Математическое моделирование биолого-социальных чрезвычайных ситуаций Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

/44 Civil SecurityTechnology, Vol. 10, 2013, No. 2 (36)

УДК 614.8

Математическое моделирование биолого-социальных чрезвычайных ситуаций

ISSN 1996-8493

© Технологии гражданской безопасности, 2013

Л.Р. Борисова

Аннотация

Рассмотрены данные произошедших на территории России биолого-социальных ЧС в 2009 году, проанализированы существующие методические подходы к анализу инфекционных заболеваний, при помощи математико-статистических методов и методов математического моделирования нелинейных динамических систем изучена динамика заболеваемости ОРЗ в Москве.

Ключевые слова: чрезвычайная ситуация; инфекция; эпидемия; динамика; статистика; математическое моделирование; параметры; дифференциальные уравнения; ликвидация; риск; воздействие; мероприятия.

Mathematical Modeling of Biological and Social Emergencies

ISSN 1996-8493

© Civil Security Technology, 2013

L. Borisova

Abstract

The data on occurred on the territory of the Russian biological and social disaster in 2009, analyzed the existing methodological approaches to the analysis of infectious diseases using mathematical and statistical methods and mathematical modeling of nonlinear dynamic systems studied the dynamics of the incidence of acute respiratory infections in Moscow.

Key words: emergency; infection; epidemic; dynamics, ¡statistics; mathematical modeling; specification; differential equations; the elimination; the risk; the impact; event.

Биолого-социальная ЧС — это состояние, при котором в результате возникновения источника биолого-социальной ЧС на определенной территории нарушаются нормальные условия жизни и деятельности людей, существования сельскохозяйственных животных и произрастания растений, возникает угроза жизни и здоровью людей из-за широкого распространения инфекционных болезней, потерь сельскохозяйственных животных и растений. К источникам биолого-социальных ЧС относятся: массовые инфекционные и другие заболевания людей и домашних животных; массовые поражения сельскохозяйственных растений насекомыми и вредителями [1].

На территории Российской Федерации в 2011 г. было зарегистрировано 42 биолого-социальных ЧС (в 2010 г. — 43), из них: инфекционная заболеваемость сельскохозяйственных животных — 78,6 %; поражения сельскохозяйственных растений болезнями и вредителями — 19 %; инфекционная заболеваемость людей — 2,4 % [2].

Как следует из статистических данных, из всех типов биолого-социальных ЧС наибольшую угрозу для здоровья населения представляют инфекционные заболевания. За последние годы (2008—2012 гг.) в Российской Федерации регистрируется более 30 млн случаев инфекционных болезней, из которых наибольший удельный вес (94—96 %) составляет заболеваемость гриппом и ОРВИ.

Таким образом, инфекции верхних дыхательных путей являются самыми распространенными инфекционными заболеваниями в России. Последние годы значительное внимание специалистов было привлечено к проблеме возможных эпидемий, связанных с новыми вариантами вирусов гриппа («птичьим», «свиным» и другими). Важность проблемы ОРЗ, в том числе гриппа, вполне осознана.

Анализ инфекционной заболеваемости предусматривает определение количественных характеристик динамического ряда, тенденцию роста, снижения или стабилизации заболеваемости, выявление причинных факторов, на конкретных территориях и для различных групп населения.

После установления достоверных данных об основных причинах и условиях, определяющих характер проявлений инфекционного процесса, представляется возможным спрогнозировать состояние заболеваемости на ближайший или отдаленный период времени.

Построение математической модели прогнозирования инфекционного процесса предусматривает выполнение нескольких этапов: установление структуры модели по основным характеристикам (восприимчивость, устойчивость возбудителя, длительность инкубационного периода, продолжительность заболевания, состояние иммунитета и т. д.).

В математической теории эпидемий обнажается серьезное противоречие между требованием реали-

стичности модели и возможностью ее анализа. Даже простейшие стохастические модели распространения эпидемий оказываются крайне сложными с математической точки зрения. Поэтому вопрос о том, какую модель выбрать для исследования и какие методы анализа использовать, имеет решающее значение. Математическое моделирование необходимо для отработки сценариев возможных чрезвычайных ситуаций, связанных с развитием эпидемий. Движение инфекции по стране на случай пандемии или теракта может быть смоделировано заранее.

Мы рассмотрели уникальный массив данных по заболеваемости ОРЗ в г. Москве в 1959—1988 гг., представленный в работе [3].

Как следует из этой работы, за период с 1959 по 1988 год заболеваемость ОРЗ превышала эпидемический порог в течение 129 недель, что составляет 8,6 % от всего периода наблюдений и включает в себя 22 эпидемии. 82 % эпидемий происходили в период с середины декабря до середины февраля. Средняя продолжительность эпидемии — 5,6 недель, наиболее продолжительное превышение эпидемического порога наблюдалась зимой 1969—1970 гг. и составило 12 недель.

Мы применили известные математико-статисти-ческие методы анализа данных. Сначала выяснили, есть ли тенденция как периодическое изменение заболеваемости (статистического признака). Согласно теории, сам по себе признак может быть зависим или не зависим от переменной — условия (он может зависеть от неизвестных или неконтролируемых исследователем условий). Но это не важно для рассматриваемой задачи, которая ограничивается лишь выявлением тенденции и ее особенностей. В нашем случае заболеваемость зависит от разных факторов, в том числе и от погодных условий.

Проверка гипотез об отсутствии или наличии тенденции может выполняться с использованием критерия Аббе. Критерий Аббе предназначен для проверки гипотез о равенстве средних значений, установленных для 4<и<60 взаимно независимых нормально распределенных выборок.

