CC BY
69
34 (220) - 2014
Математические методы анализа
УДК 330.4
экономико-математическое моделирование динамики смены поколений телекоммуникационных услуг*
Ю.А. КУЗНЕЦОВ,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования экономических процессов
E-mail: Yu-Kuzn@mm.unn.ru С.Е. МАРКОВА, старший преподаватель, аспирант кафедры математического моделирования экономических процессов
E-mail: Svech@mail.ru
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского —
Национальный исследовательский университет
О.В. МИЧАСОВА, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического моделирования
экономических процессов Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского —
Национальный исследовательский университет; доцент кафедры экономической теории и эконометрики Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Нижегородский филиал
E-mail:michasova@mm.unn.ru
При прогнозировании и анализе финансовых показателей деятельности предприятия очень важно понимать и учитывать емкость рынка, возможный спрос и близость отрасли к насыщению. В статье предлагается подход, в рамках которого можно определить потенциальную емкость рынка при условии существования двух технологий, одна из которых постепенно вытесняет другую. В качестве предме-
* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского — Национальном исследовательском университете.
та исследования была выбрана динамика рынка передачи данных, которая изучается с помощью методов экономико-математического моделирования процесса диффузии инноваций. Переход от коммутируемого доступа в Интернет к широкополосному доступу реализуется в рамках конкурентного взаимодействия двух последовательных поколений технологии, поэтому может быть описан математической моделью динамики взаимодействия двух биологических популяций Гилпина — Айала. Целями работы является подтверждение гипотезы, что данная модель может быть использованная для описания процесса смены технологий, и формирование прогноза о пер-
спективах развития широкополосного доступа в Интернет. Для определения коэффициентов модели была построена эконометрическая модель, описываемая системой одновременных уравнений. Также было выполнено сравнение модели Гилпина — Айала с более популярной и широко используемой моделью Лотки — Вольтерра. Исследование показало, что модель Гилпина — Айала лучше описывает процесс диффузии инноваций для рынка передачи данных. Кроме того, качество полученного прогноза является весьма высоким. В результате моделирования было установлено, что рынок распространения широкополосного доступа в Интернет близок к насыщению, поэтому на первый план для обеспечения устойчивых финансовых показателей компаний-провайдеров выходит поиск новых направлений деятельности, в частности продвижение мобильных технологий доступа в Интернет.
Ключевые слова: экономический рост, научно-технологический прогресс, механизмы диффузии инноваций, математическая модель, модель Гилпи-на — Айала; эконометрическая модель
Введение
В современной экономической теории научно-технологический прогресс (НТ11) рассматривается как один из важнейших факторов долговременного экономического роста. Влияние НТП на отдельные виды экономической деятельности проявляется, в основном, в модификации (модернизации) производимой продукции или создании новой, которая имеет важные конкурентные преимущества перед уже существующей. Зачастую такая новая продукция основана и на новых (передовых) технологиях. Однако технологическое первенство требует своевременной модернизации производства и обучения персонала, т.е. существенных финансовых и организационных вложений. В то же время отказ от перехода к инновационным технологиям может привести к ощутимым потерям рыночных позиций или даже к полному прекращению деятельности.
Примером вытеснения одного продукта другим, более привлекательным с технологической точки зрения, является рынок мобильных компьютеров. Основные его сегменты — это ноутбуки и планшетные компьютеры. Указанные товары предназначены для использования в условиях частых передвижений, недостаточного пространства для установки стационарного компьютера и т.п. Планшетный компьютер является более современным устройством, и технологические новшества делают его более
привлекательным для пользователя по сравнению с ноутбуком: существенно уменьшены в размерах, что существенно облегчает эксплуатацию в условиях поездок; сенсорное управление, которое избавляет от необходимости возить с собой дополнительные устройства ввода-вывода (клавиатура, мышь). Наконец, большинство моделей планшетных компьютеров существенно облегчают доступ в Интернет по сравнению с персональными компьютерами.
Согласно прогнозам [34], уже по итогам 2013 г. объем продаж планшетных компьютеров в мире будет превышать объем продаж персональных компьютеров (табл. 1, рис. 1).
Модель прогноза авторы построили на базе анализа динамики рынка смартфонов. После появления смартфонов на базе операционных платформ IOS и Android рынок устройств разделился на рынки старых (Blackberry, Symbian и Windows Mobile) и современных платформ (IOS, Android и Windows Phone). Разделение произошло естественным образом: подавляющее большинство пользователей, покупая новый смартфон, отдавали предпочтение аппарату с современной платформой. Таким образом, аппараты на базе современных платформ, отвечающие актуальным требованиям пользователя, составили новый, отдельный рынок, практически вытеснив предыдущее поколение.
Участники сектора персональных компьютеров работают в условиях снижения спроса на продукцию, причиной которого являются растущие требования пользователей. Происходит снижение объема в денежном выражении, их поступательное развитие в настоящее время затруднено.
Таким образом, одним их условий поступательного и управляемого развития как отдельных отраслей, так и национальной экономики в целом, может быть инструментарий по прогнозированию спроса в условиях смены технологических поколений, и внедрение этого инструментария в практику управления отраслями экономики.
Целью статьи является исследование динамики рынка передачи данных на основе математического и эконометрического моделирования процесса диффузии инноваций. Этот вопрос весьма актуален в свете появления новых технологий мобильной передачи данных [12, 13].
