МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА САМОПРОИЗВОЛЬНОГО ВПИТЫВАНИЯ ЖИДКОСТИ ПОРИСТЫМИ СРЕДАМИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

(индекс) цвета пиксела имеет формат IRGB. При этом получается, что слой 3 содержит информацию об интенсивности цвета всех пикселов экрана (Intensity, I). Слой 2 содержит информацию о наличии красной составляющей цвета всех пикселов экрана, то есть, образ экрана в красном цвете (R), слой 1 - образ экрана в зеленом цвете (G), слой 0 -образ экрана в синем цвете (B).

5. В графических режимах 32K и 64K цветов при стандартной палитре можно получить непосредственно любой из 65536 цветов и при желании любой из 16 основных цветов, задав максимальную интенсивность цветовых составляющих.

Заключение

Программа "PERUN\VGA_SVGA" обеспечивает непосредственную запись в видеопамять для создания произвольных изображений, позволяет в интерактивном режиме исследовать структуру видеопамяти, кодирование информации и цветовую палитру в текстовых и графических режимах. Предложен удобный пользовательский интерфейс и сервис для экспериментов с аппаратурой.

Эксперименты с видеоподсистемой на уровне непосредственной работы с кадровым буфером, которые обеспечиваются программой, представляются интересными и полезными для освоения учебных дисциплин

«Периферийные устройства», «Интерфейсы периферийных устройств», способствуют развитию компетенций студентов информационных специальностей.

При разработке программы были использованы инструментальные программные средства, наиболее подходящие для решения данного класса функциональных задач. Программа является аппаратно-зависимой. Результаты экспериментов зависят от режимов, поддерживаемых видеоадаптером и монитором, интерфейса и других особенностей видеоподсистемы компьютера.

Список литературы

1. Богодистова Е. С. Тельнов Г. Г. Эксперименты с периферийными устройствами с помощью компьютерных обучающих программ-тренажеров. Материалы докладов XI Международной научно-практической конференции "ИНФО-2014" ("Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий") - М: НИУ ВШЭ, 2014, с. 50-55.

2. Богодистова Е. С., Мамченко А. Е., Шамров М. И. Программируемые контроллеры в компьютерных и управляющих системах // Информационные технологии. - 2014. - № 11 - с. 53-59

3. Богодистова Е. С. Организация и функционирование видеоподсистем. Учебное пособие. - М.: МИИТ, 2007. - 252 с.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА САМОПРОИЗВОЛЬНОГО ВПИТЫВАНИЯ

ЖИДКОСТИ ПОРИСТЫМИ СРЕДАМИ

Трещалин Юрий Михайлович

кандидат технических наук, Московский государственный университет, имени М.В. Ломоносова, г. Москва.

MATHEMATICAL ANALYSIS PROCESS OF SPONTANEOUS FLUID UPTAKE OF THE POROUS MEDIUM Treschalin Yuri, candidate of technical sciences, Moscow state University, Moscow АННОТАЦИЯ

В статье производится математический анализ процесса самопроизвольного впитывания жидкости пористыми волокнистыми средами. В результате получена зависимость высоты подъема жидкости от пористости материала.

ABSTRACT

In this paper, a mathematical analysis of the spontaneous absorption of fluid porous fibrous media. As a result, the dependence of the height of liquid rise on the porosity of the material.

Ключевые слова: структура, нетканый материал, впитывание, пористость, высота подъема жидкости. Keywords: structure, nonwoven, absorption, porosity, height lifting fluid..

Отсутствие капилляров, как таковых, в строении нетканого материала, требует разработки принципиально иного аналитического подхода для описания процесса впитывания жидкости. Сложность поставленной задачи заключается в использовании в качестве определяющего параметра не линейного размера капилляра (радиуса), а объемной характеристики, например, пористости или плотности, что особенно актуально для нетканых полотен с неориентированным расположением структурных элементов.