Эмпирическое значение критерия Аббе вычисляется по формуле:

Е(х<+1 - X )2

q = 0,5-^=—

- х )2

(1)

где х — среднее арифметическое из выборки; п — число значений в выборке. Согласно критерию, гипотеза о равенстве средних отклоняется (принимается альтернативная гипотеза), если значение статистики qэмп<qкрит. Табличное (критическое) значение статистики определяется из таблицы для q-критерия Аббе, представленной во многих учебных пособиях по математической стати-

Ом! 8еоитуТеоИпо!оду, 7о!. 10, 2013, N0. 2 (36)

стике, в частности в [4]. В качестве таких величин, для которых применим критерий Аббе, могут выступать выборочные доли или проценты, средние арифметические и другие статистики выборочных распределений, если они близки к нормальному (или предварительно нормализованы).

Мы проанализировали временной ряд общей заболеваемости ОРЗ в Москве с 1959 по 2003 год. Согласно расчетам по формуле (1) значение статистики Аббе # = 0,04, что меньше критического (табличного) значения при всех уровнях значимости, значит, гипотезу Щ. об отсутствии тенденции изменения заболеваемости следует отменить. Следовательно данные анализа утверждают, что есть зависимость заболеваемости в зависимости от года наблюдения. Таким образом, согласно критерию Аббе, можно сделать вывод, что в динамике заболеваемости ОРЗ есть зависимость от разных факторов. Респираторные инфекции можно рассматривать как комплекс взаимосвязанных заболеваний, эпидемиология которого зависит от погодных и социальных условий. Анализ данных [3] показал, что в межэпидемический период заболеваемость ОРЗ линейно растет при снижении температуры воздуха. Анализ данных позволяет предположить, что зимние эпидемии гриппа не являются изолированными событиями, вызванными появлением новых штаммов вируса. Амплитуда эпидемического подъема зависит не только от свойств вируса, но и от уровня заболеваемости в предшествующие периоды времени.

В работе [3] представлены данные по динамике заболеваемости ОРЗ во время эпидемии. Используя простейшую математическую модель инфекции, мы проанализировали эти данные. Дифференциальные уравнения этой модели следующие:

(х

— = аху - Ьх,

(г

(у

(г

dz

— = Ьх.

(г

Переменные х, у, z — число заболевших, восприимчивых к заболеванию особей и особей, выздоровевших или погибших. Из-за отсутствия данных численность ставших невосприимчивых к заболеванию особей не разделяем. В основе этой модели лежат две гипотезы. 1) Заболеваемость в момент времени г равна х(г)у(г) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально х(г)у(г); таким образом, численность класса х растет, а численность класса у убывает со скоростью ах(г)у(\) (а > 0); 2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью Ьх(г) (Ь > 0). Идентификация параметров модели предполагает наличие данных наблюдений по соответствующим переменным модели. В качестве количественного критерия близости решения модели к эксперименту используется сумма квадратов отклонений между наблюдаемыми у(Г)жспз и вычисленными у(0 (а, гЗ) значениями зависимых переменных модели, отнормированных на наблюдаемые У(/)эксп з значения переменных:

Рис. 3. Динамика заболеваемости ОРЗ во время эпидемии. По оси у обозначено число случаев заболеваемости (на 1000 человек). По оси х — недели. Ряд 1 — данные [6], ряд 2 — результаты расчетов

по уравнениям (2)

M N . ,2

5(«)=££((((, a-yUj)/) ,

j=1 ¡=1

где y(i) (a, tj) — решение задачи Коши, У-'^Э1<сп j — набор экспериментальных данных, N — число параметров модели, М — число экспериментальных данных, a — вектор параметров модели.

Для решения системы уравнений (2) используется метод решения жестких дифференциальных уравнений STIFF [5]. При определении параметров моделей применяется градиентный метод Хука-Дживса [6, 7].

Как следует из данных, представленные на рисунке 3, модель хорошо описывает динамику заболеваемости ОРЗ во время эпидемии. Параметры a и b при этом имеют следующие числовые значения: а = 0,0013, b = 0, 107.

Простейшая модель инфекции может быть усовершенствована, в частности, можно учесть диспансеризацию заболевших, а также смоделировать случаи неэффективной диспансеризации. Проведя анализ чувствительности модели к вариации отдельных параметров, можно прогнозировать, сколько людей нужно диспансеризовать, чтобы предотвратить эпи-

демию, а также как неэффективная диспансеризация влияет на развитие эпидемии и эффективность мер по диспансеризации.

Литература

1. Гражданская защита. Энциклопедический словарь. М.: Дэкс-Пресс, 2004.

2. Государственный доклад «О состоянии защиты населения и территорий Российской Федерации от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера в 2011 году». М.: МЧС России, 2011.

3. Романюха А.А., Санникова Т.Е., Дрынов И.Д. Возникновение эпидемий острых респираторных заболеваний // Вестник РАН. 2011. Т. 81. N 2. С. 122—126.

4. Смирнов А.Я., Болышев Л,Н. Таблицы математической статистики. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

5. Захаров А.Ю., Турчанинов В.И. Stiff-программа для решения жестких систем обычных дифференциальных уравнений // Препринт ИПМ АН СССР. М., 1977. 43 С.

6. Hooke R., Jeeves T.A. // J. Associat. Computer Machines. 1961. V. 8. P. 212—229.

7. Borisova L.R., Andreev S.G., Kuznetsov V.A. Kinetics of T cell proliferation: A mathematical model and data analysis // Membr. Cell Biol. 1998. V. 12. No. 1. Р. 111—119.

Сведения об авторе

Борисова Людмила Робертовна: к. ф.-м. н., доц.,ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), с. н. с.; ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Россиий Федерации». 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. Тел.: (499) 449-99-64. E-mail: [email protected]