При построении математической модели используется предположение о том, что диффузия инноваций реализуется в рамках взаимодействия двух последовательных поколений новой техно-
Таблица 1
Доля продаж планшетных компьютеров и ноутбуков в 2011-2017 гг., %
Компьютер 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Планшетные компьютеры 26 40 52 58 64 68 71
Ноутбуки 74 60 48 42 36 32 29
1009080706050' 40 30 20' 10 0
_ /
s / V N
/
I II
2014
1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
II III IV I II III IV I II III IV I II III IV 2010 2011 2012 2013
- Планшетные компьютеры---Прогноз продаж
- Стационарные компьютеры
Рис.1. Прогноз объема продаж планшетных компьютеров и стационарных компьютеров в мире в 2010-2014 гг., млн шт. [34]
логии, причем динамика такого взаимодеиствия сходна с динамикоИ взаимодействия двух биологических популяциИ, существующих в одном ареале обитания и конкурирующих между собой. В качестве базовой математической модели динамики взаимодействия двух биологических популяций в работе использована модель Гилпина — Айала [18, 24, 25], являющаяся обобщением известной модели Лотки — Вольтерра. В рамках исследования использовались пакеты MS Excel и MatLab [9-11].
Результаты настоящего исследования докладывались на XV Апрельской международной научной конференции «Модернизация экономики и общества» (НИУ ВШЭ, 2014). Авторы выражают благодарность Ф.Т. Алескерову и всем участникам секции «Инструментальные методы в анализе социальных и экономических процессов» этой конференции за обсуждение доклада и ценные комментарии, учтенные при окончательном редактировании рукописи статьи.
Экономико-математическое моделирование процессов диффузии инноваций
В настоящее время во многих исследованиях, относящимся к техническим, естественнонаучным
1
и социально-экономическим наукам, достаточно широко используются биологические аналогии и терминология, восходящая к биологическим наукам. Примером таких заимствований могут служить понятие «время жизни» или концепция «жизненного цикла». В подобных исследованиях весьма часто применяются и различные модификации математических моделей, первоначально возникших в рамках математической биофизики [2, 3, 15 и др.].
В задачах, связанных с моделированием процесса распространения нововведений (диффузии инноваций), также часто используются математические модели динамики роста и конкурентного взаимодействия биологических популяций. Особенно широкое применение в этой области [20, 29, 31, 35 и др.] нашли модели типа модели Лотки — Вольтерра (A. Lotka, V. Volterra), в которых «внутривидовое» взаимодействие элементов популяции описывается моделью Ферхюльста — Пирла — Рида (P.F. Verhulst, R. Pearl, L.J.Reed). Можно сказать, что в определенном смысле модели этого типа занимают в настоящее время доминирующее положение (причем не только в вопросах моделирования диффузии инноваций).
Однако имеются факты, свидетельствующие о том, что описанные выше модели типа Лотки — Вольтера далеко не всегда позволяют адекватно описать наблюдающиеся факты. Это (впрочем, отмеченное уже достаточно давно) обстоятельство привело к тому, что в задачах моделирования диффузии инноваций в последнее время все чаще делаются попытки использования других базовых математических моделей динамики роста и взаимодействия биологических популяций. В частности, в таких моделях для описания внутривидового взаимодействия элементов популяции находят применение модели Б. Гомпертца (B. Gompertz), А. Пюттера (A. Рьйег), Л. Берталанфи (L. Bertalanffy, von), М. Розенцвейга (M. Rosenzweig), Т. Шонера (N.W.Schoener) и многие другие.
Значительный интерес в исследованиях в указанной области может представлять применение модели Гилпина — Айала [24], введенной в рассмотрение в работах [18, 24, 25]. Она содержит дополнительные параметры, служащие характеристикой взаимодействия биологических популяций, и тем самым расширяет возможности сопоставления теоретических исследований и экспериментальных данных. В частности, модель Гилпина — Айала включает в себя как частный случай и хорошо известную модель Лотки — Вольтерра. Исследованию различных вариантов данной модели посвящены, например, работы [22, 26, 30 и др.]. Отметим, что часто модель Гилпина — Айала обозначается термином 9 — логистическая модель (theta-logistic model, 9 — logistic model). Впрочем, модель Гилпина — Айала также может трактоваться как частный вариант еще более общих математических моделей [32, 33].
Математическая модель Гилпина — Айала динамики конкурентного взаимодействия двух биологических популяций может быть записана следующим образом:
rL и г,
2
dN
dt
1 = rN
1 -
(N V4
N
-В,
K
dN.
dt
2 = Г2 N
1 -
( N2 ^
V K2 J
-В
nl Ki
(1)
где N1 и N2 — численность популяций;
К1 и К2 — емкость экологических ниш популяций;
г1 и г2 — темпы роста численности популяций при малых численностях популяций (когда внутри- и межвидовой борьбой можно пренебречь);
91 и 92 — характеристики внутривидовой конкуренции;
в1 > 0 и в2 > 0 — характеристики межвидовой конкуренции.
В рассматриваемой ситуации, когда изучается динамика процесса замещения одного поколения инновационного товара (услуги) другим его поколением, может быть использована следующая трактовка переменных и параметров модели (1):
• N1 — численность пользователей технологии коммутируемого доступа;
• N1 — численность пользователей технологии широкополосного доступа;
• К1 и К2 — емкость рынков соответствующей технологии;
темпы роста количества пользователей (при малых численностях); • 91, 92 и е1, в2 — соответственно характеристики конкуренции в рамках одной технологии и между ними.
Понятно, что естественным фазовым пространством системы (1) является множество R + 1 .
