CC BY
60
^shh^ Sergej Yukovlevich
E-mail: [email protected].
Phone: +788632509817.
Leading Researcher; Dr. of Phil. Sc.
Ryabtsev Vladimir Nikolaevich
Laboratory of Geopolitical Problems, Black and Caucasian SFU SKNTs VSH.
E-mail: [email protected].
140, Pushkinskaya Street, Rostov-on-Don, 344006, Russia.
Phone: +79281302064.
The Department of Theoretical and Applied Political SFU; Laboratory Head; Cand. of Phil. Sc; Associate Professor.
УДК 681.51:518.5
Т.А. Пьявченко, Е.В. Моисеева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД СИНТЕЗА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Представлен метод синтеза алгоритма управления с предварительной идентификацией по данным натурного эксперимента с использованием частотных критериев. Требуемые показатели качества управления получаются в ПИ-регуляторе с корректирующей обратной связью. Приводится пример использования предлагаемого метода синтеза для реального объекта управления.
Идентификация; ПИ-регулятор; корректирующая обратная связь; натурный эксперимент; частотные критерии.
T.A. Pyavchenko, E.V. Moiseeva
MATHEMATICAL METHOD OF THE SYNTHESES ALGORITHM OF CONTROL WITH USE THE FREQUENCY CRITERION IN BASE GIVEN PRACTICAL EXPERIMENT
In working presented Method of the syntheses of the algorithm of control with simultaneous identification as practical the experiment with use the frequency criterion. Demanded indicators of quality of control receive in PI-regulator with corrective feedback. Happens to the example of the use the method of the syntheses for real object of control.
Identification; PI-regulator; corrective feedback; practical experiment; frequency criteria.
Введение. Модели многих объектов в виде передаточных функций содержат
_
звено ^ 3" - звено запаздывания, называемое иногда звеном с транспортной
задержкой [1]. Уже по уточненному названию можно говорить о том, что в чистом виде такое звено может присутствовать в технологических конвейерных установках, в записывающих устройствах, в процессах, связанных с перемещением тел в пространстве, скажем, транспортировке по трубам. В действительности же многие процессы (процессы нагрева, изменения влажности, процессы абсорбции, процессы ректификации и т.п.) на начальном участке разгонной характеристики объекта (процесса) имеют изменение выходной переменной, но медленное, что и позволяет заменить его чистым запаздыванием [1, 2, 3].
Такая замена не всегда сказывается благоприятно на синтезе алгоритма управления указанными процессами. К примеру, промышленный регулятор при
наличии звена запаздывания должен содержать дифференциальную составляющую, которая как при реализации, так и в эксплуатации имеет существенные недостатки. Известно [1, 4], что реализовать производную как в аналоговом, так и в цифровом вариантах без погрешности не удается, что создает внутренние шумы в системе. Кроме того, наличие дифференциальной составляющей в алгоритме управления расширяет полосу пропускания объекта, что обуславливает внешние помехи и для их ограничения требует дополнительных фильтров [1, 3].
В настоящей работе на основе описанного ранее метода идентификации объекта с медленно меняющейся на начальном участке разгонной характеристикой [2] предлагается синтез алгоритма управления в виде ПИ-регулятора с корректирующей обратной связью.
Метод синтеза. Предлагаемый метод синтеза основывается на нескольких постулатах теории автоматического управления:
1. Одним из критериев построения алгоритма управления для промышленных объектов может быть критерий, обеспечивающий технически оптимальный переходный процесс [5. С. 468] с нулевой статической ошибкой.
2. Большинство систем управления могут быть сведены к колебательному звену с коэффициентом затухания d = 0,7 [6. С. 238]. При этом основные требования к запасам устойчивости определяются требованием необходимого запаса по фазе Лфср на частоте среза ^ср.
3. С целью повышения устойчивости и качества процессов управления объектами с запаздыванием используется предиктор Смита [1, 7].
Предлагаемый метод синтеза алгоритма управления для объектов с медленно меняющейся на начальном участке разгонной характеристикой основывается на предварительном этапе идентификации этого объекта по данным натурного эксперимента [2] и получении его модели в виде передаточной функции
ф ( р) =------------^--------- (1)
оу(Р) (Тр + 1)" (Гоур + 1)’ ()
где K0y - коэффициент передачи, Тоу - наиболее значимая постоянная времени,
определяющая длительность переходного процесса tuu , Т и N - постоянная времени и порядок инерционного звена, соответствующего начальному участку разгонной характеристики идентифицируемого объекта.