Многообразие способов производства нетканых полотен, технологических особенностей процесса их изготовления, применения различных видов волокон опреде-

ляет большое количество факторов, влияющих на интенсивность впитывания жидкости материалом, выявить и определить количественное выражение которых при математическом моделировании крайне затруднительно. С другой стороны изначально не требуется получение результатов с высокой точностью. В связи с этим целесообразно рассматривать процесс впитывания жидкости на примере волокнистой массы, что достаточно близко по структуре и свойствам к нетканым полотнам и позволяет учесть как характеристики материала, так и физические параметры жидкости.

Анализ экспериментальных данных [1-4] показывает, что интенсивность впитывания жидкости нетканым

материалом изменяется во времени. Подъем осуществляется до тех пор, пока силу поверхностного натяжения не уравновесит сила давления столба поднятой жидкости. Причем, скорость впитывания первоначально резко возрастает, а затем постепенно замедляется и через некоторый промежуток времени становится равной нулю [5].

Учитывая, что кинетика впитывания одинакова для нетканых полотен, выработанных различными способами и состоящих из различных видов волокон (мононитей), для аналитического описания процесса подъема жидкости может быть использована функция вида:

Учитывая физические особенности процесса впитывания, рассматриваются только положительные значения х*. Значение функции в точке экстремума равно:

G(x*) =

' а '

(3)

G(x) = f■

а+х а+х2

(1)

С целью определения численных значений коэффициентов пропорциональности а и f допустим наличие некоторой функции Y(x), идеально описывающей процесс впитывания вязкой жидкости материалом. При этом предполагается, что в точке х* достигается минимум функционала:

где: х = - пористость материала; G(x) = Щ*;) - высота подъема жидкости; а, f - коэффициенты пропорциональности.

Из необходимого условия существования экстремума функции определяется точка х*:

V*

где: V=/0X[f

[в(х) - Y(x)]2dx = У +Ш

а+х

-^р-х]2ах;Ш =/Л2

* I

х*,2 = —а ± а •

1+1,

а

(2)

(а+х)2

ИзобрaжениеG(x) и Y(x) в диапазоне 0 < х < 1 представлен на рис. 1. Заштрихованная площадь между графиками соответствующих функций соответствует условию

ЙС(х)-¥(х)]2с1х^тт.

о®

Т(х)

0.045 0.04 0.035 О.ОЗ 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005

/0 / V N

/ / \ \

/ / \ \ <Хх

/ / \ У

/ / , \

/ / \ ^"С X) \ \

/ / N Д

/ / \Д

/ \ \

1/ \

О 0.12 0.24 0.36 0 4Я П 6 0.72 0.84 0.96 1 ПЯ 1.2 -¡г* -¡г

Функция Y(x) состоит из двух прямых: У(х) =

Рис. 1. График функций G(x) и Y(x)

с(х*К С целью получения математических зависимостей

х = — ■ х и У(х) = ® ■ (1 — х) =

1-х*

для определения V и W первоначально необходимо вы-(1 — х). числить неопределенные интегралы:

V=/[f2■(g+D2 + f2 + P2■x2 + 2■f■p■x — 2-^а+Х2— 2■f■P■(а+Í2)■x]dx;

а+х2

W = /[f2■(а+X2))2 + f2+Y2■(1 —x)2 + 2■f■y■(1—х) —2■f2■а+X2+2■f■y■(а+X2)■(1—x)]dx,

О — —

где: в = — и у = —----

^ 2^а ' 2 • Vа+а2 Дальнейшее интегрирование проводится по отдельным составляющим вышеприведенных уравнении.

После преобразований, выражения для неопределенных интегралов будут иметь вид:

V = (—) ■ \— + 2—ав + —2<а-1)

, в2 х3 х +

—2<а-1) 2. Р2

2 ■ f2 ■ 7а] — 1п(а + х2) ■ (f2 + f ■ а ■ в) — ■ J

Р2. а —Ча-1> х

а+х2

+ . V- 1 х + f2

2<а+х2)

+ f■в■x2 — 2^-в-х

^(М + ^аГ^ f+4.f.Y.Vа]-f2•ln(а+1).(f2+l-а) + x.(f2 + 2.f.Y)— ¿.