Заметим, что при 9. = 1, i = 1, 2 , из модели (1) получается традиционная модель Лотки — Вольтерра. В математической теории биологических популяций проведено достаточно подробное исследование этой модели [2, 15 и др.]. Установлено, что при е.. е(0,1), г = 1, 2, модель Лотки — Вольтерра описывает динамику конкурентного сосуществования первой и второй популяций, а при е1 е(1,<х>), е2 е(0,1) модель Лотки — Вольтерра описывает динамику конкурентного вытеснения первой популяции второй популяцией. Поскольку речь идет о динамике процесса замещения поколений инновационного товара (услуги), естественно, необходимо рассмотреть именно такой набор ограничений и в общем случае. Кроме того, естественно считать, что 9. е(0,1), г = 1, 2 (такой случай представляет интерес в многочисленных приложениях)2. Поэтому в настоящей работе авторы ограничиваются описанием основных качественных особенностей фазового портрета системы (1) только в случае 9. е(0,1),г = 1, 2 и Е1 е(1,«5), Е2 е(0,1).
Вводя в рассмотрение нормированные переменные (^) = N. ()/К1 , г = 1, 2, преобразуем систему (1) к следующей безразмерной форме:
du dt du dt
1 = r1u1- ul9l - blu2 J,
2 = r2u2- u292 - b2ul J .
(2)
Легко видеть, что система (2) имеет на границе множества R + три состояния равновесия — О (0,0), 5^(1,0) и 52(0,1). Вычисляя характеристические числа линеаризованной в этих точках системы (2), получаем, что О (0,0) является неустойчивым узлом (Я1 = г1 > 0, Я2 = г2 > 0 ), 5^(1,0) — седлом (Х1 = г1 91< 0, А,2 = г2(1 — е2) > 0), а 52(0,1) — устойчивым узлом (Я1 = — г2 92 < 0, А,2 = г1(1 — е1) < 0. Вопрос о существовании состояний равновесия
1 По определению, R+ = [0 ,<»), R++ = [0 ,<»).
2 Например, система (1) с набором параметров (91; 92) = (0,12; 0,35) достаточно точно описывает динамику конкуренции мух дрозофил Drosophila pseudooscura (г = 1) и Drosophila wiШstom (г = 2) [18, 24, 25].
внутри первого квадранта (множество R++) решается на основе рассмотрения графиков горизонтальной (1 - и/2 -е2и1 = 0 ) и вертикальной (1 - и1®1 — е1и2 = 0) изоклин системы (2) и определения количества и расположения их точек пересечения и легко сводится к исследованию количества и распо-
(
ложения корней функции ¥(V) = 1 — г2У —
1 — V1
9 >
V е [0,1]. Можно показать, что на промежутке [0,1] график функции ^ = F(v) имеет точку пере-
(
гиба V* =
1 — 91
1 — 9192,
е (0,1), ¥''(V*) = 0. При этом
¥" (V*) < 0, V е (0,v*); ¥" (V) > 0, V е (V*,!). При условии ¥' (V*) < 0 существуют точки vmsx е (0, V*) и е (V* ,1), в которых функция ¥^) достигает локального максимума и локального минимума соответственно. Нетрудно показать, что справедливы следующие утверждения [19]:
1) пусть выполнено одно из следующих двух условий: ¥'(V*) > 0; ¥'(V*) < 0, ¥(ут)п) > 0. Тогда внутри первого квадранта не существует состояний равновесия;
2) пусть F' (V*) < 0 и F(vmin) > 0. Тогда внутри первого квадранта существует единствен-
/~1 / * * \
ное состояние равновесия Ь(и1,и2), отвечающее единственному (двойному) корню функции F(v) на промежутке (0,1);
3) пусть F' (V*) < 0 и F(vmin) < 0. Тогда внутри первого квадранта существуют два состояния равновесия Оь (и^,и^) и иОн (и^,и^), причем 0 < и1 < ^ < 1
Заметим, что возможно вполне элементарное графическое исследование состояний равновесия, основанное на рассмотрении взаимного расположения горизонтальной и вертикальной изоклин системы (1), (2) [23, с. 350]. Оно показывает, что в случае утверждения 3, Оь(и1,иь2) — седло, а Ок(и^,и^) — устойчивый узел. При изменении параметров системы (2) (например, в рассматриваемом примере в ситуации при возрастании параметра 92) происходит бифуркация слияния седла и узла, в результате чего рождается сложное состояние равновесия типа «седло — узел» [4, 7, 16]. Эта ситуация описывается утверждением 2. Дальнейшее изменение параметров системы (2) приводит к исчезновению состояние равновесия типа «седло — узел». В этой ситуации (утверждение 1) система (2) не имеет состояний равновесия внут-
ри R +, при этом для любых начальных условий из R++ траектории системы (2) сходятся к глобально асимптотически устойчивому состоянию равновесия 52(0,1). Таким образом, системы (1), (2) качественно правильно описывают динамику конкурентного взаимодействия двух последовательных поколений новой технологии (допуская как ситуацию сосуществования этих поколений, так и ситуацию полного вытеснения).
Построение эконометрической модели, идентификация параметров математической модели и анализ ее свойств
Будем исходить из приведенной трактовки модели (1) и опишем ее некоторое преобразование, позволяющее провести идентификацию параметров на основе сопоставления данной модели с соответствующими «экспериментальными» временными рядами Щ, Щ, где (е Z* с Z, Z — множество целых чисел. Понятно, что данным временным рядам соответствует некоторый шаг а' реального физического времени, принимаемый за единицу, так что величины Щ, NN2 отвечают моментам ^ + 'а', t е Z*, физического времени. Запишем систему уравнений (1) в следующей форме:
dt dt
(
\
( \
V К1 У
Щ? —
V К2 У
Щ
К&2 2 У
Щ?2 —
V К1 У
N1.
