInSet [10, 11]). Состояние равновесия 5*1 - устойчивый узел, а 5 - седло. Таким образом, система уравнений (1) достаточно эффективно описывает динамику замещения («вытеснения») одного поколения (N1) инновационного товара (услуги) другим поколением (N2).
Ясно, что в данной ситуации действительно наблюдается конкурентное вытеснение комму-
тируемого доступа с рынка передачи данных. Эту ситуацию иллюстрируют также графики траекторий модели Лотки-Вольтерра Nj (?), 1 = 1,2, вычисленные с применением программы Ма1ЬаЬ для указанных выше значений коэффициентов модели, а также исходные («экспериментальные») данные (рис. 4).
Красными точками изображено количество пользователей технологии коммутируемого доступа, черными звездочками - технологии широкополосного доступа. Сплошная и пунктирные линии показывают траектории, построенные по данной модели (для различных начальных данных): черные - для коммутируемого доступа, красные - для широкополосного. Из графиков на рис. 4 видно, что данный вариант модели весьма неплохо соответствует исходным
Таблица 2
Коммутируемый доступ (уравнение 1) Широкополосный доступ (уравнение 2)
Константа 0.6369 1.3186
(6.2664) * (3.9165) *
Количество абонентов -0.2971 -0. 1704
коммутируемого доступа (-5.1727) * (-1.4474) *
Количество абонентов -0.0641 -0.1669
широкополосного доступа (-8.3102) * (-4.4167)
Коэффициент детерминации R2 0.7937 0.8378
F-критерий 34.6269 33.5805
Наблюдения 21 16
Статистика Дарбина-Уотсона DW 1 7777** 2.4837*
В скобках приведены /-статистики: * - 1% уровень значимости, ** - 5% уровень значимости
данным и, в целом, качественно правильно описывает процесс смены технологического уклада в сфере передачи данных для телекоммуникационной отрасли.
В рамках численно-аналитического исследования модели Гилпина-Айала при построении статистической модели с помощью описанной выше процедуры был определен набор оптимальных (в смысле функционала (10)) значений параметров 0/, I = 1,2 и коэффициентов Ai(01,02), Б((01,02), Ci(01,02), i = 1,2. Результаты регрессионного анализа приведены в таблице 2.
В ходе исследования проверялось выполнение основных предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. Сравнение рассчитанных значений критерия Дарбина-Уотсона (табл. 2) с их табличными значениями позволяет сделать вывод, что автокорреляция в остатках отсутствует в обоих уравнениях регрессии. Для тестирования гетероскедастичности остатков модели использовались тесты Энгла [35] и Уайта. Выбор теста Энгла обусловлен тем, что, во-первых, он используется для проверки гетероскедастичности при построении регрессионных моделей временных рядов, а во-вторых, наличием его реализации в пакете Ма1ЬаЬ. Применение теста позволило установить наличие гетероскеда-стичности остатков в первом уравнении и ее отсутствие во втором уравнении. Тест Уайта
показал наличие гетероскедастичности остатков в обоих уравнениях регрессии. Однако применение стандартных методов смягчения гетеро-скедастичности не дало существенных результатов. Следует отметить, что, по мнению ряда ученых, наличие гетероскедастичности не делает невозможным применение моделей, качество которых является вполне хорошим (см. [36]). Тестирование мультиколлинеарности показало, что возможно ее наличие во втором уравнении регрессии. Однако эта взаимосвязь обусловлена методикой расчета зависимой переменной; следует также учитывать, что в рамках модели рассматриваются временные ряды. Поэтому следует проанализировать наличие коинтеграцион-ной зависимости между зависимой переменной и параметрами модели. Для проверки на коин-теграцию использовался тест Йохансена [37]. Этот тест показал коинтеграцию ранга 1 для первого уравнения и отсутствие коинтеграции для второго уравнения при уровне значимости 5%. Такой результат, с одной стороны, ставит под сомнение корректность построения регрессии по временным рядам для рассматриваемых данных, но, с другой стороны, одной из предпосылок теории коинтеграции является наличие достаточно длинных временных рядов [34].
Переход от полученных коэффициентов регрессии к исходным параметрам модели системы Гилпина-Айалы приводит к следующим резуль-
татам: r1 = 0.6369 ; K1 = 2.7273; s1 = 1.2151;
r2 = 1.3186; K2 = 12.0661; s 2 = 0.3523; 01 = = 0.76, 02 = 0.83.
Качественно фазовый портрет модели Гил-пина-Айалы для рассчитанных значений параметров имеет вид, вполне аналогичный фазовому портрету, представленному на рис. 4. Как и в предыдущем случае, в данной ситуации также наблюдается конкурентное вытеснение коммутируемого доступа с рынка передачи данных. Эту ситуацию иллюстрируют графики траекторий модели Гилпина-Айалы N (t), i = 1,2 , вычисленные с применением программы MatLab для указанных выше значений коэффициентов модели, а также исходные («экспериментальные») данные (рис. 5).