(1 — х)3 — f■Y■(1— х)2

2

1

2

алее вычисляются определенные интегралы:

V = Г 1

■- 1- в -х]2 ах =

(а+х)2

(а-1)( -1+ /1+-

arctg(Vl + а - V«) • (== - ^ • V« + (а-т) -

1п

2 • (а2 + а

— I

1+1)

а

2

2- (1+а-/1+-

W = /x1,[f2 f2

+

2ч 1+а- /1+-

- Р • I -а+ а^ /14— ) +---f2 ■

1

2

12

а •

-1+ /1 + -) - f2 • (-1 + /1 +-) +1п(а) + 1

.-f-Y•(1-x)]2dx=arctg^-l)J■f2 + f2iа-1)-2f2^^1-ln(а+1)•ff2+-^) + 12 +

та

f2 . f2■(а-1) 2 2- ^

(а+х)2 У^/ V«

х. / гг-;- ГЛ Г . ^-(а-1) 2- 12 , 2- f2 1 , ,

f2 \ / . I, . А . f2

2 • |а2 + а

1+-

а

2- (1-а) Та+а2

(f2 + -)

V 2- (1-а)- V а+а2/ 2

12 + ■==) •(-а + а • /1+-)+ /2-(1 + а-а- /1 + 1 • (1 + а - а • /1 +

V 7а+а2/ ^ ^ а^ 12-(а+а2^ у ^ а^ 2-7а+а2 ^ ^ а^

где: х* = -а + а^ /1+-

Математические выражения для вычисления неизвестных а и f могут быть получены с использованием необхо-э условия экстремума. Следовате Производная по f выражения V:

дХ дХ дР дР

димого условия экстремума. Следовательно, необходимо вычислить производные —, —, —,—.

д1 да д1 да

дf

= arctg(Vl + а - V«) • [4= - 4 • f • V«] -

1п

2 • (а2 + а - а2

1+

■3^-4-Ы -1+ /1+-) +

1а

1+ /1+-

а

(4)

Производная

дХ

— = arctg(V 1 + а - V«)

+

___м - 3=2

\2^1+а 2^/ 2

2- а+1- /1+-+

(а-1)( -1+ /1+-

(а2 + а-а2- /1+—)

4 л I (У

|1+—|+(-— I гу I 4 2 ■а

^а 4 ■Vа 4 -Та3 —

+ l+(Vl+О-VО)2 2 1 ^ 2 уа)

(1+а-а- /1+—)2

+ 12

1+а-а- /1+а) - (-1+/1+а)+(а-1)-(-2а2)

(1+а-а- /1+—)2

(1+а-а- /1+—)2

—

1+ /1+- +

!+(--)

а 2 а

+ -12-(-1+ /l+-)3+-■f2■

12 4 л а 6

(-1+ ll+-)2■(-^) 1 + М + !

4 л! <Г V 2^а/ I — I, , 1 а

а

дW дW

Для вычисления производных — и — получены следующие математические зависимости:

д1 да

(5)

дW д1

Ы + Та ■(а -1) - 4= +:

VI'

+а

+ 1п

а2 + а - а2

1 +1)

а 6 (а+а2)

21 +

1+

-^=1 + (2 ■ 1 + -т1) - arctg(VTTа - V«) ■

' ]-(21+- = у(-а + а.

Уа+а2] \ Та+а2/ \

21+-

(1-а)-3

1 \ , 2^ 1

1 + а- «■ /1 +- ) +

а

а+а2

1 + а-а

1+1)

а

(6)

а+х

2

2

3

1

а

2

а

1

6

а

а

3

1

1

1

1

2 ■а ■ п +

2 ■а ■ п +

1

1

2

2

гр = [== + == ■ (а - 1) - 2 ■ 12 ■ -р + 2 ■ 12 ■ ■ —) ■ —+ arctg (-=) ■ \1= + ~■ (а - 1) +--з]--~~

да № ^а Vа Vl+«J \ 1+—/ 2-Vа & Ч-^а/ L2■ ^ С^а)^ 4 у (-ЛГа)3 ] 1+а

1 +-- 1п(а + 1)

V 2<1-а>Та+а2/

arctg(Vl + а - V«)

.1!.