(3)
Обозначим значения функций Щ = ЩД') и Щ = N2(t) — решений системы (1) в моменты t0 + tАt, t е Z*, физического времени — символами N1 = Щ (t0 + tАt) и N2 = Щ (t0 +1 Аt) соответственно. Далее, полагая М1 = 1п Щ, Ztl = (Щ) , , = 1, 2, t е Z*, записывая с использованием введенных обозначений систему уравнений (3) в конечно-разностном виде, можно получить следующую систему рекуррентных соотношений:
(4)
М; = М1 + А1 + В^ + С1Щ + юи; М2+1 = М2 + А2 + В2 Z 2 + С2 Щ + ю ;
А = г А , В, = —
С = 82 А2
2 К
К?
, = 1, 2,
С = —81А1
К
(5)
(6)
е
8
= Г1 —
Г
Г282
2
= Г2 —
м;+1 = м{ Mf = Mf 2
где At — шаг и ошибка аппроксимации;
ю — ошибка аппроксимации, ю ^ 0, At ^ 0, i = 1, 2.
Система уравнений (4), (5) позволяет построить эконометрическую модель для описания заданных временных рядов N1, N2, t е Z*. Пусть м = ln Nt, = (NN; )е' , i = 1, 2, t е Z*, — временные ряды, формируемые на основе рядов N{, N2. Здесь е. — неизвестные пока параметры модели, подлежащие определению, i = 1, 2. Для прогнозных значений переменных примем обозначения N, N2 , M = ln Sit, z\ = (N- )\ i = 1, 2, t е Z*. Запишем эконометрическую модель в виде
V+1 - »>' - A + ВА' + QSS2 + e1,t, (7)
- A + b2 ¿2 + C2 SS/ + s2,t, (8)
где коэффициенты модели (7), (8) определены соотношениями (6), а остатки s i = 1, 2, предполагаются удовлетворяющими традиционным для такого рода моделей условиям (подробнее [1, 8]). Заметим, что если определены все коэффициенты моделей (7), (8), то возможно восстановление и параметров исходной системы уравнений (1). Это позволяет использовать в интересах прогноза динамики не только соотношения (7), (8), но также и систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Заметим, что в соответствии с соотношениями (6) должны быть справедливы неравенства A. > 0, B. < 0, C. < 0, i = 1, 2. При вычислении параметров системы уравнений (1) следует иметь в виду, что шаг At реального физического времени, принимаемый за единицу, является заданной величиной. Таким образом, определение коэффициентов Ai > 0, i = 1,
A,
2 позволяет определить параметры Г = — (см. соотношения (6)).
Для параметров K. и s., i = 1, 2 имеют место формулы:
K =
i
ч
B,
C1K2
C2 K1
(9)
В. (91, 92), С. (91, 92) , г = 1, 2. В соответствии с формулами (9) определяются параметры К. (91, 92) и е.. (91, 92) , г = 1, 2. Затем вычисляется решение N. (г) = N. (V; 91, 92), г = 1, 2 системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1), после чего определяются значения этих функций в моменты времени г0 + Ш, г е Z* ,: N1 (91,92) = Nl (г0 +гДг;91,92), г = 1, 2. Для сравнения этих вычисленных временных рядов с соответствующими экспериментальными временными рядами N., г е Zs с Z, г = 1, 2 можно ввести в рассмотрение какую-либо оценку ошибки (рассогласования), например функционал следующего вида:
J = Z]Z[n;(eiа)-Nt] L.
(10)
Заметим, что в случае модели Лотки — Воль-терра (9. = 1, г = 1, 2) все параметры формул (9) определяются однозначно. В общем же случае требуются некоторые дополнительные построения для определения параметров 9.., г = 1, 2. Например, можно воспользоваться следующей процедурой.
Пусть для некоторого набора параметров (01, 02) е R+ построена эконометрическая модель (7), (8) и определены ее коэффициенты А. (91, 92),
Теперь может быть поставлена задача о поиске такого набора (61, 92) е R+ , который минимизирует функционал (10). Для ее решения могут быть привлечены хорошо известные классические методы теории экстремальных задач [5, 6].
Исследование динамики рынка передачи данных проводилось на основе статистических данных по количеству пользователей соответствующих технологий с 2002 по 2013 г. (по полугодиям). Предварительный вариант расчетов (без учета 2013 г.) можно найти в работе [14]. Все расчеты выполнялись в программе МаЛаЬ. Для оценивания коэффициентов модели (7), (8) как системы одновременных уравнений применялся косвенный метод наименьших квадратов (МНК). Оценивались модели Лотки — Вольтерра и Гилпина — Айала.
Результаты регрессионного анализа модели Лотки — Вольтерра (модели Гилпина — Айала в случае (91= 92 = 1) представлены в табл. 2.
На основе оцененных коэффициентов регрессии были рассчитаны параметры модели (1) в случае 91= 92 = 1: г1 = 0,5393; К1 = 2,6786; е1 = 1,3868; г2 = 1,4002; К2 = 12,2531; е2 = 0,4233. Фазовый портрет модели Лотки — Вольтерра для рассчитанных значений параметров представлен на рис. 2. Состояние равновесия 51 — устойчивый узел, а 52 — седло . Таким образом, система уравнений (1) достаточно эффективно описывает динамику замещения (вытеснения) одного поколения N1 инновационного товара (услуги) другим поколением N .