По данным натурного эксперимента рассчитываются следующие параметры его модели:
коэффициент передачи
h - к
V куст 'тач ^
К оу =—-----------------------------------------, (2)
и доп
максимальная постоянная времени
Тоу =1, 2502- Ч). (3)
Время переходного процесса tuu - время, при котором разность И1 -И^ц
составляет (0,01 + 0,05) ДА, (ДА = Ауст - Инач).
В выражениях (2) и (3) куст, кнач - установившееся и начальное значения выходной переменной объекта, Ц/доп - допустимая величина тестового сигнала управления на его входе во время снятия разгонной характеристики, ^, ^ - мо-
менты времени, соответствующие значениям 0,1Ah и 0,33Ah. Очевидно, что для определения перечисленных выше параметров приходится выполнить пару итераций съема разгонной характеристики: с большим шагом дискретности для определения tH п и с малым, таким, который позволит выявить указанные точки.
Чтобы определить величины T и N в передаточной функции (1), следует на идентифицируемый объект подать гармонический сигнал u(t) = sin rat с частотой
п
<— (4)
п.п
и по данным эксперимента определить амплитуду Aoy и запаздывание по фазе
Аф^ гармонического сигнала на выходе объекта после его окончательного уста-
новления, т.е. спустя (2-2,5) • tn п.
Записав систему алгебраических уравнений для модуля и фазы комплексного коэффициента передачи Woy(p)| p=jra и воспользовавшись пакетом Editor среды
Mat Lab, можно определить неизвестные параметры передаточной функции (1). Идентичность модели и идентифицируемого объекта устанавливается по результатам сравнения экспериментальной и модельной разгонных характеристик в соответствии с критерием
P (УУ )= max\y(t)- yM (t)| ^ mln, (5)
te[%.j
где y(t) - выход объекта, ум (t) - выход его модели, 5(y, ум) - отклонение выхода модели от выхода реального объекта.
После получения в результате идентификации числовых значений параметров передаточной функции (1) составляем структурную схему замкнутой системы с управляющим устройством (УУ) в виде ПИ-регулятора с корректирующей обратной связью (КОС) (рис. 1). Пунктиром на рис. 1 выделено УУ, алгоритм которого должен быть реализован в контроллере.
Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы с УУ в виде ПИ-регулятора
с КОС
КОС представляет собой соединение модели ОУ ~№Т м(р), отражающей начальный участок разгонной характеристики, и модели W0CY^(р), определяющей длительность переходного процесса £п п в ОУ, так как Тоу >> Т. Таким образом, имеем:
к
Жтл (Р) = (Тр + 1)ж ’ Ж°сн {Р) = (Гоу/7 + 1) ■ (6)
Модулем вывода может быть широтно-импульсный преобразователь, управляющий обмоткой реле, подключающего питание к исполнительному устройству, например нагревателю, если объект представлен процессом нагрева. Модуль ввода, подключенный к датчику выходной величины ДВВ, должен включать аналоговый фильтр низких частот и аналого-цифровой преобразователь.
Назначение КОС такое же, как и предиктора Смита [3], с той разницей, что содержит не звено с запаздыванием, а набор звеньев, моделирующих начальный участок разгонной характеристики объекта.
Расчет параметров ПИ-регулятора основывается на запасе устойчивости по фазе уср, величина которого, как рекомендуется в литературе [4] и как подтверждается в рассмотренном ниже примере, должна лежать в пределах 60-75 угловых градусов. Выбрав значение постоянной времени интегрирования как Ти = 0,6Т ,
задавая запас по фазе из указанного выше диапазона, решаем нелинейное уравнение фазочастотной характеристики для комплексного коэффициента передачи
^0у(ую) ю=^ графически и определяем частоту среза юср, после чего рассчитываем коэффициент передачи регулятора К из условия, что модуль комплексно-
го коэффициента передачи Woy( у'ю)
на частоте среза равен 1.
Моделируем замкнутую систему с полученными параметрами управляющего устройства и проверяем выполнение условия технически оптимального переходного процесса, а именно, перерегулирование - не более 5 % и время переходного процесса - не больше постоянной времени Тоу .