Полученные по модели прогнозы численности абонентов ШПД в период 23 и 24 равны 11.56414 и 11.6573 (прогнозы ряда экспертов составляют около 15.5 и 16 соответственно). Полученные результаты свидетельствуют, в частности, о приближении рынка ШПД к насыщению. Уточнение прогноза возможно с учетом новой «экспериментальной точки», отвечающей статистическим данным за 2013 год.
Заключение
В настоящей работе проведено исследование динамики развития рынка передачи данных на основе математического и эконометрического моделирования процесса диффузии инноваций. Построена эконометрическая модель, основанная на математической модели Гилпина-Айалы динамики взаимодействия биологических популяций, существующих в одном ареале обитания и конкурирующих между собой за ресурсы. Как показывают результаты проведенного исследования, модель Гилпина-Айалы достаточно адекватно описывает динамику развития рынка и позволяет строить достаточно реалистичный краткосрочный прогноз его поведения.
Примечания
1. Используется также термин 0 -логистическая модель ( 0 -logistic model, theta-logistic model).
2. По определению R + = [0,да) , R++ = (0, да) .
3. Например, система (1) с набором параметров (01;02) = (0.12;0.35) достаточно точно описывает динамику конкуренции мух-дрозофил Drosophila pseudooscura (i = 1) и Drosophila willistoni (i = 2) (см. [5-7]).
Список литературы
1. Алиев Ф.В. Перспективы развития автомобильного рынка России // Журнал научных публика-
ций аспирантов и докторантов (электронный ресурс). URL: http://jumal.org/articles/2008/ekon51.html (дата обращения 18.09.2013).
2. Международная сеть PWC (электронный ресурс): Автомобильная отрасль / URL:
http://www.pwc.ru/ru/automotive/index.jhtml (дата обращения 02.09.2013).
3. Кузнецов Ю.А., Маркова С.Е. Некоторые качественные особенности развития российского рынка информационных и коммуникационных технологий // Экономический анализ: теория и практика. I. 2013. № 29(332). С. 2-12; II. 2013. № 30(333). С. 12-21.
4. Кузнецов Ю.А., Маркова С.Е. Анализ качественных особенностей динамики развития Российского рынка ИКТ. Структурный подход // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2013. № 3(100). С. 242-252.
5. Ayala F.J., Gilpin M.E., Ehrenfeld J.G. Competition between species: Theoretical models and experimental tests // Theoretical Population Biology. 1973. V.
4. № 3. P. 331-356.
6. Gilpin M.E., Ayala F.J. Global Models of Growth and Competition // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. 1973. V. 70. № 12. Part I. P. 35903593.
7. Gilpin M.E., Case T.J., Ayala F.A., 9-Selection // Mathematical Biosciences. 1976. V. 32. № 1-2. P. 131139.
8. Козлов А.Ю., Мхитарян В.С., Шишов В.Ф. Статистические функции MS Excel в экономикостатистических расчетах: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.С. Мхитаряна. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 231 с.
9. Козлов А.Ю., Шишов В.Ф. Пакет анализа MS Excel в экономико-статистических расчетах: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.С. Мхитаряна. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 139 с.
10. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с.
11. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. Использование программы WInSet для визуализации динамических систем. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 102 с.
12. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численные методы. СПб.: БХВ - Петербург, 2005. 752 с.
13. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 181 с.
14. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2003. 368с.
15. Murray J.D. Mathematical Biology. I. An Introduction. 3rd Edition. New York: Springer-Verlag, 2001. 551 pp. Русский перевод 1-го издания: Марри Дж., Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 397 с.
16. Morris S.A., Pratt D. Analysis of the Lotka- Vol-terra Competition equations as a technological substitution model // Technological Forecasting & Social Change. 2003. V. 70. № 2. P. 103- 133.
17. Wang Y., Wu H., Dynamics of a cooperation -competition model for the WWW market // Physica A:
Statistical Mechanics and its Applications. 2004. V. 339. № 3-4. P. 609-620.
18. Lee S.-J., Lee D.-J., Oh H.-S. Technological forecasting at the Korean stock market: A dynamic competition analysis using Lotka-Volterra model // Technological Forecasting and Social Change. 2005. V. 72. № 8. P. 1044-1057.
19. Chiang S.-Y. An application of Lotka-Volterra model to Taiwan's transition from 200 mm to 300 mm silicon wafers // Technological Forecasting and Social Change. 2012. V. 79. № 2. P. 383-392.
20. Goh B.S., Agnew T.T. Stability in Gilpin and Ayala's Models of Competition // Journal of Mathematical Biology. 1977. V. 4. № 2. P. 275-279.