Ясно, что в данной ситуации действительно наблюдается конкурентное вытеснение коммутируемого доступа с рынка передачи данных. Эту ситуацию иллюстрируют также графики траекторий
¡=1,2 tez
2
Таблица 2
Регрессионный анализ модели Лотки — Вольтерра
Показатель Коммутируемый доступ (уравнение 1) Широкополосный доступ (уравнение 2)
Константа 0,5393 1,4002
(5,5033)* (3,8342)*
Количество абонентов -0,2014 -0,2213
коммутируемого доступа (-4,5293)* (1,6904)
Количество абонентов -0,0610 -0,1143
широкополосного доступа (-7,3672)* (-4,1754)*
Я2 0,7311 0,8285
¥-критерий 27,1856* 36,2443*
Наблюдения 23 18
DW 1,8505** 2,1104*
* Уровень значимости — 1%.
** Уровень значимости — 5%.
Примечание. В скобках приведены ^статистики.
Рис. 2. Фазовый портрет модели Лотки — Вольтерра
14 12 10 8 6 4 2
5 10 15 20 25
* Пользователи технологии коммутируемого доступа
0 Пользователи технологии широкополосного доступа
и Прогнозная точка для широкополосного доступа (по оценкам экспертов)
..... Траектория для технологии коммутируемого доступа
— Траектория для технологии широкополосного доступа
Рис. 3. Графики траекторий модели Лотки — Вольтерра и исходные данные
0
модели Лотки — Вольтерра Ni (t), i = 1, 2, вычисленные с применением программы MatLab для указанных выше значений коэффициентов модели, а также исходные (экспериментальные) данные (рис. 3).
Анализ рис. 3 свидетельствует, что данный вариант модели весьма неплохо описывает исходные данные и, в целом, качественно правильно описывает процесс смены технологического уклада в сфере передачи данных для телекоммуникационной отрасли.
В рамках численно-аналитического исследования модели Гилпина — Айала при построении статистической модели с помощью описанной выше процедуры был определен набор оптимальных (в смысле функционала (10)) значений параметров 0., i = 1, 2 и коэффициентов A. (0j, 02), Вг (01, 02), С.. (0j, 02), i = 1, 2. Результаты регрессионного анализа приведены в табл. 3.
В ходе исследования проверялось выполнение основных предпосылок теоремы Гаусса — Маркова. Сравнение рассчитанных значений критерия Дарби-на — Уотсона (см. табл. 3) с их табличными значениями позволяет сделать вывод, что автокорреляция в остатках отсутствует в обоих уравнениях регрессии. Для тестирования гетероскедас-тичности остатков модели использовались тесты Энгла [21] и Уайта. Выбор теста Энгла обусловлен тем, что, во-первых, он используется
результаты регрессионного анализа модели Гилпина — Айала
Показатель Коммутируемый доступ (уравнение 1) Широкополосный доступ (уравнение 2)
Константа 0,6099 1,3095
(5,6936)* (4,3162)*
Количество абонентов -0,2710 -0,1625
коммутируемого доступа (-4,7595)* (-1,5600)
Количество абонентов -0,0626 -0,1878
широкополосного доступа (-7,6258)* (-4,7455)*
Я2 0,7446 0,8518
^-критерий 29,1478* 43,1035*
Наблюдения 23 18
DW 1,8897* 2,4574**
* Уровень значимости — 1%.
** Уровень значимости — 5%.
Примечание. В скобках приведены ¿-статистики.
рис. 4. Фазовый портрет модели Гилпина — Айалы
для проверки гетероскедастичности при построении регрессионных моделей временных рядов, а во-вторых, наличием его реализации в пакете Ма1ЬаЬ. Применение теста позволило установить наличие гетероскедастичности остатков в первом уравнении и ее отсутствие во втором уравнении. Тест Уайта показал наличие гетероскедастичности остатков в обоих уравнениях регрессии. Однако применение стандартных методов смягчения гетероскедастичности не дало существенных результатов. Следует отметить, что, по мнению ряда ученых, наличие гетероскедастичности не делает невозможным применение моделей, качество которых является вполне хорошим [27]. Тестирование мультиколлинеарности показало, что возможно ее наличие во втором уравнении регрессии: при высоком значении коэффициента
Таблица 3 детерминации низкое значение ¿-статистики для первой переменной (количество абонентов коммутируемого доступа) и высокий коэффициент корреляции между параметрами модели (-0,93). Однако эта взаимосвязь обусловлена методикой расчета зависимой переменной. Следует также учитывать, что в рамках модели рассматриваются временные ряды. Поэтому следует проанализировать наличие коинтеграционной зависимости между зависимой переменной и параметрами модели. Для проверки на коинтеграцию использовался тест Йохансена [28]. Он показал коинтеграцию ранга 1 для первого уравнения и отсутствие коинтеграции для второго уравнения при уровне значимости 5%. Такой результат, с одной стороны, ставит под сомнение корректность построения регрессии по временным рядам для рассматриваемых данных, однако, с другой стороны, одной из предпосылок теории коинтегра-ции является наличие достаточно длинных временных рядов.
Переход от полученных коэффициентов регрессии к исходным параметрам модели приводит к следующим параметрам системы Гилпина — Айалы: г 1 = 0,6099; К1 = 2,6900; е1 = 1,2787; г2 = 1,3095; К2 = 12,4559; в2 = 0,3338; 01 = 0,82, 02 = 077.