Если указанные условия не выполняются, изменяем запас устойчивости по фазе уср, уменьшая его, если показатели качества процесса управления больше
заданных, и повторяем перечисленные выше расчеты с одновременной проверкой. Результат - переходный процесс, удовлетворяющий поставленным требованиям и
параметры управляющего устройства: Крег, Ти , Т и N.
Пример. В результате натурного эксперимента получили таблицу значений разгонной характеристики объекта нагрева при подключении нагревателя на полный ток, равный 2,4 А (табл. 1).
В соответствии с изложенным выше по данным табл. 1 определяем:
♦ длительность переходного процесса £п п = 4600 с,
♦ коэффициент передачи объекта нагрева
к - к 42 46-20
К =_^^------™ = _,-------= 9,36» С/А,
оу и 2,4 , ’
доп ’
♦ максимально значимую постоянную времени
Тоу = 1,25(72 - ) = 1,25(967 - 431) = 670 с,
♦ величину запаздывания [2] т = 0,5(3^ -?2) = 0,5(1293-967) = 163 с.
ю=ю
Таблица 1
Значения разгонной характеристики процесса нагрева (жирным шрифтом в табл. 1 выделены значения ^ и І2)
t,c 0 72,8 104 139 158 203 244 297 360 431 437
T0C 20 20,03 20,11 20,28 20,7 20,97 21,19 21,75 22,4 27,4 23,2
t,c 447 471 511 550 592 634 680 743 814 891 957
T0C 23,4 23,45 23,8 24,11 24,43 24,72 25,04 25,42 25,82 28,2 30,5
t,c 967 985 1010 1020 1100 1210 1200 1320 1440 1590 1760
T0C 35,7 35,86 36,1 36,21 36,91 37,75 37,68 38,47 38,12 39,79 40,39
t,c 1970 2230 2460 2740 2970 3160 3390 3640 4260 4600 4700
T0C 40,95 41,44 41,73 41,98 42,13 42,21 42,28 42,34 42,42 42,45 42,46
Поскольку на исследуемый объект невозможно подать гармонический сигнал, пришлось воспользоваться пакетом Simulink системы Mat Lab. При подаче на
вход модели объекта в виде ^осн(р)е рх°у гармонического сигнала u(t) = sin rat с %
частотой rau = ^qq рад/с (см. (4)) спустя 2,5 периода, т.е. после установления
переходного процесса получили запаздывание по фазе на выходе модели объекта Д^оу = Д*зап • = -0,4197 и амплитуду выходного сигнала Лоу = 8,8472.
После подстановки полученных значений в систему алгебраических уравнений, состоящих из фазочастотной и амплитудно-частотной характеристик комплексного коэффициента передачи W0y(/ra)| ю=ю , в пакете Editor среды Mat Lab
были вычислены значения Т и N. При решении эти переменные должны быть представлены как символьные: syms N T
[N,T]=solve(-atan(670*pi/6100)-N*atan(T*pi/6100)+0.4161,-8.84+9.36/(sqrt(670A2*(pi/6100)Л2+1)*...
(sqrt(TA2*(pi/6100)A2+1))AN))
%otvet:N = 3.85766540; T = 42.20.
Следовательно, начальный участок разгонной характеристики объекта может быть представлен четырьмя инерционными звеньями с постоянной времени
Т = 42,2 с.
Для проверки результатов идентификации была построена разгонная характеристика модели объекта (1), и после сравнения с данными табл. 1 вычислена погрешность идентификации 8и, максимальное значение которой составило 1,18 % по отношению к диапазону изменения выходной переменной объекта.
Расчет параметров ПИ-регулятора основан на частотном критерии Найкви-ста, в соответствии с которым на частоте среза юср модуль комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы равен
М (га)
ф |^рег С/юср) '^оуС^ср^ 1, (7)
а запас по фазе уср должен лежать в указанном выше диапазоне.
Задавая значение постоянной интегрирования Ти = 0,6Т и величину запаса по фазе уср из этого диапазона, можно вычислить частоту среза путем графиче-
ского решения нелинейного уравнения фазочастотной характеристики комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы ф(юср) по выражению
п
Ф(Чр) = - 2 + arctg (0,6Toyacp ) - arctg (ТоуЫр ) - N • arctg (Т«ср) = -п + уср, или после тригонометрических преобразований
0,6T о - Та п
ф(оср) = + arctg----------------------oy ср 2 oy ср - N • arctg (Та) = — п + у. (8)
ср 1 + 0,6To2y ос2р р 2 р
Для решения графическим способом уравнения (8) при уср = 60о в пакете Editor системы Mat Lab составлена следующая программа, в которой введены обозначения Ti = Ти, Gcp= у ср:
Ti=0.6*670; Toy=670; T=42.2; Koy=9.36; Gcp=pi/3;
for i=1:1000;
x(i)=0.00001*i;
y(i)=atan(270*x(i)/( 1+268000*x(i^2)); z(i)=4 *atan(42.2*x(i))+(pi/3 -pi/2); end;
plot(x,y,'k',x,z,'r');grid on.