2

2 ■ 12

Сl-а)■Сl+2 ■а) 2 Уа+а2

[Сl-а)- Т а+а2]2

(Та+а2)

2 У—+а 2 ■Уа

1+(Vl+а-Vа)!

На + ■ (а - ^ - 1 +

1 VО

1+а]

+ ___

уа3 2-vo (VlГО)3

+

2-Са2 + а-а2- /1^)

4 л I СУ

12 +

12

2-Сl-а)-Т а+а2

==) + 1п[2 ■ (а2

а+а2/

+ а - а2

1+1)]

4 ■ а+2-4 ■ а- 11+—^^

f2 2 n/a+a2 /f2 j__fL_) • (-1 + I

2 [(1-a)- / a+a2]2

•(1+2 •a)

^a2 - (f 2 +

a2]2

/a

+ I1 + - —

a

1 + a — a • |1+-) + —-

a/ 12-(a+a2)

• 3•(1 + a

—f

2 (1+2- a)

a ■(-/a+a2)

+

f2-[-(1+2-a)] 12- (a+a2)2

+

f2

/ a+a2

f2-(1+2- a) (/a+a2)

1+a

1+1

a

1 + a —a- I1 + -) (7)

3

a

2

Таким образом, для определения численных значений а и f необходимо решить систему уравнений:

г dV dW _

а? "а? =

1^ + ^=0

V.da da

(8)

Решение уравнений (4) - (8) проводилось при помощи программного комплекса Mаthcаd 15. В результате проведенных вычислений установлено, что функция G(x) имеет экстремум в точке х* = 0,01719425 в которой: G(x*) = 1,58810317; а = 0,00030617; f = 0,0565574 (рис. 2).

Рис. 2. График функции G(x)

Таким образом, дальнейший анализ кинетики впитывания проводится для x* = 0,01719425 и G(x*) = 1,58810317, полагая, что значение x* соответствует пористости материала выраженной в относительных единицах, а величина G(x*) равна максимальной высоте подъема жидкости h(^*), выраженной в метрах. При этом высота подъема в зависимости от пористости определяется из уравнения:

h© = (0,0565574 • 0,00030617+J — 0,0565574) (9)

^ 4 0,00030617+^2 у

Список литературы 1. Трещалин М.Ю. Исследование процесса капиллярного подъема жидкости в нетканых материалах / М.Ю. Трещалин, В.С. Мандрон, Г.К. Мухамеджанов. - Известия ВУЗов. Технология текстильной промышленности. - 2009, № 4С, с. 24 - 26.

2. Кленов В.Б. Фильтрация жидкости через слой деформируемого текстильного материала: монография / В.Б. Кленов.- М.: Легкая индустрия, 1972.88 с.

3. Браславский В.А. Капиллярные процессы в текстильных материалах. - М.: Легпромбытиздат, 1987. - 112 с.

4. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. - 254 с.

5. Электронный ресурс. - Режим доступа: http://www.sworld.com.ua/konfer27/550.pdf. Боев Ю.А., Сафьянц С.М., Качковский А.Д. Численное исследование динамики капиллярного подъёма жидкости.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КИНЕТИКИ ВПИТЫВАНИЯ ЖИДКОСТИ

ПОРИСТЫМИ СРЕДАМИ

Трещалин Юрий Михайлович

кандидат технических наук, Московский государственный университет, имени М.В. Ломоносова, г. Москва.

MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE KINETICS OF FLUID UPTAKE OF THE POROUS MEDIUM Treschalin Yuri, candidate of technical sciences, Moscow state University, Moscow