Качественно фазовый портрет модели Гилпина —Айалы для рассчитанных значений параметров имеет вид, вполне аналогичный фазовому портрету для модели Лотки-Вольтерра (рис. 4). Как и в предыдущем случае, в данной ситуации также наблюдается конкурентное вытеснение коммутируемого доступа с рынка передачи данных. Эту ситуацию иллюстрируют также графики траекторий модели Гилпина — Айалы Ni (¿), I = 1, 2, вычисленные с применением программы Ма1ЬаЬ для указанных ранее значений коэффициентов модели, а также исходные (экспериментальные) данные (рис. 5).
Полученные по модели результаты точнее соответствуют оценкам экспертов, чем ранее полу-
14
12
10
8 6
ченные результаты [14]. Прогноз численности абонентов широкополосного доступа в период 25 составляет теперь 12,0976, а оценки экспертов предсказывают 13,72. Анализ модели показал, что рынок широкополосного доступа в Интернет по количеству абонентов близок к насыщению. Однако следует отметить, что, вероятно, рынок доступа в Интернет является открытым, так как возможно появление новых пользователей, поэтому дальнейшим этапом анализа динамики телекоммуникационных услуг будет учет этого факта при моделировании.
Заключение
В представленной работе проведено исследование динамики развития рынка передачи данных на основе математического и эконометрического моделирования процесса диффузии инноваций. Построена эконометрическая модель, основанная на математической модели Гилпина—Айалы динамики взаимодействия биологических популяций, существующих в одном ареале обитания и конкурирующих между собой за ресурсы. Как показывают результаты проведенного исследования, модель Гилпина — Айалы достаточно адекватно описывает динамику развития рынка и позволяет строить достаточно реалистичный краткосрочный прогноз его поведения.
Список литературы
1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 432 с.
2. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 181 с.
3. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.
4. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.
5. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. 824 с.
6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1988. 552 с.
0 5 10 15 20 25
* Пользователи технологии коммутируемого доступа
° Пользователи технологии широкополосного доступа
и Прогнозная точка для широкополосного доступа (по оценкам экспертов)
............ Траектория для технологии коммутируемого доступа
- Траектория для технологии широкополосного доступа
Рис. 5. Графики траекторий модели Гилпина — Айалы и исходные данные
7. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей: пер. с англ. под ред. А.Д. Морозова. Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.
8. Доугерти К. Введение в эконометрику / пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2001. 402 с.
9. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численные методы. СПб: БХВ-Петербург, 2005. 752 с.
10. Козлов А.Ю., Мхитарян В.С., Шишов В.Ф. Статистические функции MS Excel в экономико-статистических расчетах: учеб. пособие для вузов / под ред. В С. Мхитаряна. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 231 с.
11. Козлов А.Ю., Шишов В. Ф. Пакет анализа MS Excel в экономико-статистических расчетах: учеб. пособие для вузов / под ред. В.С. Мхитаряна. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 139 с.
12. Кузнецов Ю.А., Маркова С.Е. Анализ качественных особенностей динамики развития российского рынка ИКТ. Структурный подход // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2013. № 3. С. 242-252.
13. Кузнецов Ю.А., Маркова С.Е. Некоторые качественные особенности развития российского рынка информационных и коммуникационных технологий // Экономический анализ: теория и практика. 2013. № 29. С. 2-12; 2013. № 30. С. 12-21.
14. КузнецовЮ.А., Маркова С.Е., Мичасова О.В. Математическое моделирование динамики конкурентного замещения поколений инновационного товара // Вестник Нижегородского государственного
4
2
университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 2. С.178-184.
15 . Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / пер. с англ. М.: Мир, 1983. 397 с.
16 . Шилъников Л.П., Шилъников А.Л., Тура-ев Д. В., ЧуаЛ. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.
17. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой М.: Финансы и статистика, 2004. 344 с.
18. Ayala F.J., Gilpin M.E., Ehrenfeld J.G. Competition between species: Theoretical models and experimental tests // Theoretical Population Biology. 1973. Vol. 4. № 3. P. 331-356.
19. ChenF., Chen Y., Guo S., LiZ. Global Attractivity of a Generalized Lotka — Volterra Competition Model // Differential Equations and Dynamical Systems. 2010. Vol. 18. № 3. P. 303-315.
20 . Chiang S.-Y. An application ofLotka — Volterra model to Taiwan's transition from 200mm to 300mm silicon wafers // Technological Forecasting and Social Change. 2012. Vol. 79. № 2. P. 383-392.
21. Engle R. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica. 1988. Vol. 96. P. 893-920.
22 . Fan M., Wang K. Global periodic solutions of a generalized n-species Gilpin — Ayala competition model // Computers & Mathematics with Applications. 2000. Vol. 40. № 10-11. P. 1141-1151.
23. Gandolfo G. Economic Dynamics . Study Edition. Berlin: Springer, 1997. 675 p.
24 . Gilpin M.E., Ayala F.J. Global Models of Growth and Competition // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. 1973. Vol. 70. № 12. Ч. I. P. 3590-3593.
25 . Gilpin M.E., Case T.J., Ayala F.A. 9-Selection // Mathematical Biosciences. 1976. Vol. 32. № 1-2. P. 131-139.
26 . Goh B.S., Agnew T.T. Stability in Gilpin and Ayala's Models of Competition // Journal of Mathematical Biology. 1977. Vol. 4. № 2. P. 275-279.