21. Fan M., Wang K. Global periodic solutions of a generalized n-species Gilpin-Ayala competition model // Computers & Mathematics with Applications. 2000. V. 40. № 10-11. P. 1141-1151.
22. Meili Li M., Han M., Kou C., The existence of positive periodic solutions of a generalized N-species Gilpin -Ayala impulsive competition system // Mathematical Biosciences and Engineering. 2008. V. 5. № 4. P. 803-812.
23. Chen F., Chen Y., Guo S., Li Z. Global Attractiv-ity of a Generalized Lotka-Volterra Competition Model // Differential Equations and Dynamical Systems. 2010. V. 18. № 3. P. 303-315.
24. Savageau M.A. Growth Equations: A General Equation and a Survey of Special Cases // Mathematical Biosciences. 1980. V. 48. P. 267-278.
25. Ross J.V. A note on density dependence in population models // Ecological Modelling. 2009. V. 220. P. 3472-3474.
26. Gandolfo G. Economic Dynamics. Study Edition. Berlin: Springer, 1997. 675 pp.
27. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.
28. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Пер. с англ. под ред. А.Д. Морозова. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.
29. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1 / Пер. с англ. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.
30. Айвазян С.А. Основы эконометрики. 2001. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 432 с.
31. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2001. 402 с.
32. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1988. 552 с.
33. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. 824 с.
34. Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой М.: Финансы и статистика, 2004. 344 с.
35. Engle R. Autoregressive Conditional Hetero-scedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica. 1988. V. 96. P. 893-920.
36. Gujarati D.N., Porter D.C. Basic Econometrics. 5th Edition. Boston: McGraw-Hill Irwin, 2009.
37. Johansen S. Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford: Oxford University Press, 1995.
MATHEMATICAL MODELING OF COMPETITIVE REPLACEMENT DYNAMICS OF INNOVATION PRODUCT GENERATIONS
Yu.A. Kuznetsov, S.E. Markova, O. V. Michasova
The dynamics of the data transmission market is studied on the basis of mathematical modeling of the innovation diffusion process. The mathematical model is built assuming that the innovation diffusion is realized within competitive interaction between two successive generations of a new technology and in this way it is based on the Gilpin-Ayala competition model for the dynamics of interaction between two biological populations.
Keywords: economic growth, scientific and technological progress, innovation diffusion mechanisms, mathematical model, Gilpin-Ayala model.
References
1. Aliev F.V. Perspektivy razvitiya avtomobil'nogo rynka Rossii // Zhurnal nauchnyh publikacij aspirantov i doktorantov (ehlektronnyj resurs). URL: http://jurnal. org/articles/2008/ekon51.html (data obrashcheniya
18.09.2013).
2. Mezhdunarodnaya set' PWC (ehlektronnyj re-
surs): Avtomobil'naya otrasl' / URL: http://www.
pwc.ru/ru/automotive/index.jhtml (data obrashcheniya
02.09.2013).
3. Kuznecov Yu.A., Markova S.E. Nekotorye kachestvennye osobennosti razvitiya rossijskogo rynka informacionnyh i kommunikacionnyh tekhnologij // Ehkonomicheskij analiz: teoriya i praktika. I. 2013. № 29(332). S. 2-12; II. 2013. № 30(333). S. 12-21.
4. Kuznecov Yu.A., Markova S.E. Analiz kachestvennyh osobennostej dinamiki razvitiya Rossijskogo rynka IKT. Strukturnyj podhod // Trudy NGTU im. R.E. Alekseeva. 2013. № 3(100). S. 242-252.
5. Ayala F.J., Gilpin M.E., Ehrenfeld J.G. Competition between species: Theoretical models and experimental tests // Theoretical Population Biology. 1973. V.
4. № 3. P. 331-356.
6. Gilpin M.E., Ayala F.J. Global Models of Growth and Competition // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. 1973. V. 70. № 12. Part I. P. 35903593.
7. Gilpin M.E., Case T.J., Ayala F.A., 9-Selection // Mathematical Biosciences. 1976. V. 32. № 1-2. P. 131-139.
8. Kozlov A.Yu., Mhitaryan V.S., Shishov V.F. Sta-tisticheskie funkcii MS Excel v ehkonomiko-statisticheskih raschetah: Uchebnoe posobie dlya vuzov / Pod red. V.S. Mhitaryana. M.: YUNITI-DANA, 2003. 231 s.
9. Kozlov A.Yu., Shishov V.F. Paket analiza MS Excel v ehkonomiko-statisticheskih raschetah: Uchebnoe posobie dlya vuzov / Pod red. V.S. Mhitaryana. M.: YUNITI-DANA, 2003. 139 s.