Ответ: Ocpl = 0,00427рад/с. При уср = 75о получим Оср2 = 0,0043рад/с. После того как значение юср найдено, с учетом указанных выше параметров системы решается уравнение (7) относительно коэффициента передачи регулятора
Крег = (Тиюср(1 + Т 2®ср)2/(Коу '■)!1 + Тиюср )) (9)
Найденным выше значениям юср соответствуют величины Крег1 = 0,2982,
Крег 2 = 0,3°09.
Как видим, при изменении запаса по фазе на 15о для системы с корректирующей связью коэффициент регулятора меняется весьма незначительно.
Результат работы ПИ-регулятора с КОС при управлении реальным объектом
- процессом нагрева, который получен в виде тренда в SCADA-системе Trace Mode, представлен на рис. 2. При этом кривая 1 соответствует регулируемой температуре, кривая 2 - контролируемой влажности в замкнутом объеме.
!• ' Время визира 12/03/2011 15:29:00 759
40
40
20 30
0 20
______________12 03.11 15 30 00_________________1540:00
Рис. 2. Результат работы ПИ-регулятора с КОС при управлении процессом
нагрева
Тренд
Время переходного процесса составило 600 с, перерегулирование не более 5 %, что соответствует поставленным требованиям.
В пакете Simulink среды Mat lab было проведено сравнение результатов управления процессом нагрева предлагаемым УУ в виде ПИ-регулятора с КОС и общепринятыми промышленными регуляторами. Отключение КОС существенно повышает перерегулирование и даже приводит к колебательности. Использование ПИД-регулятора вместо предлагаемого управляющего устройства, также приводит к ухудшению показателей процесса управления, особенно при незначительных постоянных времени дифференцирования.
Выводы. На наш взгляд, предлагаемый метод синтеза алгоритма управляющего устройства в виде ПИ-регулятора, охваченного корректирующей обратной связью, прост в использовании, дает результаты, отвечающие критерию технически оптимального переходного процесса с нулевой статической ошибкой. При этом время расчетов незначительно, так как не требует многих итераций, как в системе с адаптивной настройкой ПИД-регулятора. Основное время занимает идентификация объекта, величина которого зависит от значения его максимальной постоянной времени.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Денисенко В.В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. - М.: Горячая линия-Телеком, 2009. - 608 с.
2. Пьявченко Т.А. Метод идентификации промышленного объекта по его временной и частотной характеристикам // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 7 (108).
- С. 216-219.
3. Astrom K.J., Hagglund T. Advanced PID control. - ISA. The Instrumentation System and Automation Society, 2006. - 460 p.
4. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ.
- М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 320 с. (Теоретические основы технической кибернетики).
5. Чиликин М.Г., Сандлер А.С. Общий курс электропривода: Учебник для вузов. - 6-е изд., доп. и перераб. - М.: Энергоиздат, 1981. - 576 с.
6. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 768 с.
7. Smith O.J.M. Close control of Loops with Dead Time // Chemical Engineering Progress.
- 1957. - Vol. 53. - P. 217-235.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Р.А. Нейдорф. Пьявченко Тамила Алексеевна
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634360418; +79185139107.
Кафедра систем автоматического управления; профессор; к.т.н.; доцент.
Моисеева Елена Викторовна
ОАО "Промтяжмаш”.
E-mail: [email protected].
347913, г. Таганрог, ул. Химическая, 11-1.
Тел.: +79185023056.
Кафедра систем автоматического управления; инженер-конструктор; соискатель.
P’yavchenko Tamila Alexeevna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634360418; +79185139107.
The Department of Automatic Control Systems; Professor; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.
Moiseeva Elena Alexeevna
PromTyazhMash OJSG.
E-mail: [email protected].
11-1, Ximicheskaya Street, Taganrog, 347913, Russia.
Тел.: +79185023056.
The Department of Automatic Control Systems; Engineer-Designer; Competitor.