27. GujaratiD.N., PorterD.C. Basic Econometrics. 5th Edition. Boston: McGraw-Hill Irwin, 2009.
28. Johansen S. Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford: Oxford University Press, 1995.
29. Lee S.-J., Lee D.-J., Oh H.-S. Technological forecasting at the Korean stock market: A dynamic competition analysis using Lotka — Volterra model // Technological Forecasting and Social Change . 2005 . Vol. 72. № 8. P. 1044-1057.
30 . Meili Li M., Han M., Kou C. The existence of positive periodic solutions of a generalized N-species Gilpin — Ayala impulsive competition system // Mathematical Biosciences and Engineering. 2008. Vol. 5. № 4. P. 803-812.
31. Morris S.A., Pratt D. Analysis of the Lotka — Volterra Competition equations as a technological substitution model // Technological Forecasting & Social Change. 2003. Vol. 70. № 2. P. 103-133.
32 . Ross J.V. A note on density dependence in population models // Ecological Modelling. 2009. Vol. 220. P. 3472-3474.
33 . Savageau M.A. Growth Equations: A General Equation and a Survey of Special Cases // Mathematical Biosciences. 1980. Vol. 48. P. 267-278.
34 . Singh S. When Will Tablet Shipments Overtake PCs? URL: http://www.tech-thoughts.net.
35 . Wang Y., Wu H. Dynamics of a cooperation — competition model for the WWW market // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2004. Vol. 339. № 3-4. P. 609-620.
Financial analytics: science and experience Mathematical methods of analysis
ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)
ECONOMIC AND MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMICS OF CHANGE OF GENERATIONS OF TELECOMMUNICATIONS SERVICES
Yurii A. KUZNETSOV, Svetlata E. MARKOVA, Ol'ga V MICHASOVA
Abstract
The article points out that while predicting and analyzing the financial performance of an enterprise it is very important to understand and take into account the size of the market, the potential demand and the proximity of an industry to saturation . The paper proposes an approach within the framework of which we can define the carrying capacity of the market, subject to the existence of two technologies, one of which is gradually replacing another one As the subject of the study, we have selected the dynamics of the market data transfer that is studied using the methods of economic-mathematical modeling of diffusion of innovation. The transition from the dial-up access to Internet to the broadband access takes place within the competitive interaction between two consecutive generations of technology, since it can be described by the mathematical Gilpin -Ayala model of dynamics of interaction of two biological populations The objectives of the paper are to confirm the hypothesis that given model can be used to describe the process of change of technologies and the formation of the forecast on the prospects of the development of the broadband access to Internet. To determine the coefficients of the model, the authors built an econometric model, described by the system of simultaneous equations, as well as made the comparison of the Gilpin-Ayala model with the more popular and widely used Trays-Volterra model. The research has shown that Gilpin-Ayala model better describes the process of diffusion of innovations of the data transfer market. In addition, the quality of the resulting prediction was rather high The authors emphasize that as the result of the simulation it was found that the market for broadband distribution is close to saturation, so in order to ensure the sustainable financial performance of the service-providers, the search of new directions of activity, in particular, the promotion of mobile Internet technologies come to the fore
Keywords: economic growth, scientific and technological progress, innovation diffusion mechanisms, mathematical mode, Gilpin-Ayala model, econometric model
References
1 . Aivazyan S . A . Osnovy ekonometriki [Basics of econometrics]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2001, 432 p .
2. Bazykin A.D. Matematicheskaya biofizika vza-imodeistvuyushchikh populyatsii [The mathematical biophysics of interacting populations]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 181 p.
3. Bazykin A.D. Nelineinaya dinamika vzaimo-deistvuyushchikh populyatsii [Nonlinear dynamics of interacting populations]. Moscow, Izhevsk, Institute of Computer Studies Publ., 2003, 368 p.
4. Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody ipriemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti [The methods and techniques of the qualitative study of dynamical systems in the plane]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 488 p.
5 . Vasil'ev F. P. Metody optimizatsii [Methods of optimization]. Moscow, Faktorial Publ., 2002, 824 p.
6 . Vasil'ev F. P. Chislennye metody resheniya ekstremal 'nykh zadach [The numerical methods for solving of the extreme problems]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 552 p.
7. Guckenheimer J., Holmes Ph. Nelineinye kole-baniya, dinamicheskie sistemy i bifurkatsii vektornykh polei [Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields (Applied Mathematical Sciences)]. Moscow, Izhevsk, Institute of Computer Studies Publ., 2002, 560 p.
8. Dougherty C. Vvedenie v ekonometriku [Introduction to Econometrics]. Moscow, Infra-M Publ., 2001, 402 p.
9. Ketkov Yu.L., Ketkov A.Yu., Shul'ts M.M. MATLAB 7: programmirovanie, chislennye metody
[MATLAB 7: programming, numerical methods]. St. Petersburg, BKhV-Petersburg Publ., 2005, 752 p.
10. Kozlov A.Yu., Mkhitaryan V.S., Shishov V.F. Statisticheskie funktsii MS Excel v ekonomiko-statis-ticheskikh raschetakh [MS Excel statistical functions in economic and statistical calculations]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2003, 231 p.
11. Kozlov A.Yu., Shishov V.F. Paket analiza MS Excel v ekonomiko-statisticheskikh raschetakh [The packet of MS Excel analysis in economic and statistical calculations]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2003, 139 p.