10. Morozov A.D., Dragunov T.N. Vizualizaciya i analiz invariantnyh mnozhestv dinamicheskih sistem. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternyh issledovanij, 2003. 304 s.
11. Dragunov T.N., Morozov A.D. Ispol'zovanie programmy WInSet dlya vizualizacii dinamicheskih sistem. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2007. 102 s.
12. Ketkov Yu.L., Ketkov A.Yu., Shul'c M.M. MATLAB 7: programmirovanie, chislennye metody. SPb.: BHV - Peterburg, 2005. 752 s.
13. Bazykin A.D. Matematicheskaya biofizika vzai-modejstvuyushchih populyacij. M.: Nauka, 1985. 181 s.
14. Bazykin A.D. Nelinejnaya dinamika vzaimo-
dejstvuyushchih populyacij. M.-Izhevsk: Institut
komp'yuternyh issledovanij, 2003. 368s.
15. Murray J.D. Mathematical Biology. I. An Introduction. 3rd Edition. New York: Springer-Verlag, 2001. 551 pp. Russkij perevod 1-go izdaniya: Marri Dzh., Ne-linejnye differencial'nye uravneniya v biologii. Lekcii o modelyah: Per. s angl. M.: Mir, 1983. 397 s.
16. Morris S.A., Pratt D. Analysis of the Lotka- Vol-terra competition equations as a technological substitution model // Technological Forecasting & Social Change. 2003. V. 70. № 2. P. 103- 133.
17. Wang Y., Wu H., Dynamics of a cooperation -competition model for the WWW market // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2004. V. 339. № 3-4. P. 609-620.
18. Lee S.-J., Lee D.-J., Oh H.-S. Technological forecasting at the Korean stock market: A dynamic competition analysis using Lotka-Volterra model // Technological Forecasting and Social Change. 2005. V. 72. № 8. P. 1044-1057.
19. Chiang S.-Y. An application of Lotka-Volterra model to Taiwan's transition from 200 mm to 300 mm silicon wafers // Technological Forecasting and Social Change. 2012. V. 79. № 2. P. 383-392.
20. Goh B.S., Agnew T.T. Stability in Gilpin and Ayala's Models of Competition // Journal of Mathematical Biology. 1977. V. 4. № 2. P. 275-279.
21. Fan M., Wang K. Global periodic solutions of a
generalized n-species Gilpin-Ayala competition model // Computers & Mathematics with Applications. 2000. V. 40. № 10-11. P. 1141-1151.
22. Meili Li M., Han M., Kou C., The existence of positive periodic solutions of a generalized N-species Gilpin - Ayala impulsive competition system // Mathematical Biosciences and Engineering. 2008. V. 5. № 4. P. 803-812.
23. Chen F., Chen Y., Guo S., Li Z. Global Attractiv-ity of a Generalized Lotka-Volterra Competition Model // Differential Equations and Dynamical Systems. 2010. V. 18. № 3. P. 303-315.
24. Savageau M.A. Growth Equations: A General Equation and a Survey of Special Cases // Mathematical Biosciences. 1980. V. 48. P. 2б7-278.
25. Ross J.V. A note on density dependence in population models // Ecological Modelling. 2009. V. 220. P. 3472-3474.
26. Gandolfo G. Economic Dynamics. Study Edition. Berlin: Springer, 1997. б75 pp.
27. Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskih sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990. 488 s.
28. Gukenhejmer Dzh., Holms F. Nelinejnye koleba-niya, dinamicheskie sistemy i bifurkacii vektornyh polej / Per. s angl. pod red. A.D. Morozova. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternyh issledovanij, 2002. 5б0 s.
29. Shil'nikov L.P., Shil'nikov A.L., Turaev D.V., Chua L. Metody kachestvennoj teorii v nelinejnoj dina-mike. Ch. 1 / Per. s angl. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternyh issledovanij, 2004. 41б s.
30. Ajvazyan S.A. Osnovy ehkonometriki. 2001. M.: YUNITI-DANA, 2001. 432 s.
31. Dougerti K. Vvedenie v ehkonometriku: Per. s angl. M.: INFRA-M, 2001. 402 s.
32. Vasil'ev F.P. Chislennye metody resheniya ehkstremal'nyh zadach. 2-e izd. M.: Nauka, 1988. 552 s.
33. Vasil'ev F.P. Metody optimizacii. M.: Faktorial, 2002. 824 s.
34. Ehkonometrika / Pod red. I.I. Eliseevoj M.: Fi-nansy i statistika, 2004. 344 s.
35. Engle R. Autoregressive Conditional Hetero-scedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica. 1988. V. 9б. P. 893920.
36. Gujarati D.N., Porter D.C. Basic Econometrics. 5th Edition. Boston: McGraw-Hill Irwin, 2009.
37. Johansen S. Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford: Oxford University Press, 1995.