12. Kuznetsov Yu.A., Markova S.E. Analiz kachest-vennykh osobennostei dinamiki razvitiya Rossiiskogo rynka IKT. Strukturnyi podkhod [An analysis of the qualitative specifics of the dynamics of the Russian ICT market development. A structured approach]. Trudy NGTU im. R.E. Alekseeva — Proceedings of Alekseev NSTU, 2013, no. 3, pp. 242-252.
13. Kuznetsov Yu.A., Markova S.E. Nekotorye kachestvennye osobennosti razvitiya rossiiskogo rynka informatsionnykh i kommunikatsionnykh tekhnologii [Some qualitative features of the development of the Russian market of information and communication technologies]. Ekonomicheskii analiz: teoriya iprak-tika — Economic analysis: theory and practice, 2013, no. 29, pp. 2-12; 2013, no. 30, pp. 12-21.
14. Kuznetsov Yu.A., Markova S.E., Michaso-va O.V. Matematicheskoe modelirovanie dinamiki konkurentnogo zameshcheniya pokolenii innovatsion-nogo tovara [Mathematical modeling of the dynamics of competitive replacement of generations of innovative goods]. Vestnik Nizhegorodskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo — Bulletin of Lobachevsky Nizhny Novgorod State University, 2014, no.2, pp.178-184.
15. Murray J. Nelineinye differentsial 'nye uravneni-ya v biologii. Lektsii o modelyakh [Lectures on Nonlinear Differential-Equation in Biology. Lectures on Models]. Moscow, Mir Publ., 1983, 397 p.
16. Shil'nikov L P., Shil'nikov A.L., Turaev D.V., Chua L. Metody kachestvennoi teorii v nelineinoi di-namike [The methods of qualitative theory in nonlinear dynamics]. Moscow, Izhevsk, Institute of Computer Studies Publ., 2004, 416 p.
17. Ekonometrika [Econometrics]. Moscow, Fin-ansy i statistika Publ., 2004, 344 p.
18. Ayala F.J., Gilpin M.E., Ehrenfeld J.G. Competition between species: Theoretical models and experimental tests . Theoretical Population Biology, 1973, vol., 4, no. 3, pp. 331-356.
19. Chen F., Chen Y., Guo S., Li Z. Global Attrac-tivity of a Generalized Lotka — Volterra Competition Model. Differential Equations and Dynamical Systems, 2010, vol., 18, no. 3, pp. 303-315.
20. Chiang S.-Y. An application of Lotka — Volterra model to Taiwan's transition from 200 mm to 300 mm silicon wafers . Technological Forecasting and Social Change, 2012, vol. 79, no. 2, pp. 383-392.
21. Engle R. Autoregressive Conditional Hetero-scedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 1988, vol. 96, pp. 893-920.
22. Fan M., Wang K. Global periodic solutions of a generalized n-species Gilpin — Ayala competition model. Computers & Mathematics with Applications, 2000, vol. 40, no. 10-11, pp. 1141-1151.
23. Gandolfo G. Economic Dynamics. Study Edition. Berlin, Springer, 1997, 675 p.
24. Gilpin M.E., Ayala F.J. Global Models of Growth and Competition. Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 1973, vol., 70, no. 12, part 1, pp.3590-3593.
25. Gilpin M.E., Case T.J., Ayala FA. 0-Selection. Mathematical Biosciences, 1976, vol., 32, no. 1-2, pp.131-139.
26. Goh B.S., Agnew T.T. Stability in Gilpin and Ayala's Models of Competition. Journal of Mathematical Biology, 1977, vol. 4, no. 2, pp. 275-279.
27. Gujarati D.N., Porter D.C. Basic Econometrics. 5th Edition. Boston, McGraw-Hill Irwin, 2009.
28. Johansen S. Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford, Oxford University Press, 1995.
29. Lee S.-J., Lee D.-J., Oh H.-S. Technological forecasting at the Korean stock market: A dynamic competition analysis using Lotka — Volterra model. Technological Forecasting and Social Change, 2005, vol. 72, no. 8, pp. 1044-1057.
30. Meili Li M., Han M., Kou C. The existence of positive periodic solutions of a generalized N-species Gilpin — Ayala impulsive competition system. Mathematical Biosciences and Engineering, 2008, vol. 5, no.4, pp.803-812.
31. Morris S.A., Pratt D. Analysis of the Lotka — Volterra Competition equations as a technological substitution model . Technological Forecasting & Social Change, 2003, vol. 70, no. 2, pp. 103-133.
32. Ross J.V. A note on density dependence in population models Ecological Modelling, 2009, vol. 220, pp. 3472-3474.
33. Savageau M.A. Growth Equations: A General Equation and a Survey of Special Cases . Mathematical Biosciences, 1980, vol. 48, pp. 267-278.
34 . Singh S . When Will Tablet Shipments Overtake PCs? Available at: http://www.tech-thoughts.net.
35. Wang Y., Wu H. Dynamics of a cooperation — competition model for the WWW market. Physica A . Statistical Mechanics and its Applications, 2004, vol. 339, no. 3-4, pp. 609-620.
Yurii A. KUZNETSOV
Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod — National Research University, Nizhny Novgorod, Russian Federation Yu-Kuzn@mm.unn.ru
Svetlata E. MARKOVA
Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod — National Research University, Nizhny Novgorod, Russian Federation mmes@mm . unn . ru Ol'ga V MICHASOVA Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod — National Research University, National Research University of Higher School of Economics, Nizhny Novgorod, Russian Federation michasova@mm unn ru
Acknowledgments
The article was provided by the Publishing house FINANCE and CREDIT's Information center in the Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod — National Research University.
